微積分基本公式

1、一、位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓萊布尼茨公式6.2 微積分基本公式上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 設(shè)物體從某定點開始作直線運動, 在t時刻物體所經(jīng)過的路程為S(t), 速度為vv(t)S(t)(v(t)0), 則在時間間隔T1, T2內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為一、位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 上式表明, 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間T1, T2上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間T1, T2上的增量. 這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？即首頁二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限的函數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), xa, b, 我們稱為積分上限的函

2、數(shù). 定理1(積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)) 在a b上可導(dǎo) 并且 下頁 簡要證明 因為Dx0時, xx, 所以其中x在x與xDx之間. 取Dx使xDx(a, b).定理1(積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)) 在a b上可導(dǎo) 并且 返回定理的重要意義： 一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的, 另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系. 就是f(x)在a, b上的一個原函數(shù). 定理2 首頁說明1說明2，假設(shè)u(x)可導(dǎo)。，假設(shè)v(x)可導(dǎo)。說明3，假設(shè)u(x),v(x)可導(dǎo)。，c是一個合適的常數(shù)。說明4提示： 例1 設(shè)f(x)在0, )內(nèi)連續(xù)且f(x)0 證明函數(shù) 在(0 )內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) 證明 因為

3、按假設(shè) 當(dāng)0tx時f (t)0 (xt)f (t)0 所以 下頁 例1 設(shè)f(x)在0, )內(nèi)連續(xù)且f(x)0 證明函數(shù) 在(0 )內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) 證明 因為 按假設(shè) 當(dāng)0tx時f (t)0 (xt)f (t)0 所以 從而F (x)0(x0) 因此F(x)在(0 )內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) 下頁提示： 例2 解 這是一個零比零型未定式 由羅必達法則 下頁三、牛頓萊布尼茨公式 若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的一個原函數(shù), 則 定理3(牛頓萊布尼茨公式) 證明 因為F(x)和(x)都是f(x)的原函數(shù) 所以存在常數(shù)C 使 F(x)(x)C.由F(a)(a)C及(a)0, 得CF(a),

4、F(x)(x)F(a). 由F(b)(b)F(a), 得(b)F(b)F(a),即 下頁 牛頓萊布尼茨公式進一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系. 三、牛頓萊布尼茨公式 若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的一個原函數(shù), 則 定理3(牛頓萊布尼茨公式)下頁 解 解 例3 例4 下頁 解 這是求由曲線ysin x 直線x0 x及x軸所圍成的曲邊梯形的的面積 解 例5 例6 計算正弦曲線ysin x在0 p上與x軸所圍成的平面圖形的面積 下頁 例7 汽車以每小時36km速度行駛, 到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等加速度a5m/s2剎車. 問從開始剎車到停車, 汽車走了多少距離？ t2(s). 當(dāng)汽車停止時, 有 v(t)v0at105t. 剎車后 t 時刻汽車的速度為 v(t)105t 0, 汽車剎車時的初速度為 解 下頁提示： 首先要計算從開始剎車到停車所需的時間T, 然后計算速度v(t)在時間區(qū)間0, T上的定積分. 例7 汽車以每小時36km速度行駛, 到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等加速度a5m/s2剎車. 問從開始剎車到停車, 汽車走了多少距離？ 于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離