牛吃草問題及變形題目詳細(xì)分析

1、牛吃草問題及變形題目詳細(xì)分析牛吃草問題屬于應(yīng)用題模塊，是經(jīng)典的奧數(shù)題型之一，也是考試中經(jīng)常會(huì)涉及到 的考點(diǎn)。下邊是牛吃草的五大經(jīng)典類型，大家可以來學(xué)習(xí)一下。“牛吃草”問題主要涉及三個(gè)量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時(shí)間。難點(diǎn)在于隨著時(shí) 間的增長(zhǎng)，草也在按不變的速度均勻生長(zhǎng)，所以草的總量不定。“牛吃草”問題 是小學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn).解“牛吃草”問題的主要依據(jù)：草的每天生長(zhǎng)量不變；每頭牛每天的食草量不變；草的總量;草場(chǎng)原有的草量+新生的草量，其中草場(chǎng)原有的草量是一個(gè)固定值（4）新生的草量=每天生長(zhǎng)量義天數(shù)同一片牧場(chǎng)中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結(jié)為：設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1” ；草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)牛

2、的頭數(shù)X較多天數(shù)一對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)X較少天數(shù)）+ （較 多天數(shù)一較少天數(shù)）；原來的草量=對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)X吃的天數(shù)一草的生長(zhǎng)速度X吃的天數(shù)；吃的天數(shù)=原來的草量小（牛的頭數(shù)一草的生長(zhǎng)速度）；牛的頭數(shù)=原來的草量吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度.“牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了 “牛吃草”問題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬變，輕松解決此類問題。例1牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天, 或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？分析與解：這類題難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想方法從 變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀?chǎng)

3、上原有的草和新生長(zhǎng)出來的草兩部 分。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以 這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的。下面，就要 設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草量這兩個(gè)不變量。設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛 10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150份， 前者是原有的草加20天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加10天新長(zhǎng)出的草。200-150 = 50 （份），2010=10 （天）,說明牧場(chǎng)10天長(zhǎng)草50份，1天長(zhǎng)草5份。也就是說，5頭牛專吃新長(zhǎng)出來的草 剛好吃完，5頭

4、牛以外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草。由此得出，牧場(chǎng)上原有 草（105） X 20=100 （份）或（155） X10=100 （份）。現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份，每天新長(zhǎng)出草5份。當(dāng)有25頭牛時(shí)，其中的5頭 專吃新長(zhǎng)出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100 20 = 5 （天）。所以，這片草地可供25頭牛吃5天。在例1的解法中要注意三點(diǎn)：（1）每天新長(zhǎng)出的草量是通過的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天 數(shù)的差計(jì)算出來的。（2）在的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，由剩 下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其

5、余的牛吃原有的草，根據(jù) 原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。例2一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先翻開進(jìn)水管，等水池存了一 些水后，再翻開出水管。如果同時(shí)翻開2個(gè)出水管，那么8分鐘后水池空；如果 同時(shí)翻開3個(gè)出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？ 分析：雖然外表上沒有“牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?，“水”相?dāng)于 “草”，進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長(zhǎng)出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以 也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。出水管所排出的水可以分為兩局部：一局部是出水管翻開之前原有的水量，另一 局部是開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊? 所

6、以可以從比擬兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，那么2個(gè)出水管8分鐘所排的水是2X8 = 16 （份），3個(gè)出水管5分鐘所排的水是3義5=15 （份），這兩次排出的水量都 包括原有水量和從開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在8-5=3 （分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是（16 15） +3 = 1/3 （分），假 設(shè)讓1/3個(gè)出水管專門排進(jìn)水管新進(jìn)的水兩相抵消，其余的水管排原有的水，可 以求出原有水的水量（2-1/30）義8 = 13% （分）或（3-1/3） X5 = 13% （分）解：設(shè)出水管每分鐘排出的水為1分，每分鐘進(jìn)水量（2X

7、8-3X5） + （8-5） =1/3 （分）進(jìn)水管提前開了 （2-1/3） X81/3=40 （分）答：出水管比進(jìn)水管晚開40分鐘。例3由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減少。 某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可 供多少頭牛吃10天？分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在減少。但 是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100 -90 = 10 （份），說明寒冷使牧場(chǎng)1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當(dāng)于 10頭

8、牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的 10頭牛同時(shí)在吃草，所以牧場(chǎng)原有草（20 + 10） X5 = 150 （份）。由150+10=15知，牧場(chǎng)原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所 以，可供5頭牛吃10天。例4自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。 男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了 5分鐘到達(dá)樓 上，女孩用了 6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)？分析：與例3比擬，“總的草量”變成了 “扶梯的梯級(jí)總數(shù)”，“草”變成了 “梯 級(jí)”，“?！弊兂闪?“速度”，也可以看成牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩局部

9、：一局部是男、女孩自己的速度，另一局部是自動(dòng)扶 梯的速度。男孩5分鐘走了 20X5 = 100（級(jí)），女孩6分鐘走了 15X6=90（級(jí)）， 女孩比男孩少走了 100 90 = 10 （級(jí)），多用了 6 5 = 1 （分），說明電梯1分 鐘走10級(jí)。由男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度 之和，所以扶梯共有(20 + 10) X5=150 (級(jí))。解：自動(dòng)扶梯每分鐘走(20X5-15X6) 4- (6-5) =10 (級(jí))，自動(dòng)扶梯共有(20+10) X5=150 (級(jí))。答：扶梯共有150級(jí)。例5某車站在檢票前假設(shè)干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開 始檢票到

10、等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開5個(gè)檢票 口需20分鐘。如果同時(shí)翻開7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，“旅客”相當(dāng)于“草”，“檢票口”相 當(dāng)于“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。旅客總數(shù)由兩局部組成：一局部是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一局部 是開始檢票后新來的旅客。設(shè)1個(gè)檢票口 1分鐘檢票的人數(shù)為1份。因?yàn)?個(gè)檢票口 30分鐘通過(4X30) 份，5個(gè)檢票口 20分鐘通過(5X20)份，說明在(30-20)分鐘內(nèi)新來旅客(4 X30-5X20)份，所以每分鐘新來旅客(4X30-5X20) 4- (30-20) =2 (份)。假設(shè)讓2個(gè)

11、檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅 客，可以求出原有旅客為(4-2) X30 = 60 (份)或(5-2) X20 = 60 (份)。同時(shí)翻開7個(gè)檢票口時(shí)，讓2個(gè)檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過 原來的旅客，需要604- (7-2) =12 (分)。例6有三塊草地，面積分別為5, 6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得 一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問： 第三塊草地可供19頭牛吃多少天？分析與解：例1是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個(gè) 問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。5, 6, 8 =120

12、o因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120 + 5 = 24, 所以120公頃草地可供11X24 = 264 （頭）牛吃10天。因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120 + 6 = 20,所以120公頃草地可供12X20 = 240 （頭）牛吃14天。120 + 8 = 15,問題變?yōu)椋?20公頃草地可供19X15 = 285 （頭）牛吃幾天？ 因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋骸耙粔K勻速生長(zhǎng)的草地，可供264頭牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那么可 供285頭牛吃幾天？ ”這與例1完全一樣。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。每天新長(zhǎng)出的草有 （240X14-264X10）

13、4- （14-10） =180 （份）。草地原有草（264180） X 10=840 （份）。可供285頭牛吃8404- （285180） =8 （天）。所以，第三塊草地可供19頭牛吃8天。練習(xí). 一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃 9周。那么，可供21頭牛吃幾周？.一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭 牛吃24天?，F(xiàn)有一群牛，吃了 6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了 2天將草吃 完，這群牛原來有多少頭？.經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。 假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一定的，為使人類有不斷開展的潛力，地球最 多能養(yǎng)活多少億人？.有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機(jī)20時(shí)可以把水抽干；用15 部同樣的抽水機(jī)，10時(shí)可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可 以把水抽干？.某車站在檢票前假設(shè)干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。如果同時(shí) 開放3個(gè)檢票口，那么40分鐘檢票口前的隊(duì)伍恰好消失；如果同時(shí)開放4個(gè)檢 票口，那么25分鐘隊(duì)伍恰好消失。如果同時(shí)開放8個(gè)檢票口，那么隊(duì)伍多少分 鐘恰好消失？.兩只蝸牛由于耐