3.1.1線性回歸思想

1、3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué) 選修2-37/27/20221復(fù)習(xí)一 變量之間的關(guān)系 1 確定性的函數(shù)關(guān)系 2 不確定性的相關(guān)關(guān)系： 自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系7/27/20222.年齡脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年齡脂肪5833.56035.26134.6如上的一組數(shù)據(jù)，你能分析人體的脂肪含量與年齡 之間有怎樣的關(guān)系嗎？二 線性回歸分析的步驟 :7/27/20223下面我們以年齡為橫軸，脂

2、肪含量為縱軸建立直角坐標(biāo)系，作出各個(gè)點(diǎn)，稱該圖為散點(diǎn)圖。如圖：O20253035404550556065年齡脂肪含量5101520253035401 畫散點(diǎn)圖將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點(diǎn)畫出來，得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖像叫散點(diǎn)圖7/27/20224從剛才的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，點(diǎn)的位置散布在從左下角到右上角的區(qū)域。稱它們成正相關(guān)。但有的兩個(gè)變量的相關(guān)，如下圖所示：如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。 作出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗1升汽油所行使的平均路程，稱它們成負(fù)相關(guān)

3、.注：可考慮讓學(xué)生思考書P77的思考.O（1）正相關(guān)，負(fù)相關(guān)7/27/20225我們再觀察它的圖像發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)大致分布在一條直線附 近,像這樣，如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相 關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線，該直線叫回歸方程。那么，我們該怎樣來求出這個(gè)回歸方程？請同學(xué)們展開討論，能得出哪些具體的方案？20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540（2） 線性相關(guān)7/27/20226我們上面給出的幾種方案可靠性都不是很強(qiáng)，人們經(jīng)過長期的實(shí)踐與研究，已經(jīng)找到了計(jì)算回歸方程的斜率與截距的一般公式:以上公式的推導(dǎo)較復(fù)

4、雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡單：即各點(diǎn)到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。（參看如書P80）2 回歸方程的求解 7/27/20227 線性回歸分析的步驟 :1、畫散點(diǎn)圖4、用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)3、求回歸直線方程 2、求 8 最小二乘估計(jì)公式 ：稱為樣本點(diǎn)的中心。9三 描述兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱的相關(guān)系數(shù)r10課前檢測： 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用 y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料。使用年限x 23456維修費(fèi)用y 2.23.85.56.57.0若由資料知,y對x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求：（1）線性回歸方程 的回歸系數(shù) ；（）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用

5、是多少？使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是:12.38萬元11 2008年5月，中共中央國務(wù)院關(guān)于加強(qiáng)青少年體育、增強(qiáng)青少年體質(zhì)的意見指出城市超重和肥胖青少年的比例明顯增加.“身高標(biāo)準(zhǔn)體重”該指標(biāo)對于學(xué)生形成正確的身體形態(tài)觀具有非常直觀的教育作用. “身高標(biāo)準(zhǔn)體重”從何而來？我們怎樣去研究?創(chuàng)設(shè)情境：12例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。問題呈現(xiàn)：女大學(xué)生的

6、身高與體重13解； 1.由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量x，體重為因變量y3.回歸方程：2. 散點(diǎn)圖；4.本例中, r=0.7980.75這表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的。14探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg。15例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/

7、kg4857505464614359女大學(xué)生的身高與體重16我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e， (3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 在線性回歸模型(4)中，隨機(jī)誤差e的方差 越小，通過回歸直線 (5)預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高。隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào)值 與真實(shí)值y之間的誤差的原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差。另一方面，由于公式(1)和(2)中 和 為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因。17 假設(shè) 1:身高和隨機(jī)誤差的不同不會對體重產(chǎn)生任何影響，

8、 54.554.554.554.554.554.554.554.5體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號54.5kg怎樣研究隨機(jī)誤差？185943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號 假設(shè)2:隨機(jī)誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點(diǎn)圖中所有的點(diǎn)將完全落在回歸直線上。 怎樣研究隨機(jī)誤差？19 因此，數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。例如，編號為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為：20我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻

9、畫回歸的效果，其計(jì)算公式是如何衡量預(yù)報(bào)的精度？顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。 如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。21學(xué)以致用：1、在對兩個(gè)變量，進(jìn)行線性回歸分析時(shí)有下列步驟：對所求出的回歸方程作出解釋，收集數(shù)據(jù)（，）求線性回歸方程，求相關(guān)系數(shù)，根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖如果根據(jù)可靠性要求能夠作出變量，具有線性相關(guān)結(jié)論，則在下列操作順序中正確的是（）22學(xué)以致用：2、對于相關(guān)指數(shù)，下列說法正確的是（）、的取植越小，模型擬合效果越好、的取值可以是任意大，且取值越大擬合效果越好、的取值越接近，模型擬合效果越好、以上答案都不對23學(xué)以致用：3、甲、乙、丙，丁四位同學(xué)各自對，兩變量的線性相關(guān)性做實(shí)驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：則哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)，兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性甲乙丙丁24學(xué)以致用：4、 已知兩個(gè)變量x和y之