數(shù)字信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法和處理

1、數(shù)字信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法和處理2-1 引言 信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法有時(shí)域、變換域兩種。一.分析法 1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)： 信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算，時(shí)域分解，經(jīng)典時(shí)域 分析法，近代時(shí)域分析法，卷積積分。 2.離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)： 序列的變換與運(yùn)算，卷積和，差分方程 的求解。二.變換域分析法 1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)： 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析（FT）、復(fù)頻域 分析（LT）。 2.離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)： Z變換，DFT(FFT)。 Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。2-2 Z變換的定義及收斂域一.Z變換定義： 序列的Z變換定義如下： *實(shí)際上，將x(n)展為z-1的冪級(jí)數(shù)。Z是復(fù)數(shù)。 1.定義: 使序列x(n)的

2、z變換X(z)收斂的所有z值的 集合稱作X(z)的收斂域.2.收斂條件： X(z)收斂的充要條件是絕對(duì)可和。3.一些序列的收斂域(1).預(yù)備知識(shí) 阿貝爾定理: 如果級(jí)數(shù) ，在 收斂,那么,滿足0|z|z+|的z,級(jí)數(shù)必絕對(duì)收 斂。|z+|為最大收斂半徑。 同樣,對(duì)于級(jí)數(shù) ，滿足 的 ， 級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂。 |z_|為最小收斂半徑。0n (n).(2).有限長(zhǎng)序列x(n)n0n1.1.（3）. 右邊序列*第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，第二項(xiàng)為z的負(fù)冪級(jí)數(shù),收斂域第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列,其收斂域?yàn)?|z|;第二項(xiàng)為z的負(fù)冪次級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理可知, 其收斂域?yàn)?Rx-|z|; 兩者都收斂的域?yàn)閮烧叩墓膊糠旨?R

3、x-|z|; Rx-為最小收斂半徑。(4)因果序列 它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾 定理可知收斂域?yàn)椋?5)左邊序列x(n)0n n2第二項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列,其收斂域 ; 第一項(xiàng)為z的正冪次級(jí)數(shù)，根據(jù)阿貝爾定理, 其收斂域?yàn)?; 為最大收斂半徑 . 雙邊序列指n為任意值時(shí),x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。 (6)雙邊序列0nX（n）第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)椋旱谝豁?xiàng)為右邊序列(因果)其收斂域?yàn)椋寒?dāng)Rx-|z|時(shí)，這是無窮遞縮等比級(jí)數(shù)，收斂。收斂域：*收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。（左邊序列）2-3 Z反變換一.定義： 已知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱

4、作Z反變換。z變換公式：C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線.0c 由留數(shù)定理可知： 為c內(nèi)的第k個(gè)極點(diǎn)， 為c外的第m個(gè)極點(diǎn)， Res 表示極點(diǎn)處的留數(shù)。Z反變換的方法 2、當(dāng)Zr為l階(多重)極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：留數(shù)的求法： 1、當(dāng)Zr為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：例2-4 已知解:1）當(dāng)n-1時(shí),不會(huì)構(gòu)成極點(diǎn)，所以這時(shí)C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn)因此，求z反變換。2）當(dāng)n-2時(shí)，X(z)zn-1中的zn+1構(gòu)成n+1階極點(diǎn)。 因此C內(nèi)有極點(diǎn)：z=1/4(一階), z=0為(n+1) 階極點(diǎn)；而在C外僅有 z=4(一階)這個(gè)極點(diǎn):2.部分分式法 有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運(yùn)算 所得的式子。

5、 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個(gè)多項(xiàng) 式的商。分子的次數(shù)低于分母時(shí)稱為真分式。 部分分式：把x的一個(gè)實(shí)系數(shù)的真分式分解成幾個(gè)分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的不可約 多項(xiàng)式，而且k是正整數(shù)。這時(shí)稱各分式為原 分式的“部分分式”。通常，X(z)可表示成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN時(shí)，才存在Bn；Zk為X(z)的各單極點(diǎn)，Zi為X(z)的一個(gè)k階極點(diǎn)。而系數(shù)Ak，Ck分別為： 的z反變換。例2-5利用部分分式法，求解： 分別求出各部分分式的z反變換（可查 P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反變換。3.冪

6、級(jí)數(shù)展開法(長(zhǎng)除法) 因?yàn)?x(n) 的Z變換為Z-1 的冪級(jí)數(shù)，即 所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。 如收斂域?yàn)閨z|Rx+， x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。 若 收斂域|Z|Rx-, x(n)必為左邊序列，主要展成Z的正冪級(jí)數(shù)。 例2-6 試用長(zhǎng)除法求的z反變換。解:收斂域?yàn)榄h(huán)狀，極點(diǎn)z=1/4對(duì)應(yīng)因果序 列，極點(diǎn)z=4對(duì)應(yīng)左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應(yīng)先展成部分分式再做除法。 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z - Z

7、Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116. Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.2-4 Z變換的基本性質(zhì)和定理如果則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。例2-7已知 ,求其z變換。解：2. 序列的移位如果則有：例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。3. Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：4. 序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果，則證明：5

8、. 共軛序列如果，則證明：6. 翻褶序列如果，則證明： 7. 初值定理證明：8. 終值定理證明： 又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點(diǎn)，故因子（z-1)將抵消這一極點(diǎn)，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z 1的極限。9. 有限項(xiàng)累加特性證明：10.序列的卷積和(時(shí)域卷積定理) 證明：例2-9解：11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點(diǎn)的一條逆時(shí)針單封閉圍線。 （證明從略）例2-10解： 12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內(nèi)。 （證明從略）如果則有:*幾點(diǎn)說明：2-5 Z變換與

9、拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系 一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系設(shè) 為連續(xù)信號(hào)， 為其理想抽樣信號(hào)，則 序列x(n)的z變換為 ，考慮到 ,顯然，當(dāng) 時(shí)，序列x(n) 的 z 變換就等于理想抽樣信號(hào)的拉氏變換。變換與拉氏變換的關(guān)系( S、Z平面映射關(guān)系） S平面用直角坐標(biāo)表示為： Z平面用極坐標(biāo)表示為： 又由于 所以有：因此， ;這就是說， Z的模只與S的實(shí)部相對(duì)應(yīng), Z的相角只與S虛部相對(duì)應(yīng)。 =0,即S平面的虛軸 r=1,即Z平面單位圓； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的單位圓外 。(1).r與的關(guān)系j00jImzRezS平面Z平面= 0，S平面的實(shí)軸， = 0，Z平面正實(shí)軸；

10、=0(常數(shù))，S:平行實(shí)軸的直線， = 0T,Z:始于 原點(diǎn)的射線； S:寬 的水平條帶， 整個(gè)z平面.(2).與的關(guān)系（=T）0jImZReZ二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系 連續(xù)信號(hào)經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓， 即 我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=j 的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此, 這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的Z變換,就等于理想抽樣信號(hào)傅氏變換。 用數(shù)字頻率作為Z平面的單位圓的參數(shù)，表示Z平面的輻角，模擬頻率 為s平面虛軸，則 有 。所以，序列在單位圓上的Z變換為序列的傅氏變換。三.序列的傅氏變換1.正變換:2.反變換:例1.設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里

11、葉變換。N=4時(shí)的傅里葉變換|X(ej)|argX(ej)2-6 傅氏變換的一些對(duì)稱性質(zhì)一、共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足xe(n)=xe*(-n)則稱序列為共軛對(duì)稱序列。下面分析它們的對(duì)稱關(guān)系。 設(shè)序列 其中 分別表示的實(shí)部和虛部。對(duì)其兩邊取共軛，則再將-n代入，則根據(jù)定義，則 這說明共軛對(duì)稱序列的實(shí)部是偶對(duì)稱序列（偶函數(shù)），而虛部是奇對(duì)稱序列（奇函數(shù)）。*特殊地，如是實(shí)序列，共軛對(duì)稱序列就是偶對(duì)稱序列。 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足xo(n)=-xo*(-n) 則稱序列為共軛反對(duì)稱序列。同樣有：根據(jù)定義，則 這說明共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇對(duì)稱序列（奇函數(shù)），而虛部是偶對(duì)稱序列（

12、偶函數(shù)）。 *特殊地，如是實(shí)序列，共軛反對(duì)稱序列就是奇對(duì)稱序列。 二、任一序列可表為共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列之和三、序列的傅氏變換可表為共軛對(duì)稱分量 與共軛反對(duì)稱分量之和其中，與序列類似，一個(gè)傅氏變換序列也可寫成四、兩個(gè)基本性質(zhì)證明：證明：五、序列的實(shí)、虛部與其傅氏變換偶、奇部的關(guān)系證明：j倍虛部的傅氏變換等于其傅氏變換的奇部證明：六、序列的偶、奇部與其傅氏變換的實(shí)、虛部的關(guān)系證明： 再乘以j。證明：七、序列為實(shí)序列的情況8.實(shí)序列也有如下性質(zhì)：例2.設(shè)x(n)=R4(n)，比較x(n)和x(n-2)的傅里葉變換。x(n)|X(ej)|argX(ej)線性移不變系統(tǒng) h(n)為單位抽樣響應(yīng)

13、h(n)x(n) (n) H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。2-7 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)一.系統(tǒng)函數(shù): 我們知道,一線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是h(n)必須滿足絕對(duì)可和：|h(n)|。 z變換H(z)的收斂域由滿足|h(n)z-n|的那些z值確定。如單位圓上收斂，此時(shí)則有|h(n)| ，即系統(tǒng)穩(wěn)定；也就是說，收斂域包括單位圓的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為因果序列， 其收斂域?yàn)镽+|z|；而因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域?yàn)?1|z|，也就是說,其全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。統(tǒng)三.系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表

14、示：取z變換得：對(duì)上式因式分解，令得： 系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅氏變換也即單位上的變換 稱作系統(tǒng)頻率響應(yīng)。 也就是說，其輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。對(duì)于線性移不變系統(tǒng)： 五.頻率響應(yīng)的幾何確定模：相角：2.幾點(diǎn)說明 (1). 表示原點(diǎn)處零極點(diǎn)，它到單位圓 的距離恒為1，故對(duì)幅度響應(yīng)不起作用只 是給出線性相移分量(N-M)。 (2).單位圓附近的零點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的谷點(diǎn)的 位置與深度有明顯影響，當(dāng)零點(diǎn)位于單 位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零。零點(diǎn)可在單位圓外。 (3).單位圓附近的極點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的峰點(diǎn)位 置和高度有明顯影響。極點(diǎn)在圓外，系統(tǒng) 不穩(wěn)定。零點(diǎn)在單位圓上0, 處；極點(diǎn)在 , 處 。 0。例2-14 設(shè)