《電力系統(tǒng)仿真》講義

1、第一章系統(tǒng)仿真的基本概念1-1系統(tǒng)仿真的定義系統(tǒng)仿真定義建立系統(tǒng)模型（數(shù)學(xué)模型、物理效應(yīng)模型或數(shù)學(xué)-物理效應(yīng)混合模型），并在模型上進行試驗。系統(tǒng)仿真范例水利方面在葛洲壩和三峽大壩建設(shè)前，許多單位都建立起縮小了的長江水道模型和大壩模型，并進行沖水試驗，獲得流體力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)等相關(guān)參數(shù)，為工程設(shè)計提供依據(jù)。電力方面在動模實驗室中用電動機-發(fā)電機組對實際發(fā)電廠進行模擬，并且用電感-電容n形結(jié)構(gòu)模擬輸電線路；在高壓實驗室中用沖擊發(fā)生器模擬雷電；在計算機上用EMTP軟件對電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)過程進行數(shù)值分析，用PSASP軟件對電力系統(tǒng)機電動態(tài)過程進行數(shù)值分析。國防方面用巨型計算機按數(shù)學(xué)特性相同的原則模擬核裂

2、變（聚變）反應(yīng)過程，這樣可以減少真正核試驗的次數(shù)，甚至不進行核爆炸試驗也能發(fā)展出先進的核武器。系統(tǒng)仿真依據(jù)最基本的依據(jù)是相似定理。從應(yīng)用角度分析幾種相似等效方法：幾何比例相似。軍事指揮員的沙盤演習(xí)。特性比例相似。兩個系統(tǒng)運動的物理本質(zhì)完全不同，但具有相似的微分方程，且參數(shù)一一對應(yīng)，我們稱這兩個系統(tǒng)的特性比例相似。微分方程電氣系統(tǒng)RLrmC參數(shù)對應(yīng)距離X速度dX/dt外力F（t）質(zhì)量M阻尼系數(shù)D彈簧系數(shù)Kd2qdq1L+R+一q=E(t)dt2dtC電荷q電流dq/dt電源E(t)電感L電阻R1/電容1/C注：動模試驗也是根據(jù)特性比例相似的原則，這個原則可理解為真實系統(tǒng)與模擬系統(tǒng)具有相同的無量綱

3、（標(biāo)幺值）方程。感覺相似。主要是視覺、聽覺、觸覺和運動感覺相似，是人在模擬環(huán)境中的仿真，特別是用各類模擬器件對操作人員進行訓(xùn)練的依據(jù)。如航天員在宇航中心培訓(xùn)，宇航中心就是一個虛擬太空環(huán)境。邏輯思維方法相似。對獲取的信息進行分析、歸納、綜合、判斷直至操作控制的方法相似。例如機器人。微分方程的數(shù)值解法、離散相似法。如數(shù)值方法中的龍格-庫塔法、差分法、非線性曲線的分段線性化等。這是數(shù)字仿真的基礎(chǔ)。電力系統(tǒng)仿真就是以電力系統(tǒng)為仿真對象的系統(tǒng)仿真。2系統(tǒng)仿真的作用（不需要再原型系統(tǒng)上進行試驗也能得到相同或相似的實驗結(jié)果）人類認識或研究、開發(fā)一個系統(tǒng)可以通過理論推演或?qū)嵨镌囼灥姆椒ㄟM行，但對于一些大的、復(fù)

4、雜系統(tǒng)，如一個電網(wǎng)，無法得到其數(shù)學(xué)模型的解析解，有的子系統(tǒng)甚至無法得到可信的數(shù)學(xué)模型，而由于多種條件限制，實物試驗不可能做或做起來困難很大，這樣就只能借助于模型試驗（即仿真）來達到認識或研發(fā)一個系統(tǒng)的目的。通常在下列情況時一般考慮用模型試驗（仿真）而不用實物試驗：1）系統(tǒng)還處于設(shè)計階段，并沒有真正建立起來，因此不可能在真實系統(tǒng)上進行實驗；2）在真實系統(tǒng)上做試驗會破壞系統(tǒng)運行。例如在正常運行的電網(wǎng)中做一個短路故障試驗，有可能造成系統(tǒng)劇烈振蕩乃至崩潰；3）如果人是系統(tǒng)的一部分時，由于知道自己是試驗的一部分，行為往往會和平常不同，因此會影響試驗效果，這時最好將人也建立模型。例如一些基于專家系統(tǒng)的軟件

5、或裝置；4）在實際系統(tǒng)上做多次試驗時，很難保證每次的操作條件都相同，因而無法對試驗結(jié)果做出正確判斷。例如一個電器產(chǎn)品為什么要通過型式試驗和出廠試驗，就是為了人為地設(shè)置一些確切的操作條件，以獲得對未來使用性能的正確判斷；5）試驗時間太長或費用太高或有危險。例如“神州3號、4號”上的模擬人；6）系統(tǒng)無法復(fù)原。例如，想要知道變電站運行中的變壓器絕緣到底能夠耐受多高沖擊電壓，不可能真的對正在運行的變壓器施加很高的沖擊電壓。有些學(xué)者以較為學(xué)術(shù)化的術(shù)語歸納了仿真方法的適用情況：1）不存在完整的數(shù)學(xué)公式，或者還沒有一套解答數(shù)學(xué)模型公式的方法；2）雖然可以有解析法方法，但數(shù)學(xué)過程太復(fù)雜，仿真可以提供比較簡單的

6、求解方法；3）解析解存在而且是可能的，但超出了個人的數(shù)學(xué)能力，因而應(yīng)該估計一下，建立仿真模型、檢查并且運行模型的費用比起向外求助以獲得解析解，何者合算；4）希望在一段較短的時間內(nèi)能觀測到過程的全部歷史，以及估計某些參數(shù)對系統(tǒng)行為的影響；5）難于在實際的環(huán)境中進行實驗觀測；6）需要對系統(tǒng)或過程進行長期運行的比較，而仿真則可以隨意控制時間，使它加快或減慢。3系統(tǒng)仿真的分類仿真可以有多種分類方法。按系統(tǒng)模型的類型，可分為：1）連續(xù)系統(tǒng)仿真系統(tǒng)模型以微分方程描述；2）間斷（事件）系統(tǒng)仿真系統(tǒng)模型以面向事件、面向進程、面向活動的方式描述；3）連續(xù)/間斷（事件）混合系統(tǒng)仿真；4）定性系統(tǒng)仿真系統(tǒng)模型以模糊

7、理論等描述。按仿真的實現(xiàn)方法和手段，可分為：1）物理仿真；2）計算機仿真，又稱數(shù)學(xué)仿真；3）實物在回路中的仿真，一般稱為半實物仿真；4）人在回路中的仿真。物理仿真要求模型與原型有相同的物理屬性，其優(yōu)點是模型能最真實全面地體現(xiàn)原系統(tǒng)特性，缺點是模型制作復(fù)雜、成本高、周期長、靈活性差；計算機仿真的優(yōu)缺點正好與物理仿真相反。1-4計算機仿真（數(shù)字仿真）的三個要素與三項基本活動計算機仿真（即數(shù)學(xué)仿真）采用數(shù)學(xué)模型，它是用數(shù)學(xué)語言描述系統(tǒng)行為的特性。計算機仿真的三個要素是：系統(tǒng)、模型、計算機。聯(lián)系它們的三項基本活動是：模型建立、仿真模型建立（又稱二次建模）、仿真試驗。三個要素和三項基本活動的相互關(guān)系如圖

8、1-2。圖1-2計算機仿真的三要素和三項基本活動從下一章起，主要內(nèi)容是針對連續(xù)系統(tǒng)的計算機仿真模型的建立。數(shù)值仿真：本質(zhì)上是理論分析的延伸，（待研究系統(tǒng)要有成熟的理論能完整描述原型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型）理論上無法解釋的東西數(shù)字仿真無法進行仿真（理論上解釋不清的東西對仿真的真實性會帶來影響，對原型系統(tǒng)進行建模時，建立起來的數(shù)學(xué)模型要能夠真實的有效的反應(yīng)出原型的各種特性）,所以模型的建立是數(shù)字仿真的關(guān)鍵1結(jié)構(gòu)復(fù)雜的內(nèi)部故障分析如發(fā)電機的內(nèi)部故障分析變壓器的內(nèi)部故障分析2.原型系統(tǒng)無法準(zhǔn)確用數(shù)學(xué)語言進行描述時II223第二章集中參數(shù)網(wǎng)絡(luò)的瞬態(tài)分析概念理解一：連續(xù)系統(tǒng)仿真模型的建立，就是將系統(tǒng)的微分方程模型

9、按某種數(shù)值計算方法處理成時間離散的代數(shù)表達式，易于計算機逐個步長地遞推求解。（將連續(xù)的系統(tǒng)進行離散化）概念理解二：微分方程初值問題數(shù)值求解，一般指的是，由變量在初始時刻t0的值（已知），按確定時間步長At（通常設(shè)為固定步長）并根據(jù)系統(tǒng)計算機模型依次求出變量在t2、tk、的值（過TOC o 1-5 h z12k程+邊界條件）1電阻元件R（線性電阻元件的模型（支路電壓-電流關(guān)系）為u（t）=Ri（t）（2-1）其時間離散的表達式為uk=Rik（2-2）仿真模型等值電路的建立如圖2-1所示i(t)u(t)離散近似ukik圖2-1電阻的計算機仿真模型建立例2-1圖2-2中，US（t）為u-t函數(shù)已知的

10、電壓源，求系統(tǒng)的計算機仿真模型。離散_G+G-G_uGU-1221S.k-GG+G+GILuJ_0_42.k解由電阻的仿真模型等值電路列系統(tǒng)節(jié)點方程G+G-G一u(t)GU(t)連續(xù)122i=1S-G2G+G+G234u(t)20這是一個很容易由計算機編程求數(shù)值解的離散形式的線性代數(shù)方程組，此模型即為所求。推論由電阻和已知電源構(gòu)成的線性電路，可直接作為求數(shù)值解的計算機模型電路2電感元件LL的電壓-電流關(guān)系為u(t)=L竽dti或i(t)=i(t-At)+Jtu(t)dt(2-3)Lt-At為方便起見，用ik表示t（或tk）時刻的電流值、ik-1表示t-At（或tk-1）時刻的電流值，電壓值的下

11、標(biāo)表示法與電流值一樣，將（2-3）寫成：i=ikk-11+JtkudtLtk-1(2-4)用梯形近似積分法（圖2-3）有：AtJtkudt=(ut2k-ik-1AzzV%ukuk-1將(2-4)寫成：Ati=i+(u+u)kk-12Lk-1kAt2Lttk-1tk+(i+Atukk-12Lk-1圖2-3梯形積分）上式又可寫成：i二gu+1kLkSL其中g(shù)旦電導(dǎo)常數(shù)L2L2-5)和I二iSLk-l+gLUk-1公式（2-5）計算機數(shù)值遞推模型也稱為電感元件L的“瞬態(tài)伴隨模型，由數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值模型如圖2-4所示：圖2-4電感的仿真模型建立SLu(k1)圖中右邊的數(shù)值模型等效電路（電感L的“瞬態(tài)

12、伴隨模型”等效電路），由一個等效電阻（電導(dǎo)）gL和一個等效電流源ISL并聯(lián)組成，在進行第k步比、ik計算時，ISL已由前一步的uk-1、ik-1得到，是已知的。2-3電容元件CC的電壓-電流關(guān)系為i(t)二Cdu(t)dt(26)u(t)二u(tAt)+-jti(t)dtCt-At同樣，用梯形積分近似法，可導(dǎo)出C的數(shù)值遞推公式（電容元件C的“瞬態(tài)伴隨模型”）:i=gu+I(27)kCkSC2C其中g(shù)=和I=iguCAtSCk1Ck1其等效電路為:(t)C圖2-5電容的仿真模型建立ukISC2-4互感元件電壓-電流關(guān)系為回=L4不難導(dǎo)出：其中u=uuT,i=i,it1n1ng=AtL1=學(xué)口（2

13、8）L22互感元件數(shù)值模型的遞推公式與電感L類似，只是矩陣形式而已。2-5非線性電阻電力系統(tǒng)中主要的非線性電阻元件是避雷器，其電壓-電流關(guān)系為u=Cia或i=Kui/a解非線性代數(shù)方程，一般用牛頓迭代法設(shè)非線性方程為F（x）=0又假設(shè)x（0）為方程解的初始“猜測值”則對真值的第一次逼近x（1）=X（O）-Ax（O）則F（x（o）-Ax（o）=0按泰勒級數(shù)展開并略去高階項，得F（x（0）Ax（o）=F（x（0）F（x（0）x（i）=x（o）-,F（x（0）經(jīng)過(k-1)次迭代后(2-9)F(x(k-i)X(k)=x(k-1)F(X(k1)實際計算中預(yù)先規(guī)定精度，當(dāng)達到X（k）X（k1）X（k-1

14、）停止迭代，x（k）就是非線性方程的解。例2-2圖2-6為一個含非線性電阻的非線性系統(tǒng)，元件特性標(biāo)于圖中。i=Kui/a圖2-6含非線性電阻的回路非線性回路方程F(u)=URiu=URKu1/au=00101套牛頓迭代公式(2-9)得(210)F(u(k1)U(k)=U(k1)dFdu考察di/du具有電導(dǎo)量綱，將其第(k-1)次迭代時的值以Gd(k-1)表示，它相當(dāng)于非線性電阻在u(k-i)點處的動態(tài)電導(dǎo)。dF因此dU=-R1G(dk-1)-1代入(2-10)得U(k-1)U(k)=U(k-1)進-步有(R1U-i(k-1)R-U(k-1)+011+RG(k-1)d0(i(k-1)G(k-1

15、)U(k-1)Rd71+G(k-1)U(k)d(2-11)這是一個標(biāo)準(zhǔn)的節(jié)點方程形式，不難看出非線性電阻通過牛頓法被“線性化”了(如圖2-7)。IS=i(k-1)-Gd(k-1)U(k-1)圖2-7非線性電阻的“線性化”計算模型這里特別要注意，牛頓迭代法中的u(k)和前面梯形積分法中的Uk區(qū)別：k在由uk-1求uk的一個步長中，由于非線性元件的存在使得差分方程為非線性，因此必須用牛頓迭代法來解方程。一個可行的處理方法是：設(shè)U(0)=U.牛頓迭代.令U=U(k)k-1kUk-1|12-6非線性電感元件特性e=f(i)(2-12)磁鏈?zhǔn)请妷旱姆e分e(t)=e(t-At)+jtu(t)dtt-At由

16、梯形積分法得e(t)=A21u(t)+(t一At)2其中(t-At)=Au(t-At)+0(t-At)將上式代入(2-12)得；u(t)+(tAt)=f(i(t)經(jīng)過整理，可寫成非線性電阻和一個已知電源的形式22u(t)=f(i(t)-(t-At)(2-13)AtAt例2-3已知非線性電感在t0時刻的初值i0、u0以及特性0=f(i),問如何算出此后時刻的值？e=f(i)00At=一u+00200在t時刻的方程表達式為122u=f(i)-iAtiAto由牛頓迭代解非線性阻方法，與路的其它方程式聯(lián)立律Ju、i11任何復(fù)雜電力系統(tǒng)都可以分解成由簡單R、L、C組成(并串)的網(wǎng)絡(luò),已知R、L、C三種基

17、本元件的數(shù)值仿真模型,就可以用數(shù)值仿真的方法求解復(fù)雜的電力系統(tǒng)。2-7三相常規(guī)n形電路圖2-8為實際計算中常用的三相耦合n形電路，經(jīng)常作為結(jié)構(gòu)對稱的交流輸電線路的集中參數(shù)模型,線路耦合參數(shù)R、L、C分別稱為串聯(lián)電阻、串聯(lián)電感、并聯(lián)電容。L2C2C圖2-8三相輸電線路n形等值電路模型R二L=C=RSRMRMLSLMLMCSCMCMRMRSRMLMLSLMCMCSCMRMRMRSLMLMLSCMCMCS實際系統(tǒng)的參數(shù)均以正序、自電阻R二1(2R+R)互電阻RS3自電感LSposzero=1(2L3pos對角元CS=1(2C3+L)zeropos+C)zero二3(R-R)M3zeropos1互電感

18、L二(L-L)M3非對角元CMzeropos13(C-C)3zeropos零序給出，串聯(lián)阻抗參數(shù)有ZC，所poszero以C矩陣中的cm為負數(shù)，其數(shù)值為相間電容。至于n形電路的數(shù)值模型(瞬態(tài)伴隨模型)，其公式可由單相n形電路導(dǎo)出，只是R、L、C參數(shù)換成矩陣，而i、u變量換成列向量。第三章均勻單導(dǎo)線中暫態(tài)過程的計算在這一章里，主要對單導(dǎo)線-地系統(tǒng)的波過程建立數(shù)值模型。1長線過渡過程的解、長線的微分方程式設(shè)有一條單導(dǎo)線線路，它的單位長度電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別為R0、L0、C0、G0,該線路以長度圖3-1單導(dǎo)線線路取電流的正方向為x增加的方向，由KVL、KCL可寫出如下方程:TOC o 1-5

19、h z8udi-=Ri+L-(3-1)dx00dtdiG丄Cdudx00dt這就是長線方程。嚴格來說，導(dǎo)線存在集膚效應(yīng)和電暈效應(yīng)，大地也非理想導(dǎo)體，因此R0、L0、C。、G0應(yīng)該是電壓、電流波形的函數(shù)。但在這里，為掌握一般規(guī)律起見，R0、L。、C。、G0均視為常數(shù)，這也能夠符合絕大多數(shù)研究項目的精度要求。二、零初始條件下長線方程的解(象函數(shù)形式)設(shè)S為拉普拉斯算子，由拉氏變換將(3-1)變成常微分方程(考慮零初始條件)-dU(x,S)=z(S)I(x,S)dI(dXS)0(3-2)-(X,)=Y(S)U(x,S)、dxo其中：Z(S)=R+SLY(S)=G+SC。Y(S)=/Z(S)Y(S)再

20、令00Z(S)=.Z(S)/Y(S)00則(3-2)式的象函數(shù)形式的通解為U(x,S)=F(S)e-y(S)x+F(S)ey(s)x(3-3)112I(x,S)=F(S)e-y(S)x-F(S)ey(s)xZ(S)12式中片、F2(S)為待定象函數(shù)，由邊界條件確定。丫(S)、Z(S)為拉氏運算形式的傳播常數(shù)和特征阻抗，其含義為：傳播常數(shù)Y(S)=誇(S)Y(S)=(R+SL)(G+SC)_00V00001=(S+a)2p2v特性阻抗Z(S)=；Z(S)/Y(S)=(R+SL.-(G+SC)-000000S+a+p=ZcS+a+p1111其中V=JLC(R0+為傳播速度0(R0-G)0-C丿0G

21、)C0丿為衰減系數(shù)為畸變系數(shù)0ZC0為無損線的特性阻抗三、無損長線微分方程的通解形式由于R0=0，G0=0故Y(S)=SLC=S/v*00TOC o 1-5 h zZ(S)=Z HYPERLINK l bookmark261 00C代入(3-3)式得xxU(x,S)=F(S)e-Sv+F(S)eSv121XXI(x,S)nF(S)e-Sv-F(S)eSvZ12C利用拉氏變換基本定理f(t+G變換-egF(S)寫出時域中的通解形式rXXu(x,t)=f(t-_)+f(t+_)1v2v1xxi(x,t)二廠f(t-_)-f(t+_)Ziv2vC其中，f1、f2由邊界條件確定。從這個解的形式，我們可

22、歸納如下幾點物理概念：f(t-x)表示前行電壓波，沿x的正方向傳播；1vf(t+x)表示反行電壓波，沿x的負方向傳播。2v前行波、反行波在無損導(dǎo)線中傳播時不發(fā)生畸變和衰減。前行電壓波u1伴隨一個前行電流波i1，它們之間關(guān)系丄=Z(3-6)反行電壓波u2伴隨一個前行電流波i2,它們之間關(guān)系(3-7)注意：負號是由于反行電流波方向與電流參考方向相反無論對于前行波或反行波，電壓波與電流波的比值在數(shù)量上等于izci,但對于線路上某點的電壓和電流由前、反行波合成時卻不存在這個關(guān)系，即u(x,t)土Zi(x,t)C2無損單長線的貝杰龍模型這里針對無損單長線，介紹如何將分布參數(shù)的輸電線路化為集中參數(shù)計算模型

23、，因為該方法出自于貝杰龍數(shù)學(xué)模型，所以又稱為貝杰龍法。ikm(t)卅)m腫(t)圖3-2長度、波速、波阻抗分別為1、v、Z的單長線如圖所示的無損長線，兩端節(jié)點分別為k、m,由(3-5)式得xu(x,t)+Zi(x,t)=2f(t-)1v(3-9)xu(x,t)-Zi(x,t)=2f(t+_)、2v上式表明，當(dāng)t和t+各為固定值時，f(t)和彳(t+)也各為固定值，進而vv1v2vu(x,t)+Zi(x,t)u(x,t)-Zi(x,t)也各為固定值。其含義是：若觀察者沿x以速度v移動，則在他所在位置觀測到的u(x,t)Zi(x,t)對該觀察者而言分別始終不變。設(shè)T=1/v，假如觀察者在t-T時刻

24、從k點出發(fā)，在t時刻到達m點，根據(jù)上述推理并結(jié)合考慮(3-9)式，有u(t-t)+Zi(t-t)二u(t)+Z_i(t)kkmmmk將上式改寫為其中i(t)=1u(t)+1(t-t)mkZmmI(t-t)=-u(t-t)+i(t一t)mZkkm(3-10)同理可得i(t)=；u(t)+1(t-t)kmZkk其中I(t-t)=-己u(t-t)+i(t-t)kZmmk(3-11)圖3-3貝杰龍模型的等效電路由貝杰龍模型的數(shù)學(xué)表達式（3-10）、（3-11）及其等效電路圖3-3可總結(jié)其特點：1）k和m是一個線路元件的兩端節(jié)點，在計算時可按兩個分離節(jié)點計算；2）無損單長線的貝杰龍模型由兩個分開的諾頓等

25、效電路構(gòu)成，其中諾頓等效電阻值等于線路波阻抗，諾頓等效電流源由另一端前T時刻的電壓、電流值確定，從數(shù)值角度看，對當(dāng)前計算步長而言，電流源是已知的。第四章多導(dǎo)線系統(tǒng)中的暫態(tài)過程計算本章主要針對三相架空輸電線路。1三相輸電線路微分方程的矩陣形式圖4-1為對稱三相輸電線路一個dx長度元的等值電路。代血Lffldx注意：圖中的相間電容K在以下均表示為C。省略與單相長線方程一樣的推導(dǎo)過程，我們直接得出方程的矩陣形式Quain(4-1)axataiau+Gu+Cax其中，變量的列向量參數(shù)矩陣u=u(x,t)u(x,t)u(x,t)hABCi=i(x,t)i(x,t)i(x,t)TRRRACAAABR二RR

26、RBABBBCRRRCACBCC_LLL一AAABACL二LLLBABBBCLLLCACBCC一C*C*CR二A0AB-CAB-CACAC_G*G*GG二A0AB-GACAB-GAC零初始條件下（4-1）的象函數(shù)矩陣形式為-CAB-CACC*C*C-CB0ABBCBC-CC+C+CBCC0ACBC-G-GABACG*G*G-GB0ABBCBC-GG+G+GBCC0ACBCdU（x,S）*z（s）l（x,S）=0dxdI（x,S）+Y（S）U（x,S）=0.dx(4-2)進一步對x求導(dǎo)得d2Udx2d21、dx2=ZYU=PU=YZI=PtI(4-3)ABC一般情況下，PPt，但如果Z、Y方陣為

27、平衡陣，則P=PTo注：所謂“平衡”方陣就是所有對角元素相等、所有非對角元素也相等的方陣。例如三相全換位線路的Z、Y就可視為平衡陣。2多導(dǎo)線系統(tǒng)的相-模變換一、問題的提出4-2）、（4-3）與單導(dǎo)線微分方程形式類似，但方程中的變量為向量、系數(shù)是矩陣。由于系數(shù)矩陣中有非對角元素，解某一相要受到其它相的牽連，所以直接解方程是十分困難的，如果我們借助于相似變換將矩陣中的非對角元素化為零，則矩陣方程組中的每個方程只有一個電壓、電流，方程形式與單導(dǎo)線微分方程完全相同，解答方法與前述的一樣。設(shè)Um、Im表示變換后的電壓、電流向量（稱為模量），即mmU=TUI=TIumim其中T、T.分別為電壓、電流的變換

28、矩陣。uid2Umdx2d2Imdx2將（4-3）式用模量表示(4-4)=T-1PTUuum=T-1PtTIiim對于三相全換位系統(tǒng)，P為平衡陣，P=Pt，所以T=T=T,變量的變換矩陣是相同的。ui二、變換矩陣T根據(jù)矩陣理論中的相似變換基本定理，略去煩瑣的推導(dǎo)過程，直接得非正交變換矩陣_1-20_Q=11111-1-2-2-2Q-1二12-1-160-33（變換后各模量功率之和不等于變換前各相量功率之和正交變換矩陣1、訂f變換后各模量功率之和等于變換前各相量功率之和T-i無論是非正交變換矩陣Q或正交變換矩陣T,均可用于相模變換的計算。但實際上，Q般用于物理概念的理解，T用于實際的數(shù)值計算。三

29、、各模的物理意義三相系統(tǒng)的相-模變換又稱a、卩、0變換（ABCa卩0）。用變換矩陣Q來寫電流的相-模變換，有m3-2C進一步寫成單個方程形式1I=飛(I+1+1)m13ABCI=6(21-I-I)m26ABCI=2(-i+1)m32BCi皿B吒B HYPERLINK l bookmark119 rr HYPERLINK l bookmark149 CC卩模分量第一個模分量是以大地為回路的“地中模量”這一分量的波的傳播與大地有關(guān)，是a卩0系統(tǒng)中的0模，可簡稱為“地?！保坏诙?、三個模分量是以線間為回路的“空間模量”，這兩分量的波的傳播與大地?zé)o關(guān)，是邙，稱為“線?！蹦?分量的構(gòu).成如圖4-2所示。/

30、ia模分量0模分量圖4-2a、卩、0模分量四、相-模變換與對稱分量參數(shù)由于TZT-1=111+2ZM0v3A0ZSZMZZMZSZMZMZMZS那么對（4-2）中的第一式Z-ZS0第二式方法相同，后不重復(fù)敘述）進行相-模變換，有dUm+TZT-1I=0dxm寫成三個獨立的模量方程dUmodx+(Z+2Z)I=0SMm0(4-5)dUma+(Z-Z)1=0dxSMmadUm+(ZZ)I=0dxSMmp既然ZS、ZM分別為三相對稱線路的自阻抗和互阻抗，且有零序阻抗Zzero=ZS+2ZM=Z0正序阻抗Zpos=ZS-ZM=Z1所以，地模分量方程是由零序參數(shù)確定的微分方程，線模分量方程是由正序參數(shù)確

31、定的微分方程。這與我們所熟悉的對稱分量法十分相似，只是對稱分量法用于單頻復(fù)域的相量值穩(wěn)態(tài)計算，而相-模變換用于時域的瞬時值暫態(tài)計算。0000五、三相輸電線路方程的通解由于TPTi=ZY000ZY110ZY11所以由（4-4）得dU2m0(X，S)-ZYU00m0(x,S)=0m0dx2dU2(x,S)ZYU(S)0maZYU(x,S)=0dX211madU2mp(x,S)ZYU(x,S)=011mp(4-6)mB、dx2上述模量方程的通解為e-zyx00m01Yx1U(x,S)=Fm0U(x,S)=Fe-Nmamal_U(x,S)=FeZixJmpmpl+Fem02+FeZjYjXma2+Fe

32、-ZjYjXm卩2Z0Y0 x(4-7)將上式寫成矩陣形式U=Fe-+Fe+mm1xm2x這樣，三相線路在ABC坐標(biāo)中的電壓通解為U=TU=TFe-+TFe+mm1xm2x(4-8)同理，可求得電流的通解為I=TI=TZ-1Fe-+TZ-iFe+m2x(4-9)m1x其中，模波阻抗為0當(dāng)線路為無損線路時由單位長度零序電感電、容確定由單位長度正序電感電、容確定六、n階正交變換矩陣的一般形式相-模變換可推廣到任意N相多導(dǎo)線系統(tǒng)，其變換矩陣的通用式為11一11117N12巫JJ-1)1111VN&JJ(J-1)110:VNV60:T二:J-1JJ(J-1)010000VNN(N1)1VN(N-1)N-1評(N-1)當(dāng)N=3時，31U3這似乎與前面得到的變換矩陣不同，但如果將ABC相序換作CBA、將0a卩模量順序換作0（-卩）一（-a）,則變換矩陣就一樣了。這再次說明相模變換矩陣不是唯一的，其原因在于：在將實對稱矩陣P轉(zhuǎn)化為與其