高中數(shù)學(xué)解三角形知識點匯總及典型例題1

1、解三角形的必備知識和典型例題及詳解b、c分別表示A、B、C的對邊。-WORDB式-可編輯-、知識必備:1.直角三角形中各元素間的關(guān)系:三邊之間的關(guān)系:(1)銳角之間的關(guān)系:(2)邊角之間的關(guān)系:(3)cosOc在 ABC中，A、B、C為其內(nèi)角,a、ba的兩倍bca1acsin B ；a3c aha、hb、hc分別表示2 =2 =.三角形的面積公式：11BA= sin B =b c a2 +2 2 cos ；c bc Asin A sin B sin C2= 2+ 2 2 cosc2.斜三角形中各元素間的關(guān)系:2R ( R為外接圓半徑)在 ABC 中,C= 90bhb=21(1)三角形內(nèi)角和：

2、A+ B + C=兀。a sin A= cos B=,absin C = bcsin A = 222AB= c, AC = b, BC = a。1chc (2(銳角三角函數(shù)定義)b, tan aJ ba2+ b2=c2o (勾股定理)(1) S = ah a=A+ B = 90 ;2+ 2 2 cos ob ab Ca、b、c上的高)；(2)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積4.解三角形：由三角形的六個元素(即三條邊和三個內(nèi)角)中的三個元素(其中至少有一個是邊) A求其他未知元素的問題叫做

3、解三角形.廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平 分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等.主要類型:(1)兩類正弦定理解三角形的問題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角第2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角(2)兩類余弦定理解三角形的問題：第1、已知三邊求三角 .-WORDB式-可編輯-第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。(1)角的變換因為在& ABC 中，A+B+C=兀*;所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A

4、+B)= tanC。sin cos , cos B sin ； 2222(2)判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)分析：分析題意，弄清已知和所求；(2)建模：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，寫出已知與所求，弁畫出示意圖；(3)求解：正確運用正、余弦定理求解；(4)檢驗：檢驗上述所求是否符合實際意義。二、典例解析題型1 :正、余弦定理 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 例 1. ( 1)在 ABC 中，已知 A 32.0 0 , B 81.8 0 , a

5、42.9 cm,解三角形； As.0(2)在 ABC中，已知a 20 cm, b 28 cm, A 400 ,解三角形(角度精確到1 ,邊長精確到1cm)。.一M .解：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C 180 0 (A B) 180 0(32.0 0 81.8 0) 66.2 0 ;asin B 42.9sin81.8 0 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 根據(jù)正弦定理，；b sin A sin32.0 080.1(cm)asinC 42.9sin66.2 0根據(jù)正弦7H 理c sin A sin32.0 074.1(cm).0.8999.(40

6、0 64 0 ) 760,(2)根據(jù)正弦定理，sin B bsin A 28sin400二- aar 20因為 00 V B v 1800，所以 B 640 ,或 B 1160.當(dāng) B 64 0 時， C 1800 (A B) 180 0-WORDB式-可編輯-c asin C sin A20sin76 0 30(cm).-0sin40當(dāng)B 1160時,C 1800 (A B)000180 (40116 )0 asinC24 , c sin A20sin24 0013(cm).sin40點評：應(yīng)用正弦定理時（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形;(2)對于解三角形中的

7、復(fù)雜運算可使用計算器題型2:三角形唯積ABC工例2.在sin A cos A解法一：先解三角方程，求出角2，AC 2 , AB 3，求tan A的值和 ABC的面積。2A的值。sin A cos A 2 cos(A45 )1 cos(A 45 ).A 45105.tan A tan(45160 ) 1sinA sin105sin(45 60 ) sin45 cos60 cos45 sin60SABC1ACAB sin A 12解;二：由 sin Acos A計算它的對偶關(guān)系式sin A cos A的值。sin A cos A2(sin A cos A)2sin Acos A另解(sin 2As

8、in A 0,cos A 0.1)2-WORDB式-可編輯-(sin A cos A) 21 2sin A cos A 32V * v6sin A cos A2 + 得 sin A .4 2 164一得從而tan AcosA 2 L f 廠4一=4 工sin A 264cosA 4262 3以下解法略去點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學(xué)考查運算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡單呢？題型3:三角形中的三角恒等變換問題例3.在 ABC中，a、b、c分別是/ A、/ B、/ C的對邊長，已知 a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=ac

9、 bc,求/ A的大小及b sin B的值。分析：因給出的是2b由b2=ac可變形為c解法一：: a、Eca、b、c之間的等量關(guān)系，要求/ A,需找/ A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。二a,再用正弦定理可求b sin B的值。cc 成等比數(shù)列，b2=act又 a2 c2=acbc,b2+c2 a2=bcosin = b sin A，= b2=,Baca在 ABC中，由余弦定理得：./ A=60。在4 中，由正弦定理得 ABC/ A=60 ,b sin B b 2 sin 60cac解法二：在 ABC中，b 2 c 2 a 2 bccos A=2bc 2bc3=sin60 =2-WORDB 式-

10、由面積公式得bcsin A= acsin B。22; b2=ac, /b sin BA=60,bcsin A=b2sin B。=sin評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。題型4:正、余弦定理判斷三角形形狀例4.在 ABC中，若2cos Bsin A= sinC ,則4 ABC的形狀一定是（A.等腰直角三角形B,直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sin Acos B= sin C =sin ( A+ B)=sinAcosB+cosAsinB. sin ( A-B) = 0, A= B另解：角化邊點評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)

11、,要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑題型5:三角形中求值問題例5. ABC的三個內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為何值時，cos AB2cosC取得最大值，弁求出這個最大值。B+C兀B+C解析：由 A+B+C=兀，得-2 - = 2cos 2AO=sin 2B+CA1 2cosA+2cos2 =cosA+2sin 2 =1 2sin2 + 2sinB+C2= 2(sin 2 2)+ 2；當(dāng) sin 2 =2,即 A= 3 時,cosA+2cos2取得最大值為2。點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為三于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的 性質(zhì)求得結(jié)果。題型6:正余弦定

12、理的實際應(yīng)用例6. （ 2009遼寧卷文，理）如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。 測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為750300 ,于水面c處測得B點和D點的仰角均為 600 ,AC=0.1km 。試探究圖中 B,D間距離與另外哪兩點間距離相等,然后求-WORDB式-可編輯-62.449 )B, D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km,2 1.414 ,解：在 ABC 中，/ DAC=30 , /ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又/ BCD=180 60 60 =60 ,在 ABC中,故CB是 CAD底邊AD的

13、中垂線，所以 BD=BA J V TOC o 1-5 h z ABACACsin603 26sin BCA Sin AB C 即 AB= sin 15203 260.33km o因此，BD= 20故B, D的距離約為 0.33km 。點評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低， 對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中 基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。三、思維總結(jié).解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C）,由A+B + C =兀求C,由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c

14、）,應(yīng)用余弦定理求 c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C =兀，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如 a、b、A）,應(yīng)用正弦定理求 B,由A+B + C =兀求C,再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊 a、b、c,應(yīng)余弦定理求 A、B,再由A+B+C =兀，求角C。2.三角學(xué)中的射影定理：在 abc中，b a cosC c cos A ,3.兩內(nèi)角與其正弦值：在 ABC中，A 二B sin A sin B -4.解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”O(jiān) J三、課后跟蹤訓(xùn)練

15、1. （ 2010上海文數(shù)18.）若 ABC的三個內(nèi)角滿足sin A : sin B : sin C 5:11:13 ，則 ABC （）(D)5:11:13解析由余弦定理得1153bcABC273sin BA=(150A由正弦定理得c23b2R2R3bc23bc32bc2bc2bc2余弦定理將邊化為角運算或?qū)⒔腔癁檫呥\算。cos Ba=15,b=10,A=603A633D15aasin Asin603B(20104sinC=131sin Asin Asin 60260aC72 a所以cosA=【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦若 a=1,b=【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)

16、用A,B,C的對邊分別是sin C 2A+C=2B 及 A+ B+ C=18022180 30A 303 , A+C=2Ba,b,c一定是銳角三角形 一定是鈍角三角形B A【解析】根據(jù)正弦定理6 ,故D正確一定是直角三角形 .,能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形2010天津理數(shù)及正弦定理得 a:b:c=5:11:130,所以角c為鈍角60 90 , sin C sin 90 1180 A B3001200c 2 3b600故B為銳角，所以cos1 sin 2 Bb2B 213 2sin A : sin B : sin CB=60 .由正弦定理知3,又因為b1122+c2010湖北理數(shù)）3.在A

17、 ABC2 2a,b,c分別是 ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊23bc c10解得sin Bsin B0所以A=30b/口可得sin B5 2 cos c2-WORDB式-可編輯-5 （ 2009湖南卷文）_在鋰用-ABC % BC1, B2 A,AC則的值等于的取值范圍為解析.由母弦定理得cos AAC sin 2BCsinAC2cosAC cos2.由銳角二ABC 得 09018039030故3045cosAC2cos(2,3).6. ( 2009全國卷I理)在 ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為c2 2b ,且 sin AcosC 3cos Asin C,分析：此題事實上比較簡單

18、，但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件a2-c2 2 b左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件（2）sin A cosC _ 3cos Asin C,過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分解法：在 ABC中則sin A cosC 3cos A sin C,由正弦定理及余弦定理a2b2 c2b2c2 a2（角化邊）2ab3 2bc化簡弁整理得:b 4或b 0（舍）解得7.在 ABC中，已知A、B、求c,2(a2c*) b2 .又由已知a2c2 2b 4bb2C成等差數(shù)列,A tan2C tan23 tan t

19、an 的值。解析：因為A、B、C成等差數(shù)列，又A + B+ C =180所以A +C= 120A C從而A C=60 ，故 tan 2MF3 .由兩角和的正切公式，得Atan2tanA tan2C tan-WORDB式-可編輯-所以tan tan3 3 tanA tan CAtantan3 tan tan點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路,A同時結(jié)合三角變換公式的逆用；般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解,B為銳角，角 A、B、C所對的邊分別為 a、 b、c,且b、 c的值。8. ( 2009 用H卷文)在 二一ABC 中，A、sin A，sin B10510B的值；（II ）若a解（

20、I）丁 A、 B為銳角，sin A5,sin B5cos A 1 sin2 A 255,cos B =%i1010 Vsin2 B 3 1010cos(A B) cos A cos B sin A sin B3 105V V 710105102. A B4(II )由C 3 sin C4由asin Asin Bc得sin C5a 10b2c ,即 a 2b,c5b2b ba = 2, c9. （ 2010陵西文贅17，（本小題滿分一 12 分)在 ABC中，已知AD=10,AC=14,DC=6 解在 ADC中， 由余弦定理得B=45 ,D是BC邊上的一點, ,求AB的長.AD=10,AC=14

21、,DC=6,cosAD2DC 2 AC2 2AD DCADC=120=100 36 1962 10 6在 ABD 中,AD=10,ADB=60B=45ADB=60-WORDB式-可編輯-由正弦定理春sinABADB1ADsin B一 AB=AD sin ADBsin B10sin 60sin 4531025 62210. （ 2010遼寧文數(shù)17）（本小題滿分12分）在ABC中7a、b、c分前為內(nèi)角*A、B、C的對邊,且 2asin A(2 bc)sin B (2cb)sin C（I）求A的大小;（n）若 sin Bsin C 1,試判斷ABC的形憂.解：（i）由已知,根據(jù)正弦定理得2a 2(

22、2b c)b (2c b)c即 a2b2bc盅余弦定理得故1cos A =2a2 b 2 c22bc cosAsin2 a 用 sin2 B. 2sinC sin BsinC.又 sin B sinsin C2因為 0 B90 ,0 C 90故B C11. ( 2010遼寧理數(shù))在 ABC 中，a, b, c所以(17)Abc是等腰的鈍角三角形。12分)分別為內(nèi)角A, B, C 的對邊，且2asin A (2a c)sin B (2c b)sin C.（I ）求A的大??；（n）求sin B sin C的最大值解：（I ）由已知，根據(jù)正弦定理得2a2 (2b c)b (2c b)c即 a2b2

23、c2bc由余弦定理得a2b2c2 2bc cosA故 cos A1,A=120,6分2（n）由（i）得:sin B sin C sin B sin(60B)10-WORDB式-可編輯-1sinBB)有一個三角形，邊長分別為a、b、c,三角形的面積 S可由以下公式求得:3cosB22sin(60故當(dāng)B=30 時，sinB+sinC取得最大值1。補充:海倫公式:而公式里的 p為半周長（周長的一半）：基本關(guān)系轉(zhuǎn)化:倒數(shù)關(guān)系:tall A dDiiimaCOSrtit,一人una sin pc。31ns co i OS0 + sinn sinew=Hanti tanpmiwflL-lanrt tanp

24、 tan( - tan 6coin cot D-WORDB式-可編輯-cotficotp i 1“=電廨 BljtoQpyHOI。si n 尸 CQBTWCQt，sia|r i n n sinp sin iIB CCIfl C0bSQM) i . g iiMi 的40Vp = r sin僧*410尸” L -a 】r,一AMBS1H= -|sin (C+f)Bin(0-p) ：ib0110001901+0011L. 一 i. 事 lABl p a sC0S(tt4HOi(fl -伽 倍角公式 4二倍角7 1書 =坪 fy”,三倍角 , 3sina-4sinA3aI -tair(1=sin(a+2a)12-WORDB式-可編輯-=sin2acosa+cos2asina=2sina ( 1-sinA2a)+( 1-2sinA2a)sina =3sina-4sinA3a cos3a f 4cosA3a -3cosa=cos (2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosA2a-1 ) cosa-2 ( 1-cosA2a)cosa=