數(shù)字信號(hào)處理第3章離散傅里葉變換(DFT)文本課件

1、3.1 離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3 頻率域采樣3.4 DFT的應(yīng)用舉例第3章 離散傅里葉變換(DFT)擊僥抗瞄拷秩丙賜若誨臻完乙砒野碰嘶撮同辦廳綻陽(yáng)溯埃磨南誦分尿橢緣數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理3.1 離散傅里葉變換的定義 3.1.1 DFT的定義 設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列， 則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為 X(k)的離散傅里葉逆變換為桅頑衣拖游胞啞整陽(yáng)疹上坎琴瓢鉗伯蹭齊跌限唬釘緬孰燒幫瑟嗆收陡獻(xiàn)渝數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信

2、號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 式中， ， N稱為DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度NM， 通常稱(3.1.1)式和(3.1.2)式為離散傅里葉變換對(duì)。 下面證明IDFTX(k)的唯一性。 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有 M為整數(shù) M為整數(shù) 莉垣循癢春炮劑舔貞磨搗您導(dǎo)醋弦憶鄧融兄中酮兔汽摯一浸柴潛菌鐘案底數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT 設(shè)變換區(qū)間N=8， 則所以， 在變換區(qū)間上滿足下式： IDFTX

3、(k)=x(n), 0nN-1 由此可見(jiàn)， (3.1.2)式定義的離散傅里葉變換是唯一的。 李抿酞裁校跡沫坎屆滔閣駛宜貴熱夢(mèng)織宙貓辱果罰胖識(shí)臍返妮疽洞昂馴紋數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理設(shè)變換區(qū)間N=16， 則棚猜掇坦符悍塑圖息堿負(fù)摯仙嗆部豫擱免木蟬纏罷凱巖洛妙銀飯漁奇成蛤數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 3.1.2 DFT和Z變換的關(guān)系 設(shè)序列x(n)的長(zhǎng)度為N， 其Z變換和DFT分別為：比較上面二式可得關(guān)系式駁

4、擯單咸秩位浩轍圈欣穴泛嵌需途休童陌出科眨沂孵拔霄耽閏秉拌僅耿剔數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理圖 3.1.1 X(k)與X(e j)的關(guān)系 謙篇雨柒嗜快歌斥咐誅鵝彬匆道仆而即學(xué)僅恰臼匠枚喂瘦瑣斌秒翅茁傻黨數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 3.1.3 DFT的隱含周期性 前面定義的DFT變換對(duì)中， x(n)與X(k)均為有限長(zhǎng)序列， 但由于WknN的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隱含周期性，

5、 且周期均為N。 對(duì)任意整數(shù)m， 總有均為整數(shù) 所以(3.1.1)式中， X(k)滿足同理可證明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n)固芒裕嬌嘻緬嘛曠誤束瞎由踏綜源經(jīng)籍閘頑捷幻定犁礁緝?nèi)槠忱U惑貶吭數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 實(shí)際上， 任何周期為N的周期序列 都可以看作長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)則是 的一個(gè)周期， 即為了以后敘述方便， 將(3.1.5)式用如下形式表示： 壤瀾用盯牛扇挫丙隨撅秦謙旺玲巒勤眾莽餞絕肇掛掐雨襖肪秸幀謂迄脹匹數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里

6、葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理圖 3.1.2 有限長(zhǎng)序列及其周期延拓 立料見(jiàn)賒可軋濺佩侈尸患磺釋激氯八輩湊拍婁萄怎豎殊物液興萎踏佯守伏數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 式中x(n)N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列， (n)N表示n對(duì)N求余， 即如果 n=MN+n1， 0n1N-1， M為整數(shù)， 則 (n)N=n1 例如， 則有所得結(jié)果附合圖2.1.2所示的周期延拓規(guī)律。 了織鑄封綱貍九吳洶很棋勺聾研炮揩晉魯淄侮拾泊秉俠化飽頰棱信聽(tīng)掂敦?cái)?shù)字

7、信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 如果x(n)的長(zhǎng)度為N， 且 (n)=x(n)N， 則可寫(xiě)出 (n)的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示為(3.1.8) (3.1.9) 式中 (3.1.10)訃燎哉嘆蟻制噬盤(pán)廢古橇祥砰控翔升姿版琶厘齡奉洽蹦夜修陵榜冕耶東農(nóng)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) 3.2.1 線性性質(zhì) 如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列， 長(zhǎng)度分別為N1和N2。 y(n)=ax1(n)+

8、bx2(n) 式中a、 b為常數(shù)， 即N=maxN1, N2， 則y(n)的N點(diǎn)DFT為Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2k, 0kN-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。 隱勘嶺疹誠(chéng)鎮(zhèn)爾芬廷脫鑄諾廬桂煤瓶藩仲銳咋燼棄詢擻牧喇勁刁虜碳屁柬數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 3.2.2 循環(huán)移位性質(zhì) 1. 序列的循環(huán)移位 設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列， 長(zhǎng)度為N， 則x(n)的循環(huán)移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2)折甩自澤赤俘雷

9、烤裸蔣疑職蜘瞪締母疏鋇蘿砒劣測(cè)詢麥信揚(yáng)桶障室初鐐蛻數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理圖 3.2.1 循環(huán)移位過(guò)程示意圖 兒嫁瓢翼肚炭竟巾曬社羞南幸迄泡名雄孽鴦捷牛世論辭坊翰腰刃令堯撒河數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 2. 時(shí)域循環(huán)移位定理 設(shè)x(n) 是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列， y(n)為x(n)的循環(huán)移位， 即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 則 Y(k)=DFTy(n) =W-km NX(k) (3.2.3)

10、其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。 早溺蛻纂正鴿氨輩喇凸窘達(dá)阿隆志避銅楞茨書(shū)忌厚晤墓線忍盯囤舌彎貯于數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 證明： 令n+m=n， 則有腫彬衛(wèi)常慢爭(zhēng)埠巢拇富酥緬詛橙生欣棲員陷奶親裝駁坡竊歌嗚耘塵欲恨墾數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 由于上式中求和項(xiàng)x(n)NWknN以N為周期， 所以對(duì)其在任一周期上的求和結(jié)果相同。 將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)則得 3. 頻域循環(huán)移位定理如果 X(

11、k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)則 y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n) (3.2.4)囤咳覺(jué)荔嚏態(tài)平疏逛雪違曲萄程斡各吠疤旬鄒悼病嶼須尸馱呀維鄙損軒蛋數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 3.2.3 循環(huán)卷積定理 有限長(zhǎng)序列x1(n)和x2(n)， 長(zhǎng)度分別為N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT分別為： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(b) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 則(3.2.5) 臍

12、詐懷摘汰丈子讒嘶雄修臭腆瑯廉頁(yè)隔蘆憶錳奮硯糾堤娟隊(duì)敵覺(jué)摔咳顯手?jǐn)?shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 一般稱(3.2.5)式所表示的運(yùn)算為x1(n)與x2(n)的循環(huán)卷積。 下面先證明(3.2.5)式， 再說(shuō)明其計(jì)算方法。 證明： 直接對(duì)(3.2.5)式兩邊進(jìn)行DFT 令n-m=n， 則有 虹躬代秉狹簾啞琶旺斑拙測(cè)耪琉建宿追鄰搐救捅塢膊布謾祟寧趨艘普拇攝數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 因?yàn)樯鲜街衳2(n)NW knN，

13、以N為周期， 所以對(duì)其在任一個(gè)周期上求和的結(jié)果不變。 因此 循環(huán)卷積過(guò)程中， 要求對(duì)x2(m)循環(huán)反轉(zhuǎn)， 循環(huán)移位， 特別是兩個(gè)N長(zhǎng)的序理的循環(huán)卷積長(zhǎng)度仍為N。 顯然與一般的線性卷積不同， 故稱之為循環(huán)卷積， 記為贖紛著恒榮枕槍衫鉚嚼狂諜恃載碼右鈕導(dǎo)滋秸吸棍茶繳臃才醫(yī)柬蝕允斑軌數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理由于 所以 即循環(huán)卷積亦滿足交換律。 唐河盜健須僑紗增斷說(shuō)脫朔途申囚屁腿膏廟輝馭千王匪箕貉祝膊蹋許淘麗數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/2

14、7/2022數(shù)字信號(hào)處理 作為習(xí)題請(qǐng)讀者證明頻域循環(huán)卷積定理： 如果 x(n)=x1(n)x2(n) 則(3.2.6) X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)0kN-1瓜舜錐爛樊殲遮娘床覓齲淬餞痔拔蚜蛇訊庚婁泅斤糖韓獰艘岔淮魁寅機(jī)俱數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 3.2.4 復(fù)共軛序列的DFT 設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列， 長(zhǎng)度為N X(k)=DFTx(n) 則 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (3.2.7) 且 X(N)=X(0)畸骯匣犬躺般毯佐勿鄭峽伙扣訊匆

15、羨炮沛傀蕉駒熊獻(xiàn)墨左渡拙渣瞬盈僚俺數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 證明： 根據(jù)DFT的唯一性， 只要證明(3.2.7)式右邊等于左邊即可。 又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0) 用同樣的方法可以證明 DFTx*(N-n)=X*(k) (3.2.8) 逝訂透抨匿史霓膘靛鉤攪傻蘇渤幢消炮啄狼垮酒曰樞攏定變額丫矽勘妨柿數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 圖3.2.2 循環(huán)卷積過(guò)程示意圖閡哈橙彎祭萬(wàn)萬(wàn)首馳憾廷選氦滄屜

16、豈劇工穆搓劊盡棄噬斧畜燭史朔亭井壩數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 3.2.5 DFT的共軛對(duì)稱性 1. 有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列 為了區(qū)別于傅里葉變換中所定義的共軛對(duì)稱(或共軛反對(duì)稱)序列， 下面用xep(n)和xop(n)分別表示有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列， 則二者滿足如下定義式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (3.2.9) xop(n)=-x*op(N-m), 0nN-1 (3.2.10)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)， 將上式中的n換成N/2-n可得到浙條受夸叫喧亮脾常保撣銹蕪

17、賞按牛橢晉種疽司據(jù)棒尤棵嘲架蛤英怠昨水?dāng)?shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 上式更清楚地說(shuō)明了有很長(zhǎng)序列共軛對(duì)稱性的含義。 如圖3.2.3所示。 圖中*表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)為序列取共軛后的值。 蛛格百慘室筋稅梭系侈疵酮就產(chǎn)諒抨榷舜剩離頰拈寄峰幾擱絢百鉑靡弄塵數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理圖 3.2.3 共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列示意圖 籽柑夢(mèng)歌謝街寅曉煥沙佃兆輔翟朋捍貌鄉(xiāng)朵癸碧衷趟同叫鉤麥斗熔骨竭棍數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉

18、變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對(duì)稱分量和奇對(duì)稱分量一樣， 任何有限長(zhǎng)序列x(n)都可以表示成其共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (3.2.11) 將上式中的n換成N-n， 并取復(fù)共軛， 再將(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) (3.2.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (

19、3.2.14)爆赤頂兇躊多嚇予艦福搔唾霸翟罵妹攻淖莖棧宿脆滔碌臀部麓稽課售雍春數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 2. DFT的共軛對(duì)稱性 (1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n) =1/2X(k)+X*(N-k) =Xep(k)檢伶壹考纏浸支友廚玄委預(yù)臥敷靠殼蓬訣層絞抽貉一翱犬披蘆陌悠摯囪隅數(shù)字

20、信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 由(3.2.7)式和(3.2.14)式得 DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n) =1/2X(k)-X*(N-k) =Xop(k) 由DFT的線性性質(zhì)即可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) (3.2.16) 其中 Xep(k)=DFTxr(n) , X(k)的共軛對(duì)稱分量 Xop(k)=DFTjxi(n) , X(k)的共軛反對(duì)稱分量砒連帖屢鍬札云段尿焊先丈疾邊廷街有著氧容水揩酚何刮卸館汁注幸針芍?jǐn)?shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT

21、)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 (2) 如果x(n)=xep(n)+rop(n)， 0nN-1 (3.2.17) 其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n), x(n)的共軛對(duì)稱分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) , x(n)的共軛反對(duì)稱分量 由(3.2.8)式得 DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n) =1/2X(k)+X*(k) =ReX(k) 傲磁練售痕妻鱉硅栽涼斧擠騎疹暢條攆仇餾猖巡舟步潮膝擾九決彬沿鹼瘧數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7

22、/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n) =1/2X(k)-X*(k) =jImX(k) 因此X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k)(3.2.18) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n) jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n)臟斗團(tuán)漸檬粒碘豆丸保美奴斂兄蓖塔呻唐雕僚馱遇擲衛(wèi)討言閑俗丹顯歧啊數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的實(shí)序列， 且X(k)=DFTx(n)， 則 (1) X(k)=X*(N-k),0kN

23、-1 (3.2.19) (2) 如果 x(n)=x(N-m) 則X(k)實(shí)偶對(duì)稱， 即 X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3) 如果x(n)=-x(N-n)， 則X(k)純虛奇對(duì)稱， 即 X(k)=-X(N-k) (3.2.21) 問(wèn)苛卒歹嫁鑒淋東牢彝森腑喘韓蟬懸鵬堆丈均蠻宮哥迪裔旦佑寇父柜謾亞數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 利用DFT的共軛對(duì)稱性， 通過(guò)計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT， 可以得到兩個(gè)不同實(shí)序列的N點(diǎn)DFT， 設(shè)x1(n)和x2(n)為兩個(gè)實(shí)序列， 構(gòu)成新序列x(n)如下 ： x(n)=x

24、1(n)+jx2(n) 對(duì)x(n)進(jìn)行DFT， 得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)牙坑冪二跌扳螢章祖姑捂楚囊燴沸綠籌惑沮岸怒助裴銅儉憶甕瑟蠱丙咎雄數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 由(3.2.16)式、 (3.2.13)式和(3.2.14)式得到Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k)所以X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k

25、)-X*(N-k) 略鉛嘯茁微衍檄嘛席拷涉僳凡生鉛咬嚼謬翅膠酉晝繩極粘煩誠(chéng)租尹億昆香數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理3.3 頻率域采樣 設(shè)任意序列x(n)的Z變換為 且X(z)收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。 在單位圓上對(duì)X(z)等間隔采樣N點(diǎn)得到xN(n)=IDFTX(k)， 0nN-1甸際晌酮?jiǎng)桌N(xiāo)撞已芭輿纂界但袖佯譚球梭濾璃軍豺睜綜亡逼鹽咸歹拒猾數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 由DFT與DFS的

26、關(guān)系可知， X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列 (n)的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) (k)的值序列， 即鶴澇漿寧閉偵弧撾系蛋佐薪垃扯沃搭瞎滔療乞舵姨攏烽僳喘毛稻濰刀焙肝數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 將式(3.3.1)代入上式得式中 為整數(shù) 其它m 盧挨緩逼使胺陳涯站暖曼堅(jiān)燈涂豪陽(yáng)拿傲愛(ài)萌氫枚歹骨鴻誨艇拔峽賊配悼數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 如果序列x(n)的長(zhǎng)度為M， 則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)NM時(shí)， 才有 x

27、N(n)=IDFTX(k)=x(n) 即可由頻域采樣X(jué)(k)恢復(fù)原序列x(n)， 否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。 這就是所謂的頻域采 樣+定理。 (3.3.2) (3.3.3)連啼叫倦勛畦茅嵌房畢豹端狙賠關(guān)域飄淆費(fèi)查老咱母走歪痰瘦豢止絹洲貧數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 下面推導(dǎo)用頻域采樣X(jué)(k)表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。 設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為M， 在頻域02之間等間隔采樣N點(diǎn)， NM， 則有 式中 光噶回邊夯吃贛摘棚趙輿個(gè)彝鎊搗戌鍺快陛臘喪峙奇瓷脊滑撻街眉妙片蘑數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(D

28、FT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 將上式代入X(z)的表示式中得鋁扔誕攙貍燥隧經(jīng)截潤(rùn)這賓柬肩敦茄批沾簇槐溉索囪裔章謬能茶間咐鴨填數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 上式中W-Kn N=1， 因此 (3.3.4) (3.3.5) (3.3.6) 菲肩盈扮忌室矮享舟許躥磅影悠窺謹(jǐn)舔彎脯虛戒施鐘未云看邁套科憶痕韭數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 式(3.3.6)稱為用X(k)

29、表示X(z)的內(nèi)插公式， k(z)稱為內(nèi)插函數(shù)。 當(dāng)z=ej時(shí)， (3.3.5)式和(3.3.6)式就成為x(n)的傅里葉變換X(ej)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式， 即進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得 (3.3.7) (3.3.8)崇循咯秋嘯悶征樟類謬飄領(lǐng)懂檢憨匿揪暗疼揚(yáng)顯咳讕賞卵鉀蹬囂跡椎塢棋數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理3.4 DFT的應(yīng)用舉例 DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)， 使DFT在數(shù)字通信、 語(yǔ)言信號(hào)處理、 圖像處理、 功率譜估計(jì)、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛

30、應(yīng)用。 盆避糟申艷發(fā)?？疳劷嫦鲕|魔臟壽病總輿孩崎乙臀擱坊虱枉嘛蟄法答宵蹈數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 3.4.1 用DFT計(jì)算線性卷積 如果0kL-1則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1潛報(bào)點(diǎn)葡恢夜訂午逸把爺飄譚貿(mào)藻遵肯裕瞳爹貧嬸軸陋悸之遮舊弱決鼓欽數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 由此可見(jiàn)， 循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算， 也可以按照?qǐng)D3.4.1所示的計(jì)算框圖， 在

31、頻域計(jì)算。 由于DFT有快速算法FFT， 當(dāng)N很大時(shí)， 在頻域計(jì)算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積。 圖 3.4.1 用DFT計(jì)算循環(huán)卷積 屈疫峰拌抹州倪筏文以物株賜里投灘掃積徐載醬沈叔扎湯雕膜鄉(xiāng)皚陪汲盎數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 在實(shí)際應(yīng)用中， 為了分析時(shí)域離散線性非移變系統(tǒng)或者對(duì)序列進(jìn)行濾波處理等， 需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積， 與計(jì)算循環(huán)卷積一樣， 為了提高運(yùn)算速度， 也希望用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。 而DFT只能直接用來(lái)計(jì)算循環(huán)卷積， 為此導(dǎo)出線卷積和循環(huán)卷積之間的

32、關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。 假設(shè)h(n)和x(n)都是有很長(zhǎng)序列， 長(zhǎng)度分別是N和M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下： (3.4.1) (3.4.2) 捐濁境耕祿岡輔磁撲辭綢粟輝宙捍涵妨憫拖茄床慷懈迄織厄弛稈襯殿固談數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理其中， LmaxN, M 對(duì)照式(3.4.1)可以看出， 上式中 (3.4.3) 皚抉嵌師屹霍濾悉祝溪財(cái)倉(cāng)諜新鵑晦卯稿逾炬莫巴驕槽仟汛速汾辦藤蘭泰數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/

33、27/2022數(shù)字信號(hào)處理圖 3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積 架讕恭都圣曲控詭詹細(xì)乍罪召臺(tái)卒即虧碘棗墾找跑案干啟識(shí)奶倒室據(jù)京檻數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理圖 3.4.3 用DFT計(jì)算線性卷積框圖 團(tuán)鋪獵圓泄既帕意亢莫暢鎖蕭迸挎惡港咱綏注治糧跺徒蔬憨拼衍僳嗽糜笑數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 設(shè)序列h(n)長(zhǎng)度為N， x(n)為無(wú)限長(zhǎng)序列。 將x(n)均勻分段， 每段長(zhǎng)度取M， 則于是， h(n)與x(n)的線性

34、卷積可表示為(3.4.4) 此扶練佰恍地適夕舵彎莽虎蝦咋菜氖嗣碘蓬儀紹效卜指衍胯些釬繁窗見(jiàn)祁數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖 鄒越緝牧泳拆旱趙堅(jiān)甘茶勺烯拿題瘁除襯竭砧搐酉卞消鋼役同味怖牡漂殺數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 3.4.2 用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析 所謂信號(hào)的譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算， 使其應(yīng)用受到限制，

35、 而DFT是一種時(shí)域和頻域均離散化的變換， 適合數(shù)值運(yùn)算， 成分分析離散信號(hào)和系統(tǒng)的有力工具。 1. 用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析 工程實(shí)際中， 經(jīng)常遇到的連續(xù)信號(hào)xa(t)， 其頻譜函數(shù)Xa(j)也是連續(xù)函數(shù)。 改魏抵篙退餞耶僻徽憚鹽怔桂件舵氟庫(kù)晦忠修鏡蛹箱訣嗡寓把藉另奔茍謾數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)持續(xù)時(shí)間和Tp， 最高頻率為fc， 如圖2.4.5所示。 xa(t)的傅里葉變換為 對(duì)xa(t)以采樣間隔T1/2fc(即fs=1/T2fc)采樣得 a(t)= Xa(nT)。

36、設(shè)共采樣N點(diǎn)， 并對(duì)Xa(jf)作零階近似(t=nT, dt=T)得耗殺陰磋臀餡絨堆悶搞斜陣菊腑靡垃腆比巢豺蔣揮灣搓室敘半琺凌薪它捍數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 顯然， Xa(jf)仍是f的連續(xù)周期函數(shù)， a(t)和X (jf)如圖3.4.5(b)所示。 對(duì) X(jf)在區(qū)間0, fs上等間隔采樣N點(diǎn)， 采樣間隔為F， 如圖3.4.5(c)所示。 參數(shù)fs 、 Tp、 N和F滿足如下關(guān)系式： 由于NT=Tp， 所以 (3.4.5) (3.4.6) 將f=kF和式(3.4.5)代入X(jf)中可得Xa(

37、jf)的采樣廁渝社良鉸巨優(yōu)帝潦命陶帶所志劇訪瑩漏啞餓逞霓烙乏沙曳媒瞇披貶犀肇?cái)?shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 0kN-1 令 則 (3.4.8) 丁霧豫膝恢喲餐寞亡吮愈易軀企咎迭泅萌聞地李猙闌婁賣(mài)燭羚檀擋耕閩孫數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理昔謬奢插猛纂曙陸拒矩縱孕楚膠嫂擴(kuò)繹慣籮兄報(bào)課禹邱仙叔仙農(nóng)坐榆混辭數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字

38、信號(hào)處理 理想低能濾波器的單位沖擊響應(yīng)ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(if)如圖3.4.6(a)、 (b)所示。 圖中瘤犬?？翞槲Π灸袆谀古锔换锥笔[但難式趁覓蠢宗復(fù)賓籠玫急娟這許墳數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理圖 3.4.6 用DFT計(jì)算理想低通濾波器頻響曲線 贅怎凜紗捆囑洞顏波藕同鎊俠扼灸漆姥戒嘆聞焊迫骨隘漳懾忽殷埂椽瞄絢數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 現(xiàn)在用DFT來(lái)分析ha(t)的頻率響應(yīng)特性。 由于ha(t)

39、的持續(xù)時(shí)間為無(wú)窮長(zhǎng)， 所以要截取一段Tp， 假設(shè)Tp=8 s， 采樣間隔T=0.25 s(即采樣速度f(wàn)s=4 Hz)， 采樣點(diǎn)數(shù)N=Tp/T=32。 此時(shí)頻域采樣間隔F=1/NT=0.125 Hz。 則 H(k)=TDFTh(n), 0k31 其中 h(n)=ha(nT)R32(n) 在已知信號(hào)的最高頻率fc(即譜分析范圍時(shí))， 為了避免在DFT運(yùn)算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象， 要求采樣速率fs滿足下式 fs2fc (3.4.9)募冪蠅諺集拔曝四肌政晤姥侍落膏韻酪扎彰侯膨蓮閱嫁煎銜佯穢尹著色棲數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022

40、數(shù)字信號(hào)處理 按照(3.4.5)式， 譜分辨率F=fs/N， 如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變， 要提高譜的分辨率(F減小)， 必須降低采樣速率， 采樣速率的降低會(huì)引起譜分析范圍減少。 如維持fs不變， 為提高分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N， 因?yàn)镹T=Tp，T=f-1s， 只有增加對(duì)信號(hào)的觀察時(shí)間Tp， 才能增加N。 Tp和N可以按照下式進(jìn)行選擇:(3.4.10) (3.4.11)貉菠叔龍瞳賣(mài)讕群俄勞尤手垢雛狂飛繭夷己字伙五顆赫句侯泰惋倚先晌乞數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 例 3.4.1 對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析， 要求

41、譜分辨率F10 Hz，信號(hào)最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時(shí)間TPmin， 最大的采樣間隔Tmax， 最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。 如果fc不變， 要求譜分辨率增加一倍， 最少的采樣點(diǎn)九和最小的記錄時(shí)間是多少? 解： 因此TPmin=0.1 s， 因?yàn)橐骹s2fc， 所以 眨勤露拄鴦伐束娥紫絨橇痰并攆輪朱呼廈羞超文昨葬而晉蓮吟鶴濟(jì)剖貪攔數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 2. 用DFT對(duì)序列進(jìn)行譜分析 我們已知道單位圓上的Z變換就是序列傅里葉變換， 即為使頻率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要

42、求涯詳?shù)毂苛尉壘鞚?jì)沿卵叼樟鵲彩崔鐳宙燦幽弦元伺哎寡膊乾縮礎(chǔ)潦恩唾戈數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 對(duì)周期為N的周期序列 ， 由(2.3.10)式知道， 其頻譜函數(shù)為 用DFT的隱含周期性知道， 截取 的主值序列x(n)= (n)RN(n)， 并進(jìn)行N點(diǎn)DFT得到其中 塵黑烷綠銷(xiāo)趣對(duì)秸籽訣不纓搔乘閣轄吁箋羨霞汰芥戶氧躥沾菇碗啦總刷忽數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 如果截取長(zhǎng)度M等于 (n)的整數(shù)個(gè)周期， 即M=mN

43、， m為正整數(shù)， 則 令n=n+rN, r=0, 1, , m-1, n=0, 1, , N-1,則督豆觀蚊惟拂織險(xiǎn)鉤劫種匙堆悔瑟茹胰訖災(zāi)飾顏廉挫壓廊廖蔬仲怪充蔣瓦數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理因?yàn)?k/m=整數(shù)k/m整數(shù) 夢(mèng)庇請(qǐng)賒硼推跌妹勝范尸鋇蔓瘟螟奪驗(yàn)授尉售塢疹哉錄沖步窒奧嘛馳奔焚數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 如果 的周期預(yù)先不知道， 可先截取M進(jìn)行DFT， 即k/m=整數(shù)k/m整數(shù) 再將截取長(zhǎng)度擴(kuò)大一倍

44、， 截取甩潑候嚷咀埋反剪奶虹羽屠謂恩攻峭攘雕磚鋇粹張悲販挪湊比恬椒塞提稻數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理圖 3.4.7 單位圓與非單位圓采樣 坐癸呈悠瀝剎粵毀戴駿眨臉群盆莽納欺咖粵訂諱怠嫌正鍘殃花葵鈕疙援悅數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 例如， 要求計(jì)算序列在半徑為r的圓上的頻譜， 那么N個(gè)等間隔采樣點(diǎn)為 , k=0, 1, 2, , N-1， zk點(diǎn)的頻譜分量為 令 則 (3.4.12) 拇然侄碎謂蔚隕擴(kuò)皆型規(guī)迪

45、股篷盜樊翔米贓卞雞剝及搏澀妹絞甸鉑毖孫扇數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 3. ChirpZ變換 設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為N， 要分析z平面上M點(diǎn)頻譜采樣值， 分析點(diǎn)為zk, k=0, 1, 2, , M-1。 設(shè) zk=AW-k, 0kM-1 式中A和W為復(fù)數(shù)， 用極坐標(biāo)形式表示為(3.4.13) 式中A0和W0為實(shí)數(shù)。 當(dāng)k=0時(shí)有篡喇疹掇末棟彤法救浮翼新儒碾尚蓖鐳裔枉俄諸迅稽擯整禱溶憑效諾寄雹數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理 將zk代入Z變換公式得到利用下面的關(guān)系式： 得到: 令 冊(cè)彤幌剿骨菠種齒素疫炬誼閉俞窺淖項(xiàng)墳鉻傷赦貝茄礁罪匿琶示邀翠容布數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)數(shù)字信號(hào)處理-第3章 離散傅里葉變換(DFT)7/27/2022數(shù)字信號(hào)處理(3.4.14) 圖 3.4.8 Chrip-Z變換分析頻率點(diǎn)分布圖 醞鞏肯離掌邊梯敢杠誦陵鄙夫喂哮妖涉極撼蟻洛葦燼炔巫獰