數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)初等模型

1、數(shù)學(xué)建模培訓(xùn) 初等(chdng)模型曹可二九年四月共四十八頁 一、數(shù)列(shli)建模 數(shù)列(shli)是最基本的概念之一。 1805年，英國和法國進行了一場慘烈的海戰(zhàn)。其中，尼爾 森擔(dān)任英國統(tǒng)帥，他的對手則是大名鼎鼎的拿破侖。尼爾森的 艦隊有27艘戰(zhàn)艦，而拿破侖的艦隊卻有33艘戰(zhàn)艦。根據(jù)以往的 戰(zhàn)爭經(jīng)驗，若兩軍相遇，一方損失兵力大約是對方兵力的10。 如果按照這一公式計算，顯然人多勢眾的法軍將獲勝，而且在 第11次遭遇戰(zhàn)中全殲英軍，如表所示。n1234567891011Bri27.023.720.717.915.312.910.68.56.54.52.7Fra33.030.327.925.9

2、24.122.521.320.219.318.718.2 模型1：誰將是勝利者共四十八頁 但是，尼爾森將軍成功的運用了逐個擊破的策略，扭轉(zhuǎn)劣 勢轉(zhuǎn)敗為勝，還差一點全殲法軍。經(jīng)此一戰(zhàn)，英國(yn u)大大鞏固了 它在海上的霸權(quán)。 當(dāng)時法軍艦隊分在三處，分別為A處（3艘）、B處（17艘）、 C處（13艘），彼此相距很遠。尼爾森將軍收集(shuj)了豐富的情報 以后，當(dāng)機立斷，制定以下作戰(zhàn)方案：先派13艘戰(zhàn)艦進攻法軍 A隊，勝利后盡快與留守港口的14艘戰(zhàn)艦匯合，一起進攻法軍B 隊，最后，乘勝追擊，集中所有剩余兵力，圍攻法軍C隊。 現(xiàn)保守估計，每一場遭遇戰(zhàn)，法軍損失兵力大約是英軍的 5，列表如下計算：

3、共四十八頁n1234Bri13.012.712.512.4Fra3.02.41.71.1戰(zhàn)役(zhny)A情況戰(zhàn)役B情況（法軍在戰(zhàn)役A中逃脫的1艘戰(zhàn)艦加入(jir)戰(zhàn)斗）n123413141516Bri26.025.124.323.519.118.818.618.5Fra18.016.715.414.24.73.82.81.9共四十八頁戰(zhàn)役(zhny)C情況（法軍剩余兵力全部參加戰(zhàn)斗）n123414151617Bri19.018.317.617.013.213.012.812.7Fra14.013.112.111.33.83.12.41.8 最后英軍戰(zhàn)勝了法軍，而且雙方傷亡情況與歷史事實也很

4、相近。當(dāng)年，英軍在戰(zhàn)役A和戰(zhàn)役B中戰(zhàn)勝法軍，但法軍沒有增 援C，而是選擇了撤退，大約有13艘戰(zhàn)艦(zhnjin)退回法國海港。 點評：數(shù)學(xué)建模以解決某現(xiàn)實問題為目的，從問題中抽象 并歸結(jié)出來的數(shù)學(xué)問題。從現(xiàn)象到模型，數(shù)學(xué)建模必須反映現(xiàn) 實，既然是一種模型，它就不是現(xiàn)實問題的全部復(fù)制，常常會 忽略一些次要因素，作一些必要的簡化，但本質(zhì)上必須反映現(xiàn) 實問題的數(shù)量規(guī)律。共四十八頁 模型(mxng)2：動態(tài)系統(tǒng)中的平衡點 模型2.1：出租車的調(diào)配(diopi)問題 一家出租車公司有出租車7000輛，在甲地和乙地各有一家 分支機構(gòu)，專門負責(zé)為旅游公司提供出租車。由于甲地和乙地 距離不遠，出租車每天可以往

5、返兩地。根據(jù)公司統(tǒng)計的歷史數(shù) 據(jù)，每一天甲地的車輛有60%前往乙地后返回甲地，余下40% 前往乙地并留在乙地分支機構(gòu)；而每一天乙地的車輛有70%前 往甲地后返回乙地，余下30%前往甲地并留在甲地分支機構(gòu)。 現(xiàn)在公司擔(dān)心出現(xiàn)甲、乙兩地車輛分布越來越不平衡的情況， 如果出現(xiàn)，公司就必須考慮是否對甲乙兩地車輛進行調(diào)配，這 就需要支付一定的調(diào)度費用。 試對上述問題提出決策分析！共四十八頁甲地乙地40%30%60%70% 分析：設(shè)Jn為第n天在甲地的出租車數(shù)量，Yn為第n天在乙 地的出租車數(shù)量，由歷史統(tǒng)計(tngj)規(guī)律可知 如果(rgu)存在平衡狀態(tài)，即Jn= Jn1及 Yn= Yn1，解得 這就說明

6、，甲地分配3000輛車，乙地分配4000輛車，則此 后兩地車輛數(shù)目不變，即達到平衡狀態(tài)。（如表1）共四十八頁n1234.n.甲地3000300030003000.3000.乙地4000400040004000.4000.表1 進一步分析：如果甲地、乙地的車輛不是3000和4000時， 甲地和乙地的車輛數(shù)量(shling)則每天都在變動，是否會出現(xiàn)不平衡， 是否需要進行調(diào)配？n01234567甲地70004200336031083032.43009.723002.9163000.875乙地02800364038923967.63990.283997.0843999.125表2 車輛數(shù)量(shli

7、ng)模擬（一）共四十八頁n01234567甲地50003600318030543016.23004.863001.4583000.437乙地20003400382039463983.83995.143998.5423999.563表3 車輛(chling)數(shù)量模擬（二）n01234567甲地20002700291029732991.92997.572999.2712999.781乙地50004300409040274008.14002.434000.7294000.219表4 車輛(chling)數(shù)量模擬（三）共四十八頁n01234567甲地02100273029192975.72992.7

8、12997.8132999.344乙地70004900427040814024.34007.294002.1874000.656表5 車輛數(shù)量(shling)模擬（四） 經(jīng)過(jnggu)模擬（表2表5），可以知道無論車輛如何分配，經(jīng) 過有限天數(shù)后，最終都將達到平衡狀態(tài)。Jn的極限是3000， Yn的極限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）為該 動態(tài)系統(tǒng)的平衡點，而且是穩(wěn)定的平衡點（不動電）！ 點評：上述問題，如果沒有進一步分析就略顯平庸！數(shù)學(xué) 建模是一個迭代的過程，是一個螺旋上升的過程，通過不斷的 迭代、不斷的修正，最終得到更好、更接近現(xiàn)實情況的結(jié)果！共四十八頁 模型(mxn

9、g)2.2：競爭的捕食者模型(mxng) 在非洲，有一個地方棲息著一種特別的斑點貓頭鷹。它們 在那兒跟老鷹同處于食物鏈的最高層，本應(yīng)無憂無慮，但是由 于它們的捕食對象相同(xin tn)、相互競爭，因此隨時有種群滅絕的危 險。 試建立數(shù)學(xué)模型研究它們數(shù)量之間的關(guān)系！ 分析：首先，假定一個種群的數(shù)量增加跟其自身數(shù)量成正 比，則在不考慮死亡的情況下。 令On代表斑點貓頭鷹第n天的數(shù)量，Tn代表老鷹第第n天的 數(shù)量，則有 斑點貓頭鷹的增加量為 老鷹的增加量為共四十八頁 現(xiàn)在考慮種群(zhn qn)的死亡問題，由于它們是那個地區(qū)的霸主， 倒不擔(dān)心被別的動物吞食。它們的死亡主要由于缺乏食物造 成。這里假

10、定一個種群數(shù)量的減少跟它的數(shù)量與其競爭對手數(shù) 量的乘積成正比，則有 斑點貓頭鷹的變化量為 老鷹的變化量為 則該動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移(zhuny)方程為 現(xiàn)在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 點（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】共四十八頁 進一步分析：考查該動態(tài)系統(tǒng)(xtng)平衡點的穩(wěn)定性。 現(xiàn)在考慮以下四種初始情況下斑點貓頭鷹和老鷹的變化。情況1情況2情況3情況4斑點貓頭鷹20019920110 下面四個圖分別(fnbi)對應(yīng)四種情況。 情況1：兩個種群數(shù)量始終 保持不變，永遠相互共存下去。 但這僅僅是

11、最理想化的情況。天數(shù)數(shù)量200150老鷹斑點貓頭鷹共四十八頁 情況2：斑點貓頭鷹成為勝利 者，老鷹最后滅絕了。盡管斑點 貓頭鷹的數(shù)量僅比情況1多一只， 老鷹的數(shù)量比情況1少一只，老鷹 種群在爭奪食物的大戰(zhàn)中不敵對 手，甚至滅絕。天數(shù)數(shù)量199151老鷹斑點貓頭鷹 情況3：老鷹成為勝利者，斑 點貓頭鷹最后滅絕了。盡管斑點 貓頭鷹的數(shù)量僅比情況1少一只， 老鷹的數(shù)量比情況1多一只，老鷹 種群在爭奪食物的大戰(zhàn)中成為勝 利者，斑點貓頭鷹慘遭滅絕。天數(shù)數(shù)量201149老鷹斑點貓頭鷹共四十八頁 情況4：老鷹仍然成為勝利者， 斑點貓頭鷹最后還是滅絕了。與 前面三種情況相比，兩個種群的 初始數(shù)量相同，可以說是

12、站在同 一條起跑線上。但是，老鷹種群 以絕對的優(yōu)勢贏得勝利，而斑點 貓頭鷹種群慘遭滅絕。天數(shù)數(shù)量10老鷹斑點貓頭鷹 情況1是最理想化的情況。情況2和情況3表明，即使系統(tǒng)只 有細微偏差，但最后(zuhu)結(jié)果卻截然不同。情況1、情況2和情況3盡 管在初始數(shù)量相差不多，但最終結(jié)果相差懸殊。 模型評價：綜合上述討論，可以看出競爭捕食者模型是一 個對初始值非常敏感的模型。平衡點（150，200）是一個不穩(wěn) 定的平衡點，即使初值非常接近它，最后發(fā)展的結(jié)果始終不能 達到這個平衡點，甚至偏離很遠。要得到更好的分析結(jié)果，必 須修正原來的假設(shè)，添加更多的因素，考慮(kol)用更好的建模方法。共四十八頁月份123

13、45678910111213幼兔101123581321345589成年兔01123581321345589144兔子數(shù)（對）1123581321345589144233幼兔比率1.0 0.0 0.5 0.33333 0.40000 0.37500 0.38462 0.38095 0.38235 0.38182 0.38202 0.38194 0.38197 成兔比率0.0 1.0 0.5 0.66667 0.60000 0.62500 0.61538 0.61905 0.61765 0.61818 0.61798 0.61806 0.61803 練習(xí)：兔子的繁殖問題。 由一對幼兔開始，一年后

14、可以繁殖多少對兔子？假設(shè)兔子 的生殖能力是這樣的：每一對兔子每一個月可以生一對兔子， 并且兔子在出生滿一個月以后就具有生殖能力。 試用數(shù)學(xué)建模的方法(fngf)來討論上述問題，并分析兔群的增長 規(guī)律。共四十八頁 二、圖解法建模 圖象分析是一種十分直觀的數(shù)學(xué)方法，在簡單的定性分析 中很實用。難以量化的研究對象，不容易用解析法處理，這時 可以根據(jù)數(shù)與形的關(guān)系(gun x)，利用圖象中曲線的關(guān)系(gun x)推斷結(jié)論，借 助圖象來描述研究對象。圖解法可以取得一目了然的效果，但 也有自身的缺點（例如，量化不徹底，不易表示三個以上變量 之間的關(guān)系，要深入研究還要利用其他的數(shù)學(xué)工具，比如概率 統(tǒng)計、線性規(guī)

15、劃等）。 模型(mxng)：核軍備競賽 【資料】二十世紀六七十年代的冷戰(zhàn)時期，美蘇實行所謂 核威懾戰(zhàn)略，核軍備競賽不斷升級。隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn) 的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議，2001年7月美俄兩 國總統(tǒng)同意進行進一步裁減核武器，俄羅斯總統(tǒng)普京建議兩國 各自裁減1500枚戰(zhàn)略核武器。共四十八頁蘑菇云共四十八頁二戰(zhàn)中美國投放日本長崎(chn q)的原子彈“胖子”共四十八頁世界(shji)核武器分布圖共四十八頁核武器 （nuclear weapon） 利用能自持進行核裂變或聚變反應(yīng)釋放的能量，產(chǎn)生爆炸 作用，并具有大規(guī)模殺傷破壞效應(yīng)的武器的總稱(zn chn)。其中主要利 用鈾235(U

16、-235) 或钚239(239Pu)等重原子核的裂變鏈式反應(yīng)原 理制成的裂變武器,通常稱為原子彈;主要利用重氫(D，氘 do) 或超重氫(T，氚 chun)等輕原子核的熱核反應(yīng)原理制成的熱 核武器或聚變武器，通常稱為氫彈。 在什么情況下雙方的核軍備精神才不會無限擴張而存在暫 時的平衡狀態(tài)，處于這種平衡狀態(tài)下雙方擁有最少的核武器數(shù) 量是多大，這個數(shù)量受哪些因素影響(yngxing)，當(dāng)一方采取諸如加強防 御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā) 生什么變化？ 試建立數(shù)學(xué)模型，在給核威懾戰(zhàn)略做出一些合理、簡化的 假設(shè)下，定性的分析、回答上述問題。共四十八頁 模型分析：核軍備競賽的基本

17、想法是當(dāng)自己在遭到對發(fā)的 突然襲擊后能有足夠的核武器幸存下來，以便給予對方“致命(zhmng) 打擊”。 核軍備競賽的方法有： （1）努力增加自己的核武器。從數(shù)量上壓倒對方，但這 樣作戰(zhàn)下去雙方都感到負擔(dān)過重。 （2）引進多彈道導(dǎo)彈和多彈頭導(dǎo)彈。 （3）加固導(dǎo)彈庫或者建造核潛艇來保護導(dǎo)彈，使之不易 受到攻擊。 模型假設(shè)：以雙方的（戰(zhàn)略）核導(dǎo)彈數(shù)量為對象，描述雙 方核軍備的大小，假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略。 （1）認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部 核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地。 （2）己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存(bocn)有足夠的核導(dǎo) 彈，給對方以毀滅性的打擊（工業(yè)、交通中

18、心等）。共四十八頁 （3）在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導(dǎo)彈只 能攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地，且摧毀這個基地的可能性是常 數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力說決定。 （4）假定雙方(shungfng)擁有的核導(dǎo)彈相同，具備相同的攻擊精度 和防御能力。 模型(mxng)建立：（圖的模型(mxng)） 記y=f(x)為甲方擁有x枚核導(dǎo)彈時，乙方采取核威懾戰(zhàn)略所 需的最小核導(dǎo)彈數(shù)， x=g(y)為乙方擁有y枚核導(dǎo)彈時，甲方采 取核威懾戰(zhàn)略所需的最小核導(dǎo)彈數(shù)。 對于y=f(x)，當(dāng)x=0時y=y0，y0是甲方在實施第一次核打擊 后已經(jīng)沒有核導(dǎo)彈時，乙方對甲方以毀滅性打擊所需的核導(dǎo)彈 數(shù)，簡

19、稱乙方的威懾值；對于x=g(y)，當(dāng)y=0時x=x0，x0是乙方 在實施第一次核打擊后已經(jīng)沒有核導(dǎo)彈時，甲方對乙方以毀滅 性打擊所需的核導(dǎo)彈數(shù)，簡稱甲方的威懾值。共四十八頁 根據(jù)y=f(x)的定義，當(dāng)yf(x)時乙方是安全的（在核威懾戰(zhàn) 略意義下），不妨稱該區(qū)域為乙安全區(qū)，曲線y=f(x)為乙安全 線。類似的， xg(y)的區(qū)域為甲安全區(qū)， x=g(y)為甲安全線。 兩個安全區(qū)的公共部分即為雙方安全區(qū)，是核軍備競賽的穩(wěn)定 區(qū)域。兩條安全線的交點P(xm，ym)是核軍備競賽的平衡點，xm 和ym則為穩(wěn)定狀態(tài)下甲乙雙方分別擁有的最小核導(dǎo)彈數(shù)。 平衡點如何達到的呢？（如圖1-1、1-2）xyx0y0

20、甲安全區(qū)乙安全區(qū)雙方安全區(qū)y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖1-1xyx0y0甲安全區(qū)乙安全區(qū)雙方安全區(qū)y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖1-2x1y1共四十八頁 不妨假設(shè)甲方最初只有x0枚核導(dǎo)彈（威懾值），乙方為了 自己的安全至少要擁有y1枚核導(dǎo)彈；而甲方為了安全需要將核 導(dǎo)彈數(shù)量增加(zngji)到x1，如此循環(huán)下去，雙方的核導(dǎo)彈數(shù)量就會趨 向xm和ym。 模型的精細化：現(xiàn)實中，平衡點P(xm，ym)并不是固定的， 如果一方使用加固(ji )導(dǎo)彈庫、反彈道導(dǎo)彈或其它手段，兩條安全 線和穩(wěn)定點將發(fā)生變化。xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖2-1 情況1：若

21、甲方加強防御能 力，則乙方的威懾值y0將變大， 其它因素不變，那么乙安全線 y=f(x)的上移會使平衡點變?yōu)?，顯然 說明雖然甲方的防御是被動 的，但也會使雙方的核軍備競賽 升級。（如圖2-1）共四十八頁xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖2-2 乙方仿效甲方做法，同樣 加強防御能力，則甲方的威懾 值x0也將變大，那么甲安全線 y=f(x)的右移會使平衡點變?yōu)?，顯然 說明雙方的被動防御，使 雙方的核軍備競賽進一步升級。 （如圖2-2）共四十八頁 情況2：若甲方改進核導(dǎo)彈機動性（固定發(fā)射改進為移動發(fā) 射），則甲方的殘存率增大，于是x減少，甲安全線x=g(y)向y 軸靠近（如圖

22、3-1、3-2），平衡點變?yōu)?，顯然 說明甲方的這種單獨行為，使雙方的核導(dǎo)彈數(shù)量有所減少。xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖3-1xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖3-2共四十八頁 同時，乙方也改進核導(dǎo)彈機動性，則乙方的殘存率也增大， 于是y減少，乙安全線y=f(x)向x軸靠近（如圖3-3、3-4），平衡 點變?yōu)?，顯然 說明雙方的這種行為，使雙方的核導(dǎo)彈數(shù)量進一步減少。xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖3-3xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖3-4共四十八頁 情況3：若雙方都發(fā)展多彈 頭導(dǎo)彈，每個彈頭可以獨立的

23、摧毀目標，則雙方的威懾值x0、 y0均減少，雙方安全線有類似變 化，二者的綜合影響則可能使平 衡點變?yōu)?或 ， 究竟會使雙方的核導(dǎo)彈增加還是 減少，需要更多信息及更詳細的 分析。（如圖4）xyx0y0y=f(x)x=g(y)P(xm，ym)圖4 點評：核軍備競賽問題(wnt)初看起來似乎與數(shù)學(xué)無緣，但是如果把所謂核威懾戰(zhàn)略作一些合理、簡化的假設(shè)，就能夠用一個簡單的圖的模型，來描述雙方核武器數(shù)量相互制約、達到平衡的過程，并由此對核軍備競賽中的一些現(xiàn)象作出解釋，這種定性分析的建模方法是值得借鑒的。共四十八頁 練習(xí)：核軍備競賽模型中，討論以下因素引起的平衡點變 化。 （1）甲方提高導(dǎo)彈導(dǎo)航系統(tǒng)的性能

24、。 （2）甲方增加導(dǎo)彈爆破的威力。 （3）甲方發(fā)展電子干擾系統(tǒng)(xtng)。 （4）雙方建立反導(dǎo)彈系統(tǒng)。共四十八頁 三、比例、類比(lib)關(guān)系建模 比例是最基本、最初等的數(shù)學(xué)概念之一，很多實際對象(duxing)蘊 含著比例關(guān)系。 通常，如果y與x成正比，可以記為yx或者y=kx（其中k稱 為比例因子）等等。 例如，一個均勻物體的重量M和它的體積V成正比， M V；對于形狀相似的物體，它的表面積S和它的特征長度L2 成正比， S L2，它的體積V和特征長度L3成正比， V L3， 則它的體積V和表面積S的比例關(guān)系為 利用這種關(guān)系轉(zhuǎn)換，可以簡單的構(gòu)造有關(guān)問題的輪廓模型。 類比分析建模方法就是根

25、據(jù)兩個（或者兩類）系統(tǒng)某些屬性或 關(guān)系的相似性去猜測兩者的其它屬性或關(guān)系。其中，物理系統(tǒng) 的類比分析使用已經(jīng)很廣泛，例如人的肌肉跟彈簧的類比等。共四十八頁 模型一：如何估計動物(dngw)的體重 問題(wnt)的提出：生豬收購站或屠宰場的工作人員都希望能從 生豬的身長估計出它的體重，以便提高工作效率。因此研究四 足動物軀干（不含頭尾）的長度與它的體重的關(guān)系有著現(xiàn)實的 意義。 分析：動物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入生物學(xué) 復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的的有使用價值 的模型。因此為簡化起見，我們僅在十分粗略的假設(shè)基礎(chǔ)上， 利用類比的方法，借助力學(xué)彈性梁理論的某些結(jié)果，建立四足 動

26、物身長和體重的比例關(guān)系，從而可以根據(jù)豬的長度大約估計 出豬的體重。 模型的應(yīng)用：利用這個結(jié)果，對于某一種四足動物，比如 生豬、羊、牛等，就可根據(jù)大量試驗，從統(tǒng)計數(shù)據(jù)中找出這個 比例常數(shù)，從它的軀體長度估算出它的體重。共四十八頁 模型二：劃艇(hu tn)比賽的成績 劃艇是一種靠漿手劃槳前進(qinjn)的小船，分單人艇、雙人艇、 四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同，但形狀相似?，F(xiàn)比 較各種劃艇1964-1970年4次2000m比賽的最好成績（包括1964 年和1968年的兩次奧運會和兩次世錦賽），發(fā)現(xiàn)他們之間有相 當(dāng)一致的差別，似乎成績與漿手數(shù)量之間存在某種聯(lián)系，試建 立數(shù)學(xué)模型來解釋這種關(guān)

27、系。艇種2000m成績t（min）艇長l（m）艇寬b（m）l/b艇重/漿手數(shù)1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7共四十八頁 模型分析：在這個問題中，由于劃艇(hu tn)的速度、阻力、漿手 的輸出功率等變量之間的精確關(guān)系不易找出，各時刻劃艇的絕 對速度也很難得到，建立精確的模型來描述劃艇的運動是困難 的，而

28、我們現(xiàn)在關(guān)心的只是劃完全程的時間，因此我們可以在 不太精確的假設(shè)下用比例分析的方法組建模型來描述它。 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以看出，漿手數(shù)n增加時，艇的尺寸l、b 及艇重w0都隨之增加，但比值l/b和w0 /n變化不大。若假設(shè)l/b是 常數(shù)，即各種艇的形狀相同，則可得到艇浸沒面積和排水體積 之間的關(guān)系。若假定w0 /n是常數(shù)，則可得到艇和漿手總重量與 漿手數(shù)之間的關(guān)系。此外還需對漿手體重、劃槳功率、阻力與 艇速的關(guān)系等方面(fngmin)作出簡化且合理的假定，才能運用合適的物 理定律建立需要的模型。 模型假設(shè)： （1）艇速v是常數(shù)，根據(jù)流體力學(xué)，所受阻力f與浸沒部分 表面積s成正比，與v2成正比。共

29、四十八頁 （2）各種艇的規(guī)格相同， l/b是常數(shù)；艇重w0 與漿手數(shù)n成 正比。 （3）所有(suyu)漿手的體重w都相同；在比賽中每個漿手的輸出 功率p保持不變，且p 與w成正比（ p 與肌肉體積、肺體積成正 比，對于身材勻稱的運動員，肌肉、肺的體積與w成正比）。 符號說明： v：艇速 f：艇在前進中受水的阻力 s：艇浸沒部分(b fen)的表面積 l：艇長 b：艇寬 w0：艇重 w：漿手的體重 V：艇的排水體積 W：艇和漿手的總重量共四十八頁 p：漿手的輸出功率 t：劃艇的比賽(bsi)時間 模型(mxng)構(gòu)成：有n名漿手的艇的總功率np與阻力f和速度v的乘 積成正比，即 由假設(shè)（1）、

30、（3） 因此 由假設(shè)（2），艇的排水體積V與浸沒面積s的關(guān)系是共四十八頁 又根據(jù)(gnj)艇重艇重w0與漿手數(shù)n成正比，所以艇和漿手的總重 量W= w0+ nw也與n成正比，即 而由阿基米德定律(dngl)，艇的排水體積V與總重量W成正比，即 故 所以， 因為比賽成績t（時間）與艇速v成反比，于是 這就是根據(jù)模型假設(shè)和幾條物理規(guī)律得到的劃艇比賽成績 與漿手數(shù)量之間的關(guān)系。共四十八頁 模型檢驗：為了(wi le)檢驗上述關(guān)系，令 利用(lyng)數(shù)據(jù)擬合（最小二乘法、計算機擬合），得到 模型評價：這個模型建立在一些不太精確的假設(shè)基礎(chǔ)上， 因為我們只關(guān)心各種艇之間的相對速度，所以數(shù)學(xué)工具只用到 了

31、比例方法。用這種方法建模雖然不能得到關(guān)于艇速的完整的 表達式，但對于我們的建模目的來說已經(jīng)足夠了。最后結(jié)果與 實際數(shù)據(jù)吻合的如此只好，恐怕有很大巧合的成分。 練習(xí)：毛毛細雨和傾盆大雨落在手上的感覺截然不同，即 速度不同。試利用類比的方法討論雨點速度與質(zhì)量的關(guān)系模型。共四十八頁 模型三：商品(shngpn)包裝的規(guī)律 我們知道許多商品都是包裝出售的，同一種商品的包裝也 有大小不同的規(guī)格(gug)。而且我們也注意到，同一種商品大包裝的 單位價格比小包裝的單位價格低。 試建立數(shù)學(xué)模型，分析商品包裝的內(nèi)在規(guī)律。 模型假設(shè)：面對錯綜復(fù)雜的生產(chǎn)過程和包裝形式，為簡化 問題的討論，現(xiàn)給出如下假設(shè) （1）商品

32、的生產(chǎn)和包裝的工作效率是固定不變的。 （2）商品包裝的成本只由包裝的勞動力投入和包裝材料的 成本構(gòu)成。 （3）商品包裝的形狀是相似的，包裝材料相似。 符號說明： a：生產(chǎn)一件商品的成本 b：包裝一件商品的成本（b1、b2分別表示勞動力和包裝材 料的成本） w：每件商品的重量共四十八頁 s：每件商品(shngpn)的表面積 v：每件商品的體積 c：每件商品的單位成本 模型(mxng)構(gòu)成：由假設(shè)（1），我們可以認為商品的生產(chǎn)成本a 正比于商品的貨物量w，即 顯然，包裝的勞動力成本b1正比于商品的貨物量，即 由假設(shè)（3）商品包裝材料的成本b2正比于貨物的表面積s， 而商品的表面積s與體積有如下的比

33、率關(guān)系共四十八頁 商品的體積又正比于貨物(huw)量，于是我們有 每件商品(shngpn)的單位成本c為 這就是包裝貨物量為w時單位商品總成本c的數(shù)學(xué)模型！ 不難看出， c是w的減函數(shù)，表明當(dāng)包裝增大時每件商品的 單位成本將下降，這與我們平時的生活經(jīng)驗是一致的。 如果這個模型只是告訴我們上面的事實，它就顯得十分平庸，因為它沒有超出我們經(jīng)驗上的認識。僅這一點，這個模型的價值就很有限。我們看能否從模型得出其它更深入的結(jié)論？共四十八頁 我們從定性分析的角度進一步討論(toln)模型的性質(zhì)。 我們看商品單位成本c隨貨物量w增加的下降速率 它也是貨物量w的減函數(shù)，表明當(dāng)包裝比較(bjio)大時商品單位

34、成本的降低越來越慢。 因此，當(dāng)我們購買商品時，并不一定是越大的包裝越合算。 一般人不一定了解這一點！共四十八頁 四、其它(qt)的初等模型 模型一：雙層玻璃的功效(gngxio)問題 北方城鎮(zhèn)的窗戶玻璃是雙層的,這樣做主要是為室內(nèi)保溫目 的,試用數(shù)學(xué)建模的方法給出雙層玻璃能減少熱量損失的定量分 析結(jié)果。 分析：本問題與熱量的傳播形式、溫度有關(guān)。熱量傳播的 途徑有傳導(dǎo)、對流、輻射。 檢索有關(guān)的資料得到與熱量傳播有關(guān)的一個結(jié)果，它就是 熱傳導(dǎo)物理定律：厚度為d的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為T，則 單位時間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量 Q，與T成正比，與d成反比，即:Q=kT/d k為熱傳導(dǎo)系數(shù)。共四十八頁 模型二：公平席位(xwi)的分配 三個系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 會議共20席，按比例分配，三個系分別為10、6、4席?，F(xiàn)因?qū)W 生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)(rn sh)為103、63、 34，問20席如何分配？ 若增加為21席，又如何分配？系別學(xué)生人數(shù)學(xué)生人數(shù)的比例20系的分配21席的分配比例分配的席位參照慣例的結(jié)果比例分配的席位參照慣例的結(jié)果甲10351.5%10.31010.815 11乙6331.5%6.366.615 7丙3417.0%3.443.570 3總和200100.0%20202121共