電動力學第五章

1、第五章 電磁波的輻射(fsh)Electromagnetic Wave Radiation 引言1 電磁場的矢勢和標勢2 推遲勢3 電偶極輻射7 電磁場的動量共五十一頁引言(ynyn)1 電磁輻射 隨時間變化的電荷、電流激發(fā)的電磁場隨時間變化。有一部分電磁場以波的形式脫離場源向外運動，這被稱為電磁波的輻射。 本章主要研究給定高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射，并簡要討論電磁場的動量。2 引入矢勢和標勢求解電磁輻射問題 與靜電場引入電勢、靜磁場引入磁標勢相似，為了便于求解普適的場方程，在變化情況下仍然(rngrn)可以引入勢的概念。但是，由于電場的旋度不為零，這里引入的矢勢、標勢與靜電場、靜磁場情況有很

2、大的不同。共五十一頁3 輻射問題的本質(zhì)也是邊值問題 電磁波常常是由運動電荷(dinh)輻射出來的，變化電荷、電流分布激發(fā)電磁場，電磁場又反過來影響電荷、電流分布?？臻g電磁場的分布就是在這一對矛盾相互制約下形成的。 變化的電荷電流分布一般具有邊界，因此在求解時要考慮它們的邊界條件和邊值關(guān)系。所以輻射解本質(zhì)上也是個邊值解，即是在一定的邊界條件下求解麥克斯韋方程組的解。但是，一般情況下這種問題的邊界很復雜，使得電荷、電流分布無法確定，因此使得求解問題無法進行。 本章我們僅討論電荷、電流分布為已知的輻射問題。為此先從麥克斯韋方程組引入電磁勢，建立電磁勢的微分方程組，再求解。共五十一頁1、電磁場的矢勢和

3、標勢的引入、規(guī)范不變性； 2、達朗伯方程及推遲勢的物理意義；3、矢勢的展開和偶極輻射；4、電磁場的動量。 本章(bn zhn)重點 本章難點(ndin)：1、矢勢的展開和偶極輻射公式的導出；2、電磁場動量密度張量的引入和意義。共五十一頁1 電磁場的矢勢和標勢1 用勢 描述(mio sh)電磁場 矢勢 的引入與靜磁場(cchng)相同，可以引入矢量勢函數(shù)矢勢 ，使得注意： 與靜磁場不同，引入的矢勢與時間相關(guān)； 意義與靜磁場情況相同，即：在任一時刻，矢量 沿任一閉合回路L的線積分等于該時刻通過以L為邊線的曲面 S 的磁通量。共五十一頁 標勢 的引入在變化電磁場情況， ，不能象靜電場那樣直接引入標量

4、勢函數(shù)來描述電場 。 一般情況下，電場 既可由電荷激發(fā)，也可由變化磁場的激發(fā)。因此(ync)， 既是有源的也是有旋的場， 的等式中必然包含矢量 ，由Faraday電磁感應定律可得：矢量 的旋度為零，意味著它可表示為某個標量函數(shù)的梯度，因此引入標量勢函數(shù)共五十一頁由此，我們既可以直接用場量 、 來描述電磁場，也可以用矢勢 和標勢 一起來描述電磁場，而兩種描述方式的等價性的橋梁（bridge）就是說明：a)當 與時間無關(guān)，即 時， ， 就是靜電勢b)區(qū)別 中的標勢 與靜電勢 非穩(wěn)恒情況下， 不再是保守力場，不存在勢能的概念標勢 在數(shù)值上不等于把單位(dnwi)正電荷從空間一點移到無窮遠處電場力所做

5、的功。為了區(qū)別于靜電場的電勢，把這里的 稱為標勢（Scalar potential)。c) 在時變場中，磁場和電場是相互作用著的整體，必須把矢勢 和標勢 作為一個整體來描述電磁場。共五十一頁 矢勢和標勢的不唯一性同靜電場和靜磁場一樣,這里引入的矢勢和標勢也不唯一,且矢勢和標勢在變化電磁場情況下相互間有一定的關(guān)系.雖然 和 ，以及 和 是描述電磁場的兩種等價的方式，但由于 、 和 、 之間是微分方程的關(guān)系，所以(suy)它們之間的關(guān)系不是一一對應的，這是因為矢勢 加上一個任意標量函數(shù)的梯度，結(jié)果不影響 ，而這個任意標量函數(shù)的梯度在 中對 要發(fā)生影響.若將 中的 也作相應的規(guī)換，則 可保持不變電磁

6、勢 能唯一確定電磁場 但電磁場 并不對應唯一的電磁勢 2 規(guī)范(gufn)變換和規(guī)范(gufn)不變性共五十一頁 規(guī)范變換設 為任意的標量函數(shù)(hnsh)，即 ，作下述變換: 得到了一組新的規(guī)范：每一組 稱為一種規(guī)范；規(guī)范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關(guān)系稱為規(guī)范變換證明： 和 描述同一電磁場.共五十一頁也就是說，對于同一電磁場 和 ，其勢的選擇并不是唯一的，通過變換式可以找到無窮組 對應同一個電磁場。 規(guī)范不變性：電磁勢通過規(guī)范變換可以得到許多描述同一電磁場的電磁勢，對應著同一的 和 規(guī)范不變性。推廣: 物理量和物理規(guī)律在勢的規(guī)范變換下保持不變的性質(zhì)稱為規(guī)范不變性。從近代物理觀點來看，物理上可

7、測量的量一定是規(guī)范不變的，因此描述涉及電磁現(xiàn)象的物理規(guī)律方程形式都應當(yngdng)在規(guī)范變換下保持不變，是在電磁場中體現(xiàn)物理學的一個普遍規(guī)律。規(guī)范場：具有規(guī)范不變性的場稱為規(guī)范場。P155;185共五十一頁 規(guī)范條件(Gauge condition) 根據(jù)勢的定義，僅僅給出了矢勢 的旋度和標勢 梯度。因為勢 和 缺乏唯一性，我們(w men)可以按照一定的附加條件去挑選我們(w men)所需要的一組勢，這些附加條件通常是勢之間的關(guān)系，稱為規(guī)范條件(Gauge condition)，不同的場可以選擇不同的規(guī)范條件。 也就是說, 要使勢函數(shù)減少任意性，需要給出矢勢 的散度 。它的值被稱為規(guī)范條

8、件。 值選擇是任意的，但若選擇的好，可使電磁場的解簡單，基本方程對稱或物理意義明顯。 電磁勢的規(guī)范不變性，提供了選擇 的方便，即可以根據(jù)具體需要選擇電磁勢 ，實際上就是選擇 來實現(xiàn)。共五十一頁（1）庫侖規(guī)范(Coulomb gauge)規(guī)范條件(輔助(fzh)條件) 為無源場-橫場 為無旋場-縱場在庫侖規(guī)范下， 電場的橫場部分完全由 決定，縱場部分完全由 決定。 ：對應于庫侖場； ：對應于感應場 滿足的方程:共五十一頁方程高度對稱，滿足相對論的協(xié)變性，意義(yy)重大（2）洛侖茲規(guī)范(Lorentz gauge) 規(guī)范條件(輔助條件) 是有旋有源場-包含橫場和縱場 洛侖茲規(guī)范的特點(tdin)

9、是把勢的基本方程化為特別簡單的對稱形式。 滿足的方程：共五十一頁3 達朗貝爾方程(fngchng)真空中的達朗貝爾方程利用Maxwells equations推導上式:共五十一頁共五十一頁 滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間(kngjin)某處的 在時刻 的值由電荷在時刻 的分布給出(3) 洛侖茲規(guī)范下 的達朗貝爾方程(2) 庫侖規(guī)范下的達朗貝爾方程(fngchng)共五十一頁洛侖茲規(guī)范下的達朗貝爾方程是兩個波動方程，因此由它們求出的 及 均為波動形式，反映了電磁場的波動性。討論：洛侖茲規(guī)范(gufn)下的達朗貝爾方程l 反映了電磁場的波動性l 兩個方程具有高度的對稱性且相互(xingh)獨

10、立求出一個解，另一個解也就迎仞而解。在下一節(jié)我們將看到，洛侖茲條件下達朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需要時間?；谶@些考慮，在研究輻射問題時，一般都是采用洛侖茲條件下的達朗貝爾方程。作業(yè)：4、5P 157，187共五十一頁 本節(jié)討論空間存在電荷和電流分布(fnb)情況下達朗貝爾方程的解。1 達朗貝爾方程的解不管是矢勢 還是標勢 ，在Lorentz規(guī)范條件下都滿足相同形式的達朗貝爾方程。而達朗貝爾方程式是線性的，它反映了電磁場的疊加性，故交變電磁場中的矢勢 和標勢 均滿足疊加原理。因此，對于場源分布在有限體積內(nèi)的勢，可先求出場源中某一體積元所激發(fā)的勢，然后對場源區(qū)域積分，即得出總的勢。又因

11、矢勢 的方程與標勢 的方程在形式上相同，故只需求出 的方程的解即可。 2推遲勢共五十一頁 點電荷在空間激發(fā)的標勢標勢 所滿足(mnz)的方程：設點電荷處于坐標原點， ，電荷輻射的勢的達朗貝爾方程:除原點以外的空間 得到:因為點電荷的場分布是球?qū)ΨQ的，若以 r 表示源點到場點的距離，則 不依賴于角變量，只依賴于 r 和 t。 也就是說， 與 及 無關(guān)，僅是 r 和 t 的函數(shù)，即 此式的解 是球面波共五十一頁代表向外傳播的球面波代表向內(nèi)收斂的球面波類似于一維波動方程(fngchng)，其解可以表示為： 與點電荷電勢(dinsh) 類比,得到：輻射問題：若點電荷不在原點而在空間 點：令可以證明該解

12、的形式滿足達朗貝爾方程式P159；190共五十一頁 由電勢(dinsh)疊加原理得連續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢(dinsh) 矢勢 的解因矢勢 的微分方程與標勢 的微分方程形式相同，故其解也相似(xin s)，所以由變化電流分布 所激發(fā)的矢勢為：共五十一頁2 推遲勢（Retarded Potential)給出了分布在有限體積內(nèi)的變化電荷與變化電流在空間任意點所激發(fā)的標勢 和矢勢 。 表示場點坐標， 表示源點坐標。 和 分別表示t時刻在 點處的標勢 和矢勢 和 分別表示 時刻在 處的 也就是說, 時刻在 處電荷或電流產(chǎn)生(chnshng)的場并不能在同一時刻 就到達 點，而是要推遲一個傳輸時間t

13、，而且共五十一頁由于t ，故 t 時刻的勢 和 晚于場源輻射的時刻 ，即空間勢的建立與場源相比推遲了 。因此將此時的 和 稱為推遲勢。推遲勢的意義: 推遲勢的重要性在于說明了電磁(dinc)作用是以有限速度 向外傳播的，它不是瞬時超距作用。換句話說：電荷、電流輻射電磁波，而電磁波以速度 脫離電荷、電流向外傳播。這就是推遲勢所描寫的物理過程。場的建立需要時間，而相互作用的傳播速度在真空中為c。 共五十一頁證明推遲勢 、 滿足(mnz)洛侖茲條件微分只對x進行：共五十一頁對r 而言，有:共五十一頁0共五十一頁電荷(dinh)守恒定律: 和 的解滿足Lorentz條件:共五十一頁3 電偶極輻射(fs

14、h) Electric Dipole Radiationl本節(jié)僅討論電荷分布以一定(ydng)頻率做周期運動，且電荷體系線度遠遠小于電荷到觀測點的距離的情況。l電磁波是從變化的電荷、電流系統(tǒng)輻射出來的。宏觀上，主要是利用載有高頻交變電流的天線產(chǎn)生輻射；微觀上，一個做變速運動的帶電粒子即可產(chǎn)生輻射。共五十一頁計算輻射場的一般公式設電荷電流(dinli)分布：令: 時諧波因子 是推遲作用因子，表示電磁波傳到場點時有的相位滯后。隨時間正弦或余弦變化共五十一頁同理：根據(jù)洛侖茲條件可以(ky)得到矢勢與標勢的關(guān)系：矢勢 完全確定了電磁場。此情況下電磁場也是時諧電磁場：（在 的區(qū)域成立）共五十一頁2 矢勢

15、 的展開(zhn ki) 相關(guān)物理量的線度(1) 電荷分布區(qū)域的線度l，它決定積分區(qū)域內(nèi) 的大小(2) 波長 的線度；(3) 電荷到場點的距離r。本節(jié)研究分布于一個小區(qū)域內(nèi)的電荷(電流)產(chǎn)生的輻射對于r 和的關(guān)系，可分為三種情況：(1) 近區(qū)（似穩(wěn)區(qū)）kr l。介于似穩(wěn)區(qū)和輻射區(qū)的過渡區(qū)域中。(3) 遠區(qū)（輻射區(qū)）r ，而且也保證rl。主要討論電流分布于小區(qū)域而激發(fā)的遠區(qū)場。共五十一頁選坐標(zubio)原點在電流分布區(qū)域內(nèi)則 與l 同數(shù)量級， 的小電荷、電流(dinli)區(qū)域的級數(shù)展開oxyzP將 在 點展開：設場點到小區(qū)域電荷、電流中某點 的距離（小區(qū)域的線度）遠區(qū)（輻射區(qū)）為 方向單位矢

16、量共五十一頁其中 為 方向單位矢量。因為 ，所以僅取前兩項而舍去高次項得到(d do)(略去 等高次項)相因子(ynz)中的不能略去共五十一頁 ,舍去分母中的 ,而相因子中的 相對 不一定是小量(xioling)利用 將相因子對 展開，得: 求解 的公式條件下輻射場的近似(jn s)公式：共五十一頁當時偶極輻射(fsh)公式3 偶極輻射(fsh) 電偶極子天線的形成的演示開放的LC 電路就是大家熟悉的天線!當有電荷（或電流）在天線中振蕩時，就激發(fā)出變化的電磁場在空中傳播。共五十一頁 用 表示偶極輻射矢勢 偶極輻射(fsh)的電場強度和磁感應強度 在計算輻射場時，需要對 作用算符由于(yuy)討

17、論遠區(qū)場時，只保留 的項，而算符 作用到分母上產(chǎn)生的高次項忽略不計，故僅需考慮作用到相因子 上，作用結(jié)果相當于代換： 共五十一頁考慮(kol)遠區(qū)條件 ， ，即 ， 則有：共五十一頁在 條件下偶極輻射的磁感應強度(qingd)和電場強度(qingd)：若選取球坐標(zubio)，原點在電荷電流分布區(qū)域內(nèi)，并以 方向為極軸，則得到：共五十一頁只有在略去 高次項后, 才近似(jn s)為橫向的磁感應線是圍繞極軸的圓周, 沿緯線上振蕩， 總是橫向的;電場線是經(jīng)面上的閉合(b h)曲線, 沿經(jīng)線上振蕩;共五十一頁討論：（1）電場沿經(jīng)線振蕩，磁場沿緯線振蕩，傳播方向、電場方向、磁場方向相互正交構(gòu)成右手螺

18、旋關(guān)系；（2）電場、磁場正比(zhngb)于 ，因此它是空間傳播的球面波，且為橫電磁波（TEM波），在時可以近似為平面波； （3）注意如果 （ ）不能被滿足，可以證明電場不再與傳播方向垂直，即電力線不再閉合，但是磁力線仍閉合。這時傳播的是橫磁波（TM波）。共五十一頁4 輻射能流、角分布和輻射功率 P165a) 輻射場的能流密度、角分布 b) 平均功率：單位時間內(nèi)通過半徑為 R 的球面向外輻射的平均能量(nngling)，稱為輻射功率（Radiation power） 角分布z與電磁波的頻率(pnl)4次方成正比 5 短天線的輻射 輻射電阻 p166；199共五十一頁7 電磁場的動量(dngli

19、ng) Momentum of Electromagnetic Field 電磁場和帶電體之間有相互作用力。場對帶電粒子施以(sh y)作用力，粒子受力后，它的動量發(fā)生變化，同時電磁場本身的狀態(tài)亦發(fā)生相應的改變。因此，電磁場也和其它物體一樣具有動量。輻射壓力是電磁場具有動量的實驗證據(jù)。 本節(jié)從電磁場與帶電物質(zhì)的相互作用規(guī)律出發(fā)導出電磁場動量密度表達式。共五十一頁1 電磁場的動量(dngling)密度和動量(dngling)流密度 考慮空間某一區(qū)域，其內(nèi)有一定電荷分布，區(qū)域內(nèi)的場和電荷之間由于相互作用而發(fā)生動量轉(zhuǎn)移；另一方面，區(qū)域內(nèi)的場和區(qū)域外的場也通過界面發(fā)生動量轉(zhuǎn)移。 由于動量守恒，單位時間

20、從區(qū)域外通過界面 S 傳入?yún)^(qū)域V 內(nèi)的動量應等于V 內(nèi)電荷的動量變化率加上V 內(nèi)電磁場的動量變化率。利用Maxwells equations和Lorentz力公式導出電磁場和電荷體系的動量守恒定律。 帶電物體受到的電磁力洛侖茲力密度(md):帶電物體受力:用 代表帶電物體的動量，根據(jù)牛頓第二定律有共五十一頁 電磁場的動量(dngling)守恒定律對有限區(qū)域V: 考慮電磁場通過界面發(fā)生動量(dngling)轉(zhuǎn)移，則單位時間流入界面的動量(dngling)等于區(qū)域內(nèi)總動量(dngling)的變化率, 即單位時間流入V 內(nèi)的動量：全空間動量守恒：電磁場動量 用場量表示洛侖茲力公式加上一個為零的恒等式

21、：共五十一頁各向同性介質(zhì):共五十一頁動量(dngling)密度與動量(dngling)流密度張量令：動量(dngling)守恒的微分形式電磁場的動量密度電磁場的動量流密度共五十一頁動量密度單位時間流進V 的動量流電磁場的動量流密度張量即單位時間通過V 的界面上單位面積的動量。動量(dngling)守恒的積分形式V內(nèi)電荷(dinh)系統(tǒng)和電磁場的總動量變化率通過界面 S 流進 V 的動量流共五十一頁討論：若積分區(qū)域V 為全空間，面積分項為零,則有:帶電體的機械動量的增加等于電磁場動量的減少 電磁場動量 電磁場動量密度( electromagnetic field momentum density)若把帶電體和電磁場看作一個(y )封閉的力學體系，則體系的機械動量和電磁動量之和是守恒的。共五十一頁b) 若積分區(qū)域V 為有限空間，則面積分項不為零，即等式左邊項表示機械動量，右邊第二項代表了電磁動量,則右邊第一項也必然具有動量的意義，該項是面積分，將其解釋為穿過區(qū)域V 的邊界面 S 流入V 內(nèi)的動量流。故稱 為電磁場動量流密度(md)(