等離子體物理學(xué)課件

1、等離子體物理學(xué)（二）李毅2011.10等離子體中，電場、磁場、速度、密度、壓力、溫度等任何一個物理量 一般會隨空間和時間變化。擾動量原則上它可以分解為各個平面波的疊加，即： 其中 為波的幅度，是物理量的Fourior分解： 對于其中任意一支平面波來說，k為波矢，w為頻率。這里我們用復(fù)數(shù)來表示波是方便的，取其實(shí)部就是實(shí)際的值。等離子體中的線性波波的速度可以用相速度和群速度來描述。相速度是波在保持相位不變的情況下的運(yùn)動速度。相位為：相位不變的條件下： 得到相速度：波的相速度波的群速度描述波包整體運(yùn)動的速度，而波包是由滿足一定色散關(guān)系的各種頻率的波組成。假設(shè)該波包的色散關(guān)系為只有頻率滿足此關(guān)系的波才

2、存在，可以表示為：因而由式積分，在波沿x方向直線傳播情況下得：波包假設(shè)波包的主要波數(shù)為k0，對應(yīng)的頻率近似有：其中群速度定義為：代入可得：可見波包的包絡(luò)以群速度vg的速度前進(jìn)。波的相速度可以超過光速。但群速度一定不能超過光速，因?yàn)槿核俣瓤梢詡鬟f信息和能量，否則會違背愛因斯坦的狹義相對論原理。 波的群速度一支波沿x方向傳播，在y、z兩個垂直方向上，電場矢量的分量Ey和Ez一般可以表示成：其中， Ey0和Ez0 ，a，b均為常數(shù)。在yz平面上的電場分量滿足：波的旋轉(zhuǎn)與偏振這表明，電場矢量端點(diǎn)在yz平面內(nèi)的軌跡是橢圓（二次曲線中只有橢圓離原點(diǎn)距離有限），因而是橢圓偏振。特殊情況下，可以是線偏振（a=

3、b或|a-b|=p），偏振方向與y軸夾角為也可以是圓偏振（Ey0=Ez0且|a-b|=p /2 ）。當(dāng) a-b=p /2 時，例如a=0 而 b =-p /2 ，此時隨著波沿著x方向前進(jìn)，相位增加，E矢量做右手旋轉(zhuǎn)。所以是波是右旋的。波的旋轉(zhuǎn)與偏振當(dāng) a-b=-p /2 時，例如，當(dāng) a=0 而 b =p /2 時：隨著波沿著x方向前進(jìn)，E矢量按左手旋轉(zhuǎn)。所以這時波是左旋的。一般情況下，不妨取|a-b|p， 當(dāng)a-b 0時，是右旋；而a-b0 時，是左旋；a-b =0或p時，是線偏振。波的旋轉(zhuǎn)與偏振xyz將等離子體中的擾動作Fourior分解，也即化為多個平面波的線性疊加。如果方程組是線性的，

4、對于所有滿足方程組的平面波來說，其線性疊加也滿足方程組。因此，從研究最簡單的平面波入手，我們就可以研究擾動在等離子體中的傳播和發(fā)展。方程組中的非線性項(xiàng)應(yīng)該被忽略，這是由方程的線性特性所決定的。另外，非線性項(xiàng)都是二階或二階以上的小量，在解線性波動問題時，可以忽略。波的線性化和平面波分解一般來說，對于等離子體中的波動來說，其頻率和波長有一定的對應(yīng)關(guān)系?；蛘哒f，對于一個給定的頻率，只有對應(yīng)波長的波動才能存在。這種對應(yīng)關(guān)系即為波的色散關(guān)系：波的群速度的計(jì)算需要用到波的色散關(guān)系：更重要的是有了色散關(guān)系，就知道了初始的擾動 在隨后的發(fā)展變化：線性波的色散關(guān)系 等離子體中，電子的運(yùn)動會引起電荷分離，使得等離

5、子體偏離電中性，從而產(chǎn)生靜電場。在這個靜電場的作用下，電子會改變運(yùn)動狀態(tài)，力圖使等離子體恢復(fù)電中性，但是在等離子體恢復(fù)了電中性之后，電子仍然具有一定的動能，其運(yùn)動又會使等離子體產(chǎn)生非電中性。我們稱電子的這種振蕩為電子靜電波，也叫Langmuir波。 這種波維持了等離子體的準(zhǔn)電中性。電子靜電波在冷等離子體中，這種波動可以用一維方程組描述： 將方程組進(jìn)行線性化和平面波分解，得到方程組：冷等離子體中的電子靜電波經(jīng)過化簡成為： 這表明，如果要 ，即波動存在，必須有在電子熱壓力不可忽略的情況下，方程改寫為這里g為多方指數(shù)，而對于電子做1維運(yùn)動的電子靜電波情況，取 g=3。而對于普通電子做3維運(yùn)動的情況，

6、取我們熟知的 g=5/3。電子靜電波的頻率方程組經(jīng)過線性化和平面波分解，成為：得到色散關(guān)系，也即這組方程存在非0解的條件為：這里vse是電子的聲波速度。熱等離子體中的電子靜電波在 的冷等離子體近似的條件下，回到冷等離子體時的電子靜電波色散表達(dá)式，此時對應(yīng)的Langmuir波的群速度為0，因而是不傳播的局域震蕩。而在熱等離子體中，Langmuir波的群速度與電子熱運(yùn)動速度可達(dá)同樣的量級，類似于電子壓力引起的縱波。 電子靜電波的頻率必須不小于電子等離子體頻率 wpe，通常這是較高的頻率。在這個頻率下，離子由于其質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，它來不及響應(yīng)這么高的頻率變化。其運(yùn)動可以忽略。 熱電子靜電波的討論對

7、于長波情況，色散關(guān)系可近似為其群速度遠(yuǎn)小于電子的熱速度vthe ：對于短波情況，當(dāng) 時， 群速度為 與電子熱速度相當(dāng)，這時會產(chǎn)生強(qiáng)烈的波與電子的相互作用，需要用動力學(xué)才能加以研究。 熱電子靜電波的討論離子的運(yùn)動可以產(chǎn)生頻率較低的波動。在研究較低頻率的等離子體波動時，需要同時考慮電子和離子的運(yùn)動（其中，a代表等離子體中的所有粒子，即電子和各種離子 ）：考慮離子成分時的靜電波將以上做過線性化和平面波分解之后的方程組再進(jìn)行消元化簡，得到色散方程 ： 其中wpa和vsa分別是a類粒子對應(yīng)的等離子體振蕩頻率和聲速。由于離子質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，則因此在高頻時wwpe，色散關(guān)系公式中的求和的各項(xiàng)中，離子項(xiàng)遠(yuǎn)

8、小于電子項(xiàng)，因而可以忽略。只保留電子項(xiàng)，此色散關(guān)系回到電子靜電波的色散關(guān)系式。 考慮離子時的靜電波色散關(guān)系考慮低頻情況（為簡化分析起見，不妨假設(shè)只有一種氫離子成份）。 離子聲波： 對于低頻長波，klDe1，色散關(guān)系公式中的電子項(xiàng)和離子項(xiàng)均遠(yuǎn)大于1（因?yàn)樗鼈兊姆帜妇芙咏?），因此可以忽略第一項(xiàng)（常數(shù)1），得到離子聲波色散關(guān)系：離子聲波這很像在普通氣體中傳播的聲波。由于波長很長，在這種長尺度條件下等離子體可以很好地保持電中性，因此引起的擾動類似于中性氣體中產(chǎn)生的壓縮波。但由于離子和電子必須保持電中性，當(dāng)離子運(yùn)動時，電子必須跟隨，兩者牢牢地結(jié)合在一起。這時電子的壓力影響也通過這種結(jié)合傳遞給離子，

9、即使離子溫度為0，因?yàn)橛须娮訅毫Φ拇嬖?，也可以產(chǎn)生離子聲波。事實(shí)上，在以后的動力論中我們知道，如果離子熱運(yùn)動速度與離子聲波的速度相當(dāng)?shù)臅r候，會產(chǎn)生阻尼現(xiàn)象，離子聲波不能存在，因此離子聲波大多在Tivs情況vAvA情況下，可忽略位移電流，與MHD結(jié)果一致。平行傳播的右旋圓偏振波右旋圓偏振波。色散關(guān)系為：偏振關(guān)系為右旋圓偏振：頻率較高時，右旋圓偏振波的色散關(guān)系又能寫為截止頻率為（也是垂直傳播的X模的截止頻率）平行傳播的右旋圓偏振波討論 接近電子回旋頻率、波長較短時，是電子回旋波：在電子回旋頻率上共振。共振時，電子可持續(xù)從右旋圓偏振波中獲得或失去能量。頻率極低時，成為右旋圓偏振Alfven波：在cv

10、A情況下，可忽略位移電流，與MHD結(jié)果一致。哨聲波 右旋偏振波在頻率遠(yuǎn)低于電子回旋頻率但又遠(yuǎn)高于離子回旋頻率時，成為哨聲波：它的群速度為會隨著頻率升高：當(dāng)擾動發(fā)生時，高頻成分的波群速度較快，會先被觀測到，而低頻成分的波隨后才能被觀測到。在地球表面，雷電引起的電磁脈沖擾動在電離層激發(fā)低頻的哨聲波，可以收到沿地球磁場傳播到另一端，可以聽到由高到低的類似哨聲的信號。Alfven波 線性的Alfven波是左旋和右旋圓偏振波的疊加：反之，圓偏振波也能看成是兩個相互垂直、相位差為90度、振幅相同的線偏振波的疊加。左旋或右旋圓偏振Alfven波，線偏振Alfven波，它們都具有相同的色散關(guān)系。Alfven波

11、是沿磁場傳播的左旋和右旋偏振波的低頻長波極限情況。在頻率趨于0時，波數(shù)k也趨于0，但與普通的截止情況不同，這不是通帶與阻帶的分界點(diǎn)。平行磁場和垂直磁場傳播的波的色散關(guān)系圖kww=kcWeWikww=kcwHHwLHwRwLwRwLwpew=kvAkB0k | B0哨聲波離子回旋波電子回旋波電磁波X模O模AlfvenAlfven電磁波X模高混雜低混雜法拉第旋轉(zhuǎn)高頻電磁波在等離子體中沿磁場傳播時，左旋的波和右旋的波遵守不同的色散關(guān)系，他們的相速度也不同。假設(shè)初始時一個線偏振的電磁波，可以分解為左旋波和右旋波的疊加。設(shè)電磁波在z=0處為 ，則在等離子體中傳播之后，波場為這兩支波在等離子體中傳播相同一

12、段距離之后，由于旋轉(zhuǎn)的角度不同，從而兩者疊加之后的線偏振波的偏振方向就會有所改變。法拉第旋轉(zhuǎn)其中，kL和kR分別是左旋波和右旋波的波矢，記 ：則可知角度j即為偏振方向轉(zhuǎn)動的角度。而 ：在磁場已知的情況下，可以用測量電磁波偏振方向的旋轉(zhuǎn)角度來得到等離子體的密度。 法拉第旋轉(zhuǎn)當(dāng)?shù)入x子體密度隨空間變化時，可以測量等離子體電子密度的線積分：電離層電子密度的線積分是地球空間物理的一項(xiàng)重要的探測內(nèi)容。思考題證明平行磁場傳播的電磁波在極低頻段是Alfven波。導(dǎo)出平行磁場傳播的哨聲波的色散關(guān)系。第9次課動理論波動理論動力論方程是描述等離子體分布函數(shù)的變化的。對于處理熱效應(yīng)、波與粒子相互作用、多種速度成分的帶

13、電粒子等現(xiàn)象時，用磁流體力學(xué)的描述顯然是不全面的，這時應(yīng)該選用動力論來處理。對于波動的問題，磁流體描述適合于冷等離子體，且波與粒子相互作用較弱的情況，除此之外，用動力論方程來研究波動問題更加準(zhǔn)確全面，且能得到一些流體的波動理論中沒有的結(jié)果。對于空間等離子體，無碰撞的Vlasov動理論方程為：一維靜電波動考慮一維靜電波擾動，線性化之后為： 注意此時v僅僅是坐標(biāo)變量，它不是1階小量。經(jīng)Fourier變換解得 ：色散關(guān)系為： 一維靜電波色散方程考慮長波，k很小，相速度很大，展開：取平衡時的分布函數(shù)為Maxwellian分布：進(jìn)而色散方程為：積分展開項(xiàng)因?qū)ΨQ性，只有偶次項(xiàng)積分不為0：應(yīng)用定積分公式：及

14、 ，遞推得 因此主值積分的結(jié)果取頭兩項(xiàng)，并考慮主要是電子的貢獻(xiàn)，則 ：進(jìn)一步近似可得 ：這個結(jié)果和流體理論得到的色散關(guān)系完全一致。而朗道認(rèn)為，以上運(yùn)算過程中，積分存在奇點(diǎn)問題，即在速度等于波的相速度時，積分的分母為0。以上的處理方法只是主值積分，正確的計(jì)算需要沿著奇點(diǎn)下方的路徑進(jìn)行。朗道積分圍道如果按照朗道指出的路徑積分，結(jié)果為：這時，w不再為實(shí)數(shù)，而是含有虛部的復(fù)數(shù)。一般對于形如其中虛部是小量，則這里下標(biāo)r、i對應(yīng)為實(shí)部和虛部。Im(v)Re(v)積分圍道朗道阻尼率應(yīng)用到此處，可以得到電子靜電波的阻尼率 ：至于為什么要使用朗道圍道進(jìn)行積分，還需要從問題本來的物理過程看。靜電波動的物理過程如果

15、最初有擾動，可以對Vlasov方程進(jìn)行時間t的Laplace變換求得以后的擾動電場，而不是做Fourier變換（空間上仍然做Fourier變換）： 積分可得代入電場方程朗道圍道的數(shù)學(xué)解釋可解出電場 ： 經(jīng)Laplace反變換這里s是充分大的實(shí)數(shù)，使得所有積分奇點(diǎn)都在積分線路的左邊。而這些奇點(diǎn)（使分母為0）就是經(jīng)過對應(yīng) 之后的色散方程。而s是充分大的條件對應(yīng)于色散方程對速度 v 的積分中，奇點(diǎn) 具有充分大的虛部，因此積分是從奇點(diǎn)下方通過的。 朗道阻尼的物理解釋有趣的是，朗道闡明了要解決這個物理問題，積分圍道需從下方繞過，才能滿足數(shù)學(xué)上的要求。而一些數(shù)學(xué)家則認(rèn)為這種做法只是純數(shù)學(xué)的東西，沒有物理意

16、義。直到后來實(shí)驗(yàn)和模擬都證實(shí)了朗道阻尼的存在，朗道的處理方法才被普遍的接受。從物理上看，朗道阻尼其實(shí)是波與電子的共振相互作用。當(dāng)電子的運(yùn)動速度與波的相速度相差不大時，電子就被波的勢阱捕獲，從而與波一起運(yùn)動。開始時速度小于波速的粒子得到加速，而開始時速度大于波速的粒子被減速，最后被捕獲的粒子平均速度都與波的速度相同。朗道圍道的物理解釋對于Maxwellian分布，運(yùn)動速度在波速附近的粒子中，速度慢的比速度快的粒子更多。從而獲得加速的粒子多于減速的粒子?？傮w看來，波失去能量而粒子獲得能量。波的幅度就會逐漸減小，形成阻尼。f(v)v通行粒子和波的勢阱中捕獲粒子被波加速的粒子（綠色）和被波減速的粒子（

17、藍(lán)色）磁化等離子體中波動的動理論設(shè)磁場沿z方向，而波矢為 ：對于動力論方程線性化之后在速度空間的柱坐標(biāo)系 中，有磁化等離子體波中的分布函數(shù)對于Maxwellian的初始分布 ：代入得解此微分方程： 其中，磁化等離子體波中的分布函數(shù)利用Fourior展開式 ：以及此式對 q 和 b 的偏導(dǎo)：可積分得其中，c是對q積分產(chǎn)生的常數(shù)，雖然它可以是 的函數(shù)，但由于對q 必須有 2p 的周期，應(yīng)該取為0。動理論伯恩斯坦波利用Fourior展開式 ：動理論伯恩斯坦波是磁化等離子體中的電子靜電波。對于靜電波，電場滿足 ：為求色散方程，做k空間的平面波分解，得在對速度空間的q做一個周期的積分之后， 的項(xiàng)積分為0

18、，對求和只有 一項(xiàng)不為0。動理論伯恩斯坦波因而化簡為：利用定積分公式：這里 In( ) 是n階修正Bessel函數(shù)。進(jìn)一步得 其中 思考題波長僅是德拜長度的2p倍的電子靜電波，其阻尼率是等離子體電子振蕩頻率的多少倍？磁化等離子體中，波與帶電粒子共振的條件是什么？試解釋該共振條件滿足時，產(chǎn)生共振的物理機(jī)制。第10次課垂直磁場傳播的靜電波 考慮垂直磁場傳播的靜電波 ，此時，色散方程為：利用 的性質(zhì)化為在極限情況下，用此考察色散關(guān)系的極限情況。垂直磁場傳播的靜電波因此，在 的極限下，有在 的極限下，有這是動理論伯恩斯坦波。w/Wkwhh/W12345斜向傳播的靜電波若 ，色散方程中，積分會出現(xiàn)奇點(diǎn)。

19、如同朗道阻尼的處理，需要用朗道圍道做積分。即在滿足共振條件的情況下，色散方程中會出現(xiàn)虛部。化簡其中， 是等離子體色散函數(shù)。斜向傳播的靜電波等離子體色散函數(shù)的定義如下：其中，s = 0, 1, 2 分別對應(yīng)著積分圍道取從奇點(diǎn)之上（對應(yīng)于主值積分），穿過奇點(diǎn)，以及從奇點(diǎn)之下穿過（朗道圍道）。伯恩斯坦波沒有阻尼，而對于斜向傳播的靜電波，可產(chǎn)生阻尼。波與帶電粒子的共振條件為平衡系統(tǒng)的MHD不穩(wěn)定性 MHD不穩(wěn)定性能量原理：假設(shè)系統(tǒng)中的等離子體各處都有微小位移，如果系統(tǒng)整體的能量有所上升，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，反之，則不平衡。如圖所示：設(shè)位移速度可以表示為位移之后勢能增加，系統(tǒng)穩(wěn)定位移之后勢能減小，系

20、統(tǒng)不穩(wěn)定擾動對系統(tǒng)的影響 連續(xù)性方程得到：作為隨體運(yùn)動，從絕熱方程得到從磁場凍結(jié)方程得到從牛頓方程得到由于F與x成正比，系統(tǒng)能量的變化為系統(tǒng)能量的變化其中：注意到 ，即磁場與邊界面平行，否則等離子體會沿著磁力線運(yùn)動，邊界無法靜止。因而擾動滿足的邊界條件在邊界兩邊總壓力是一樣的，即考慮到擾動時，其隨體的變化為：在等離子體和真空的邊界，在跟隨等離子體運(yùn)動的坐標(biāo)系中，電場切向分量連續(xù)，且都為0，即知邊界附近的真空中其中運(yùn)用了磁場與邊界面平行的邊界條件。上式可簡化為并注意到真空的表面和等離子體的表面的矢量方向相反，且真空中沒有電流，即 金屬壁包圍等離子體的系統(tǒng)運(yùn)用 化簡，上式中，在完全導(dǎo)電的金屬壁上，

21、電場切向分量為零，因此在真空中的金屬壁邊界附近因此可以不考慮真空與金屬壁邊界面上的積分。系統(tǒng)能量的變化的各項(xiàng)最后化簡能量公式得分析式中各項(xiàng)的作用，第一項(xiàng)總是正的，起穩(wěn)定作用。等離子體形變時，引起真空區(qū)間的磁場變化，而真空中的磁場本來處于能量最低狀態(tài)，任何改變真空磁場狀態(tài)的變化都要花費(fèi)能量，因此這項(xiàng)抑制等離子體形變。系統(tǒng)能量的變化各項(xiàng)的作用第二項(xiàng)，如果從等離子體到真空時，總壓力（磁壓加動壓）增大，則這項(xiàng)為正，起穩(wěn)定作用，反之則是起不穩(wěn)定作用。因此要想穩(wěn)定，需要真空中的磁壓力要越來越大。第三項(xiàng)，是等離子體內(nèi)部的磁場起的穩(wěn)定作用。第四項(xiàng)，經(jīng)常引起不穩(wěn)定，即電流驅(qū)動的不穩(wěn)定性。第五項(xiàng)中的前一部分，常常

22、引起壓力不均勻?qū)е碌牟环€(wěn)定性，后一部分總是正的，是等離子體的可壓縮性提供的穩(wěn)定作用（對于不可壓縮等離子體，這項(xiàng)為0）。Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性考慮有重力的情況，在垂直方向（y方向），流體密度不均勻，且上面的流體密度大于下面的密度，可以引發(fā)Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性。設(shè)初始擾動：且流體是不可壓縮的，即考慮系統(tǒng)擾動之后的受力變化為：Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性將方程做旋度運(yùn)算以便消去壓力項(xiàng)，并注意到平衡時的0階密度只與y有關(guān)，則利用不可壓縮條件消去得到 在每一種介質(zhì)里面，密度是常數(shù)，方程變?yōu)椋簒ykRayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性在邊界y=0附近區(qū)間

23、對原方程積分得到 若上面的密度大于下面的密度，則得到虛的頻率，引發(fā)不穩(wěn)定性，其增長率為 對于有磁場的情況，注意到磁場散度為0，以及邊界處磁場法線方向分量為0，因此B0y=0，磁場只有x和z分量。 Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性旋度作用后的受力方程中增加磁場力一項(xiàng)為 而而代入下式： Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性因此， 或同樣在分界面附近積分，得到頻率的表達(dá)式：磁場項(xiàng)永遠(yuǎn)不小于0，在這里起穩(wěn)定作用。直觀地看，磁力線有張力而趨于平直，它與等離子體凍結(jié)，起固定等離子體的作用，抑制不穩(wěn)定性。第11次課柱形等離子體不穩(wěn)定性假設(shè)等離子體離開平衡位置的位移可表示為：且等離子體是不可壓縮的

24、，即考慮柱形等離子體內(nèi)部磁場和壓力是均勻且電流存在于等離子體柱表面的情況，內(nèi)部磁場外部磁場受力方程為柱形等離子體不穩(wěn)定性記總壓強(qiáng) ：保留一階擾動小量時而從磁感應(yīng)方程及不可壓縮條件式可知 進(jìn)而可得取散度，由不可壓縮條件可得柱形等離子體不穩(wěn)定性化為Bessell方程 ：可解得滿足r=0處有限的解： 這里Im(x)是修正Bessell函數(shù)。對壓力梯度式取方向分量，可得柱形等離子體不穩(wěn)定性在等離子體外部，因?yàn)闆]有電流，故磁場可以用勢場表示：因?yàn)榇艌龅纳⒍瓤偸菫?，即有 同樣滿足與類似的Bessell方程，其解為在無窮遠(yuǎn)處為0，在這個邊界條件下， 這里Km(x)是修正Bessell函數(shù)。因而， 柱形等離

25、子體不穩(wěn)定性等離子體內(nèi)部和外部的擾動場現(xiàn)在都已經(jīng)知道，還需要用邊界條件將他們聯(lián)系起來，考慮等離子體內(nèi)外的邊界上的連續(xù)條件，一個是壓力平衡，即 化為 由于在邊界兩邊磁場的法向分量（即這里的徑向分量）連續(xù)，則可知這是第二個邊界上的連續(xù)條件：柱形等離子體不穩(wěn)定性即對于此式，結(jié)合前面的表達(dá)式，可以解得：討論：右式中的各項(xiàng)，若大于0，則起穩(wěn)定作用，若小于0，則起不穩(wěn)定作用。右式中的第一項(xiàng)，內(nèi)部的z方向磁場存在，使得磁力線盡量延z方向伸直，對圓柱起穩(wěn)定作用。右邊第二項(xiàng)，由于 而 因而也總不小于0的，起穩(wěn)定作用，只有在擾動與磁力線同步時，這一項(xiàng)才為0，此時，不穩(wěn)定性最容易發(fā)生，即產(chǎn)生螺旋不穩(wěn)定性。臘腸不穩(wěn)定

26、性發(fā)生在 。此時，穩(wěn)定性判別式為 由于 的極大值為1/2，故穩(wěn)定性條件是 直觀看來，當(dāng)?shù)入x子體柱的半徑變化時，內(nèi)部場因磁通量不變，與橫截面面積成反比，即 而外部場當(dāng)柱的半徑變化時，內(nèi)部磁壓強(qiáng)、外部磁壓強(qiáng)變化為臘腸不穩(wěn)定性穩(wěn)定條件為即可化為與我們之前推導(dǎo)一樣的結(jié)果：M=0M=1M=2扭曲不穩(wěn)定性發(fā)生在 。此時，穩(wěn)定性判別式為 對于短波，ka較大的情況，穩(wěn)定性可以保證；但對于長波情況， ，此時，兩類修正Bessell函數(shù)的近似表達(dá)式為：扭曲不穩(wěn)定性特別地在長波極限下，近似有：因此，對于長波擾動，B0z為0的情況總是不穩(wěn)定的。對于有足夠大的 的情況，最容易產(chǎn)生不穩(wěn)定性的依然是的長波情況。此時，等離子

27、體柱彎曲時，內(nèi)側(cè)磁場變強(qiáng)，加劇彎曲，而縱向磁場B0z起著阻止彎曲繼續(xù)加大的趨勢，起穩(wěn)定作用。扭曲不穩(wěn)定性利用修正Bessell函數(shù)的近似展開式 可得：對于不同的k，頻率取得的最小值為只要它不小于0，系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。交換不穩(wěn)定性普通流體中的Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性，在等離子體中表現(xiàn)為交換不穩(wěn)定性。以磁場來平衡等離子體所受到的非電磁力（例如重力），就可能會出現(xiàn)這種不穩(wěn)定性。設(shè)想磁通相同的兩束相鄰的流管1與2，交換過后體積互變，體積改變的同時，壓力變化滿足絕熱條件，以流管1為例，體積由V1變?yōu)閂2，壓力從P1變?yōu)镻1，設(shè)內(nèi)能的表達(dá)式為交換不穩(wěn)定性交換之后，內(nèi)能變化為交換不穩(wěn)定性由于上

28、式中的第一項(xiàng)總是正的，因此不穩(wěn)定性僅在于當(dāng)?shù)诙?xiàng)小于0時才有可能出現(xiàn)?？紤]等離子體邊界處，等離子體通量管和它相鄰的真空通量管交換時，總有dP0，因此穩(wěn)定條件為dV0 ，即同樣磁通量的真空通量管的體積比相鄰的等離子體通量管小，因此式中，F(xiàn)是磁通量，B是磁場強(qiáng)度。雙流體不穩(wěn)定性考慮等離子體由兩種成分構(gòu)成，它們各自有初始的速度。在此基礎(chǔ)上，研究有小擾動之后等離子體的穩(wěn)定性問題。假設(shè)是一維的靜電情況，且各成分均是冷的。雙流體不穩(wěn)定性色散關(guān)系做小擾動的波動分析，得：因此，色散關(guān)系為： 雙流體不穩(wěn)定性色散圖分析對于只有兩種成分的等離子體，這個色散方程對于任意一個k去求解w都有4個解（包括復(fù)數(shù)根）。從頻率-波數(shù)的函數(shù)的圖形上看出，在頻率和波數(shù)都趨向于無窮大時，分母為零的兩個直線其實(shí)是圖形的漸近線，此時色散方程其中一項(xiàng)趨向于0，而另一項(xiàng)由于在漸近線附近，分母卻不是很大，該項(xiàng)的值趨向于1。kw雙流體不穩(wěn)定性臨界波數(shù)討論不穩(wěn)定性發(fā)生的條件和增長率。從色散關(guān)系的圖形中可以看出，有一個長波區(qū)域，當(dāng) |k| 小于某個臨界值時，出現(xiàn)不穩(wěn)定性，這時給定k之后，只能求得2個實(shí)頻率，另兩個是一隊(duì)共軛的復(fù)數(shù)解，其中必有一個產(chǎn)生不穩(wěn)定性。通過令 dk/dw = 0 求出臨界波數(shù) kc 滿足 雙流體不穩(wěn)定性色散方程求解在這個臨界波數(shù)上，增長