有限長均勻帶電桿的簡單復(fù)合體的空間電場分布

1、有限長均勻帶電桿及其簡單復(fù)合體的空間電場分布鄧曉宇摘要利用教材中有限長帶電桿的電場分布的結(jié)論，將正四邊形均勻帶電體，田字形均 勻帶電體視為多段帶電直棒，在空間中采取分段計算然后利用場的疊加原理，導(dǎo)出帶電正方 形桿，可變田字形桿的普遍表達式，并由此創(chuàng)新性的拓展研究兩個正方形桿，兩個田字形桿 的空間相互作用的空間電場分布，利用DTP平臺編程畫出其電場的空間分布圖形。關(guān)鍵詞帶電正方形桿，田字形桿;分段計算;疊加原理；空間電場分布；DTP平臺O引言電場強度的計算是電磁學(xué)中的一個常見問題，在各種帶電體中，具有中心對稱性的帶 電細圓環(huán)或薄圓盤的研究比較多，方法也多種多樣，而對不具有中心對稱性的矩形或正方

2、形的帶電體則研究得很少，本文從教材中一個例題的結(jié)果引出，將均勻帶電正方形桿，田 字形桿視為多段帶電直棒，采取分段計算然后利用場的疊加原理，導(dǎo)出均勻帶電正方形桿， 田字形桿空間電場分布的普遍表達式，并由此拓展研究兩個正方形桿，兩個田字形桿的空 間相互作用的空間電場分布，最后利用DTP平臺編程畫出其電場的空間分布圖形。1一段均勻帶電細棒的空間電場分布一般來說應(yīng)從點電荷的場利用疊加原理可計算限線電荷，面電荷，體電荷的場，但是， 往往處理積分特別是多重積分會遇到計算上的困難，有限長直線均勻帶電體的電場有一個 解析表達式，利用這一結(jié)果，可以較方便的處理很多問題，其結(jié)果如下：如圖1所示，均 勻帶電細棒的線

3、電荷密度為人，直棒外一點P到直棒的距離為a，點P至棒兩端的連線與直棒之間的夾角分別為a和&，則p點的場強為:Ex = (sin P - sin a)；4兀a人Ey =( c ocs - c o g )i4nea這是大學(xué)物理學(xué)教材中的結(jié)論，若點P到直棒的垂足為0,0到直棒兩端的距離分別為， 叫，則P點的場強為:Ex =二(，-J - ,)(1)4雙寸 2 + a2J(+a2（2）Ey = - (1+4na l2 + a2 v 1由公式（1）和（2）并將其擴展至三維坐標(biāo)系中有:Ex =(/+y )4兀 (x 2 + z 2)(l + y )2 + x 2 + z 2(l y )2 + x 2 +

4、z 2Ey =上(,1 4兀8 ，v(l y )2 + x 2 + z 2,).M(l + y )2 + x 2 + z 2(3)(4)Ez =-(一4雙(x 2 + z 2) Jl + y )2 + x 2 + z 2+ .)、:(l y)2 + x2 + z2(5)根據(jù)上述公式就可以利用DTP平臺做出其空間電場分布的圖形，如圖2圖2有限長均勻帶電桿的空間電場分布2帶電正方形線圈的空間電場強度計算及作圖利用上述結(jié)論還可以較方便的討論許多問題，例如均勻帶電平面的場，平行平板電容 器的場，圓內(nèi)接正多邊形均勻帶電線的場，環(huán)形均勻的場等。這里以正四邊形的空間電場分 布為例作具體的研究討論，并利用DT

5、P平臺作出正四邊形均勻帶電體的場的空間電場分布 情況，并且由得出的結(jié)論作出可變田字形，兩個正四邊形，兩個田字形均勻帶電體的空間電 場分布情況作為創(chuàng)新性的擴展研究，使關(guān)于這一系列的問題的討論更加全面，更加直觀。如圖3所示，取正方形線圈的中心為坐標(biāo)原點，平行于水平邊向右為x軸正方向，垂 直于紙面向內(nèi)的方向為y軸的正方向，z軸垂直于線圈平面，設(shè)正方形線圈邊長為21，場 點P的坐標(biāo)為（x,y,z），先計算帶電的BC邊在P點產(chǎn)生的場強。由圖3可知：圖3均勻帶電正四邊形的空間電場分析a = PQ =、.(/ x)2 + z2(6)11= BQ = l + y(7)12 = QC = l - y(8)將式(

6、6)、式和式(8)代人式(1)和式(2)可得帶電的BC邊在P點產(chǎn)生的場強在Y方向和 QP方向的分量分別為：(11)4雙v； (l y)2+(l x)2+ Z2.板(l +y)2 + (l x)2+Z2EBC y(9)EQPl-y: (. + 4兀(l x)2 + z2 y (l + y)2 + (l x)2 + z2p (l y)2 + (l x)2 + z2再把QP方向的場強分解到x和y方向：EBCxEqp Cos ZPQP4 雙(l x)2 + z 2 ；;(l + y )2 + (l x)2 + z 2 + t (l y )2 + (l x)2 + z 2(10)EBCz Eqp Sin

7、ZPQP 4雙(l x)2 + z2(l + y)2 + (l x)2 + z2 /(l y)2 + (l x)2 + z2)(11) 用同樣的方法可求得其它帶電的三條邊在p點產(chǎn)生的場強，其中帶電的CD邊在p處產(chǎn)生的 場強為：E =二(.1- ,1)(12)CDx4兀 %，(l x)2 + (l y )2 + z 2：(l + x)2 + (l y )2 + z 2ECD yX (l y)4 雙(l y)2 + z 2l+xlx+ .)(l x)2 + (l y)2 + z 2(13)(14)E =Xz(l + x+l x)CD,4雙(l y)2+z2打 + x)2 + (l y)2+ z2J

8、l x)2+ (l y)2+ z2帶電的DA邊在P處產(chǎn)生的場強為:EDAyA -4雙(l y )2 + (l + x)2 + z 21、.:(l + y )2 + (l + x)2 + z2EDAxX (l + x)( l + yl - y )4兀研(l +x)2 +z2y(1+y)2 + (l +x)2 + z2 y(l y)2 + (l + x)2 + z2(15)(16)(17)AB邊電荷在P處產(chǎn)生的場強為:入E =(,=,)AB4雙x；(l x)2 + (l + y )2 + Z 2 x：(l + x)2 + (l + y )2 + Z 2EAB y(.=+ ，4兀研(l + y)2

9、+ z2 t(l + x)2 + (l + y)2 + z2 i(l 一 x)2 + (l + y)2 + z2E _人z(l + x+l x)ABz4雙(l + y)2 + z2 加 + x)2 + (l + y)2 + z2；(l- x)2 + (l + y)2 + z2(18)(19)(20)EDAz 4雙(l + x)2 + z2 L(l + y)2 + (l + x)2 + z2 ；(l - y)2 + (l + X)2 + Z2 )依據(jù)前面各式帶電正方形線圈在p點產(chǎn)生的場強E的分量表達式為:E_ E+ E+E+E(21)xABxBCxCDxDAxE_ E+ E+E+E(22)yAB

10、yBCyCDyDAyE_ E+E+E+E（23）zABzBCzCDzDAz由此結(jié)果可以作出正四邊形均勻帶電體的空間電場分布情況如圖4所示：3基于正四邊形均勻帶電體空間電場分布情況的創(chuàng)新性擴展研究1.在均勻帶電細棒的空間電場分布和正四邊形均勻帶電體電場分布的基礎(chǔ)上將這兩種帶 電體放在同一空間，討論其復(fù)合電場在空間的分布情況，電場分布的解析解可由與上訴 求解正四邊形均勻帶電體的相同的方法并利用疊加原理求出，這里不再寫出具體的求解 方程（下同），其空間電場分布的情況如下圖5所示：2.基于同樣的原理我們可以繼續(xù)作出兩個正四邊形均勻帶電體（圖6）以及兩個田字形均 勻帶電體（圖7）的空間電場分布情況圖：圖6兩個正四邊形均勻帶電體的空間電場分布圖7兩個田宇形均勻帶電體的空間電場分布根據(jù)上述討論，我們由此可以找到處理這一系列問題的方法，不僅如此，利用公式（1） （2）以及