數(shù)學(xué)建模萊斯利模型課件

1、 萊斯利模型年齡組年齡區(qū)間10,N/n2(N/n,2N/n)3(2N/n,3N/n)n-1(n-2)N/n,(n-1)N/n)N(n-1)N/n,N)假定在總體中任意一個(gè)女性的最大年齡是N歲，這里的總體僅指女性人口總體，并將其當(dāng)做按不同年齡分組的個(gè)體的集合。 將總體分成n個(gè)期限相等的年齡組，于是每組的期限為N/n年，按下表來(lái)記下各個(gè)年齡組：假設(shè)已知在時(shí)刻t=0時(shí)每一個(gè)組中的女性人數(shù)，令在第i組中有 個(gè)女性，則記為 這個(gè)向量稱為初始年齡分布向量?，F(xiàn)在來(lái)考慮這n個(gè)組中每組的女性人數(shù)隨時(shí)間的推移而變化的情況。設(shè)任意兩個(gè)連續(xù)的觀察時(shí)間間隔和年齡區(qū)間的期限相等，即令這樣，在時(shí)刻 時(shí)于第（i+1）組中的所

2、有女性在時(shí)刻是均在第i組中。在兩次連續(xù)的觀察時(shí)間之間的出生和死亡過(guò)程，用下述人口學(xué)參數(shù)來(lái)描述： 表示每一個(gè)女性在第i年齡組期間生育兒女的平均數(shù)。 表示第i年齡組的女性可望活到第（i+1）年齡組的分?jǐn)?shù)。 顯然 不允許任何bi等于0，否則就沒有一個(gè)沒有女性會(huì)活到超過(guò)第i年齡組。 同樣，至少有一個(gè) 是正的，這樣就保證有n個(gè)女兒出生了。與正的 對(duì)應(yīng)的年齡組稱為生育年齡組。 記 是在時(shí)刻個(gè) 年齡組中的女性數(shù)目，則稱為在時(shí)刻 時(shí)年齡分布向量。在時(shí)刻 ，第一個(gè)年齡組中的女性數(shù)恰好就是在 和 之間出生的女孩數(shù)，即 （5.1） （5.2） 將（5.1）式和（5.2）用矩陣表示即得（5.3） 簡(jiǎn)記為（5.4） 其

3、中稱為萊斯利矩陣。由（5.4）式可得 （5.5）因此，如果已知初始年林分布 及萊斯利矩陣L，就能求出在以后任何時(shí)間的女性年齡分布。 極限狀態(tài)（5.5）式給出了總?cè)赵谌我鈺r(shí)間的年齡分布，但是它并不能直接反映增長(zhǎng)過(guò)程動(dòng)態(tài)的情況。 為此我們需要考慮萊斯利矩陣L的特征值和特征向量，L的特征根是它的特征多項(xiàng)式的根，這個(gè)特征多項(xiàng)式為為了求這個(gè)多項(xiàng)式的根，引入函數(shù) （5.6） 利用這個(gè)個(gè)函數(shù)，特征多項(xiàng)式 可寫為 （5.7） 由于所有的 和 為非負(fù)的，可以看作 對(duì)于大于零是單調(diào)減少的。 另外， 在 處有一條垂直漸近線，而當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)則趨于零。因此 ，存在唯一的一個(gè) ，使得 。即矩陣L有一個(gè)唯一的正特征值，

4、是單根，對(duì)于 的一個(gè)特征向量是滿足： 的非零向量。 解得 （5.8） 由于 是單根，它相應(yīng)的特征空間是一維的，因而任意它所對(duì)應(yīng)的特征向量 是某個(gè)倍數(shù)，則有定理定理1 一個(gè)萊斯利矩陣L有一個(gè)唯一的正特征值 ，并且有一個(gè)所有元素均為正的特征向量。 總體年齡分布的長(zhǎng)期行為是由正的特征值 及它的特征向量 來(lái)決定的。實(shí)際應(yīng)用中，由數(shù)學(xué)軟件很容易求出矩陣的特征值與特征向量，請(qǐng)讀者參閱第四章相關(guān)內(nèi)容。 定理2 如果 為萊斯利矩陣L的唯一的正特征值， 是L的特征值，它可以是任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，則 。 稱為L(zhǎng)的主特征值。如果對(duì)L的所有其他特征值有 ，那么 稱為L(zhǎng)的嚴(yán)格主特征值。并不是所有的萊斯利矩陣都滿足這個(gè)條件，

5、例如 請(qǐng)讀者利用數(shù)學(xué)軟件驗(yàn)證L的唯一正特征值不是嚴(yán)格主特征值，并且有 （單位矩陣）。 于是對(duì)于任意選擇初始年齡分布 ，都有 因此年齡分布向量以三個(gè)時(shí)間單位為周期而擺動(dòng)，如果 是嚴(yán)格主特征值，這種擺動(dòng)（也稱人口波）就可能不會(huì)發(fā)生。 下面價(jià)格敘述關(guān)于 是嚴(yán)格主特征值的必要和充分條件。 定理3 如果萊斯利矩陣的第一行有兩個(gè)連續(xù)的元素 和 不等于零，則L的正特征值就是嚴(yán)格主特征值。 因此，如果女性總體有兩個(gè)相繼的生育年齡組，它的萊斯利矩陣就是一個(gè)嚴(yán)格主特征值。只要年齡組的期限足夠小，現(xiàn)實(shí)中的總體總是這中情況。假設(shè)L是可對(duì)角化的，此時(shí)L有n 個(gè)特征值 與它們相對(duì)應(yīng)的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為 。將其中嚴(yán)格

6、主特征值排在第一，建立一個(gè)矩陣P，其余個(gè)列就是L的特征向量。 于是L的對(duì)角化就由下式給出 則因此，對(duì)于任意初始年齡分布向量 就有此等式兩邊除以 ，就得出（5.9） 由于 是嚴(yán)格主特征值，所以 當(dāng) 時(shí) 這樣就得到（5.10）如果將列向量 的第一個(gè)元素用常熟C來(lái)表示，則可以證明（5.10）式右端為 ，C是一個(gè)只與初始年齡分布向量 有關(guān)的正常數(shù)，于是得到 （5.11） 對(duì)于足夠大的k值，由（5.11）式給出近似式 （5.12） 由（5.12）式還可得出（5.13） 比較（5.12）和（5.13）式可知對(duì)于足夠大的k值，有（5.14） 這說(shuō)明對(duì)于足夠大的時(shí)間值，每個(gè)年齡分布向量是前一個(gè)年齡分布向量的一個(gè)數(shù)量倍數(shù)，這個(gè)數(shù)量就是矩陣的正特征值。因此，在每一個(gè)年齡組中的女性比例據(jù)變?yōu)槌Ａ俊?由給出常時(shí)期人口的年齡分布向量（5.12）式根據(jù)正特征值 的數(shù)值，會(huì)有三種情況： ）如果 ，總體最終是增長(zhǎng)的；）如果 ，總體整體是減少的；）如果 ，總體整體是不變的。 的情形有特殊意義，因?yàn)樗鼪Q定了一個(gè)具有零增長(zhǎng)的總體。對(duì)于任