從古典幾何到現(xiàn)代幾何課件

1、 從古典幾何到現(xiàn)代幾何劉建成 教授西北師范大學(xué) 數(shù)信學(xué)院2009.4.20幾何原本 在差不多一百年前，幾何就是歐幾里得。他在公元前三百年左右寫了一部大書，中文叫做幾何原本。事實上在當(dāng)時的社會，幾何并不被大家所注意，所以像歐幾里得這樣偉大的人，我們也不大知道他的生平。這本書是人類文化史上一部非常偉大、有意義的著作，它的主要結(jié)論有兩個：幾何原本的主要結(jié)論 畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)：有一直角三角形 ABC，則長邊的平方會等于其它兩邊的平方和。由幾何方面來說，如果我們在三邊上各作一個正方形，那么兩個小正方形的面積和就會等于大正方形的面積。內(nèi)角和定理：三角形三內(nèi)角 之和等于 180，如果以弧 度(ra

2、dian) 為單位，也可以 說三角形三內(nèi)角之和等于 后人稱頌畢達(dá)哥拉斯定理，說它是平面幾何中最重要的定理。迄今為止，在任何有意義的幾何空間中，都要求這條定理在無窮小的情形下成立。三角形內(nèi)角和為180，本質(zhì)上是說平面是平坦不具有彎曲的。Legendre首先指出它等價于下面所給出的命題：Legendre畢達(dá)哥拉斯歐氏幾何對后世的影響內(nèi)角和定理的等價命題一直線與其它二直線相交后，假設(shè)其同側(cè)二內(nèi)角和少于二直角，則沿此側(cè)面延長此二直線，它們必會在某處相交。 歐氏第五公設(shè) 另一個簡單的說法是：假使有一直線和線外一點，那么通過那個點就剛剛好只有一條直線和原來的直線平行（平行者，就是這兩條直線不相交） 這個說

3、法即歐氏第五公設(shè)。第五公設(shè)證明的失敗這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數(shù)學(xué)家或是對數(shù)學(xué)有興趣的人便想從其它的公理去推得平行公理。而這努力延持了兩千年左右，后來證明這是不可能的，于是有了非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)，這在人類思想史上是非常特別、有意思的事實。 下面是一些嘗試去用歐氏其它公理去證明第五公理的人：Ptolemy (168)Prolos (410-485)Nasir al din al Tusi (1300)Levi ben Gerson (1288-1344)Cataldi (1548-1626)Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679)Giordano

4、Vitale (1633-1711)John Wallis (1616-1703)Gerolamo Saccheri (1667-1733)Johann Heinrich Lambert (1728-1777)Adrien Marie Legendre (1752- 1833)LambertPtolemyBorelli第五公設(shè)證明的失敗最后，高斯、Bolyai和羅巴切夫斯基不約而同地發(fā)明了雙曲幾何曲率為負(fù)常數(shù)的二維曲面。故老相傳，高斯曾測量在Harz山脈中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其內(nèi)角和是否等于180。高斯Bolyai羅巴切夫斯基雙曲幾何 克萊茵（

5、F. Klein）創(chuàng)造了一種解析的方法，通過賦與在單位圓盤上任意兩點的某種距離，給出雙曲幾何的一個模型。后人稱之為Klein模型。至此，人們終于證明了歐氏第五公理不可以由其它公理推導(dǎo)出來。 雙曲幾何給出第一個抽象而與歐氏不一樣的空間，影響到黎曼的工作。Klein Model和非歐幾何的誕生球面幾何球面幾何：球面上當(dāng)然沒有“直線”，取而代之的是“大圓” - 球面上以球心為圓心的的圓?！熬€段”則是大圓的圓弧。過球上任意不是對徑點的兩點，都有唯一的大圓把它們連起來。類似的，我們還可以定義兩條大圓弧的夾角為相應(yīng)切線的夾角。遺憾的是，由于任意兩個大圓都有兩個交點，球面幾何并不在歐氏幾何的體系內(nèi)。球面幾何

6、球面幾何：球面幾何所討論的三角形是一個球面三角形，在這個情形下，三角形三內(nèi)角之和會大于 180，并且有一個非常重要的公式：球面幾何是非常有用的幾何， 天上（天文），地上（地理） 都用得著它。要是沒有球面 幾何學(xué)，大航海時代恐怕很 難到來，誰讓地球是圓的呢？球面三角形效果圖 雙曲幾何、非歐幾何 雙曲幾何 ：在這個情形下，三角形三內(nèi)角之和是小于 180的，即有如下的重要公式：非歐幾何：球面幾何 與雙曲幾何 統(tǒng)稱為 非歐幾何。內(nèi)角和公式的解釋 代表非歐幾何的一個絕對的度量，表示彎曲程度，叫曲率。因此有曲率的觀念跑到這樣一個簡單的公式里。這在數(shù)學(xué)或物理上是一個重要發(fā)展，因為愛因斯坦的相對論中，曲率 代

7、表一個場的力，所以幾何度量和物理度量便完全一樣。內(nèi)角和公式的解釋球面幾何中曲率是正的，雙曲幾何中曲率是負(fù)的。而其相對應(yīng)的三角形三內(nèi)角和，也分別有大于或小于 180之情形，不再滿足歐幾里得的平行公理。從這些公式可以看出，三角形的面積越小，它越像歐氏幾何。今天的我們知道，之所謂我們感覺自己生活在歐氏空間里，是因為我們生活的尺度和宇宙比起來太小太小了 。非歐幾何一度被視為“幽靈” 科學(xué)史上每次出現(xiàn)新生事物總有個被誤解然后慢慢被承認(rèn)的過程。牛頓的無窮小量也好，虛數(shù)也好，都在很長的時間里被人們視為“幽靈”。羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)了新的幾何后，自己也覺得這個東西實在太古怪。他把這種幾何稱為“想象的幾何”。要人們

8、接受這種想象的幾何實在不容易。羅巴切夫斯基試圖將雙曲幾何和人們熟悉的球面幾何聯(lián)系起來，說服人們雙曲幾何只是球面幾何的一個兄弟。他的想法是正確的，但他并未完全成功。 高斯發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和減去180后與曲率和三角形面積的乘積相等，高斯把這個性質(zhì)推廣成為一條有關(guān)曲率的積分方式。高斯-Bonnet公式 在現(xiàn)代幾何和拓?fù)鋵W(xué)中非常重要。陳省身先生將它推廣到高維空間，而最后發(fā)展成陳氏類，這個發(fā)展為近代時空創(chuàng)造了宏觀的看法。在近代的弦學(xué)中，時空的質(zhì)子數(shù)目與陳氏類有關(guān)。陳省身陳氏示性類 要等到費馬（1629）和笛卡兒（1637）引入坐標(biāo)系統(tǒng)后，人們才能用代數(shù)的方式來表示運動軌跡。 笛卡兒（1596 - 1650

9、）： 我已鐵定了心，揚棄抽象的幾何學(xué)，它探討的問題，除了能夠鍛煉頭腦外，就沒有什么用處。代而之我要研究那些以解釋大自然現(xiàn)象為目標(biāo)的幾何?！癐 have resolved to quit only abstract geometry, that is to say, the consideration of questions which serve only to exercise the mind, and this, in order to study another kind of geometry, which has for its object the explanation of

10、 the phenomena of nature.”費馬解析幾何笛卡兒解析幾何 歐幾里得幾何之后，第二個重要的發(fā)展是坐標(biāo)幾何。這是法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒（15961650年），對于研究幾何，引進了坐標(biāo)的概念，因此可用解析的方法來處理幾何的問題。坐標(biāo)就是說：假使在 X-Y 平面上，有兩個軸：X 軸和 Y 軸，那么一個點的兩個 X、Y 坐標(biāo)，就分別以如下圖中的兩個相對應(yīng)的度量來表示:解析幾何解析幾何的理論價值 這樣的發(fā)展不但使幾何問題的處理容易些，更有其重大的意義： 解析之后，使可研究的圖形的范圍擴大，除了直線的一次方程式，或者圓周的二次方程式，我們還可以取任意的方程式 f(x,y)=0，討論所

11、有點它的坐標(biāo) (x,y) 適合這樣方程式的軌跡。因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析化之后，都可從表示它的方程式中得到有關(guān)的幾何性質(zhì)。 解析幾何的理論價值研究的圖形不再局限在二維的平面上，可推廣至高維的空間。世界上的事情，如果只用二維的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐標(biāo)。例如我們所在的空間是三維，有 x、y、z 三個度量。假使要用幾何來表示物理的問題，那么三個度量之外，尚須加一個時間 t，所以物理的空間就變成了四維的空間；解析幾何的理論價值不但如此，假使有一點在三維空間運動，那么除了需要 (x,y,z) 來表示點的位置，還需要這三坐標(biāo)對時間的微分來表示它的速率，即 這就成了六維空間。

12、所以種種的情形都指示我們 有必要考慮更高維的空間，來表示自然的現(xiàn)象。 解析幾何的理論價值解析幾何把幾何研究的范圍大大地擴大了，而科學(xué)發(fā)展的基本現(xiàn)象，就是要擴大研究的范圍，了解更多的情形。笛卡兒的解析幾何，便達(dá)到了這個目的，使幾何學(xué)邁入一個新的階段。 笛卡兒發(fā)明了解析幾何，可說是幾何學(xué)上的一大突破。他引進坐標(biāo)系統(tǒng)來描述幾何圖形，幾何和代數(shù)因此結(jié)合起來了。坐標(biāo)系統(tǒng)讓我們繞過歐氏公理來研究幾何圖形，它也領(lǐng)導(dǎo)我們進入了高維空間。 在笛卡兒的坐標(biāo)系統(tǒng)中，直線是由線性函數(shù)定義的，而圓錐截面則由二次函數(shù)決定。利用這種代數(shù)的方式，刻卜勒的行星運動定律就變得一清二楚了?？滩防盏诙山馕鰩缀蔚膽?yīng)用利用解析幾何和

13、微積分，牛頓及其它天文學(xué)家對天體的運動進行了巨細(xì)無遺的計算。天體的運動是透過歐氏空間的整體坐標(biāo)系統(tǒng)來描述的，在那里空間是靜止的，而時間則獨立于空間之外。太陽系鳥瞰牛頓 (Newton) (1642 1727)牛頓宣稱他的時空是絕對的、靜止的。它為宇宙提供一個剛性的、永恒不變的舞臺。對內(nèi)對外而言，絕對空間都是相似及不動的?！癆bsolute space, in its own nature and with regard to anything external, always remains similar and unmovable.” 牛頓利用一個旋轉(zhuǎn)水桶的實驗，來說明絕對空間的存在性，而

14、慣性坐標(biāo)便是在絕對空間中靜止的坐標(biāo)。絕對空間幾何學(xué)的統(tǒng)一 19世紀(jì)中葉以后，通過否定歐幾里得幾何中這樣或那樣的公設(shè)、公理，產(chǎn)生了各種新而又新的幾何學(xué)，除了上述幾種非歐幾何、黎曼幾何外，還有如非阿基米德幾何、非德沙格幾何、非黎曼幾何、有限幾何等等，加上與非歐幾何并行發(fā)展的高維幾何、射影幾何、微分幾何以及較晚才出現(xiàn)的拓?fù)鋵W(xué)等，19世紀(jì)的幾何學(xué)展現(xiàn)了無限廣闊的發(fā)展前景。在這樣的形勢下，尋找不同幾何學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，用統(tǒng)一的觀點來解釋它們，便成為數(shù)學(xué)家們追求的一個目標(biāo)?？巳R因 統(tǒng)一幾何學(xué)的第一個大膽計劃是由德國數(shù)學(xué)家克萊因提出的。1872年，克萊因發(fā)表了著名的演講愛爾朗根綱要，闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的新思想

15、?？巳R因的Erlangen program 他在二十二歲的時候，前往德國小城 Erlangen 的一所大學(xué)任教。依據(jù)德國的習(xí)慣，新教授上任必須做一次公開演講，而他講演的結(jié)果Erlangen program，就是這個新幾何學(xué)。克萊因幾何學(xué)的新思想所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問。他把幾何學(xué)建立在群的觀念上：一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形從這個位置移到另一個位置。因此有了一個群之后，便有一種幾何，它研究所有經(jīng)過這個變換群不變的幾何性質(zhì)。這個群可以是歐幾里得運動群，也可以是投影變換群，或者其它種種的群。因為群的選擇不同，也就得到許多不同的幾何學(xué)；其中包括非歐幾何

16、學(xué)。克萊因的Erlangen program 這樣一來，不僅19世紀(jì)涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學(xué)被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類。并非所有幾何都能納入克萊因方案，例如今天的代數(shù)幾何和微分幾何，然而克萊因的綱領(lǐng)的確能給大部分幾何提供一個系統(tǒng)的分類方法，對幾何思想的發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響。群 群是數(shù)學(xué)上一個基本的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)上總是要運算，加、減、乘、除；研究幾何的話，把這個東西從這個位置移動到其它的位置，也是個運算。這樣的運算（也稱為運動）有一個特別的性質(zhì)，也就是說：把一個物體從甲地移到乙地，再移到丙地，可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個運動的結(jié)果，可經(jīng)由一次

17、運動來達(dá)成，具有這個特殊性質(zhì)的，便稱其成一群。豐富的研究工具微積分的誕生解決了彎曲對象的計算問題，如曲線的弧長、曲面域的面積、幾何體的體積等；代數(shù)學(xué)的進展使得幾何對象能用精確的代數(shù)語言來重新描述；微分方程的進展使得幾何中最基本的存在性問題得以解決;計算機技術(shù)的更新使得幾何對象得以直觀再現(xiàn)豐富的數(shù)學(xué)語言使問題的描述更為方便、精確微分幾何學(xué)的起步解析幾何學(xué)中用來處理二次曲線和二次曲面的初等代數(shù)學(xué)方法仍然不能處理一般曲線和一般曲面;隨著微積分的發(fā)展,分析學(xué)進入幾何學(xué)，可以利用微積分來揭示空間更一般的曲線和曲面的幾何性質(zhì),這就形成了三維空間中曲線和曲面的微分幾何學(xué)(經(jīng)典微分幾何)；主要包括曲線論和曲面

18、論兩部分內(nèi)容：微分幾何學(xué) - 曲線論 曲線論：表現(xiàn)為如下兩個方面的內(nèi)容：描寫它的弧長（曲線上兩點之間的距離）、曲率（反映曲線的彎曲程度）和撓率（描寫曲線的扭曲程度），這三個兩刻畫了曲線的形狀和大??；兩條曲線能夠在一個剛體運動下彼此重合的充要條件是它們的弧長相等，并且曲率和撓率作為弧長的函數(shù)也對應(yīng)地相同。因此，弧長、曲率和撓率構(gòu)成了空間曲線的完全不變量系統(tǒng)。 微分幾何學(xué)- 曲面論 曲面論：與曲線相比較，情況比較復(fù)雜：將曲面上兩個無限鄰近點之間的距離表示成 通常稱為曲面的度量形式（或第一基本形式），它可以用來描寫曲面上曲線的弧長、兩個方向之間的夾角、曲面域的面積將到鄰近點的切平面之間的距離表示成

19、通常稱為曲面的第二基本形式，由它結(jié)合第一基本形式可以用來描述曲面的彎曲。第一和第二基本形式構(gòu)成曲面的完全不變量系統(tǒng)Euler Monge Gauss 對微分幾何做出過杰出貢獻的數(shù)學(xué)家有Euler和Monge,他們的工作是如何描寫和刻畫曲面對微分幾何做出劃時代貢獻的當(dāng)推德國數(shù)學(xué)家Gauss高斯對經(jīng)典微分幾何學(xué)的貢獻Gauss的主要貢獻表現(xiàn)在以下三個方面：證明了第一和第二基本形式不是彼此獨立的；曲面的許多彎曲性質(zhì)完全由度量形式?jīng)Q定；特別Gauss曲率是內(nèi)蘊幾何量（高斯絕妙定理）闡明了非歐幾何與歐氏幾何的實質(zhì)區(qū)別在于空間具有不同的度量形式，從而具有不同的彎曲性質(zhì)。歐氏空間是平直的，而非歐空間是負(fù)常彎

20、曲的； 高斯把他的絕妙定理寫入曲面通論一書中。他指出必須把曲面的內(nèi)在性質(zhì)，即身處曲面內(nèi)扁小甲蟲所經(jīng)驗的屬性，與其外在的，即依賴于曲面如何置于空間的性質(zhì)區(qū)分開來，而只有內(nèi)在性質(zhì)，才值得幾何學(xué)家焚膏繼晷，兀兀窮年地上下求索(most worthy of being diligently explored by geometers)。后世稱研究這些性質(zhì)的學(xué)問為內(nèi)蘊幾何。如測地線、曲面上三角形的內(nèi)角和、平行移動等概念；內(nèi)蘊幾何從球面剪取一片曲面，其高斯曲率為正常數(shù)。反過來說，局部而言，任何具正常曲率的曲面都是球面的一部分。類似地，從雙曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于負(fù)一，而反過來說曲率等于負(fù)一的曲面

21、與雙面曲面局部相等。雙曲曲面曾在討論歐氏第五公設(shè)時論及。 高斯曲率決定曲面的內(nèi)蘊幾何高斯顯然因他的定理興奮不已。但他并沒有認(rèn)為人們對空間已認(rèn)識透徹。高斯：我愈來愈相信，人類的理性并不能證明或理解幾何的必要性。也許后世能對空間的本質(zhì)有新的洞見，但目前這卻是不可能的事?！癐 am becoming more and more convincing that the necessity of our geometry cannot be proved, at least not by human reason nor for human reason. Perhaps in another life

22、 we will be able to obtain insight into the nature of space which is now unattainable.”高斯對幾何的深思高斯：當(dāng)下我們不能把幾何與本質(zhì)是先驗的算術(shù)相提并論，只適宜將它與力學(xué)并列。 “Until then we must place geometry not in the same class with arithmetic which is purely a priori, but with mechanics.”物理學(xué)的影響高斯研究的是二維曲面內(nèi)的幾何。高維流形的內(nèi)蘊幾何是由黎曼提出的。黎曼在他的教授就職演

23、說建構(gòu)幾何學(xué)的假設(shè)中，利用尺度的無限小形式，引入了抽象空間。在那里高斯曲率有了明確的涵義。這是一個重要的時刻，人們終于擺脫了平坦的歐氏（線性）空間，而成功創(chuàng)造一個自我生存的內(nèi)蘊空間了。 黎曼抽象空間（現(xiàn)代幾何學(xué)的誕生）黎曼在1852年的就職演說第一位創(chuàng)建廣義的新幾何學(xué)體系的數(shù)學(xué)家是黎曼.他必須通過就職演講，才能擔(dān)任無報酬的哥廷根大學(xué)的講師職位.他提交了三個題目由教授會選擇，他希望他們選中前兩個中的一個，這是他已經(jīng)準(zhǔn)備好了的.但是他輕率地提出的第三個題目正是高斯仔細(xì)考慮了60年或更長時間的問題幾何基礎(chǔ)，而這個題目他沒有準(zhǔn)備.使黎曼大吃一驚的是，高斯指定第三個題目. 黎曼在1852年的就職演說“所

24、以我又處在絕境中了，”他給父親寫信說，“因為我不得不作出這個題目.我恢復(fù)了對電、磁、光和引力的研究，我已經(jīng)進行到可能沒有絲毫懷疑地發(fā)表它.我越來越相信高斯已經(jīng)在這個題目上工作了許多年，并對一些朋友談到過它.” 黎曼在1852年的就職演說黎曼的就職演講（1854年6月10日）得到熱情接受.這篇演講無論就數(shù)學(xué)還是就文筆來說，都是杰作.它改革了幾何學(xué)的研究,并且被認(rèn)為是整個數(shù)學(xué)史上篇幅最短，內(nèi)容最豐富的文章.在演講的結(jié)尾，他說， “這樣一種研究的價值也許在于能使我們從先入之見中解放出來，需要用某種不同于歐幾里得幾何學(xué)的幾何學(xué)來研究物理定律的日子必將到來.” 這些預(yù)見在他死后五十年，由于愛因斯坦的廣義

25、相對論而實現(xiàn)了. 就職演說的貢獻對黎曼的簡單扼要的論文的任何解釋，都不能說明這篇論文的全部內(nèi)涵.有三點最基本的貢獻需要指出.這就是流形的概念，度量的定義和流形的曲率的概念. 將高斯關(guān)于歐氏空間中曲面的內(nèi)蘊幾何推廣成任意空間的內(nèi)蘊幾何。他把 n 維空間稱作一個流形， n 維流形中的一個點，可用n 個參數(shù)x1 , x2 , , x n 的一組特定數(shù)值來表示，稱作流形的坐標(biāo)。就職演說的貢獻定義流形中的兩點距離（即度量），假定這微小距離的平方是一個二次微分齊次由度量定義流形的曲率， 常見三種曲率空間：（1）曲率為正常數(shù)；（黎曼幾何空間）（2）曲率為負(fù)常數(shù)；（羅氏幾何空間）（3）曲率恒等于零。（歐氏幾何

26、空間）黎曼的新發(fā)現(xiàn)從根本上改變了數(shù)學(xué)家對幾何的看法。從此以后，幾何學(xué)家研究的空間不再依賴于歐氏空間，我們可以獨立地討論抽象空間的幾何了（即黎曼幾何）。他的后繼者Christoffel、Ricci、Levi-Civita和Beltrami開拓了流形上的微積分和張量分析等研究。不過對絕大多數(shù)人而言，這些高維抽象空間要不是枯燥無味，就是跟大自然風(fēng)馬牛不相及。 ChristoffelRicciBeltrami黎曼幾何黎曼幾何學(xué)與廣義相對論 真正使黎曼幾何受到重視的是愛因斯坦的廣義相對論。大致說起來，愛因斯坦的廣義相對論是要把物理幾何化，也就是說把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)，因此黎曼幾何就成為物理學(xué)家一定

27、要念的一門數(shù)學(xué)。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當(dāng)復(fù)雜。在愛因斯坦的廣義相對論中的基本公式里，大致說起來，物理的力是一個曲率；數(shù)學(xué)家講曲率和物理學(xué)家講力、位勢 (potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場論 在黎曼幾何中，Levi-Civita 平行性是一個重要的觀念。Levi-Civita 以為在偽黎曼幾何（廣義相對論里的其中一種，稱為勞倫茲幾何）都有一個很基本的性質(zhì)，那就是平行性；在這個時候，空間不再是只用一個坐標(biāo)系表示的空間，而是需要很多不同的坐標(biāo)系才能表現(xiàn)的流形(manifold)，這樣又把幾何研究的空間

28、推廣了。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場論 陳省身常有個比喻，如果我們把幾何空間的推廣和人類穿衣服的過程相對照，那么一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會中沒有穿衣服，是裸體的；然后笛卡兒把坐標(biāo)的概念加入了赤裸的空間，就好比人類開始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現(xiàn)代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣奇裝異服式的換坐標(biāo)，但是沒有關(guān)系，愛因斯坦花了七年的時間，才終于接受坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)換的概念，而能從狹義相對論進展到廣義相對論。聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場論 空間中有不同的坐標(biāo)系，那么麻煩就來了，因為幾何的性質(zhì)便和坐標(biāo)系的選取有關(guān)了，不過不要緊，只要我們能控制坐標(biāo)變換的性質(zhì)，使在變換前既有的性質(zhì)

29、，經(jīng)過變換之后仍為我們所控制，那么換坐標(biāo)就沒關(guān)系了，這是近代幾何學(xué)比較困難的地方。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場論 用以表示流形的坐標(biāo)系是任意的，因此可能是非線性的坐標(biāo)，在處理上就變得比較困難;但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說，雖然流形本身是非線性的，但在流形上的一點，都有一個和普通空間一樣的線性空間，即切空間。這些切空間之間原本是沒有關(guān)系的，而 Levi-Civita 平行性就是要建立二點之間的切空間的關(guān)系；之后，微分幾何學(xué)家發(fā)現(xiàn)，這個平行性是非?；镜男再|(zhì)。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場論 又因為拓?fù)鋵W(xué) (topology) 的發(fā)展，我們把這個觀念推廣了，不一定要談切空間，任意一個空間都可以。

30、于是就有矢量叢 (vector bundles) 和聯(lián)絡(luò) (connections) 的觀念。也就是說流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個豎起來的空間，任何的矢量空間都可以。從黎曼幾何推廣到有聯(lián)絡(luò)的矢量叢，這也就是物理上規(guī)范場論 (gauge field) 的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 法國數(shù)學(xué)家加當(dāng)（E.Cartan 1869-1951）于1923年提出了一般聯(lián)絡(luò)的理論，是纖維叢概念的發(fā)端，加當(dāng)還是利用外微分形式和活動標(biāo)形法的首創(chuàng)者。美國數(shù)學(xué)家莫爾斯（Morse 1892- 1977 ）于1934年創(chuàng)建了大范圍變分學(xué)理論，為微分幾何提供了有效的工具?，F(xiàn)代微分幾何美籍華裔數(shù)學(xué)家陳省身（1911-2005）建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，又是纖維叢概念的創(chuàng)建人之一，對推進整體微分幾何學(xué)的發(fā)展做出了重大貢獻。國際上公認(rèn)，陳省身是現(xiàn)代微分幾何的奠基者，加當(dāng)?shù)睦^承人?，F(xiàn)代微分幾何陳省身：“我為我們說不清楚它（指現(xiàn)代微分幾何）是什么而高興，我希望它不要象其它數(shù)學(xué)分支那樣被公理化，保持著它把局部和整體相結(jié)合的精神，它在今后