能被4、8、9整除的數(shù)的特征講義

1、能被 4、 8、 9 整除的數(shù)的特征快樂(lè)成長(zhǎng) 從心開(kāi)始個(gè)性化教學(xué)輔導(dǎo)教案學(xué)生年級(jí)科目學(xué)校教師日期時(shí)段次數(shù)課題 能被 4、8、 9 整除的數(shù)的特征教學(xué)重點(diǎn) : 能被 4， 8， 9 整除的數(shù)的特征重點(diǎn) 難點(diǎn) : 能被 4， 8， 9 整除的數(shù)的特征 難點(diǎn) TOC o 1-5 h z 一、作業(yè)檢查:二、課前熱身:三、內(nèi)容講解:數(shù)的整除具有如下性質(zhì): 教學(xué) 性質(zhì) 1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。 步例如， 48 能被 16 整除， 16 能被 8 整除，那么 48 一定能被 8 整除。 驟及 性質(zhì) 2 如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能

2、被這個(gè)自然教數(shù)整除。例如， 21 與 15 都能被 3 整除，那么 21， 15 及 21-15 都能被 3 整除。學(xué)內(nèi) 性質(zhì) 3 如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的容自然數(shù)的乘積整除。例如， 126能被 9整除，又能被7整除，且 9與 7互質(zhì)，那么 126能被9X7,63整除利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問(wèn)題。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí) TOC o 1-5 h z 數(shù)的整除性，我們把學(xué)過(guò)的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來(lái):一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0， 2， 4， 6， 8 中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被2整除。一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0 或 5，那么

3、這個(gè)數(shù)就能被5 整除。一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3 整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3 整除。一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4( 或 25)整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4(或 25)整除。一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8( 或 125)整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8(或 125)整除。第 1 頁(yè)快樂(lè)成長(zhǎng) 從心開(kāi)始一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9 整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9 整除。其中 (1)(2)(3) 是三年級(jí)學(xué)過(guò)的內(nèi)容， (4)(5)(6) 是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因?yàn)?100 能被 4(或 25)整除，所以由整除的性質(zhì) 1 知，整百的數(shù)都能被4(或25) 整除。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能分成一個(gè)整百的數(shù)與這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)之

4、和，所以由整除的性質(zhì)2 知，只要這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)能被4(或 25) 整除，這個(gè)數(shù)就能被4( 或 25) 整除。這就證明了 (4) 。類似地可以證明 (5) 。的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。837,800 ， 30， 7,8 X10O, 3X10, 7,8 X(99, 1) , 3X(9 , 1) , 7,8 X99, 8, 3X 9, 3, 7,(8 X99, 3X9) , (8 , 3, 7)。因?yàn)?9和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，(8 X 99, 3X9)能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2,由(8, 3, 7)能被9整除，就能判斷837 能被 9 整除

5、。利用 (4)(5)(6) 還可以求出一個(gè)數(shù)除以 4， 8， 9 的余數(shù) :(4,) 一個(gè)數(shù)除以4 的余數(shù)，與它的末兩位除以4 的余數(shù)相同。(5,) 一個(gè)數(shù)除以8 的余數(shù)，與它的末三位除以8 的余數(shù)相同。(6,) 一個(gè)數(shù)除以 9 的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以 9 的余數(shù)相同。 例 1 在下面的數(shù)中，哪些能被4 整除 , 哪些能被 8 整除 , 哪些能被 9 整除 , 234 ， 789，7756， 8865， 3728.8064 。解 : 能被 4 整除的數(shù)有7756， 3728， 8064;能被8 整除的數(shù)有3728， 8064;能被9 整除的數(shù)有234， 8865， 8064。例 2 在

6、四位數(shù) 56?2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9， 8， 4 整除 ,解:如果 56?2能被 9整除，那么5， 6， ?， 2,13 ， ?應(yīng)能被 9 整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時(shí)能被 9整除 ;第 2 頁(yè)快樂(lè)成長(zhǎng) 從心開(kāi)始如果56?2能被8整除，那么6?2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7,即四 位數(shù)是5632或5672時(shí)能被8整除；如果56?2能被4整除，那么？2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1, 3, 5, 7, 9,即四位數(shù)是5612, 5632, 5652, 5672, 5692時(shí)能被4整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)能被 2, 3, 5, 4, 8,

7、 9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3,我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?,2X3, 2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被 2整除又能被3整除，那 么根據(jù)整除的性質(zhì)3,可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被 12整 除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被 3和4整除；判斷一個(gè)數(shù)能否被72整除，只需判斷 這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被8和9整除；如此等等。例3從0, 2, 5, 7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被 2, 5, 3整除的數(shù)， 并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。解：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被2, 5整除，所以個(gè)位數(shù)字為00根據(jù)三位數(shù)能 被3整除的特征，數(shù)字和2, 7, 0與5

8、, 7, 0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為 270, 570, 720, 750。A329B例4五位數(shù)能被72整除，問(wèn):A與B各代表什么數(shù)字,A329B A329B分析與解：已知能被72整除。因?yàn)?2,8X9, 8和9是互質(zhì)數(shù)，所以既能被8 整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求能被8整除，由此可確定 B,6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為29BA329BA, 3, 2, 9, B,A, 3,f,2 , 9, 6,A, 20,因?yàn)閘?A?9,所以21?八20?29。在這個(gè)范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A,7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8X9,再分別卞g據(jù)能被8和9

9、整除的數(shù)的特征 去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定 B所代表的數(shù)字，因?yàn)锽代 表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來(lái)，A所代表的數(shù)字 就容易確定了。 例5六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)，3ABABA分析與解：因?yàn)?,2 X3,且2與3互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又能被3 整除。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0, 2, 4, 6, 8這五個(gè)值。再由六位數(shù)能 被3整除，推知3, A, B, A, B, A,3, 3A, 2B第3頁(yè)快樂(lè)成長(zhǎng)從心開(kāi)始能被3整除，故2B能被3整除。B可取0, 3, 6, 9這4個(gè)值。由于B可以取4個(gè)值，A可以取5個(gè)值，題目沒(méi)有要

10、求A?B,所以符合條件的六位數(shù)共有5X4,20（個(gè)）。例6要使六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，問(wèn) A, B, C各 代表什么數(shù)字,1SABC6分析與解：因?yàn)?6,4 X9,且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被 4整除又能 被9整除。六位數(shù)能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1, 3, 5, 7, 9。CS 15ABC6 15ABC6要使所得的商最小，就要使這個(gè)六位數(shù)盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A二Q六位數(shù)的各位數(shù)字之和為12, B, Co 它應(yīng)能被9整除，因此B, C,6或B, C,15o因?yàn)锽, C應(yīng)盡量小，所以B, C,6,而 C只能取1,

11、3, 5, 7, 9,所以要使盡可能小，應(yīng)取 B,1, C,5o150BC6 150BCG II JI kI當(dāng)A=0, B=1, C,5時(shí)，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156?36,4171。四、課堂小結(jié)【知識(shí)歸納】數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被內(nèi)數(shù)整 除。性質(zhì)2如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能 被這個(gè)自然數(shù)整除。性質(zhì)3如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩 個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。能被4, 8,9整除的數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4(或25)整除，那么這個(gè)數(shù)就能被

12、4(或25)整 除。一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8(或125)整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8(或125) 整除。(3)一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被 9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整 除。(4) 一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。(5)一個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。(6) 一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以 9的余數(shù)相同。第4頁(yè)快樂(lè)成長(zhǎng)從心開(kāi)始五、作業(yè)布置1(6539724能被4, 8, 9, 24, 36, 72中的哪幾個(gè)數(shù)整除,2（個(gè)位數(shù)是5,且能被9整除的三位數(shù)共有多少個(gè),3（一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是 3,十位上的數(shù)字都是6,并且它們既能被2 整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少，4（五位數(shù)能