根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

1、序號：春季班初高中數(shù)學(xué)備課組教師：戎世陽年級：初二日期:2018. 05.06上課時間:08:00學(xué)生：李晶慧、徐悅主課題：一元二次方程根的判別式 根與系數(shù)的關(guān)系課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次一兀二次方程根的判別式會用方程的根的判別式判別方程的根的情況 能利用根的判別式說明含有字母系數(shù)的一兀二次方 程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù) 的取值范圍 韋達(dá)定理熟練用根與系數(shù)的關(guān)系求根 【知識脈絡(luò)】【回顧舊知】1.若x2-12X-1|-4 = 0，則滿足該方程的所有根之和為2.解關(guān)于x的方程ax2 + bx + c = 03.若(x - z) 2 - 4 (x - y)(y - z) =0,試求

2、x+z 與 y 的關(guān)系.4.已知：首項系數(shù)不相等的兩個方程:(a - 1) x2 -(a2+2) x+ (a2+2a) =0和(b - 1) x2 -(b2+2) x+ (b2+2b) =0 (其中a, b為正整數(shù))有一個公共根，求a, b的值.第1頁/ 共13已知一元二次方程x2- 4x-也=0和3耘5x +切=0，求兩個方程的所有根的和以及積.23如果m、n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2 - 2m=1, n2 - 2n=1,那么代數(shù)式2m2+4n2 - 4n+2015=關(guān)于x的方程x2-(2k - 1) x+k2 - 2k+3=0有兩個不相等的實數(shù)根.求實數(shù)k的取值范圍；設(shè)方程的兩個實數(shù)根

3、分別為、x2,存不存在這樣的實數(shù)k,使得|x1| - |x2|=.？若存在，求出 這樣的k值；若不存在，說明理由.lr-1一已知在關(guān)于x的分式方程二2和一元二次方程(2 - k) x2+3mx+ (3 - k) n=0中，k、m、n均 x-L為實數(shù)，方程的根為非負(fù)數(shù).求k的取值范圍；當(dāng)方程有兩個整數(shù)根、x2, k為整數(shù)，且k=m+2, n=1時，求方程的整數(shù)根；(3 )當(dāng)方千呈有兩個實數(shù)*根xx:滿足x( x 一k)+x( x - k)= ( x- k)(x -k) 日k為負(fù) 整W /J 4土FJ I AVI K 4、入2，彳州 Ml 41av /丁入？x? a, / tx】/v / tx?a

4、, / ， JzL n,八時，試判斷|m|W2是否成立？請說明理由.如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2,那么x1+x2=-p, x1-x2=q.請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題:已知關(guān)于x的方程x2+mx+n=0 (n/0)，求出一個一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；已知 a、b 滿足 a2-15a-5=0, b2 - 15b - 5=0，求 a+b 的值；已知a、 b、c均為實數(shù)，且a+b+c=0, abc=16，求正數(shù)c的最小值.通過對蘇科版九(上)教材一道習(xí)題的探索研究，“在一次聚會中，有45個人，每兩個參加聚會 的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？”對這個問

5、題，我們可以作這樣的假設(shè)：第1個學(xué)生分別與其他44個學(xué)生握手，可握44次手；第2個學(xué) 生也分別與其他44個學(xué)生握手，可握44次手；依此類推，第45個學(xué)生與其他44個學(xué)生握手，可握 44次手，如此共有45X44次握手，顯然此時每兩人之間都按握了兩次手進(jìn)行計算的.因此，按照題意，陰X 4445個人每兩人之間握一次手共握了也;坦=990次手.像這樣解決問題的方法我們不妨稱它為“握手 解法”. 若本次聚會共有n個人，每兩個參加聚會的人都互相握了一次手，一共握 次手.請靈活運(yùn) 用這一知識解決下列問題.一個QQ群中有若干好友，每個好友都分別給群里其他好友發(fā)送了一條信息，這樣共有756條信 息，這個QQ群中

6、共有多少個好友？已知一條直線上共有5個點(diǎn)，那么這條直線上共有幾條線段？利用(3)的結(jié)論解決問題：已知由邊長為1的正方形拼成如圖所示的矩形A8CD,圖中共有多 少個矩形？多少個正方形？【要點(diǎn)梳理】一、一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：運(yùn)用判別式，判定方程實數(shù)根的個數(shù)利用判別式建立等式、不等式,求方程中參數(shù)值或取值范圍通過判別式,證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題借助判別式,解決最值問題 二、根與系數(shù)的關(guān)系X, x2是一元二次方程ax2+x+c=0 (a/0)的兩根時， 反過來也成立，即旦=-(孔+揚(yáng))，三=XX2.若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：,揚(yáng)是方程x2+px+q=0的兩根時，X+x

7、2=-p, 1產(chǎn)2=0，反過 來可得p=-(X+x2), q=x1x2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系 數(shù).若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：, _ b _art bX+X2= , XX2, .常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：號.不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.已知方程及方程的一個根，求另一個根及未 知數(shù)不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等.判斷兩根的符號.求作新方程.由 給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時 還要考慮a0,A0這兩個前提條件.c 一一 0 =兩根同號 ac-

8、一一一 0 =兩根異號 a且 0, a且 0,a且 x2，且2x1+x2=7，則 m的值是多少？ 【難度】求 X，x2【變式3】已知x1, x2是關(guān)于x的方程(x-2)(x-m) = (p - 2)(p - m)的兩個實數(shù)根， 的值.(用p, m表示)【難度】類型四、利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造、，一St + 41 ,【例題4】設(shè)實數(shù)s，t分別滿足19s2+99s+1=0, t2+99t+19=0，并且 gl,求的值.t【難度】【變式1】已知實數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=1，且t=ab -a2-b2，求t的取值范圍.【難度】f a+b=E【變式2】已知a、b、c三數(shù)滿足方程組p，則方程bx2+cx

9、-a=0的根是Hb-c +8V2c=4S【難度】【變式3】閱讀下列范例，按要求解答問題.例：已知實數(shù) a、b、c 滿足 a+b+2c=1, a2+b2+6c-=0,求 a、b、c 的值.解法 1：由已知得 a+b=1 - 2c，（a+b） 2 - 2ab+6c-=0.將代入，整理得4c2+2c-2abT=0.ab=2c2+cm 24由、可知，a、b是關(guān)于t的方程t2-（1-2c） t+2c2+c=0的兩個實數(shù)根.4.= （1 - 2c） 2-4 （2c2+cn0，即（c+1） 2W0.而（c+1） 2巳0，.+/=0，c=- 1，4將 c=- 1 代入，得 t2 - 3，=0.”1=，2=3，

10、即 a=b=3：.a=b, c=T. TOC o 1-5 h z 1 -9r1 -9r解法 2：a+b+2c=1,.a+b=1 - 2c、設(shè) a= ； +t, b= ； - t.JJ33,.，a2+b2+6c-=0,.(a+b) 2 - 2ab+6c+萬=0.將代入，得(1-2c) 2-2(-t)+6c=0.*3, c=-1.整理，得 t2+ (c2+2c+1) =0,即 t2+ (c+1) 2=0. t=0, c=- 1. 將t、c的值同時代入，得a與，則x、y是關(guān)于t的一元以上解法1是構(gòu)造一元二次方程解決問題.若兩實數(shù)X、j滿足x+y=m, xy=n, 二次方程t2 - mt+n=0的兩個

11、實數(shù)根，然后利用判別式求解.以上解法2是采用均值換元解決問題.若實數(shù)x、y滿足x+y=m，則可設(shè)x=?+t，y號-t些問題根 據(jù)條件，若合理運(yùn)用這種換元技巧，則能使問題順利解決.下面給出兩個問題，解答其中任意一題：用另一種方法解答范例中的問題.選用范例中的一種方法解答下列問題：已知實數(shù) a、b、c 滿足 a+b+c=6, a2+b2+c2=12,求證：a=b=c.【難度】【課堂檢測】試確定，是否存在實數(shù)奴 使關(guān)于x的二次方程9x2 -(4k -7)x-6k2 = 0有兩個實數(shù)根氣,x2,且滿足x 3 T = 一 .x 2【難度】【課程回顧】1、本節(jié)課我們復(fù)習(xí)了哪些知識點(diǎn)？2、你對本節(jié)課所復(fù)習(xí)的

12、知識又有了哪些新的認(rèn)識?【課后作業(yè)】1.若關(guān)于x的一元二次方程x2+kx+4k2 - 3=0的兩個實數(shù)根分別是, x2，且滿足x1+x2=x1,x2，則k的值 為.2.一元二次方程x2 - 2x - 4=0和x2 - x+2=0所有實數(shù)根的乘積等于已知實數(shù)a, b分別滿足a2-6a+4=0, b2 - 6b+4=0，且ab,貝旦+的值是,a b瓦一1?+匚二7已知實數(shù) a, b, c 滿足：*n ,U(aT - b-1) abc (a+b+c) a+b+c 的值為qb+b c-Fb-F cz+16=05 .已知a、b是方程x2 - 2x - 1=0的兩個根，則a2+a+3b的值是已知關(guān)于 x

13、的方程 x2+2 (a - 1) x+a2 - 7a - 4=0 的兩根為 x1 x2，且滿足 x1x2 - 3x1 - 3x2 - 2=0.則 (1T).世的值是.a-4 a已知關(guān)于x的一元二次方程x2 - 2kx+k2+k+1=0有兩個實數(shù)根.第11頁/ 共13試求k的取值范圍； 若此方程的兩個實數(shù)根七、x2，滿足二-2，試求k的值.1 2 U 秘已知, X2是方程x2 - 2x+a=0的兩個實數(shù)根，且X+2x2=3 - 2.求x1，x2及a的值；求呵3 - 3X2+2X+x2 的值.關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實數(shù)解是X和x2.求k的取值范圍；如果x1+x2 - x1x2

14、- 1且k為整數(shù)，求k的值.已知方程2x2 - 3x - 3=0的兩個根分別為a, b,利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個一元二次方程，使它 的兩個根分別是a+1，b+1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1) x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2，求實數(shù)k的取值范圍.是否存在實數(shù)k使得x1x2 - x12 - x22= - 7成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由.已知關(guān)于x的一兀一次方程X2+ (m+3) x+m+1-0.求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；若X、x2是原方程的兩根，且| x1 - x21-2，求m的值.下面是小紅同學(xué)做的一道練習(xí)題：已知關(guān)于了的方程x2+mx+-0的兩個實數(shù)根為m, ，求m, n的