牛吃草問題及變形題目詳細(xì)分析

1、牛吃草問題及變形題目詳細(xì)分析牛吃草問題屬于應(yīng)用題模塊，是經(jīng)典的奧數(shù)題型之一，也是考試中經(jīng)常會涉及到 的考點。下邊是牛吃草的五大經(jīng)典類型，大家可以來學(xué)習(xí)一下?！芭３圆荨眴栴}主要涉及三個量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時間。難點在于隨著時 間的增長，草也在按不變的速度均勻生長，所以草的總量不定?！芭３圆荨眴栴} 是小學(xué)應(yīng)用題中的難點.解“牛吃草”問題的主要依據(jù)：草的每天生長量不變；每頭牛每天的食草量不變；草的總量;草場原有的草量+新生的草量，其中草場原有的草量是一個固定值（4）新生的草量=每天生長量義天數(shù)同一片牧場中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結(jié)為：設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1” ；草的生長速度=（對應(yīng)牛

2、的頭數(shù)X較多天數(shù)一對應(yīng)牛的頭數(shù)X較少天數(shù)）+ （較 多天數(shù)一較少天數(shù)）；原來的草量=對應(yīng)牛的頭數(shù)X吃的天數(shù)一草的生長速度X吃的天數(shù)；吃的天數(shù)=原來的草量?。ㄅ５念^數(shù)一草的生長速度）；牛的頭數(shù)=原來的草量吃的天數(shù)+草的生長速度.“牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了 “牛吃草”問題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬變，輕松解決此類問題。例1牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天, 或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？分析與解：這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想方法從 變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀?/p>

3、上原有的草和新生長出來的草兩部 分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以 這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要 設(shè)法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變量。設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛 10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150份， 前者是原有的草加20天新長出的草，后者是原有的草加10天新長出的草。200-150 = 50 （份），2010=10 （天）,說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草 剛好吃完，5頭

4、牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有 草（105） X 20=100 （份）或（155） X10=100 （份）?，F(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份，每天新長出草5份。當(dāng)有25頭牛時，其中的5頭 專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100 20 = 5 （天）。所以，這片草地可供25頭牛吃5天。在例1的解法中要注意三點：（1）每天新長出的草量是通過的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天 數(shù)的差計算出來的。（2）在的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩 下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計算出原有的草量。（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其

5、余的牛吃原有的草，根據(jù) 原有的草量可以計算出能吃幾天。例2一個水池裝一個進(jìn)水管和三個同樣的出水管。先翻開進(jìn)水管，等水池存了一 些水后，再翻開出水管。如果同時翻開2個出水管，那么8分鐘后水池空；如果 同時翻開3個出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？ 分析：雖然外表上沒有“牛吃草”，但因為總的水量在均勻變化，“水”相當(dāng)于 “草”，進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以 也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。出水管所排出的水可以分為兩局部：一局部是出水管翻開之前原有的水量，另一 局部是開始排水至排空這段時間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因為原有的水量是不變的, 所

6、以可以從比擬兩次排水所用的時間及排水量入手解決問題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，那么2個出水管8分鐘所排的水是2X8 = 16 （份），3個出水管5分鐘所排的水是3義5=15 （份），這兩次排出的水量都 包括原有水量和從開始排水至排空這段時間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在8-5=3 （分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是（16 15） +3 = 1/3 （分），假 設(shè)讓1/3個出水管專門排進(jìn)水管新進(jìn)的水兩相抵消，其余的水管排原有的水，可 以求出原有水的水量（2-1/30）義8 = 13% （分）或（3-1/3） X5 = 13% （分）解：設(shè)出水管每分鐘排出的水為1分，每分鐘進(jìn)水量（2X

7、8-3X5） + （8-5） =1/3 （分）進(jìn)水管提前開了 （2-1/3） X81/3=40 （分）答：出水管比進(jìn)水管晚開40分鐘。例3由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。 某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可 供多少頭牛吃10天？分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但 是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100 -90 = 10 （份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當(dāng)于 10頭

8、牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的 10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草（20 + 10） X5 = 150 （份）。由150+10=15知，牧場原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所 以，可供5頭牛吃10天。例4自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。 男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結(jié)果男孩用了 5分鐘到達(dá)樓 上，女孩用了 6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級？分析：與例3比擬，“總的草量”變成了 “扶梯的梯級總數(shù)”，“草”變成了 “梯 級”，“?！弊兂闪?“速度”，也可以看成牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩局部

9、：一局部是男、女孩自己的速度，另一局部是自動扶 梯的速度。男孩5分鐘走了 20X5 = 100（級），女孩6分鐘走了 15X6=90（級）， 女孩比男孩少走了 100 90 = 10 （級），多用了 6 5 = 1 （分），說明電梯1分 鐘走10級。由男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度 之和，所以扶梯共有(20 + 10) X5=150 (級)。解：自動扶梯每分鐘走(20X5-15X6) 4- (6-5) =10 (級)，自動扶梯共有(20+10) X5=150 (級)。答：扶梯共有150級。例5某車站在檢票前假設(shè)干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開 始檢票到

10、等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票 口需20分鐘。如果同時翻開7個檢票口，那么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，“旅客”相當(dāng)于“草”，“檢票口”相 當(dāng)于“?！保梢杂门３圆輪栴}的解法求解。旅客總數(shù)由兩局部組成：一局部是開始檢票前已經(jīng)在排隊的原有旅客，另一局部 是開始檢票后新來的旅客。設(shè)1個檢票口 1分鐘檢票的人數(shù)為1份。因為4個檢票口 30分鐘通過(4X30) 份，5個檢票口 20分鐘通過(5X20)份，說明在(30-20)分鐘內(nèi)新來旅客(4 X30-5X20)份，所以每分鐘新來旅客(4X30-5X20) 4- (30-20) =2 (份)。假設(shè)讓2個

11、檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅 客，可以求出原有旅客為(4-2) X30 = 60 (份)或(5-2) X20 = 60 (份)。同時翻開7個檢票口時，讓2個檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過 原來的旅客，需要604- (7-2) =12 (分)。例6有三塊草地，面積分別為5, 6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得 一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問： 第三塊草地可供19頭牛吃多少天？分析與解：例1是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個 問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。5, 6, 8 =120

12、o因為5公頃草地可供11頭牛吃10天，120 + 5 = 24, 所以120公頃草地可供11X24 = 264 （頭）牛吃10天。因為6公頃草地可供12頭牛吃14天，120 + 6 = 20,所以120公頃草地可供12X20 = 240 （頭）牛吃14天。120 + 8 = 15,問題變?yōu)椋?20公頃草地可供19X15 = 285 （頭）牛吃幾天？ 因為草地面積相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋骸耙粔K勻速生長的草地，可供264頭牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那么可 供285頭牛吃幾天？ ”這與例1完全一樣。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。每天新長出的草有 （240X14-264X10）

13、4- （14-10） =180 （份）。草地原有草（264180） X 10=840 （份）?？晒?85頭牛吃8404- （285180） =8 （天）。所以，第三塊草地可供19頭牛吃8天。練習(xí). 一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃 9周。那么，可供21頭牛吃幾周？.一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭 牛吃24天?，F(xiàn)有一群牛，吃了 6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了 2天將草吃 完，這群牛原來有多少頭？.經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。 假設(shè)地球新生成的資源增長速度是一定的，為使人類有不斷開展的潛力，地球最 多能養(yǎng)活多少億人？.有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機20時可以把水抽干；用15 部同樣的抽水機，10時可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機多少小時可 以把水抽干？.某車站在檢票前假設(shè)干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。如果同時 開放3個檢票口，那么40分鐘檢票口前的隊伍恰好消失；如果同時開放4個檢 票口，那么25分鐘隊伍恰好消失。如果同時開放8個檢票口，那么隊伍多少分 鐘恰好消失？.兩只蝸牛由于耐