隨機過程通過線性系統(tǒng)

1、隨機過程通過線性系統(tǒng)現(xiàn)代通信原理隨機過程通過線性系統(tǒng) 通信的目的在于傳輸信號，信號和系統(tǒng)總是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般都是隨機的，因此在以后的討論中我們必然會遇到這樣的問題：隨機過程通過系統(tǒng)（或網(wǎng)絡(luò)）后，輸出過程將是什么樣的過程？ 這里，我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。 隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即vo(t)=vi(t)*h(t)= 若 vo(t) Vo(), vi(t) Vi(), h(t) H()，則有 Vo()=H

2、()Vi() (2.4 - 2)若線性系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則 vo(t)=或 如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入過程i(t)的每個樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足式（2.4 - 4）的關(guān)系。這樣，就整個過程而言，便有 o(t)= (2.4 - 5)我們先確定輸出過程的數(shù)學(xué)期望、 自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度，然后討論輸出過程的概率分布問題。 1. 輸出過程o(t)的數(shù)學(xué)期望 Eo(t)= eh( ) i(t-)d 式中利用了平穩(wěn)性假設(shè)Ei(t-)=Ei(t)=a(常數(shù))。 又因為 H(W)=求得H(0)=所以Eo(t)=aH

3、(0) 由此可見, 輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且Eo(t)與t無關(guān)。 2. 輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù) Ro(t1, t1+)=Eo(t1)o(t1+) =E 根據(jù)平穩(wěn)性 Ei(t1-)i(t1+-)=Ri(+-) 有Ro(t1, t1+) 可見, o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔而與時間起點t1無關(guān)。 若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。 3. 輸出過程o(t)的功率譜密度 對式（2.4 - 7）進(jìn)行傅里葉變換, 有令則有Po()=即 Po()= 可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的

4、乘積。 例 23 帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為H()= K0e-jwt 0 其他 解 由上式得|H()|2= ，|H。輸出功率譜密度為Po()=|H()|2Pi()= ， |H 可見， 輸出噪聲的功率譜密度在|H內(nèi)是均勻的， 在此范圍外則為零，如圖 2 - 5（a）所示，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。其自相關(guān)函數(shù)為圖2-5 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù) 式中，H=2fH。由此可見，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機變量才不相關(guān)。它告訴我們，如果對帶限白噪聲按

5、抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機變量。這是一個很重要的概念。 如圖 2 - 5（b）所示，帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)Ro()在=0 處有最大值，這就是帶限白噪聲的平均功率: Ro(0)= n0fH4. 輸出過程o(t)的概率分布 從原理上看，在已知輸入過程分布的情況下，通過式（2.4 - 5），即 總可以確定輸出過程的分布。其中一個十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。 因為從積分原理來看， 上式可表示為一個和式的極限，即 由于i(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時刻的每項i(t-k)h(k)k都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻得到的每一隨機變量，都是無限多個高斯隨機變量之和。由概率論得知，這個“和”的隨機變量也是高斯隨機變量。這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程 仍為高