大學(xué)物理17章答案

1、第17章量子物理基礎(chǔ)17.1根據(jù)玻爾理論，計(jì)算氫原子在n=5的軌道上的動(dòng)量矩與其在第一激發(fā)態(tài)軌道上的動(dòng)量矩之比解答玻爾的軌道角動(dòng)量量子化假設(shè)認(rèn)為電子繞核動(dòng)轉(zhuǎn)的軌道角動(dòng)量為L(zhǎng)=mvrnn對(duì)于第一激發(fā)態(tài)，n=2,所以L5/L2=5/217.2設(shè)有原子核外的3p態(tài)電子，試列出其可能性的四個(gè)量子數(shù)解答對(duì)于3p態(tài)電子，主量子數(shù)為n=3，角量子數(shù)為l=1，磁量子數(shù)為mi=-l,-(l-1),7,-1,l,自旋量子數(shù)為ms=1/2s3p態(tài)電子的四個(gè)可能的量子數(shù)(n,l,m/,m)為IS(3,1,1,1/2)，(3,1,1,-1/2)，(3,1,0,1/2)，(3,1,0,-1/2)，(3,1,-1,1/2)

2、，(3,1,-1,-1/2)17.3實(shí)驗(yàn)表明，黑體輻射實(shí)驗(yàn)曲線的峰值波長(zhǎng)2和黑體溫度的乘積m為一常數(shù)，即2T=b=2.897x10-3mK.實(shí)驗(yàn)測(cè)得太陽(yáng)輻射波譜的峰m值波長(zhǎng)2=510nm,設(shè)太陽(yáng)可近似看作黑體，試估算太陽(yáng)表面的溫度.m解答太陽(yáng)表面的溫度大約為bT=九m2.897x10-3510 x10-9=5680(K).17.4實(shí)驗(yàn)表明，黑體輻射曲線和水平坐標(biāo)軸所圍成的面積M(即單位時(shí)間內(nèi)從黑體單位表面上輻射出去的電磁波總能量，稱總輻射度)與溫度的4次方成正比，即M=OT4其中o=5.67x10-8Wm2K4.試由此估算太陽(yáng)單位表面積的輻射功率(太陽(yáng)表面溫度可參見(jiàn)上題)解答太陽(yáng)單位表面積的輻

3、射功率大約為M=5.67x10-8x(5680)4=5.9x107(Wm-2).17.5宇宙大爆炸遺留在宇宙空間的均勻背景輻射相當(dāng)于3K黑體輻射求：此輻射的單色輻射強(qiáng)度在什么波長(zhǎng)下有極大值？地球表面接收此輻射的功率是多少？解答(1)根據(jù)公式2T=b可得輻射的極值波長(zhǎng)為m17.6鋁表面電子的逸出功為6.72X10-19J，今有波長(zhǎng)為2二2.0 xl0-7m的光投射到鋁表面上試求：由此產(chǎn)生的光電子的最大初動(dòng)能；遏止電勢(shì)差；鋁的紅限波長(zhǎng)解答(1)光子的能量為E=hv=hc/2,根據(jù)愛(ài)因斯坦光電效應(yīng)方程hv=E+A,k產(chǎn)生的光電子的最大初動(dòng)能為E=hv-Ak=6.63X10-34X3X108/2.0X

4、10-7-6.72X10-19=3.23X10-19(J)遏止電勢(shì)差的公式為eU=Ek，遏止電勢(shì)差為skU=E/e=3.23X10-19/1.6X10-19=2.0(V)sk鋁的紅限頻率為vo=Ah,紅限波長(zhǎng)為2o=叫=hc/A=6.63X10-34X3X108/6.72X10-19=2.96X10-7(m)17.7康普頓散射中入射X射線的波長(zhǎng)是2=O.7Ox1O-iom，散射的X射線與入射的X射線垂直求：（1）反沖電子的動(dòng)能EK；K（2）散射X射線的波長(zhǎng)；（3）反沖電子的運(yùn)動(dòng)方向與入射X射線間的夾角0.解答（1）（2）根據(jù)康普頓散射公式得波長(zhǎng)變化為AX=2Asin2=2x2.426x10-1

5、2sin224=2.426x10-12(m),散射線的波長(zhǎng)為久=X+&=0.72426x10-10(m).反沖電子的動(dòng)能為hehe6.63x10-34x3x1086.63x10-34x3x1080.7x10-100.72426x10-10=9.52x10-17(J).(3)由于tan6=竺牛he/九0.72426=0.9665，所以?shī)A角為0=441.17.8求波長(zhǎng)分別為X=7.0 x10-7m的紅光；X2=0.25x10-10m的X射線的能量、動(dòng)量和質(zhì)量.解答X射線的能量為E=hv=hc/X,動(dòng)量為p=h/X；由E=hc/X=mc2，得其質(zhì)量為m=h/cX.對(duì)于紅光來(lái)說(shuō)，能量為x10-34x3

6、x108E=17x10-7=2.84x10-i9(J),動(dòng)量為6.63x10-34p=17x10-7=9.47x10-25(kgms-1),質(zhì)量為x10-34m=3x108x7x10-7=3.16x10-36(kg).對(duì)于X射線來(lái)說(shuō),能量為x10-34x3x108E=0.25x10-10=7.956x10-15(J),動(dòng)量為6.63x10-34p=20.25x10-10=2.652x10-23(kgms-1),質(zhì)量為6.63x10-34m=23x108x0.25x10-10=8.84xl0-32(kg).17.9處于第四激發(fā)態(tài)上的大量氫原子，最多可發(fā)射幾個(gè)線系，共幾條譜線？那一條波長(zhǎng)最長(zhǎng)解答第

7、四激發(fā)態(tài)的氫原子處于第5個(gè)能級(jí)，最多可發(fā)射四個(gè)線系（1）能級(jí)5到4，1條譜線；（2）能級(jí)5和4到3，2條譜線；（3）能級(jí)5、4和3到2，3條譜線；（3）能級(jí)5、4、3和2到1，4條譜線共10條譜線從能級(jí)5躍遷到4發(fā)射的光譜頻率最小，波長(zhǎng)最長(zhǎng)17.10設(shè)氫原子中電子從n=2的狀態(tài)被電離出去，需要多少能量解答氫原子能級(jí)公式為me41E=n8s2h2n2,0當(dāng)n=1時(shí)，基態(tài)能級(jí)的能量為me4E=18s2h20-2.18xl0-i8(J)=-13.6(eV),口E因此E-1nn2當(dāng)電子從n能級(jí)躍遷到m能級(jí)時(shí)放出（正）或吸收（負(fù)）光子的能量為11AE=E-E=E（-）nm1n2m2電離時(shí)，m趨于無(wú)窮大.

8、當(dāng)電子從n=2的能級(jí)電離時(shí)要吸收能量11AE=13.6（）2282=-3.4（eV）,因此需要3.4eV的能量17.11質(zhì)量為m的衛(wèi)星，在半徑為r的軌道上環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，線速度為v.（1）假定玻爾氫原子理論中關(guān)于軌道角動(dòng)量的條件對(duì)于地球衛(wèi)星同樣成立證明地球衛(wèi)星的軌道半徑與量子數(shù)的平方成正比，即r=Kn2,（式中K是比例常數(shù)）；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)果求衛(wèi)星軌道和下一個(gè)“容許”軌道間的距離，由此進(jìn)一步說(shuō)明在宏觀問(wèn)題中軌道半徑實(shí)驗(yàn)上可認(rèn)為是連續(xù)變化的（利用以下數(shù)據(jù)作估算：普朗克常數(shù)h=6.63x10-34J.s,地球質(zhì)量M=6x1024kg，地球半徑R=6.4x103km，萬(wàn)有引力常數(shù)G=6.7x10

9、-11Nm2kg-2.解答（1）衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力是萬(wàn)有引力Mmmv2G=r2r；根據(jù)玻爾理論，角動(dòng)量為mvr=nh/2n將前式乘以mr3得GMm2r=(mvr)2=GMm2r=(mvr)2=4兀2,h2n2所以r=Kn24兀2GMm2即：衛(wèi)星的軌道半徑與量子數(shù)的平方成正比(2)假設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量m=100kg，比例系數(shù)為4n2GMm2=(6.63x10-34)24n2x6.7x10-11x6xIO24x(100)2=2.77x10-87.可見(jiàn)：比例系數(shù)很小當(dāng)r=R時(shí)，地球表面的量子數(shù)為n=、R/K=4.8x1046.0可見(jiàn)：地球表面處的量子數(shù)很大.地面以上的量子數(shù)設(shè)為n,(n、=1,2,3,.

10、),貝U總量子數(shù)可表示為兩個(gè)量子數(shù)之和：n=n+n.軌道間的距離為Ar=K(no+n+I)2-(n+n)2=K2(no+n)+1.由于n01，所以Ar=2Kn0+2Kn.設(shè)n=kn0,即：取地面以上的量子數(shù)為地球表面量子數(shù)的倍數(shù),有n=(k+1)n0，則r=Kn02(k+1)2,Ar=2Kn0(k+1)=2.66x10-40(k+1).這說(shuō)明：當(dāng)?shù)孛嬉陨系牧孔訑?shù)按k+1成倍地增加時(shí)，半徑將按k+1的平方的規(guī)律增加，而軌道之間的距離只按k+1的一次方的規(guī)律增加；由于&的系數(shù)很小，所以軌道間距是非常非常小的，因此可認(rèn)為軌道半徑是連續(xù)變化的17.12電子和光子各具有波長(zhǎng)2.0 x10-10m,它們的

11、動(dòng)量和總能量各是多少？解答它們的動(dòng)量都為h6.63x10-34p=九2x10-10=3.315x10-24(kgms-1).根據(jù)公式E2=p2c2+mjc4，電子的總能量為E=cfp2+m2c20=3x108x(3.315x10-24)2+(9.1x10-31x3x108)21/2=8.19x10-14(J)光子的靜止質(zhì)量為零，總能量為E=cp=3x108x3.315x10-24=9.945x10-16(J)17.13室溫下的中子稱為熱中子T=300K，試計(jì)算熱中子的平均德布羅意波長(zhǎng)解答中子熱運(yùn)動(dòng)的平均速度為其中k為玻爾茲曼常數(shù)k=1.38X10-23JK1,m是電子的質(zhì)量m=pp1.675x

12、10-27kg，可得平均速度為v=2.509x104(ms-1)，平均動(dòng)量為p二mnv=4.2x10-27(kgms-1).平均德布羅意波長(zhǎng)為匸二h/p=1.58x10-10(m)=0.158(nm).17.14一束動(dòng)量是p的電子，通過(guò)縫寬為a的狹縫，在距離狹縫為R處放置一屏，屏上電子衍射圖樣中央最大的寬度是多少？解答根據(jù)動(dòng)量和位置的不確定關(guān)系A(chǔ)pAx=h，x其中位置不確定量為Ax=a，動(dòng)量的不確定量為Ap=psinO.x2hRpa設(shè)電子衍射圖樣的中央最大半寬度為w，貝UsinO=w/R，w、,可得pRa-注意如果將h改為島/2，則寬度為2w=HR/pa兩者相差很小.17.15一寬度為a的一維

13、無(wú)限深勢(shì)阱，試用不確定關(guān)系估算阱中質(zhì)量為m的粒子最低能量為多少？解答粒子坐標(biāo)的不確定范圍是Ax=a,動(dòng)量的不確定范圍是Ap=h/Ax=h/a.這也就是動(dòng)量p的范圍.因此能量為E=p2/2m=h2/2ma2,最低能量可估計(jì)為E=h2/2ma2min17.16設(shè)有一寬度為a的一維無(wú)限深勢(shì)阱，粒子處于第一激發(fā)態(tài)，求在x=0至x=a/3之間找到粒子的幾率？解答粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中的定態(tài)波函數(shù)為/、巨.nKx(0 xa)屮(x)二sm,naa(n=1,2,3,.)，出x)=0，(xa).當(dāng)粒子處于第一激發(fā)態(tài)時(shí)，n=2，在x=0至x=a/3之間被發(fā)現(xiàn)的幾率為屮(x)|2dx=f2sin2dx2aa00=

14、2至32k=0.391.17.17設(shè)粒子在寬度為a的一維無(wú)限深勢(shì)阱運(yùn)動(dòng)時(shí)，其德布羅意波在阱內(nèi)形成駐波，試?yán)眠@一關(guān)系導(dǎo)出粒子在阱中的能量計(jì)算式.解答當(dāng)粒子在勢(shì)阱中形成穩(wěn)定駐波時(shí)，勢(shì)阱寬度必然為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍，即n(2/2)=a,(n=1,2,3,.).根據(jù)德布羅意假設(shè)2=h/p,可得粒子的動(dòng)量為nh2ap2h2能量為E=n22m8ma4兀x5x103x2=5.276x10-30(m).h1000hAx=)2Ap4兀mv1000 x6.63x10-344兀x9.1x10-31x1.8x10817.18假定對(duì)某個(gè)粒子動(dòng)量的測(cè)定可精確到千分之一，試確定這個(gè)粒子位置的最小不確定量該粒子質(zhì)量為5xl0-

15、3kg，以2ms-i的速度運(yùn)動(dòng)；該粒子是速度為1.8xl08ms-i的電子.解答粒子的動(dòng)量為p=mv，動(dòng)量的不確定量為Ap=p/1000,根據(jù)動(dòng)量和位置的不確定關(guān)系A(chǔ)pAx=h/2,位置的不確定量為Ax=h/2Ap.1)Axh2Ap1000h4兀mv1000 x6.63x10-34=3.22x10-i(m).17.19設(shè)有某線性諧振子處于第一激發(fā)態(tài)，其波函數(shù)為屮七込xe1兀1/2a2丫22*mk式中a二h?,k為常數(shù)，則該諧振子在何處出現(xiàn)的概率最大?解答第一激發(fā)態(tài)的概率為w=1屮1|2=dwdt2a3,兀1/22x(1x2a2)e-a2x2對(duì)x求導(dǎo)得絲丄2xe-a2x2+x2(-2a2x)e-

16、a2x2兀1/2令dw/dt=0，得概率最大的位置為x=1/a17.20一維運(yùn)動(dòng)的粒子，處于如下的波函數(shù)所描述的狀態(tài)Axe-兒,(x0);0,(x0，A為常數(shù).1）將此波函數(shù)歸一化；2）求粒子位置的概率分布函數(shù)；3）粒子在在何處出現(xiàn)的概率最大?解答(1)歸一化得1=fI屮|2dx=fA2x2e-2兒dxg20gg-2Jxe-2兀xdx00一2A2（云）2Jxde-2兒0=-2A2（）2xe-2兀x2Xfe-2尢xdx00-1=2A2（）3e-2兀x2九gA24九3,0所以A=2加/2.歸一化波函數(shù)為屮(x)_2九3/2xe-兒,(x0)；0,(x0）;0,（x0）.3)3)利用上一題的方法求導(dǎo)

17、可得幾率最大的位置為x=1/久.17.21設(shè)有某一維勢(shì)場(chǎng)如下：V_0,(0UxL);%,(xL).該勢(shì)場(chǎng)可稱為有限高勢(shì)阱，設(shè)粒子能量EV0，求E所滿足的關(guān)系式.解答粒子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程為2mV2屮+(E-V)屮_0h2.在三個(gè)區(qū)域的方程為TOC o 1-5 h zd2屮2m十+(EV)屮_0,(x0);dx2h201d2屮2m+E屮_0,(0 xL).設(shè)q_2m(VE)/h，k?_-2mE/h,d2屮則得牯即1_0,(x0);1)d2屮2)2+k2屮_0,(0 xL).dx213方程的通解為0jx)=Aiexp(kix)+Biexp(-kix),(x0);(4)2肖2(x)=A2cos(k2x

18、)+B2sin(k2x),(0 xL).(6)當(dāng)x時(shí)，你有限，所以B1=0；當(dāng)x-s時(shí)，屮3有限，所以A3=0當(dāng)x=0時(shí)，0(0)=02(0)，A=A；12同時(shí)0、(0)=02(0)，可得kA=kB1122當(dāng)x=L時(shí)，肖2(L)=屮3(L)可得7)8)02、(L)=03(L)，可得A2cosk2L+B2sink2L=B3exp(-k1L)；(9)-k2A2sink2L+k2B2cosk2L=-k1B3exp(-k1L)(10)將(9)乘以k1加(10)得k1A2cosk2L+k1B2sink2L-kAsinkL+kBcoskL=0222222即(kA+kB)coskL=(kA-kB)sinkL1222222122LTkA+kBTOC o 1-5 h z.taitL二_22/、亦2kA-kB.(11)2212由(7)和(8)得kA2=kB，即B=kA/k，(12)2122(12)代入(11)式得2kktankL=2k2-k2，21M2mE2QE(V-E)tan=o即h2E-V.(13)0這就是總能量滿足的關(guān)系式17.22原子內(nèi)電子的量子態(tài)由n、l、ml、ms四個(gè)量子數(shù)表征，當(dāng)n、l、lsml一定時(shí)，不同的量子態(tài)數(shù)目為多少？當(dāng)n、l一定時(shí)，不同量子態(tài)數(shù)目為多少？當(dāng)n一定時(shí)，不同量