大學物理力學答案 6

1、第六章基本知識小結(jié)1開普勒定律行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位于一個焦點上行星位矢在相等時間內(nèi)掃過相等面積行星周期平方與半長軸立方成正比T2/a3=C2萬有引力定律f二GMmr23.引力勢能E(r)=_GMmpr4三個宇宙速度環(huán)繞速度V1=：Rg=7.9km/s脫離速度V2二訂2匕=11.2km/s逃逸速度V3=16.7km/s.6.1.1設(shè)某行星繞中心天體以公轉(zhuǎn)周期T沿圓軌道運行，試用開普勒第三定律證明：一個物體由此軌道自靜止而自由下落至中心天體所需的時間為t二十、2兀證明：物體自由下落的加速度就是在行星上繞中心天體公轉(zhuǎn)的向心加速度：V2=(-R)2丄=4兀2R/T2RTR由自由落體公式：R

2、二+at2,t=弋2R/a二十212“(此題原來答案是：t二十，這里的更正與解答僅供參考)4、26.2.1土星質(zhì)量為5.7X1026kg，太陽質(zhì)量為2.0X1030kg，兩者的平均距離是1.4X10i2m.(l)太陽對土星的引力有多大？設(shè)土星沿圓軌道運行，求它的軌道速度。解：據(jù)萬有引力定律，太陽與土星之間的引力f=GMm/r2=6.51X10-11X2.0X1030X5.7X1026/(1.4X1012)2心3.8X1022N選擇日心恒星參考系，對土星應(yīng)用牛頓第二定律：f=mv2/rv=、.fr/m=J3.8xIO22x1.4xO12/5.7xIO26沁9.7x103m/s6.2.3(1)一個

3、球形物體以角速度3轉(zhuǎn)動，如果僅有引力阻礙球的離心分解，此物體的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中轉(zhuǎn)數(shù)為每秒30轉(zhuǎn)的脈沖星的最小密度。這脈沖星是我國在1054年就觀察到的超新星爆的結(jié)果。如果脈沖星的質(zhì)量與太陽的質(zhì)量相當(2X1030kg或3X105Me，Me為地球質(zhì)量)，此脈沖星的最大可能半徑是多少？若脈沖星的密度與核物質(zhì)相當，它的半徑是多少？核密度約為1.2X1017kg/m3.解：設(shè)此球體半徑為R,質(zhì)量為m.考慮球體赤道上的質(zhì)元m,它所受到的離心慣性力最大/*=m32R，若不被分解，它所受到的引力至少等于離心慣性力，即GmAm/R2=Am32R:.m=32R3/G，而m=4nR3p/3,代如上

4、式，可求得，P=鷲24“G脈沖星的最小密度P=3x(30 x2“)2沁1.3x1014kg/m34nx6.51x10ti據(jù)密度公式，m=pV=4nR3p/3，:.R3=3m/(4np)R=*3x2x1030/(4x3.14x1.3x1014)=1.5x102km(3)R=33x2x1030/(4x3.14x1.2x1017)=16km6.2.4距銀河系中心約25000光年的太陽約以170000000年的周期在一圓周上運動。地球距太陽8光分。設(shè)太陽受到的引力近似為銀河系質(zhì)量集中在其中心對太陽的引力。試求以太陽質(zhì)量為單位銀河系的質(zhì)量。解：設(shè)銀河系、太陽、地球的質(zhì)量分別為M、m、m；太陽距銀河系中心

5、的距離為r=2.5X104光年=2.5X104X365X24X60光分=1.31X106光分，繞銀河系中心公轉(zhuǎn)角速度為3=10-8X2n/1.7年；地球距太陽的距離為r=8光分，繞太陽公轉(zhuǎn)角速度為3=2n/年分別對地球和太陽應(yīng)用萬有引力定律和牛頓第二定律：Gmm/r2=m32r(1)GMm/r2=mw2r(2)由(1)可得G=w2r3/m，代入(2)中，可求得M=()2(r)3m=(i)2(1.31x106)3m=1.53x1011mr1.7x10886.2.5某彗星圍繞太陽運動，遠日點的速度為10km/s,近日點的速度為80km/s。若地球在半徑為1.5X108km圓周軌道上繞日運動，速度為

6、30km/s。求此彗星的遠日點距離。解：角動量守恒mv1a=mv2b（1）能量守恒+mv2G込二壬mv2G込TOC o 1-5 h z21a22b牛二定律=m-v2R2R（1）,聯(lián)立，解得a=3X108km6.2.6一勻質(zhì)細桿長L,質(zhì)量為M.求距其一端為d處單位質(zhì)量質(zhì)點受到的引力（亦稱引力場強度）。dx解：選圖示坐標0-x，單位質(zhì)x量質(zhì)點在坐標原點處，在桿上取質(zhì)元dm=dxM/L，其坐標為x,它對原點處質(zhì)點的引力為：df=G響=穿骨由于各質(zhì)元對質(zhì)點的引力方向均沿x軸正向桿對質(zhì)點的引力方向沿x軸正向，大小為f=-GMjd+LX2dx=LdGM+|Lxdd+L=-GM-(+1)=Ldd+LGMd(

7、d+L)6.2.7半徑為R的細半圓環(huán)線密度為入，求位于圓心處單位質(zhì)量質(zhì)點受到的引力（引力場強度）量等于零。解：由對稱性分析可知，引力場強度的x分質(zhì)元dm=入RdQ所受引力的y分量為=gxdmsin0=sin0d0yR2Rf=jsin0d0=cos0kyRR00=2G九/R6.3.1考慮一轉(zhuǎn)動的球形行星，赤道上各點的速度為V,赤道上的加速度是極點上的一半，求此行星極點處的粒子的逃逸速度。解：設(shè)行星半徑為R,質(zhì)量為M,粒子m在極點處脫離行星所需的速度為v,在無窮遠處的速度、引力勢能為零，由機械能守恒定律有1mv2GMm=0即v2=2GM/R12R以球形行星為參考系（勻速轉(zhuǎn)動參考系），設(shè)粒子m在赤道

8、上和極點上的加速度分別為a1和a2。粒子m在赤道上除受引力作用外還受離心慣性力作用，由牛二定律有GMmmV2=ma即GMRV2=aR2TOC o 1-5 h zR2R11粒子m在極點上只受引力作用，由牛二定律有GMm=ma即GM=aR2R222已知a=2a21由、可求得GM/R=2V2代入中，得v2=4V2v=2V6.3.2已知地球表面的重力加速度為9.8ms-2,圍繞地球的大圓周長為4X107m,月球與地球的直徑及質(zhì)量之比分別是D/D二27和必/M=0.0123.試計算從月球表面逃離月球引力場所必需的最小速度。meme解：設(shè)質(zhì)點m脫離月球的速度為v,在距月球無窮遠處的速度、引力勢能為零，由機械能守恒定律,有v2二2GM/Rmm1Mmmv