差分形式的阻滯增長模型

1、差分方程模型-差分形式的阻滯增長模型1前面我們介紹了人口數量增長的阻滯型模型:它還可以用來近似描述其他受環(huán)境約束的事物的增長規(guī)律,如:種群數量的增長,傳染病的傳播,耐用消費品在有限市場上的銷售等.此模型的意義是:在t時刻單位時間內的人口數量的變化量僅僅與此時的人口數量x有關(等于右邊的值),其中的r表示人口的固有增長率,N表示能容納的最大人口數.2有時我們將時間離散化來研究可能方便些.例如:有些生物(比如魚)每年在固定的時間繁殖,我們用繁殖周期作為時段來研究其增長規(guī)律比我們簡單地以連續(xù)時間處理應該更好些.我們類似認為:經過 單位時間，即一個繁殖周期的種群數量的增長量僅僅與前一個時期的種群數量有

2、關,且有類似于上面的表達式.于是模型為3即這是一個一階非線性差分方程.對于給定的初值,我們可以從這個遞推公式運用計算機很容易地計算出一些xk.這是在計算機出現以后的一個新的特點.但是我們更關心的是當時間趨于無窮時,即k趨于無窮時, xk的極限如何.4數值計算bk0123456781.20.2.192.186.182.179.176.174.172.1711.80.2.288.369.419.438.443.444.4444.44442.40.3.504.600.576.586.582.584.5831.58342.80.2.448.692.597.6737.6155.6626.6260.655

3、53.20.3.672.705.6655.7123.6558.7223.6418.7357bk910111213141516171.2.170.169.1685.168.1677.1675.1673.1672.16711.8.4444.4444.4444.4444.4444.4444.4444.4444.44442.4.5833.58335.58333.58333.58333.58333.58333.58333.583332.8.6323.6510.6362.6481.6386.6462.6402.6450.64113.2.6222.7522.5965.7702.5664.7859.5384.

4、7953.5210歸納看到的現象5平衡點及其穩(wěn)定性我們很容易求得差分方程(2)的平衡點為0和(b-1)/b.它們分別對應于差分方程(1)的平衡點0和N.我們將這個差分方程(2)在平衡點附近展開,有注意到b=1+r1,平衡點0是不穩(wěn)定的.略去高階項得6因此當|2-b|1即 b3時,平衡點x*是不穩(wěn)定的.注:由于b=r+1,結論表明只有r2時y*=N才是差分方程(1)的平衡點;這與微分方程不同,微分方程中y=N是穩(wěn)定的平衡點(沒有條件).事情至此好像結束了.當然,我們還可以進一步判斷穩(wěn)定的平衡點是否為全局穩(wěn)定的.但是,數值計算表明,對于有些b值,平衡點不穩(wěn)定,但是xk好象在某幾個值附近循環(huán)擺動.我

5、們只需要用計算器多迭代計算幾次即可.7倍周期收斂當b3時,平衡點x*是不穩(wěn)定的.如果序列xk存在兩個收斂的子列我們就稱之為2倍周期收斂.我們稱之為單周期收斂.一般地,我們記(2)式為所謂2倍周期收斂的點就是(4)式的平衡點:即滿足8本例(2)的平衡點為0和(b-1)/b.仍然滿足上式,現在我們求的是另外兩個根:或9故故這兩個平衡點具有相同的穩(wěn)定性.且結論:10這個結論表明:這個生物種群離散阻滯型模型,當2r2.449時,如果從單代(一個繁殖周期)的角度來看,其數量是不穩(wěn)定的;但是如果從隔代的角度來看,其數量是穩(wěn)定的.這就是我們?yōu)槭裁凑f它是2倍周期收斂的原因.如:當b=3.2時,兩個2倍周期平衡

6、點為0.513,0.79945. 如:當b=3.45時,4倍周期平衡點為0.4474,0.8530,0.4327,0.8469.11類似地,我們可以對模型(2)繼續(xù)討論其2n倍周期收斂問題,其收斂性完全由參數b的取值確定.記bn為2n倍周期收斂的上限,計算表明:b0=3,b1=3.449,b2=3.544, b3=3.564,b4=3.569,b5=3.5697,b6=3.5699,Feigenbaum常數.33.63.312混沌現象的一個顯著特征是對初值依賴的極度敏感.如:當b=3.7時,對兩個初值x0=0.2,x01=0.20001,迭代100次后我們發(fā)現前者的新值為0.4814,而后者的新值為0.2572,迭代200次后分別為0.7535,0.7022相差很大.這就是所謂的“蝴蝶效應”.另外,在混沌區(qū),bb4,也并非都是亂成一片,有時候會有其他的周期收斂:如b=3.83時,呈3倍周期收斂, (0.1561493,0.5046665,0.9574166),b=3.84時,也呈3倍周期收斂(0.149406