機械優(yōu)化設計實驗報告

1、目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 摘要31緒論41.1實驗目的4 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 1.2實習內容42 一維搜索方法42.1黃金分割法4黃金分割法基本思路4 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 黃金分割法流程圖4 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 題目5 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 源程序代碼及

2、結果5 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document 2.2牛頓型法6牛頓型法基本思6 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 阻尼牛頓法的流程圖7 HYPERLINK l bookmark41 o Current Document 題目7 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 源程序代碼及結果82.3fminbnd 法92.3.1fminbnd 法的基本思想9 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 源程序代碼及結果9 H

3、YPERLINK l bookmark54 o Current Document 2.4三種一維搜索方法的比較103無約束優(yōu)化方法103.1牛頓型法10牛頓型法的基本思想10 HYPERLINK l bookmark62 o Current Document 牛頓法的流程圖10 HYPERLINK l bookmark65 o Current Document 題目11 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 源程序代碼及結果11遺傳算法13遺傳算法的基本思想13 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 遺

4、傳算法的流程圖13 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 源程序代碼及結果143.3多維無約束優(yōu)化的MATLAB求解函數fminsearch法15 HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 3.3.1fminsearch 法的基本思想15題目16 HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 源程序代碼及結果163.4三種無約束優(yōu)化方法的比較164約束優(yōu)化方法174.1外點懲罰函數法17外點懲罰函數法的基本思想17 HYPERLINK l bookmark95 o Cu

5、rrent Document 題目17 HYPERLINK l bookmark98 o Current Document 源程序代碼及結果184.2遺傳算法19遺傳算法的基本思想19 HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 遺傳算法的流程圖19 HYPERLINK l bookmark108 o Current Document 題目20 HYPERLINK l bookmark111 o Current Document 源程序代碼及結果21 HYPERLINK l bookmark114 o Current Document 4.3兩種有約束

6、優(yōu)化的比較22 HYPERLINK l bookmark117 o Current Document 結論23 HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 參考文獻24 HYPERLINK l bookmark123 o Current Document 致謝25摘要本文主要講述了機械優(yōu)化設計中應用到的一些優(yōu)化方法的原理及其程序。優(yōu) 化設計是將最優(yōu)化原理和計算技術應用于設計領域，為工程設計提供一種重要的 科學設計方法。利用這種新的設計方法，人們可以從眾多的設計方案中尋找出最 佳的設計方案，從而大大提高設計效率和質量。因而優(yōu)化設計是現(xiàn)代設計理論和 方法的

7、一個重要領域，它已廣泛應用于各個工業(yè)部門。主要針對一維優(yōu)化問題、無約束優(yōu)化問題、有約束優(yōu)化問題三類，分別采用 黃金分割法、牛頓法（切線法牛頓型法、遺傳算法、外點懲罰函數法及matlab 優(yōu)化工具箱中的fminbnd、fminsearch、fmincon函數優(yōu)化。關鍵詞 優(yōu)化設計，黃金分割法，牛頓法，牛頓型法，遺傳算法，fminbnd，fminsearch，fmincon1緒論1.1實驗目的機械優(yōu)化設計是一門實踐性很強的課程，學生通過實驗上機計算達到以下目 的：1加深對機械優(yōu)化設計方法的基本理論和算法步驟的理解。2培養(yǎng)學生獨立編制計算機程序的能力。3掌握常用優(yōu)化方法程序的使用方法。4培養(yǎng)學生靈活

8、運用優(yōu)化設計方法解決工程實際問題的能力。1.2實習內容1 一維搜索法程序的編制、調試和考核（0.618法和二次插值發(fā)任選一種）。2無約束優(yōu)化方法程序的編制、調試和考核。3閱讀理解已在計算機上調試好的約束優(yōu)化方法程序，了解程序的結構特 點，掌握程序的使用方法。2一維搜索方法2.1黃金分割法黃金分割法基本思路黃金分割法適用于a，b區(qū)間上的任何單股函數求極小值問題，對函數除要 求“單谷，外不做其他要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應面非常廣。 黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎上的試探方法，即在搜索區(qū)間a，b 內適當插入兩點a1，a2，并計算其函數值。a1，a2將區(qū)間分成三段，應用函數 的

9、單谷性質，通過函數值大小的比較，刪去其中一段，是搜索區(qū)間得以縮小。然 后再在保留下來的區(qū)間上作同樣的處理，如此迭代下去，是搜索區(qū)間無限縮小， 從而得到極小點的數值近似解。黃金分割法流程圖黃金分割法流程圖如圖2-1所示：圖2-1黃金分割法流程圖題目對函數min f (t) = t 2 - 10t + 36，試用黃金分割法求其最優(yōu)解。源程序代碼及結果1源程序代碼tic啟動計時器f=inline(t八2-10火t+36)%a=-10;b=10;eps=0.001; a1=b-0.618*(b-a);y1=f(a1); a2=a+0.618*(b-a);y2=f(a2); while(abs(b-a)

10、eps)if (y1=y2)a=a1;a1=a2;y1=y2;a2=a+0.618*(b-a);y2=f(a2);elseb=a2;a2=a1;y2=y1;a1=b-0.618*(b-a);y1=f(a1);endendt1=toc關閉計時器，并顯示解方程所用的時間x=0.5*(a+b)fmin=xA2-10*x+362結果如圖2-2圖2-2黃金分割法計算結果2.2牛頓型法 牛頓型法基本思在xk領域內用一個二次函數甲(x)來近似代替原目標函數，并將平(x)的極小 點作為目標函數f (x)求優(yōu)的下一個迭代點Xk+1。經多次迭代，使之逼近目標函數 f (x)的極小點。阻尼牛頓法的流程圖阻尼牛頓法流

11、程圖如圖2-3所示:圖2-3阻尼牛頓流程圖題目對函數 min f (t) = t 2 - 10t + 36，試用牛頓法求其最優(yōu)解。源程序代碼及結果1源程序代碼function f=findmins()ticjd=0.001;cs = 0;a=1 -10 36 ;b1=polyder(a);b2=polyder(b1);cs1=10while abs(cs-cs1)=jdt1=polyval(b1,cs);t2=polyval(b2,cs);cs1=cs;cs=cs1-t1/t2;endf2=poly2str(a,x)disp(最優(yōu)解為:)x=csf1=polyval(a,cs)t1=tocen

12、d2結果如圖2-4%啟動秒表計時器%精度初始化%生成多項式%對多項式求一階導數%迭代收斂性判斷導數賦值%顯示最優(yōu)解%關閉計時器，并顯示解方程所用的時間2.3fminbnd 法法的基本思想fminbnd函數可以計算一元函數最小值優(yōu)化問題，它用于求解一維設計變量 在固定區(qū)間內的目標函數的最小值，即最優(yōu)化問題的約束條件只有設計變量的 上、下界。其求解的算法是基于黃金分割法和拋物線插值法。源程序代碼及結果1源程序代碼tic ;%啟動秒表計時器x1=-10;x2=10;yx=(x)(x八2-10*x+36);%采用匿名函數定義被求極小值的函數xn0,fval,exitflag,output=fminbn

13、d(yx,x1,x2) %xn0,fval分別為極值點和極小 值t1=toc%關閉計時器并顯示解方程所用的時間2結果如圖2-5如圖2-5 fminbnd計算結果2.4三種一維搜索方法的比較根據前邊三種方法計算的結果統(tǒng)計表如下表2-1及運行時間如柱形圖2-6 所示。表2-1三種方法計算結果統(tǒng)計表優(yōu)化方法運行時間（s）所求極值點黃金分割法0.02675.0002阻尼牛頓法0.00185fminbnd 法0.00375.00000.03f0.0250.020.0150.010.005黃金分割法阻尼牛頓法fminbnd法0圖2-6運行時間柱形圖由上述圖2-6可以直觀明了的表明阻尼牛頓法的運行所用的時間

14、最短。通過 對比可以表明牛頓法的最大優(yōu)點是收斂速度快，這是牛頓法所具有的優(yōu)越性。從 表2-1可以發(fā)現(xiàn)fminbnd的計算結果的精度比較高。3無約束優(yōu)化方法3.1牛頓型法牛頓型法的基本思想為了尋找收斂速度快的無約束最優(yōu)化方法，我們考慮在每次迭代時，用適當 的二次函數去接近目標函數f，并用迭代點指向近似二次函數極小點的方向來構 造搜索方向，然后精確地求出近似二次函數的極小點，以該極小點作為f的極小 點的近似值。牛頓法的流程圖牛頓法流程圖如圖3-1所示圖3-1牛頓法的流程圖題目對函數min f (x) = (x2 + x -11)2 +(x + x2 -7)2 ；初始點:x0 = 1,1t。用牛 頓

15、型法來求其最優(yōu)解。1212源程序代碼及結果1源程序代碼function ff=findmin() clear alltic%啟動秒表計時器mt=sym( (x1八2+x2-11)八2+(x1+x2八2-7)八2); f1=diff(mt,x1);diff(mt,x2); qt1=diff(mt, x1,2);%mt關于x1 求二階導數qt2=diff(mt,x2,1); qt2=diff(qt2,x1,1); qt3=diff(mt,x2,1); qt3=diff(qt3,x1,1);qt4=diff(mt,x2,2); f2=qt1,qt2;qt3,qt4; xx=1;1;%36EIoAzz

16、=1;1; while norm(double(zz)0.001 yy=xx; f3=subs(f1 x1,xx(1); f3=subs(f3 x2,xx(2); f4=subs(f2 x1,xx(1); f4=subs(f4 x2,xx(2); g1=-inv(f4)*f3; b1=sym b1); xx=yy+b1*g1;f5=subs(mt x1,xx(1); f5=subs(f5 x2,xx(2); sw2=sym2poly(f5);sw1=polyder(sw2); if sw1=0dwj=eval(f5); elsewe=roots(sw1); for t=1 : length(w

17、e) cc(t)=polyval(sw2,we(t);end hi=find(cc=min(min(cc); digits(8);qq=vpa(we(hi); endxx=yy+qq*g1; zz=xx-yy;end disp(最優(yōu)解為：) xxf6=subs(mt,x1,xx(1); f7=subs(f6 x2,xx(2); f=fix(f7) t1=toc end2結果如圖3-2%用xx1置換f1中x1后產生f3%矩陣的逆%符號多項式轉化為數值多項式系數%對多項式求導%求多項式的根%確定數組的長度%求多項式的值%尋找滿足條件的數組元素下標%控制符號數值的有效數字位數%給出數值型符號結果%關

18、閉計時器并顯示解方程所用的時間圖3-2牛頓法計算結果3.2遺傳算法遺傳算法的基本思想遺傳算法是一種基于自然選擇和遺傳變異等生物機制的全局性概率搜索算 法。與基于導數的解析方法和其他啟發(fā)搜索方法一樣，遺傳算法在形式上也是一 種迭代方法?；镜倪z傳算法通過對某一代種群經過對生物基因的復制、變換和 變異，特產生新一代種群。再重復此過程，直到群體或最優(yōu)點的性能達到滿意程 度。遺傳算法的流程圖遺傳算法流程圖如圖3-3所示圖3-3遺傳算法流程圖題目對函數min f (x) = (x2 + x -11)2 +(x + x2 -7)2 ；初始點:x0 = 1,1t。用牛頓型法來求其最優(yōu)解。1212源程序代碼及

19、結果1源程序代碼function f=rastrigin(x);f=(x(1)八2+x(2)-11)八2+(x(1)+x(2)八2-7)八2tic;fitnessFunction= rastrigin;options=gaoptimset;options=gaoptimset(options, PopulationSize, 500);options=gaoptimset(options, PopInitRange,0,5;0,5);options=gaoptimset(options, CrossoverFraction,0.85);options=gaoptimset(options,Mi

20、grationFraction,0.15);options=gaoptimset(options, Generations, 500);t1=toc;2結果如圖3-42結果如圖3-4x,fval,exitflag=ga(fitnessFunction,nvars,options)File Edit Debug Parallel Desktop Window HelpD &舶唁jO*參苗回 砂I機械憂化設計Etlal作業(yè)報告司Q畫Shortcuts f How to Add 便I Whats NewCommand WindowT New to MATLAB? Watch this Wideci,

21、 see 巳itice, or read Gettin邙.：Start次,Optimization terminated: average change in the fitness value le thanK =2；99572. 0050fval =6.9025e-004esitflag =6, 9436圖3-4遺傳算法計算結果窣增始工如士八兒心“AE An 4切 3A。一，法的基本思想2結果如圖3-52結果如圖3-5fminsearch進行尋優(yōu)的算法基于不使用梯度的單純形法。fminsearch解決 的是多維函數的尋優(yōu)問題，而且在fminsearch中指定的是初始點。Fminsearch

22、 的尋優(yōu)過程實際上是在初始點附近找到最優(yōu)化問題目標函數的一個局部極小點。 題目對函數min f (x) = (x2 + x -11)2 +(x + x2 -7)2 ；初始點:x0 = 1,1t。用牛 頓型法來求其最優(yōu)解。1212源程序代碼及結果1源程序代碼tic;v0 = 1,1 x,fval,exitflag,output = fminsearch(two_var,v0) t1=toc;忡??？File Edit Debug Parallel Desktop Window HelpD 舶唁號0*盤司國 W |機械憂化設計Etlal作業(yè)報告司Q畫 Shortcuts f How to Add z

23、l WhatNewCommand WindowiT- New to MATLAB? Watch this Wld&n, see or read Gettinci Start次,3. 00002. 0000fval =2339e-008esitflag =output =funcCount:明圖 3-5 fminsearch 法計算結果1.4三種無約束優(yōu)化方法的比較x direct Eearch,message: 1x196 char0.0082根據前邊三種方法計算的結果統(tǒng)計表如下表3-1及運行時間如柱形圖 3-6所示。表3-1三種方法計算結果統(tǒng)計表優(yōu)化方法運行時間所求極值點牛頓型法2.2290

24、3.02.0遺傳算法6.94362.99572.0050fminsearch 法0.00823.00002.00007654321牛頓型法遺傳算法fminsearch圖3-6運行時間柱形圖由上述圖3-6可以直觀明了的表明fminsearch法的運行所用的時間最短。 遺傳算法所用的時間比較長，這是由于遺傳算法并行的方式從問題解的串集開始 嫂索，而不是從單個解開始。這是遺傳算法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的極大區(qū)別。傳統(tǒng)優(yōu) 化算法從單個初始值迭代求最優(yōu)解的；容易誤入局部最優(yōu)解。遺傳算法從串集開 始搜索，覆蓋面大，利于全局擇優(yōu)。從表3-1可以發(fā)現(xiàn)遺傳算法的計算精度比較 低。4約束優(yōu)化方法4.1外點懲罰函數法外點懲

25、罰函數法的基本思想外點法將新目標函數0 (x,r)構筑在可行域D夕卜，隨著懲罰因子r(k) 的不斷遞減，生成一系列新目標函數0 (xk ,r(k)，在可行域內逐步迭代，產生 的極值點xk*(r(k)序列從可行域內部趨向原目標函數的約束最優(yōu)點x*。題目對函數min f (x) = x3(x1 -3)2 -9)/2A3 ；s.t. g (x) = x x I ：3 0 121_g (x) = x + x / % 3 0 g (x) = x + x / %/3 - 6 0g 4( x)=-氣 0g 5 (x) = x2 0.001)ll(norm(double(xx-xxx)0.001)xxx=xx

26、;f5=subs(f3,x1,xxx(1);f5=subs(f5,x2,xxx(2);f3=f1+r*f2;f4=subs(f3,x1,xx(1);f4=subs(f4,x2,xx(2);de=subs(f3,x1,x(1);de=subs(de,x2,x(2);de=char(de);se,fr=fminsearch(de,1;5);xx=se(1);se(2)r=c*r;enddisp（最優(yōu)解為:）xxfe=subs(f1,x1,xx(1);fe=subs(fe,x2,xx(2)2結果如圖4-1圖4-1外點懲罰函數法計算結果4.2遺傳算法遺傳算法的基本思想遺傳算法是一種基于自然選擇和遺傳變

27、異等生物機制的全局性概率搜索算 法。與基于導數的解析方法和其他啟發(fā)搜索方法一樣，遺傳算法在形式上也是一 種迭代方法?；镜倪z傳算法通過對某一代種群經過對生物基因的復制、變換和 變異，特產生新一代種群。再重復此過程，直到群體或最優(yōu)點的性能達到滿意程 度。遺傳算法的流程圖遺傳算法流程圖如圖4-3所示圖4-3遺傳算法流程圖題目對函數min f (x) = x3(x1 -3)2 -9)/27貶；s.t. g (x) = x x / 焰 0g (x) = x + x / 13 0g (x) = x + x / * 3 - 6 0g 4( x) = x1 0g 5 (x) = x2 0初始點：x0 = 1

28、,5T,源程序代碼及結果1源程序代碼function y=lincontest6(x)y=x(2)八3*(x(1)-3)八2-9)/(27火sqrt(3);dy=2*x(2)八3*(x(1)-3)/(27火sqrt(3);3*x(2)八2*(x(1)-3)八2-9)/(27火sqrt(3 );tic;A=(-1)/sqrt(3) 1;-1 1/sqrt(3);1 1/sqrt(3);b=0; 0; 6;lb=zeros(2,1);x,fval,exitflag=ga(lincontest6,2,A,b,lb)t1=toc2計算結果如圖4-4圖4-4遺傳算法計算結果4.3兩種有約束優(yōu)化的比較根據前邊兩種方法計算的結果統(tǒng)計表如下表3-1。表3-1兩種方法計算結果優(yōu)化方法計算結果