高一物理暑期補(bǔ)課講義-曲線運(yùn)動(dòng)及萬有引力必修二

1、曲線運(yùn)動(dòng)、天體與萬有弓I力.物體是否做曲線運(yùn)動(dòng)的條件：F合的方向是否與v的方向在同一直線上。廠F合與v方向在同一直線，直線運(yùn)動(dòng)L F合與v方向有夾角，曲線運(yùn)動(dòng).當(dāng)F合為恒力時(shí)，勻變速運(yùn)動(dòng)（a不變）直線或曲線運(yùn)動(dòng)。.所有的天體在計(jì)算時(shí)軌道均簡化成圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由萬有引力提供；g專指地面重力加速度，對(duì)近地衛(wèi)星可有 $ =mg = F向，此式的靈活運(yùn)用可解決很多實(shí)際問題。曲線運(yùn)動(dòng):例1. 一個(gè)物體以Vo水平拋出，落地時(shí)速度為 V,那么運(yùn)動(dòng)時(shí)間為V - VogVv0V2 -V2V2V2 C. D.解：平拋物體的飛行時(shí)間可以從下落高度或豎直分速度求出。本題可以用豎直分速度去解。豎直分速度 , 2 2

2、_Tvy = i；v2 v； =gt, t = F 正確選項(xiàng)是 Cog例2.作平拋運(yùn)動(dòng)的物體，在落地前的最后1s內(nèi)，其速度方向由跟豎直方向成60角變?yōu)楦Q直方向成45角，求：物體拋出時(shí)的速度和高度分別是多少?解：解析1設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為Vo,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則經(jīng)過(t 1) s時(shí)，Vy=g (t 1),tan30=nV0經(jīng)過 ts 時(shí)：vy = gt, tan450=gJL包300 t=空叵sV。t tan 45 2V0=gt/ tan 450= 23.2 m/s , H= 1 gt 2=27.5 m.解析2此題如果用結(jié)論解題更簡單.Av=gAt=9. 8m/s ,又有 vot45 口一 V0

3、cot60 0= A v,解得 V0=23. 2 m/s ,由題可知，落地前瞬間Vy= v 0 ,所以H=Vy2/2 g= 27.5 m點(diǎn)評(píng) 此題如果畫出最后 1s初、末速度的矢量圖，做起來更直觀。（例3）例3.如圖所示，一高度為h=0.2m的水平面在 A點(diǎn)處與一傾角為 。=30 的斜面連接，一小球以 V）=5m/s的速度在平面上向右運(yùn)動(dòng)。求小球從 A點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到地面所需的時(shí)間 （平面與斜面均光滑， 取g=10m/s2）。某同學(xué)對(duì)此題的解法為：小球沿斜面運(yùn)動(dòng)，則=v0t +Jgsine t2,由此可求得落sin 二地的時(shí)間t。問：你同意上述解法嗎？若同意，求出所需的時(shí)間；若不同意，則說明理由并求

4、出你認(rèn)為正 確的結(jié)果。解：不同意。小球應(yīng)在 A點(diǎn)離開平面做平拋運(yùn)動(dòng)，而不是沿斜面下滑。正確做法為：落地點(diǎn)與 A點(diǎn)的水平距離s = V0t = v0v2h/ g = 5v2x0.2/10 = 1 m斜面底寬l =hcot 1-0.2 .3 = 0.35m因?yàn)閟 l ,所以小球離開 A點(diǎn)后不會(huì)落到斜面，因此落地時(shí)間即為平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間。t = 2h/g = 2 0.2/10 =0.2s例4.手表的秒針長1厘米。表針的運(yùn)動(dòng)可視為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，取 冗=3。則秒針的角速度切=一,這是分針角速度的 倍。秒針針尖的線速度 v=。22 二解：秒針轉(zhuǎn)一圈用時(shí)60秒，分針轉(zhuǎn)一周用時(shí) 60分，根據(jù)切=J ,所以秒針角速度

5、0 = = 0,1弧T60度/秒。6秒：切分=60。又因?yàn)関 =RO所以秒針針尖線速度：v = 0.1父10/ =1.0父10米/秒例5.如圖11所示，細(xì)繩一端系一個(gè)質(zhì)量M= 0.6千克的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3千克的物體，M的中點(diǎn)與圓孔距離為0.2米，并已知 M和水平面間的最大靜摩擦力為2牛，現(xiàn)使此平面繞過小孔的中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度6數(shù)值在什么范圍內(nèi) m才會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？2T f = M1r,1弧度/秒。當(dāng)具有最小值時(shí) M有向圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢，故 f與T方向相反,解：M和m受力如圖16所示，由于 m處于靜止?fàn)顟B(tài)T = mg。當(dāng)切具有 最大值時(shí)M有離開圓心趨勢

6、，f指向 圓心2T - fT f = Mco2r ,。2=2.9 弧度/秒。, Mr（例6）例6.如圖所示，直徑為 d的紙質(zhì)圓筒，以角速度 3繞軸O高速運(yùn)動(dòng)，有一顆子彈沿直徑穿過圓筒，若子彈穿過圓筒時(shí)間小于半個(gè)周期，在筒上先、后留下a、b兩個(gè)彈孔，已知ao、bo間夾角為。弧度，則子彈速度為 解：解析 子彈在a處進(jìn)入筒后，沿直徑勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t=d/v時(shí)間打在圓筒上，在 t時(shí)間內(nèi)，圓筒轉(zhuǎn)過的角度 e=cot = 7t 4)則 d/ v=(兀一$ ) / co, v=d co / (兀一$ )答案 d co / (兀一4)例7.如圖所示，小球Q在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時(shí)，有

7、另一小P不 TOC o 1-5 h z 球P在距圓周最高點(diǎn)為 h處開始自由下落，要使兩球在圓周最高點(diǎn)相碰，則Q球的角速度3:|應(yīng)滿足什么條件？解：設(shè)P球自由落體到圓周最高點(diǎn)的時(shí)間為t,由自由落體可得：I2gg求得喑&F1Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的時(shí)間也是t ,但做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為 T,有(例7)t = (4 n+1) T ( n=0, 1, 2, 3) 4兩式聯(lián)立再由T=2汽得(4 n+1)2n=但 所以”(4n+1)J& ( n=0, 1, 2, 3): g2.2h例8 .如圖所示，A、B C三個(gè)物體放在旋轉(zhuǎn)圓臺(tái)上，動(dòng)摩擦因數(shù)均為科，是2mB和C的質(zhì)量均為m A、B離軸為R C離軸為2R

8、當(dāng)圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)，則(A.若A、R C均未滑動(dòng)，則 C的向心加速度最大B.若A、R C均未滑動(dòng)，則 B的摩擦力最?。ɡ?）C.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增大時(shí)，B比A先滑動(dòng)D.圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增大時(shí)，C比B先滑動(dòng)解：三個(gè)物體在圓臺(tái)上，以相同的角速度做圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力是由f靜提供的，F(xiàn)=ma = m2R,靜摩擦力的大小由 m、0、R三者決定，其中 仍相同。11 _而 Ra =鼻 Rc , mA = 2mC，所以 FA = FC ； mB = mC , Ra = 3 Rc 所以 FB FC ,故 FB 取小， B選項(xiàng)正確.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增大時(shí)，f靜都隨之增大，當(dāng)增大至剛好要滑動(dòng)時(shí)，達(dá)到最大靜摩擦力。Nmg=m62R,而6A =

9、6b , Ra=Rb, mA = 2皿，則 Fa = 2Fb ,而 fma Fb ,而fmaxC =fmaxB ,所以 C 比 B 先滑動(dòng)。故選項(xiàng)A、B、D正確。點(diǎn)評(píng)(1)解決物理問題切忌想當(dāng)然地作出結(jié)論:“質(zhì)量大的物體容易甩出去，質(zhì)量小的物體不易相對(duì)(2)用代表例法分析問題是論證的技巧，如盤上的A、R C三個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)完全一樣，不同的只O點(diǎn)。讓其在水平面內(nèi)做勻速圓L與豎直方向的夾角是a時(shí)，(例9)是一些量的不同，沒有必要逐一討論，只要選一個(gè)為代表討論就可以了。(3)注意抓住臨界狀態(tài)進(jìn)行分析。例9.長為L的細(xì)線，拴一質(zhì)量為 m的小球，一端固定于 周運(yùn)動(dòng)(這種運(yùn)動(dòng)通常稱為圓錐擺運(yùn)動(dòng) )，如圖

10、所示。當(dāng)擺線 求：線的拉力F;(2)小球運(yùn)動(dòng)的線速度的大小；(3)小球運(yùn)動(dòng)的角速度及周期。解：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的小球受力如圖所示，小球受重力mg和繩子的拉力F。因?yàn)樾∏蛟谒矫鎯?nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以小球受到的合力指向圓心O ,且是水平由平行四邊形法則得小球受到的合力大小為mgan a ,線對(duì)小球的拉力大小為:由幾何關(guān)系得：r=Lsin ：F=mgeos ;方向。2由牛頓第二定律得：mganot=2上 ,r所以，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)線速度的大小為v= jgLtanot since小球運(yùn)動(dòng)的角速度-=v=回亟巫=口3rLsin.工L Leos:小球運(yùn)動(dòng)的周期T=至=2兀j L eo吧點(diǎn)評(píng) 在解決勻速圓

11、周運(yùn)動(dòng)問題的過程中，弄清物體圓形軌道所在的平面，明確圓心和半徑是一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。同時(shí)不可忽視對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，明確各變量之間的制約關(guān)系、變化趨勢以及結(jié)果涉及物理量的決定因素。例10.如圖所示，質(zhì)量為 m的小球用長為l的細(xì)繩懸于光滑的斜面上的 O點(diǎn)，小 TOC o 1-5 h z 球在這個(gè)傾角為0的斜面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。若小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度分別是v和V2,則繩子在這兩個(gè)位置時(shí)的張力大小分別是多大？解：在最高點(diǎn)：分解重力沿斜面的分力為mgin 0 ,這個(gè)重力的分力與繩子拉力的合力充當(dāng)向心力,向心力沿斜面向下指心圓心：mgin 0 +Ti=mVl ,所以Ti=mVl mg,in 0 HYPE

12、RLINK l bookmark26 o Current Document RR同理，在最低點(diǎn)： T2- mgin = =mv2-,所以 T2=mv2- +mgsin 0RR HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 22答案 最高點(diǎn)： Ti=mvmgin 0 ,最低點(diǎn)： T2=mv2- +mgin 0RR點(diǎn)評(píng)本題將水平和豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展到一般的斜面上的情況，解此類問題的關(guān)鍵仍是正確地 分析向心力的來源。天體、萬有引力應(yīng)用例11 .假設(shè)行星繞太陽的軌道是圓形，火星與太陽的距離比地球與太陽的距離大53%,試確定火星上一年是多少地球年。解：設(shè)地球的周

13、期和軌道半徑分別為T,、R1,火星的周期和軌道半徑分別為 T2、R2R3 R3則根據(jù)開普勒定律知：B =笠TiT2解得：T2 =1.89Ti所以火星上一年是 1.89地球年例12.某行星自轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為地球上的6h,在這行星上用彈簧秤測某物體的重量，在該行量赤道上稱得物重是兩極時(shí)測得讀數(shù)的90%,已知萬有引力恒量 G= 6.67 X10 11N- m2/kg：若該行星能看做球體，則它的平均密度為多少？解：在兩極，由萬有引力定律得：mg =G2Mmm Mm .4二2-.,在赤道 G-2- = mg + m-2- R ；R2R2T2依題意mg，=0.9mg; 行星質(zhì)量 m4 3P -二 R333

14、_由以上幾式聯(lián)立解得 。=320.1GT33= 3.03 10 kg /m例13. 一物體在地球表面的重力為16N,它在以5m/s2加速上升的火箭中視重為9N,則此時(shí)火箭離地球表面的距離為地球半徑的 倍。（g=10m/s2）解答：設(shè)物體的質(zhì)量為 m則在地球表面上，mg=GmMR2且 mg =16N在火箭中的視重即為支持物對(duì)物體的支持力，則有Fn -GmM 2 = ma 且 Fn = 9NR h另 a = 5m/ s2綜合上述式子可以解得 h =3R點(diǎn)評(píng)：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，地球表面處有mg =6粵，可以得出地球表面處的重力加速度g=GMRR在距地表高度為的高 空處，萬有引力引起的重力加速度為g

15、/ ,由牛頓第二定律 可得：Mmmg = G 2(R h)即g =GM(R h)2R2所以g R 2(R h)2g,這是一個(gè)很有用的結(jié)論，對(duì)其它星球天體也適用.人造地球衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系,Mm由Gf r2v /日=m得v =rGMr越大，v越小,-Mm由Gf r2/口 GM=mrw 得與=J-3 , rr越大，w越小,Mm由Gf r4二2=m -2- r 得 T =T2GMr越大，T越大例14.設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)過長時(shí)間開采后，地球仍可看做是均勻的球體，月球仍沿開采前的圓周軌道運(yùn)動(dòng).則與開采前相比（地球與月球的萬有引力將變大地球與月球

16、的萬方引力將變小C.一茄絳地球達(dá)罰的歸期格變長月球繞地球運(yùn)動(dòng)的.同期將變短解：設(shè)月球的質(zhì)量為 m,地球的質(zhì)量為 M,則兩者間的萬有引力為：F =6嗎，由于把月球上的R2礦藏搬運(yùn)到地球上的過程中，兩者的總質(zhì)量不變，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)知道，當(dāng)兩者的質(zhì)量相等時(shí)，F(xiàn)最大，兩者間的質(zhì)量差值越小 F越趨近最大值。由于現(xiàn)在是將月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，兩者的R3質(zhì)量差值增大，故地球與月球的萬有引力將變??； 月球是地球的一顆衛(wèi)星，根據(jù)公式T=2nJ,.GM地球的質(zhì)量在變大，可知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變短。因此本題的正確答案選BD。例15. 土星外層上有一個(gè)環(huán)。 為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中

17、各層的線速度v與該層到土星中心的距離 R之間的關(guān)系來判斷()A.若V8R,則該層是土星的一部分；B.若v28R,則該層是土星的衛(wèi)星群C.若V8 1 / R,則該層是土星的一部分D.若v2 1 / R,則該層是土星的衛(wèi)星群解：若該層是土星的一部分，則角速度相同，所以V8R,因此A正確，C錯(cuò)。若該層是土星的衛(wèi)星群，則 v = jT，所以v28 1/R,因此D正確，B錯(cuò)。所以本題的正確 答案選AD。.用萬有引力定律求中心星球的質(zhì)量和密度當(dāng)一個(gè)星球繞另一個(gè)星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)中心星球質(zhì)量為M,半徑為R,環(huán)繞星球質(zhì)量為 m,線速度為v,公轉(zhuǎn)周期為T,兩星球相距r,由萬有引力定律有：GMm = mv2

18、 =mr(2jI ) TOC o 1-5 h z r2 rT22 3可得M =v r =4n r，由r、v或r、T就可以求出中心星球的質(zhì)量；如果環(huán)繞星球離中心星球表面G GT243很近，即滿足 r = R,那么由M = P nR3可以求出中心星球的平均密度 p 。注意天體半徑與衛(wèi)星軌跡半 3徑區(qū)別。例16.宇航員站在一星球表面上的某高度沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t,小球落至星球表面，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L,若拋出時(shí)的初速度增大至2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為石L,已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑R,萬有引力恒為 G,求該星球的質(zhì)量 M。解：設(shè)拋出點(diǎn)的高度為 h,第一

19、次平拋的水平射程為x,則有x 2+h2=L2由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得知，當(dāng)初速增大到 2倍，其水平射程也增大到2x,可得(2x) 2+h2=(JTL)2由、解得 h=L/ J設(shè)該星球上的重力加速度為 g,由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，得h=gt 2/2由萬有引力定律與牛頓第二定律，得GMm/R2=mg式中m為小球的質(zhì)量，聯(lián)立以上各式，解得 ：M=2 :i L由(3Gt 2)例17.地核體積約為地球體積的16%,地球質(zhì)量約為地球質(zhì)量的34%,引力常量取 G=6.7X 10 11Nm2/kg2,地球半徑取 R=6.4X 106m,地球表面重力加速度取g=9.8m/s2,試估算地核的平均密度(結(jié)果取2位有效數(shù)字)。解：

20、地表處物體所受引力約等于重力，于是有GmM-2- =mgR地球的平均密度為P =M =.V 43一二R33 9.8由此可得：=3ii4 二 GR 4 3.i4 6.7 i0.6 kg/m =5.5 x io kg/m6.4 i06地核的平均密度為po = 34%M = H p=i.2Xi04kg/m3i6%V 83.人造地球衛(wèi)星的離心向心問題例i8.在地球大氣層外有很多太空垃圾繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每到太陽活動(dòng)期，由于受太陽的影響, 地球大氣層的厚度開始增加，從而使得部分垃圾進(jìn)入大氣層，開始做靠近地球的向心運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生這一結(jié)果 的原因是 （）A.B.C.D.由于太空垃圾受到地球引力減小而導(dǎo)致的向

21、心運(yùn)動(dòng)由于太空垃圾受到地球引力增大而導(dǎo)致的向心運(yùn)動(dòng)由于太空垃圾受到空氣阻力而導(dǎo)致的向心運(yùn)動(dòng)地球引力提供了太空垃圾做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，故產(chǎn)生向心運(yùn)動(dòng)的結(jié)果與空氣阻力無關(guān)解：部分垃圾進(jìn)入大氣層，受到空氣阻力作用，導(dǎo)致速度減小，提供的向心力大于所需要的向心力, 故導(dǎo)致向心運(yùn)動(dòng)。因此本題的正確答案選Q4.雙星問題宇宙中往往會(huì)有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠(yuǎn)， 因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計(jì)。在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做同周期的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這種結(jié)構(gòu)叫做雙星，如圖1-4-1所示。由于雙星和該固定點(diǎn)總保持三點(diǎn)共線，所以在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必相

22、等，即雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度必相等，因此周期也必然相同。 由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mr J可得rJ 可得ri = m2 L,r2 = mi L，即固定點(diǎn)離質(zhì)量 mmi m2 mi m2大的星較近。 列式時(shí)須注意：萬有引力定律表達(dá)式中的r表示雙星間的距離，按題意應(yīng)該是中的r表示它們各自做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，在本題中為rv r2,千萬不可混淆。L,而向心力表達(dá)式例i9.在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近，且相互繞行的行星稱為雙星。已知兩行星質(zhì)量分別為和M2,它們之間距離為 L,求各自運(yùn)轉(zhuǎn)半徑和角速度為多少？分析：在本題中，雙星之間有相互吸引力而

23、保持距離不變，則這兩行星一定繞著兩物體連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)該點(diǎn)為O,如圖i-4-2所示，MiOM2始終在一直線上，Mi和M2的角速度相等，其間的引力充當(dāng)向心力GMiM 2斛：引力大小為 F 2L2引力提供雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F=Miri w 2 = M2r2 22Mir i + r2=L由此即可求得rim2lM1LMi M2Mi M2L3人造衛(wèi)星的軌道半徑 r、向心加速度a向、線速度大小v、角速度與和周期T是一一對(duì)應(yīng)的，其中一個(gè)量確定后，另外幾個(gè)量也就唯一確定了。離地面越高的人造衛(wèi)星，向心加速度a向越小、線速度越小、角速度越小而周期越大。環(huán)繞地球表面附近的衛(wèi)星，其運(yùn)行得軌道半徑r可以近似地認(rèn)為等于地球半徑R,我們稱它為近地衛(wèi)星，其 v = 7.9x103m/s,T =85min ,分別是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的 最大線速度和最小周期。V31-5-2例20.如圖1-5-2所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一種程序是：先讓衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)近地 的圓軌道，然后在 P點(diǎn)點(diǎn)火加速，進(jìn)入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道（該橢圓軌道的近地點(diǎn)為 近地圓軌道上的 P,遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步圓軌道上的 Q）,到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)再次自動(dòng)點(diǎn)火加 速，進(jìn)入同步軌道。設(shè)衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的速率為v