高中數(shù)學(xué)高考沖刺立體幾何專(zhuān)題訓(xùn)練

1、直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體題型一 多面體中平行與垂直的證明【典例1】(2004年天津高考)如圖，在四麴隹P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PDL底面 ABCD, PD=DC, E是PC的中點(diǎn)，作EFL PB交PB于點(diǎn) F.(1)證明PA/平面EDB;(2)證明PBL平面EFD ;(3)求二面角C PB D的大小.本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知 識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.拓展提升：(1)證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；(2)求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；(3)證明線面垂直只需證此直

2、線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從9(A)證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來(lái)【變式訓(xùn)練】1 ( 2006年湖南卷)如圖 4,已知兩個(gè)正四棱錐 P-ABCD 與Q-ABCD的高分別為1和2, AB=4.(I )證明PQL平面ABCD;(n )求異面直線AQ與PB所成的角；(出)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.(2007全國(guó)I 文)四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平 行四邊形，側(cè)面 SBC_L底面ABCD,已知/ABC =45, AB =2, BC=2&, SA=SB = 布.(I)證明：SA_L BC ;(n)求直線SD與平面SBC所成角的大小.(全國(guó)1)已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形/DC

3、/DAB =90：PA_L底面 ABCD,且pa=ad=dc=1ab=i,m 是 PB 的中點(diǎn).2(I )證明：面 PADXW PCD;(n)求AC與PB所成的角;(m)求面 AMC與面BMC所成二面角的大小.本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)及思維能力和空間想象能力 考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.題型二結(jié)論探索性問(wèn)題【典例2】(2006年江西高考)如圖,在三錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD = J3 , BD = CD = 1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形(1)求證：AD_LBC(2)求二面角 B ACD的大小(3)在直線AC

4、上是否存在一點(diǎn) E,使ED與面BCD成30嘀？若存在 確定E的位置；若不存在，說(shuō)明理由.分析：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，考查了 余弦定理尤為突出的是本題采用探索式、開(kāi)放式設(shè)問(wèn)方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。拓展提升：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論：2.聯(lián)想平面幾何命題，運(yùn)用類(lèi)比猜想得出結(jié)論，或先利用條件特例 得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算?！咀兪接?xùn)練】1. (2006年湖北卷)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD - AiBiCi Di中，p是側(cè)棱CCi上的一點(diǎn)，CP=m.(I)試確定 m ,使得直線 AP與平面BDDiBi所成角的 正切值為3金;(n)在線段

5、 AiCi上是否存在一個(gè)定點(diǎn) Q ,使得對(duì)任意的m , DiQ在平面APDi上的射影垂直于 AP.并證明你的結(jié)論點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查線面關(guān)系、 直線于平面所成的角的有 關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力，考查運(yùn)用向量知識(shí)解 決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。ACBC , D是AB的中點(diǎn)AC = BC = a求證VAB 平面 VCD(II)試確定角使得直線 BC與平面VAB所成的角為-6如圖，在三麴隹V ABC中，VC，底而ABCBCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明拓展提升：在平面圖形翻折成空間圖形的這類(lèi)折疊問(wèn)題中般來(lái)說(shuō)平面內(nèi)氨展開(kāi)問(wèn)題(2006年遼寧高考)已知正方形 ABCD . E、F分別是AB、CD的

6、中點(diǎn)，將ADE沿DE折起，如圖所示A -DE -C的大小為6(0(I)證明BF /平面ADE;(II)若UACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面你的結(jié)論，并求角日的余弦值【點(diǎn)評(píng)】本小題考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)考查空間想象能力和思維能力1(05湖南)如圖1,已知ABCDOj_ Ci變化，翻折問(wèn)題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。下底邊長(zhǎng)分別為 2和6,高為J3的等腰梯形，將它沿對(duì)稱(chēng)軸OOi折成直二面角，如圖2.(I)證明：ACXBOi；(n)求二面角 oacOi的大小2.如圖，在直角梯形 PiDCB 中，P1D/CB, CDXPiD, PiD=6, BC=3, DC = J6 , A

7、 是PiD的中點(diǎn)，E是線段AB的中點(diǎn)，沿AB把平面PiAB折起到平面 PAB的位置，使二面角 P-CD- B成45 角.(I )求證：PAL平面ABCD;(II)求平面PEC和平面PAD所成的銳二面角的大 小.【典例4 (2006年重慶高考)如圖，在正四棱柱ABCDABCD 中，AB=I,BB = J3+I , E 為 BB1上使 B1E = I 的點(diǎn) 平面 AEG 交DDi于F ,交Ad的延長(zhǎng)線于G ,求:(I)異面直線 AD與CiG所成角的大小;分析：本題以棱柱為載體考查了空間線線角、面面角。屬于考(n )二面角 A -CiG A的正切值;拓展提升：作異面直線所成角的常用方法有：(i)平移

8、法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另外一條直線 的平行線或利用中位線；(2)補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的 幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。一般來(lái) 說(shuō)平移是最常用的，應(yīng)作為求兩異面直線所成角的首選方法;(3)向量法 解與二面角有關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意：(1)找出二面角的平面角，主 要是用三垂線定理或其逆定理(2)求二面角，主要是解三角形 或是用射影法。【變式訓(xùn)練】 如圖，已知ABCD ABC1是棱長(zhǎng)為3的正方體,點(diǎn) E 在 AA 上，點(diǎn) F 在 CCU：,且 AE = FC1 =i.(i)求證：E, B, F, D四點(diǎn)共面；(4分)2(2)若點(diǎn)G在BC上，BG =，點(diǎn)M在BB

9、上，3GM BF ,垂足為H ,求證：EM，平面BCCB； (4分)(3)用6表示截面EBFD1和側(cè)面BCCB所成的銳二面角的大小，求 tan6 . (4分)本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算,考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力.滿分 12分.題型六求空間距離【典例5 （2004福建卷）在三棱錐 S ABC中， ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC，平面 ABC, SA=SC=2 J3 , M、N 分別為 AB、SB 的中點(diǎn).（I）證明：ACXSB;（n）求二面角 N CM B的大??； （m）求點(diǎn)B到平面CMN的距離.分析：本小題主要考查直線與

10、直線、直線與平面、二面 角、點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力.若按常規(guī)方法解，（1）需作輔助線再構(gòu)造一平面， 可得線面垂直結(jié)論，即可證得線先垂直；（2）由三垂線定理作出二面角的平面角，再由直角三角形知識(shí)即可求解；（3）由等體積轉(zhuǎn)換VB CMN =VNCMB即可求解.但解此題用 下面的空間向量知識(shí)解更簡(jiǎn)捷 .解析：本小題主要考查直線與直線 ，直線與平面，二面角，點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識(shí)：考查空間想象能力和邏輯推理能力.拓展提升：此題三個(gè)小問(wèn)題層層深入，由（1）證明線線垂直，（2）又利用三垂線定理及勾股定理求二面角，（3）由三角形等面積轉(zhuǎn)換求線段，進(jìn)而由等體積求點(diǎn)到平面距離

11、.這是一道 考查立體幾何知識(shí)較全面立體幾何中的求距離， 也是高考中的命題熱點(diǎn)， 其中點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算是立體幾何中的 一個(gè)難點(diǎn).求點(diǎn)到平面距離，一般方法是先由該點(diǎn)向平面引垂線確定垂足，把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為解三角形求解，需要作輔助線，然后通過(guò)邏輯推理論證及計(jì)算，（一作，二證，三計(jì)算）或用向量法。 【變式訓(xùn)練】.（07 遼寧）如圖，在直三棱柱 ABCA1B1G 中，NACB=900, AC = BC = a , D, E 分 別為棱AB, BC的中點(diǎn)，M為棱AA上的點(diǎn)，二面角 M - DE A為30 .證明：AB 1C1D ；（II）求MA的長(zhǎng)，并求點(diǎn) C到平面MDE的距離.本小題主要考查空間

12、中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與思維能力.BE.（ 06福建）如圖，四面體 ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2 （I ）求證：AOL平面BCD ;（n ）求異面直線 AB與CD所成角的大小； （出）求點(diǎn)E到平面的距離.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力 .3. （2006湖北高考）如圖,已知正三棱柱 ABC-A舊iCi的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為 1,M是 底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CCi上的點(diǎn)，且CN=2CiN.（I ）求二面角 Bi AM N的平面角的余弦

13、值；（n）求點(diǎn)Bi到平面AMN的距離.本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和點(diǎn)到平面距離的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能 力.考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.方法與技巧（一）位置關(guān)系：.兩條異面直線相互垂直證明方法：證明兩條異面直線所成角為90。；能證明兩條異面直線的方向量相互垂直。.直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；（2）證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；（3）證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。.直線和平面垂直證明方法：證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，（2）證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都垂直；（3證明直線

14、的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。.平面和平面相互垂直證明方法：d證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為90。； （2）證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面；證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直。（二）求距離：求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離， 直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到 平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。.兩條異面直線的距離.| AB n |-求法：利用公式 d =一 （其中a、b分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)，n為這兩|n|條異面直線的法向量）.點(diǎn)到平面的距離求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。等體積法。向量法，利r -,| AB

15、n|用公式d = 一 （其中a為已知點(diǎn)，b為這個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，n這個(gè)平面的法向|n|量）（三）求角.兩條異面直線所成的角求法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得； 通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是（0/,向量所成的角范圍是0,n,如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成2相應(yīng)的銳角。.直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角 “，那么所要求的角為 工a或口 工。223.平面與平面所成的角求法：“一找二證三求”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來(lái)證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過(guò)解三角形來(lái)求。（2）通過(guò)射影面積來(lái)求. S 射影 一一 ，一一,. 一, COSa = （在其中一個(gè)平面內(nèi)找出一個(gè)二角形，