根與系數(shù)關(guān)系(韋達(dá)定理)

1、根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）專題班級姓名忍別人所不能忍的痛，吃別人所不能吃的苦，是為了收獲別人得不到的收獲。填寫下表：方程兩個根x , x的值兩根之和xi + x2兩根之積 時xix2x 2 5 x + 6 = 0235x 2 + 3 x 一 4 = 0 x23x2=0 x 2 一 2 x = 02x 2+5x+3= 0請觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎?請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax2 + bx+c=0 mo）的根x1, x2與a、b、c之間的關(guān)系：我們嘗試證明一下若方程ax2 + bx + c = 0 （a#0）的兩根為x1, x2貝 U x1 = ，

2、 x2 = 。貝 U x + x =x .x =121 2歸納一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系ax 2 + bx + c = 0 (a， 0)的兩個根為x , x ,則 x + x =, x - x =121212方程x2 + px + q = 0的兩根為x , x ,則 x + x =, x - x =.121212注意事項:使用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時要注意兩個問題：必須為一元二次方程(a，0);一定在有根的條件下(N0).不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積：(1) x2 + 3x +1 = 0 ； (2) 3x2 -2x-1 = 0（3）-2x2 + 3 = 0 ；（4

3、）2x2 + 5x = 0【類型一】已知方程一根，求另一根及未知系數(shù)的值.例1已知方程ax2-7x-6=0(a#0) 一根為2,求方程的另一根及a的值.1已知方程2x2 -3x-m = 0的一個根是一，求它的另一個根和m的值.2若一元二次方程(m- 1)x2 + m2 + 2m 3 = 0的一根為零，求m的值.【類型二】已知方程兩根的關(guān)系，求未知系數(shù)的值例2若方程3x2-8x + m = 0的兩根之比為3:2，求m的值.、一 2，2，1.已知方程x -2(m+1)x+m -2=0, m=_時，方程兩根互為相反數(shù);m=時，方程兩根互為負(fù)倒數(shù).一2.若方程x2 + px + q = 0的一個根是另

4、一個根的2倍，則p、q之間的關(guān)系是.【類型三】不解方程求與根有關(guān)的代數(shù)式的值例3設(shè)xx2是一元二次方程2x2 -5x + 1 = 0的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值:(1)(xi 3)(x2 - 3)；(2)(x +1)2 + (x +1)2 ；12(4) x -x3、xx(3)+ x +1 x + 1【類型四】根據(jù)題意，求方程中某些待定字母系數(shù)的值例4已知關(guān)于x的方程k2x2 + (2k - 1)x +1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根x、x .求k的取值范圍；1 2(2)k為何值時，x1與x2互為倒數(shù).已知方程x2 + (2k + 1)x + k2 -2 = 0的兩實根的平方和等于1, k的取值是()A.-3 或 1B.-3 C. 1 D. 3 當(dāng)m =時，方程x2 + 5x + m = 0的兩根之差是7.例5已知關(guān)于x的方程3x2 + mx - 2 = 0的兩根的平方和為?，求m的值.例6已知關(guān)于x的一元二次方程x2 + (2k - 1