高三數(shù)學(xué)等差、等比數(shù)列習(xí)題精選精講

1、等差數(shù)列及等比數(shù)列的“遺傳”與“變異”.遺傳若數(shù)列！an是公差為d的等差數(shù)列，則由此構(gòu)造出的以下數(shù)列是等差數(shù)列.如：Gn去掉前面幾項后余下項組成的仍為公差為d的等差數(shù)列.（2）所有的奇數(shù)項組成的是公差為 2d的等差數(shù)列；所有的偶數(shù)項組成的是公差為 2d的等差數(shù)列；形如G , （其中k是常數(shù)，且k w N ）的數(shù)列都是等差數(shù)列. n -k由此可得到的一般性結(jié)論是：凡是項的序號成等差數(shù)列（公差為k）的項依次組成的數(shù)列一定是等差數(shù)列，公差為 kd .（3）數(shù)列c，an（其中c是任一個常數(shù)）是公差為 cd的等差數(shù)列.數(shù)列an +c（其中c是任一個常數(shù)）是公差為 d的等差數(shù)列.（5）數(shù)列 也 +an*

2、（其中k是常數(shù),且k w N）是公差為（k +1）d的等差數(shù)列.（6）若 匕是公差為d1等差數(shù)列，且p,q為常數(shù)，則數(shù)列p，an +q bn卜定是公差為 pd+qd1的等差數(shù)列.（7）等差數(shù)列an中，任意連續(xù)k項的和是它前面連續(xù) k項的和與它后面連續(xù) k項的和的等差中項，也就是說這些連續(xù)k項的和也構(gòu)成一個等差數(shù)列.若右n）是公比為q的等比數(shù)列，則由此構(gòu)造出的以下數(shù)列是等比數(shù)列.如：（an去掉前面幾項后余下項組成的仍是公比為q的等比數(shù)列.（2）項的序號成等差數(shù)列（公差為 k ）的項依次取出并組成的數(shù)列一定是等比數(shù)列，公比為 qk .（3）數(shù)列1a*是公比為|q的等比數(shù)列.（4）數(shù)列，an （ c

3、是任一常數(shù)且c = 0）是等比數(shù)列，公比仍為 q .0nm ）（ m是常數(shù)，且 m w K）是公比為qm的等比數(shù)列.特殊地：若數(shù)列 n是正項等比數(shù)列時，且 m是任一個實常數(shù)，則數(shù)列 anm是公比為qm的等比數(shù)列.Qn，an十（其中k是常數(shù)，且kw n）是公比為qk*的等比數(shù)列.（7）若 匕是公比為q的等比數(shù)列，則an bn 是公比為q q的等比數(shù)列.（8）等比數(shù)列 n中，若任意連續(xù)k項的和不為0 ,則任意連續(xù)k項的和是它前面連續(xù) k項的和與它后面連續(xù) k項的和的等比中項，也就是說這些連續(xù) k項的和也構(gòu)成一個等比數(shù)列.2 .變異若數(shù)列%n上（bn 均為不是常數(shù)列的等差數(shù)列時，則有：（1）當(dāng)數(shù)列a

4、n中的項不同號時，則數(shù)列 an|一定不是等差數(shù)列.（2）數(shù)列 an + 不是等差數(shù)列（3） gnm）（m是常數(shù)，且 mK, m#1, an#0）不是等差數(shù)列.（4）數(shù)列Gn bn 不是等差數(shù)列.若數(shù)列必口 ）為不是常數(shù)列的等比數(shù)列時，則有：（1） 數(shù)列必n +c（其中c是任一個不為。的常數(shù)，）不是等比數(shù)列.（2）數(shù)列5n +anJ不一定是等比數(shù)列.如 an =（1）n時，則an +an由=0,所以 Q +an十不是等比數(shù)列.（3）數(shù)列 也+bn ）不一定是等比數(shù)列.3 .突變?nèi)魯?shù)列（an是公差為d的等差數(shù)列，則 Qan （其中c是正常數(shù)）一定是公比為 cd的等比數(shù)列.若an 是公比為q的正項等

5、比數(shù)列，則logc an (其中c是不等于i的正常數(shù))是公差為 logc q的等差數(shù)列.數(shù)列易錯題分析例題選講1、不能正確地運用通項與前 n項和之間的關(guān)系解題：例1、已知數(shù)列an的前n項和求通項公式an：(1)S0= 5n2 + 3n； (2)Sd= 3n2;【錯解】由公式 an=sn sn得：(1) an=l0n 2; (2) 4=2 3”，【分析】應(yīng)該先求出 a1,再利用公式an=&sn_1fn22求解.1(n=1)【正解】(1)an=10n2;(2) an = 0時，可得 q2 -6q +1 = 0，二 q怪9主15421J2當(dāng) q Sm+ 2 = Sm + am+1 + am+2由已知

6、 2sm+2= Sm+ Sm+ 1, 一 2(Sm+ am+ 1 + am+ 2)= Sm+ (Sm+ am+1),11_一 am+ 1 2am am+ 2 4am.：am+2= 1am+1,即數(shù)列an的公比 q=-1.- 2am+2 = am+am+1 ) , - arni?am+ 2)am+1 成等差數(shù)歹U(口)( I )的逆命題是：若am, am+2, am+1成等差數(shù)列，則Sm, Sm+ 2, Sm+1成等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列an的公比為 q, - am+ i = amq,am+2= amq 由題設(shè)，2am+ 2 = am+ am+1,即 2amq2= am+amq,即 2q2 q 1 =

7、0, ： q= 1 或 q = g當(dāng)q = 1時，A，0, ：Sm，%+2， Sm+1不成等差數(shù)列.逆命題為假.例題 8 已知數(shù)列an滿足 a1二1,a2=-13, an蟲2an + a an = 2n -6(I)設(shè) bn = an 書an，求數(shù)列bn 的通項公式； (口)求n為何值時，an最小(不需要求an的最小值)解：(I) ; bn =an+ an，：. an42 -2Hn 中十 Hn書bn =20 -6bn-bn=2(n-1)6, bn,/=2” 2) 6，., b2 bi = 26將這 n -1 個等式相加，得 bn -b1 21 2 . (n -1) -6(n -1)rc.bn =

8、 n(n -1) -6( n-1) -a)= n -7n -8即數(shù)列bn的通項公式為bn =n2 -7n -8(口)若an最小,則an Wan且an an.即bn。且bn*之0尸 2_-一n -7n-8 至0二注意n是正整數(shù)，解得8wn&9：當(dāng)n=8或n=9時，an的值相等并最小Jn -1)2 -7(n -1) -8 0例題9 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(1,1)成中心對稱，且f(1)=0. ( I )求函數(shù)f(x)的表達式；(口)設(shè)數(shù)列an滿足條件：a1 e(1,2),an+1=f (an)求證：(aL a2) (a3- 1)+(a2 a3) (a4 1)+(an an+

9、1)(an+2 1) 0bnbn bn+1 (a1_ a2) (a3 1)+(a2a3) (a4 1)+(an an+1) (an+2 1)nn=Z (bk -bk 由)bk攵 Z (bk bk+) =b1-bn+1Vbi 1。kikJ例談數(shù)列知識在解題中的應(yīng)用某些數(shù)學(xué)問題初看好像與數(shù)列性質(zhì)毫不相干，但如果我們能仔細觀察已知條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，或挖掘題目的隱含因素，經(jīng)過恰當(dāng)?shù)?變形處理，可發(fā)現(xiàn)它們與數(shù)列仍有密切關(guān)系。通過構(gòu)造等差(比)數(shù)列，然后利用等差(比)數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)可巧妙簡捷地求解，下面 通過具體的例子來說明。一、巧設(shè)公差(比)求解方程(組)例 1.解方程：+ 5 = 3式+2分析：本

10、題若兩邊平方直接解方程很繁，如能分析方程結(jié)構(gòu)特征，變形巧設(shè)等差數(shù)列，則很簡潔。-(3* + 2), - +亍一+ 5解：由已知顯然，2成等差數(shù)列V? + 2T + 1 = + 2 - d TOC o 1-5 h z ,2r-2t 3x + 2,.-jx +7x + 5 =+ d 所以可設(shè)L2_21 -2+2”-2囪+ 2)d所以d =1/一-弓 HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 1Ox = -(22j6)工二-若4 = 1,代入(1)得： 5、,是增根，舍去。若3符合。所以原方程的解為:例2.解方程組:解：由（1）變形得：2（砂+1） 5后12

11、 = 0解得：歷Q = 4,即中= 15 =,即彳，Ji5，y成等比數(shù)列。1 訝-30+15=0-35x =門孫y =所以可設(shè)4 代入整理得:/ = -VE ? = 1V15即 3 或 5經(jīng)檢驗，上述四個解都是原方程組的解。二、巧用等差（比）知識解（證）不等式例3.（第19屆莫斯科奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)-且用 H 1分析：如能聯(lián)想到無窮遞增等比數(shù)列的求和公式:證明：因為l M i所以1 l yr +于之11- x2 1-y21- 9=2 + 1口 +力+（7 +/） + 2=2 + 2v + 2 兀，,+ 二1 9例4.（第25屆IMO）設(shè)x, y, z為非負實數(shù)，且J+ + Z= 1 ,求證

12、：0 xy- yz -zx-2xyz 0 所以;一箝十當(dāng)且僅當(dāng)k = i y = z=。時取“=”d-1 -4-所以原不等式成立。三、巧用等差（比）數(shù)列知識求最值例5,已知X*L，* WR求使成立的z的最大、小值。解：因為（5-z)(所以攵口 一 1卜一 13 4 U即：四、巧用等差（比）數(shù)列知識解有關(guān)應(yīng)用問題5-才5-z.* yx = f-y -2成等差數(shù)列所以可設(shè)2x = y =所以當(dāng)35-z3整理得：3z2 - 10- 13 =-箝_ 13八一行當(dāng)X 7=3時，公=T代入得:例6,從n個數(shù)許a 相等。11 g 2）中拿走若干個數(shù)，然后將剩下的數(shù)任意分成兩個部分，證明：這兩部分之和不可能w

13、34.-1 口 一 &it v1 + u +1 +-ah 1 = a - 1 2時，1一鼻不妨設(shè)剩下的數(shù)中最大的數(shù)飛訓(xùn) 在第一部分中，則第一部分各數(shù)之和對任意k E N成立。之理l + 】 + M +&明T 第二部分之和，得證。例7,桌面上有p（p 1005個杯子，杯子口全部向上，按如下規(guī)則對杯子進行操作：第一次任意翻動其中1個杯子，第2次任意翻動其中2個杯子，第n次任意翻動其中的n （n2）把上面n個式子用疊加法相加得 an =3 + +2）（n -1）2癥狀三遞推關(guān)系題入手難【表現(xiàn)】對形如“已知 a1，且an = pan1+ q ,求通項an =?”的數(shù)列問題不知該如何求解【癥結(jié)】 對高考

14、試題中的一些典型數(shù)列問題（如差等比數(shù)列）缺乏系統(tǒng)的求解方法【突破之道】 差等比數(shù)列是高考數(shù)列問題的典型。一階差等比數(shù)列問題解題的關(guān)鍵是找到一個適當(dāng)常數(shù)c, an -c為等比數(shù)列，如何找到常數(shù)c呢？若常數(shù)an滿足a = a , an = pan +q，其中a, p,q為常數(shù)，且p # 0,1 （因為p = 0,1的情形很簡單，可直接求通項，此處從略）。存在常數(shù)c,使an -c為等比數(shù)列，其中的參數(shù) c由特征方程c= pc + q給出，從而，可將新問題轉(zhuǎn)化 為一個比較簡單的問題。例3已知數(shù)列an滿足& =5, an噌 = -2an +6 ,求數(shù)列an的通項an.解析 若能注意到a十一2 = 2an

15、+4 = 2（an 2）,于是可視數(shù)列an2是以首項a1一2=3,公比為q = 2的等比數(shù)列，于是利用等比數(shù)列的通項公式得 an2=3 （2）n/（nw N 即an = 2+ 3,（_2）n（nw N j.癥狀四缺乏Sn與an的辯證思考【表現(xiàn)】對以Sn= f （an）或an = g（Sn）型給出的遞推關(guān)系試題不知如何下手，如：設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn,并且對于所有的自然數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項。（1）寫出數(shù)列an的前3項；（2）求數(shù)列an的通項公式（寫出推理過程）；（3）令 bn =1（an+-a-）（n N j ,求 lim（ b1 +b2 +IH +b

16、n -n）2 anan 1i參考答案：略【癥結(jié)】對適用于任意數(shù)列的重要關(guān)系式未掌握和靈活運用之?！就黄浦馈?對于任意數(shù)列an有Si =a1，Sn Snv =an（n至2）（適用于任意數(shù)列的重要關(guān)系式），這表明Sn =a1 +a2 +a3十|+an(nw N。構(gòu)成了一個新的數(shù)列Sn,它的通項Sn表示相應(yīng)數(shù)列an的前n項和，它的第一項 S表示數(shù)列an的第一項a1,當(dāng)n之2時，數(shù)列Sn相鄰項的差Sn -SnJL = an,這就是數(shù)列an與其和數(shù)列Sn之間的辯證關(guān)系。 另外，某些特殊數(shù)列可以通過適當(dāng)?shù)淖兓?如裂項相消)以后求和。例4已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和Sn滿足G 1,且6&=(an+

17、L)(an+2), nw N+, (L)求an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足an(2bnL)=L,并記 Tn 為bn的前 n 項和，求證：3Tn+1log2(an +3), nw n+.2_解析(1)令 n =L ,得 n =L6aL =aL +3aL +2解彳導(dǎo)a = 2 (注意條件a1三 1 ,舍去a =1)；若n至2,則由 6Sn = (an + 1)(an + 2)得 6Sn=(an+ 1)缸+ 2),n 2 兩式相減得 6an =(an+1)(an+2) (an+1)(an,+2), nA 2,整理即得(an +an)(an an,)=3(an +an),由題意有 an 0( n

18、w N +),an -anA=3 ( n 2)于是數(shù)列an是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，則 an=3n1, (nW n *)(2)略。對于一力數(shù)列&,若已知條件為 S = f (an),求通項a的方法，除了用“嘗試一一猜想一一探求一一發(fā)現(xiàn)”(最后用數(shù)學(xué)歸納法嚴格證明)思維模式外，還有其他的處理方法，由Sn = f(an)首先推出三a1 = f (a1),解除三優(yōu)的大小，接著常有兩個思考方向：當(dāng)n之2時，Sn = f (Sn Sn)，問題轉(zhuǎn)化為S與Sn(n 2)的關(guān)系問題(前面已求出),求出Sn后，可用a = G，an =Sn Sn(n之2)求出數(shù)列an的通項；利用遞推關(guān)系作差技巧，由Sn

19、= f(an)得Sn= f(an)(n之2),而an三Sn Sn(n之2 ),兩式相減即得an = f (an) f(an)，于是我們就把問題轉(zhuǎn)化為 an與an之間的問題了(一般情況下，轉(zhuǎn)化到這一步問題就比較容易解 決了)。數(shù)列綜合應(yīng)用問題專題縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法，1.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性

20、問題既要有堅實的基礎(chǔ)知識，又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識來解決問題一.典型例題解析：t 2t2,例1.已知一次函數(shù)y=f(x)在x=處取得取小值 (t 0),f(1)=0.(1)求尸f(x)的表達式；24(2)若任意實數(shù)x都滿足等式f(x) g(x)+anx+bn=xn+1 g(x)為多項式，n N*),試用t表示an和bn；(3)設(shè)圓Cn的方程為(x-an)2+(y- bn)2=rn2,圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,);豚是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個圓

21、的面積之和，求rn、Sn.t 2 c t2(1)設(shè) f(x)=a(x)2,由 f(1)=0 得 a=1. ：f(x)=x2(t+2)x+t+1.(2)將 f(x)=(x1) ：x-(t+1)代入已知得：(x - 1) x(t+1) g(x)+anx+bn=xn+1,上式對任意的x R都成立,取x=1和x=t+1分別代入上式得:3n +bn =1(t +1)an +bn =(t+1嚴1且 W0,解得 an=l ：(t+1)n+1-1,tbn=U口 (t+1)(3)由于圓的方程為(x-an)2+(y-bn)2=rn2,又由(2)知an+bn=1,故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上，又圓Cn與圓g

22、+1相切，故有rn+rn+1= 22 |an+1 - an I = J2 (t + 1)n+1設(shè)rn的公比為q,則% +拓=也4+1嚴Jn+ +nfq =，2(t +1嚴;Sn=無(r1 +r2 + - 2 , 2n2、- r1 (q -1)+rn )=2q -12 二(t1)4=_ 3t(t 2)(t+1)2n 1+得叫代入得出號例2從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元, 1以后每年投入將比上年減少1 ,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入51每年會比上年增加 一.(1

23、)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬兀，旅游業(yè)息收入為 bn萬兀，與出an,bn的表達式；4(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？知識依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800X(11)萬元，第5巧.n年投入為800X (1 1廠1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入5為 an=800+800 X (1 1)+ +800 X (1 51 n-1 /-)=Z 800X(1

24、-5 k 11 尸=4000 X51-(-)】5第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 11 400X(1 + -),，第n年旅游業(yè)收入400X(1 + -)n 1萬兀.所以，n年內(nèi)的旅400X(-)k 1.=1600X (5)nT】44 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 44游業(yè)總收入為 bn=400+400 X (1+ 1 )+ +400 X (1+ 1 )k 1 = 44 k W(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超

25、過總投入，由此bn-an0,即：1600X ：(5)n-1 - 4000X 1-(-)n 0,令 x=(9)n,代入上式得：5x2 7x+20.解止匕不等式，得 x1(舍去).即 4555(4)n5.至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入. HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 55二.專題訓(xùn)練填空題.在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，Pl(X1,yi)、P2(X2,y2)是第一象限的兩個點，若 1,X1,X2,4依次成等差數(shù)列，而 1,yi,V2, 8依次成等比數(shù)列，則a OP1P2的面積是.解析：由1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列得：2xi=X

26、2+1,xi+X2=5解彳t xi=2,X2=3.又由1,y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得y12=y2,y1y2=8,解彳t y=2,y2=4, Pi(2,2),P2(3,4).OP1 =(2,2)，函=(3,4) .麗麗=6 +8 =14，函=2/2 OP2 |=5,cosP1OP2 三orop2147,2|OPi |OP2 | 5 2、2 - 10 -2sinP1OP2 = 10答案：11 2、2 5 2=1210S.OP1P21 =1|OR 110P2|sinROP2 =.從盛滿a升酒精的容器里倒出 b升，然后再用水加滿，再倒出 b升，再用水加滿；這樣倒了 n次，則容器中有純酒精 升.解

27、析：第一次容器中有純酒精a b即a(1 b)升，第二次有純酒精a(1-b)- TOC o 1-5 h z a(1 -一)ba-b ,即a(1- -b)2升，故第n次有純酒精a(1aab )n升.答案：a(1- b )naa.據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會議 政府工作報告：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到 95933億元，比上年增長7.3% 如果“十五”期間(2001年2005年)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為億元.解析：從2001年到2005年每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項，以7.3%為公比的等比數(shù)列，：a5=95933(1+7.3%)4 120000(億元).答案：120000三、解答題.據(jù)有關(guān)資料，1995年我國工業(yè)廢棄垃圾達到7.4X 108噸，占地562.4平方公里，若環(huán)保部門每年回收或處理1噸舊物資，則相當(dāng)于處理和減少4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可節(jié)約開采各種礦石20噸，設(shè)環(huán)保部門1996年回收10萬噸廢舊物資，計劃以后每年遞增20%的回收量，試問：(1)2001年回收廢舊物資多少噸？(2)從1996年至2001年可節(jié)約開采礦石多少噸(精確到萬噸)？(3)從1996年至2001年可節(jié)約多少平方公里土地？解：設(shè)an表示第n年的廢舊物資回收量，Sn表示前