無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法資料

1、數(shù)字(shz)信號處理 共五十七頁 第六章無限長單位(dnwi)沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 6.1引言 6.2最小與最大相位延時系統(tǒng)，最小與最大相位超前系統(tǒng) 6.3全通系統(tǒng) 6.4用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字(shz)濾波器 6.5沖激響應(yīng)不變法 6.6階躍響應(yīng)不變法 6.7雙線性變換法共五十七頁本章主要討論逼迫性性能要求或系統(tǒng)(xtng)函數(shù)的設(shè)計問題。共五十七頁數(shù)字(shz)濾波器按頻率特性劃分為為低通、高通、帶通、帶阻、全通等。其理想幅度頻率響應(yīng)如圖6.1。共五十七頁數(shù)字濾波器在復(fù)頻率響應(yīng)下三個參量分析：1.幅度平方響應(yīng) (6.3)由于的極點既是共軛的，又是以單位圓對稱的，故只

2、取單位圓內(nèi)的極點作為(zuwi)的極點。如果選在z平面單位圓的零點作為零點，則得到是最小相位延遲濾波器。共五十七頁2.相位(xingwi)響應(yīng)由于(yuy)（6.4）所以（6.5）由于所以又有（6.6）共五十七頁3.群延遲(ynch)響應(yīng)它是濾波器平均延遲的一個度量（6.7）可以(ky)化為（6.8）由于所以因而又有（6.9）共五十七頁同樣可化為（6.10）當濾波器為線性相位(xingwi)響應(yīng)特性時，則通帶內(nèi)延遲特性為常數(shù)。共五十七頁IIR濾波器逼迫(bp)問題IIR系統(tǒng)函數(shù)（6.11）就是去求出濾波器的各系數(shù)，使得在規(guī)定意義上，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到數(shù)字濾波器。設(shè)計方法：（1

3、）先設(shè)計一個合適(hsh)的模擬濾波器，然后變換成滿足指標的數(shù)字濾波器。（2）計算機輔助設(shè)計方法。共五十七頁6.2最小與最大相位(xingwi)延時系統(tǒng)，最小與最大相位(xingwi)超前系統(tǒng)任一個線性時不變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為（6.12）系統(tǒng)頻率響應(yīng)表達式（6.13）我們對進行(jnxng)研究。共五十七頁的模為（6.14）其相角為（6.15）若分別表示(biosh)單位圓內(nèi)外的零極點數(shù)則注：零（極）矢是指零（極）點指向z平面單位圓上頻率點的矢量。當從0到時，只有單位圓內(nèi)的零極點對相角有影響。共五十七頁零點、極點的分布對系統(tǒng)相角影響的討論（1）對因果穩(wěn)定(wndng)系統(tǒng)，此時當從0變到時，則

4、輻角變化量它稱為相位延時系統(tǒng)。a 當全部零點在單位圓內(nèi)，即有其相位變化最小，稱為最小相位系統(tǒng)。共五十七頁b 當全部(qunb)零點在單位圓外，即有這時相位變化最大，又是負數(shù)，即最大相位延時系統(tǒng)，是因果穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）對逆因果移動系統(tǒng)，此時當從0變到時，則輻角變化量為稱為相位超前系統(tǒng)。共五十七頁a 當全部零點(ln din)在單位圓內(nèi)時，即有這時相位變化最大，稱最大相位超前系統(tǒng)，是逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)。b 當全部零點在單位圓外時即有這時相位超前最小，稱最小相位超前系統(tǒng)，是逆因果移動系統(tǒng)。共五十七頁表6.1四種系統(tǒng)及其因果性、穩(wěn)定性、零點(ln din)、極點的關(guān)系。共五十七頁最小相位(xingwi)系

5、統(tǒng)重要性質(zhì)（1）在傅里葉變換(binhun)相同的所有系統(tǒng)中，它的負相位最小。（2）最小相位系統(tǒng)能量集中在n=0附近。（3）相同傅里葉變換幅度的各序列，最小相位序列的最大。（4）在幅度響應(yīng)相同的系統(tǒng)中，只有唯一的一個最小相位延時系統(tǒng)。（5）利用級聯(lián)全通的方法，可將最小相位系統(tǒng)的零點反射到單位圓外，構(gòu)成幅度響應(yīng)相同的非最小相位延時系統(tǒng)。共五十七頁6.3全通系統(tǒng)(xtng)定義：是指系統(tǒng)(xtng)頻率響應(yīng)的幅度在所有頻率下均為1或某一常數(shù)的系統(tǒng)(xtng)。滿足簡單一階全通系統(tǒng)函數(shù)A為實數(shù)（6.16）零極點如圖6.3共五十七頁高階全通系統(tǒng)(xtng)包含實零點實極點系統(tǒng)(xtng)；還包括復(fù)數(shù)零

6、點極點系統(tǒng)(xtng)；復(fù)數(shù)零點極點的全通節(jié)的系統(tǒng)(xtng)函數(shù)a為實數(shù)（6.17）如圖6.4所示。共五十七頁當h(n)是實函數(shù)，因而其系統(tǒng)函數(shù)的復(fù)數(shù)極點零點(ln din)必須共軛出現(xiàn)。實系數(shù)有理二階全能系統(tǒng)函數(shù)（6.18）如圖6.5。共五十七頁一般來說，N階數(shù)字全通系統(tǒng)(xtng)的系統(tǒng)(xtng)函數(shù)頻率響應(yīng)的模都為1。證明：N階全通系統(tǒng)函數(shù)為式中當時，滿足（6.21）所以有（6.22）共五十七頁全通系統(tǒng)(xtng)應(yīng)用（1）任何一個因果穩(wěn)定的（非最小相位延時）系統(tǒng)的H(z)都可以表示(biosh)為全通系統(tǒng)和最小相位延時系統(tǒng)的時延。（6.24）它們頻率響應(yīng)的相位相同，相位不同。即（6

7、.25）共五十七頁證明：設(shè)一個因果(yngu)穩(wěn)定的非最小相位延時系統(tǒng)H(z)為（6.24）將6.24式表示為（6.25）由于，所以是最小相位延時，是全通級聯(lián)。所以可表示為6.23式。共五十七頁（2）如果設(shè)計出的濾波器是非穩(wěn)定的，則可用級聯(lián)全通函數(shù)的辦法(bnf)將它變成一個穩(wěn)定系統(tǒng)。例：原濾波器有一對極點在單位圓外級聯(lián)一個全通系統(tǒng)則可將單位圓外極點抵消，但不改變系統(tǒng)幅度特性。共五十七頁（3）可以作為相位均衡器（群時延均衡器）用，來得到線性相位，但不改變(gibin)幅度特性。設(shè)全通濾波器為，系統(tǒng)為級聯(lián)后H(z)即相位關(guān)系共五十七頁按得當通帶中滿足是常數(shù)則逼近誤差(wch)的平方值共五十七頁6

8、.4用模擬(mn)濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器方法：利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器就是要把s平面映射到z平面，使模擬系統(tǒng)函數(shù)變換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。基本(jbn)要求：（1）的頻響特性應(yīng)能模仿的頻率響應(yīng)（2）因果穩(wěn)定的就能映射成因果穩(wěn)定幾種映射方法：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法。共五十七頁6.5沖激響應(yīng)不變法(bin f)一、變換原理沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列(xli)h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)。即抽樣滿足（6.27）利用2.53式，得（6.28）它與2.5節(jié)從s平面到z平面2.51式一致。如圖6.7共五十七頁二、混疊失真(sh zhn)數(shù)字

9、濾波器和模擬濾波器頻率響應(yīng)之間關(guān)系（6.29）只有當（6.30）才能在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器響應(yīng)(xingyng)而不產(chǎn)生混疊失真，即（6.31）共五十七頁注意：（1）模擬濾波器頻率響應(yīng)(pn l xin yn)在折疊頻率以上衰減快、大，變換后混疊失真越小。（2）當增加，可減小混疊效應(yīng)。（3）當濾波器指標用數(shù)字域給定時，若不變，用減小T的方法就不能解決混疊問題。共五十七頁三、模擬(mn)濾波器的數(shù)字化方法沖激響應(yīng)不變法所造成的s平面和z平面的對應(yīng)關(guān)系設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只有單階極點，且假定分母的階次大于分子的階次。展開(zhn ki)部分分式（6.32）其相應(yīng)的沖激響應(yīng)是的拉普拉斯變換即（

10、6.33）對h(n)求z變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)（6.34）共五十七頁6.32式的和6.34式的H(z)比較結(jié)果分析：（1）s平面的單極點(jdin)變換到z平面上處的單極點(jdin)。（2）兩者部分分式的系數(shù)是相同的，都是（3）如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。（4）能保證兩者極點代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但不保證整個s與z的代數(shù)對應(yīng)關(guān)系。零點就沒有這種關(guān)系。而是隨的極點及系數(shù)兩者而變化。共五十七頁6.31式看出，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)還與抽樣間隔(jin g)T成反比。當抽樣頻率高時，濾波器增益會太高。修正方法：令（6.35）則有（6.36）及（6.37）因共軛極點，其變成h(z)關(guān)系共

11、五十七頁例6.1設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試利用沖激響應(yīng)不變法(bin f)，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器。解：直接利用6.36式可得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)T1，則有共五十七頁模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)(pn l xin yn)分別為畫在圖6.8上。共五十七頁沖激不變響應(yīng)法優(yōu)缺點：數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全(wnqun)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系。只適應(yīng)限帶的模擬濾波器。共五十七頁6.6階躍響應(yīng)(xingyng)不變法該方法是使數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)g(n)模仿模擬(mn)濾波器的階躍響應(yīng)。使g(n)滿足（6.38）因而滿足將此式取z變換可得G (

12、 n ) = g ( n ) =z H ( z )/ ( z -1) （6.39）所以（6.40）共五十七頁對于模擬(mn)濾波器其系統(tǒng)函數(shù)為，其階躍響應(yīng)如圖6.10。因而滿足共五十七頁對上式兩端取拉普拉斯變換可得（6.41）即（6.42）要滿足(mnz)階躍響應(yīng)不變，則應(yīng)有 （6.43）將6.43式取z變換，并代入6.40得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)（6.44）這就是階躍響應(yīng)不變法公式。共五十七頁階躍響應(yīng)不變法頻率響應(yīng)周期延拓及混疊現(xiàn)象探討(tnto)：理想抽樣信號拉氏變換為（6.45）而階躍響應(yīng)序列的z變換為（6.46）比較6.45及6.46式，可知（6.47）共五十七頁同樣模擬(mn)階躍信號與

13、理想抽樣信號兩者拉普拉氏變換關(guān)系（6.48）由6.47,48式，代入6.39,41式，得（6.49）可以看出，不是嚴格限帶情況下仍有周期延拓及混疊失真現(xiàn)象，但比沖激響應(yīng)不變法要小。共五十七頁例6.2已知模擬二階巴特沃思低通濾波器的歸一化（3dB截止頻率為1）的模擬系統(tǒng)函數(shù)為而3dB截止頻率為50Hz的模擬濾波器，需將歸一化中的s變量用來代替，即設(shè)系統(tǒng)抽樣頻率(pnl)為，要求從這一低通模擬濾波器設(shè)計一個低通濾波器，采用階躍響應(yīng)不變法。共五十七頁解：按6.41式，模擬(mn)濾波器階躍響應(yīng)的拉普拉斯變換為由于共五十七頁故則利用(lyng)以下z變換關(guān)系共五十七頁且代入得階躍響應(yīng)的z變換(binh

14、un)再由6.40式可得數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為共五十七頁6.7雙線性變換法目的：主要用來(yn li)克服混疊現(xiàn)象。共五十七頁一、變換(binhun)原理雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相應(yīng)的一種變換方法。首先把整個s平面壓縮變換到某一中介(zhngji)的平面的一條橫帶里，其次再通過上面討論過的標準變換關(guān)系將此橫帶變換到整個z平面上去，這樣就使s平面與z平面一一對應(yīng)來消除混疊。共五十七頁將s平面整個 軸壓縮變換(binhun)到上的到一段變換(binhun)關(guān)系：（6.50）這樣，變到變到，可將6.50式變換成解析延拓到s平面和平面，令則（6.51）共五十七頁再

15、將平面通過以下標準變換關(guān)系映射到z平面（6.52）從而得到s平面和z變換的單值映射關(guān)系（6.53）（6.54）為使模擬濾波器的某一頻率(pnl)與數(shù)字濾波器的任一頻率(pnl)有對應(yīng)關(guān)系引入待定常數(shù)c，使50,51式變成（6.55）（6.56）共五十七頁仍將代入6.56式，可得（6.57）（6.58）上兩式是s平面與z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換(binhun)就稱為雙線性變換(binhun)。共五十七頁二、變換(binhun)常數(shù)c的選擇不同c可以調(diào)節(jié)(tioji)頻帶間的對應(yīng)關(guān)系。有兩種方法（1）使兩種濾波器在低頻處有較明確的對應(yīng)關(guān)系。即低頻時，當較小有由6.55式及可得因而得到（6.

16、59）此時兩者低頻特性近似。共五十七頁（2）采用數(shù)字濾波器的某一特定頻率與模擬原型濾波器的一個特定頻率相對應(yīng)，即則有（6.60）這種方法的主要優(yōu)點是在特定的模擬和數(shù)字頻率處，頻率響應(yīng)嚴格(yng)相等?？蓽蚀_的控制截止頻率的位置。共五十七頁三、逼近(bjn)的情況6.57,58就滿足要求：（1）首先把代入6.41式，可得（6.61）即s平面的確實(qush)與z平面的單位圓相對應(yīng)。（2）其次將代入6.42式中，得，因此從上看出，s左半平面對應(yīng)z平面的單位圓內(nèi)，s右半對應(yīng)z單位圓外，虛軸對應(yīng)單位圓上。共五十七頁四、優(yōu)缺點由6.61式重寫如下（6.62）其關(guān)系表見6.12所示。從12所示，當零頻附

17、近呈線性關(guān)系，當增加時，就存在非線性關(guān)系。其產(chǎn)生(chnshng)兩個問題：（1）經(jīng)雙線性變換不能保持原有相位。（2）這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幀頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的。注：圖6.13是理想數(shù)字微分器變換后產(chǎn)生的畸變。共五十七頁解決辦法：將頻率加以預(yù)畸，即利用將數(shù)字頻率變換(binhun)成模擬頻率，利用這組模擬頻率來設(shè)計模擬帶通濾波器，這是我們要求的模擬原型。這一預(yù)畸過程如圖6.14。共五十七頁五、模擬(mn)濾波器數(shù)字化方法利用雙線性變換將模擬濾波器數(shù)字化的辦法：（1）用6.57式將模擬系統(tǒng)函數(shù)(hnsh)變換為數(shù)字濾波器函數(shù)(hnsh)：（6.63）（2）先將模擬系統(tǒng)分解為并聯(lián)子系統(tǒng)，然后再對子系統(tǒng)進行雙線性變換。如子系統(tǒng)（6.64）變換后得離散系統(tǒng)函數(shù)（6.65）共五十七頁其中(qzhng)：如果模擬系統(tǒng)分解為并聯(lián)子系統(tǒng)，得（6.67）經(jīng)雙線性變換后，離散系統(tǒng)函數(shù)為：（6.68）其中（6.69）共五十七頁內(nèi)容摘要數(shù)字信號處理。任一個線性時不變系統(tǒng)(xtng)，其系統(tǒng)(xtng)函數(shù)為。當h(n)是實函數(shù)，因而