從古典幾何到現(xiàn)代幾何課件

1、 從古典幾何到現(xiàn)代幾何劉建成 教授西北師范大學(xué) 數(shù)信學(xué)院2009.4.20幾何原本 在差不多一百年前，幾何就是歐幾里得。他在公元前三百年左右寫(xiě)了一部大書(shū)，中文叫做幾何原本。事實(shí)上在當(dāng)時(shí)的社會(huì)，幾何并不被大家所注意，所以像歐幾里得這樣偉大的人，我們也不大知道他的生平。這本書(shū)是人類文化史上一部非常偉大、有意義的著作，它的主要結(jié)論有兩個(gè)：幾何原本的主要結(jié)論 畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)：有一直角三角形 ABC，則長(zhǎng)邊的平方會(huì)等于其它兩邊的平方和。由幾何方面來(lái)說(shuō)，如果我們?cè)谌吷细髯饕粋€(gè)正方形，那么兩個(gè)小正方形的面積和就會(huì)等于大正方形的面積。內(nèi)角和定理：三角形三內(nèi)角 之和等于 180，如果以弧 度(ra

2、dian) 為單位，也可以 說(shuō)三角形三內(nèi)角之和等于 后人稱頌畢達(dá)哥拉斯定理，說(shuō)它是平面幾何中最重要的定理。迄今為止，在任何有意義的幾何空間中，都要求這條定理在無(wú)窮小的情形下成立。三角形內(nèi)角和為180，本質(zhì)上是說(shuō)平面是平坦不具有彎曲的。Legendre首先指出它等價(jià)于下面所給出的命題：Legendre畢達(dá)哥拉斯歐氏幾何對(duì)后世的影響內(nèi)角和定理的等價(jià)命題一直線與其它二直線相交后，假設(shè)其同側(cè)二內(nèi)角和少于二直角，則沿此側(cè)面延長(zhǎng)此二直線，它們必會(huì)在某處相交。 歐氏第五公設(shè) 另一個(gè)簡(jiǎn)單的說(shuō)法是：假使有一直線和線外一點(diǎn)，那么通過(guò)那個(gè)點(diǎn)就剛剛好只有一條直線和原來(lái)的直線平行（平行者，就是這兩條直線不相交） 這個(gè)說(shuō)

3、法即歐氏第五公設(shè)。第五公設(shè)證明的失敗這個(gè)平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數(shù)學(xué)家或是對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的人便想從其它的公理去推得平行公理。而這努力延持了兩千年左右，后來(lái)證明這是不可能的，于是有了非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)，這在人類思想史上是非常特別、有意思的事實(shí)。 下面是一些嘗試去用歐氏其它公理去證明第五公理的人：Ptolemy (168)Prolos (410-485)Nasir al din al Tusi (1300)Levi ben Gerson (1288-1344)Cataldi (1548-1626)Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679)Giordano

4、Vitale (1633-1711)John Wallis (1616-1703)Gerolamo Saccheri (1667-1733)Johann Heinrich Lambert (1728-1777)Adrien Marie Legendre (1752- 1833)LambertPtolemyBorelli第五公設(shè)證明的失敗最后，高斯、Bolyai和羅巴切夫斯基不約而同地發(fā)明了雙曲幾何曲率為負(fù)常數(shù)的二維曲面。故老相傳，高斯曾測(cè)量在Harz山脈中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其內(nèi)角和是否等于180。高斯Bolyai羅巴切夫斯基雙曲幾何 克萊茵（

5、F. Klein）創(chuàng)造了一種解析的方法，通過(guò)賦與在單位圓盤上任意兩點(diǎn)的某種距離，給出雙曲幾何的一個(gè)模型。后人稱之為Klein模型。至此，人們終于證明了歐氏第五公理不可以由其它公理推導(dǎo)出來(lái)。 雙曲幾何給出第一個(gè)抽象而與歐氏不一樣的空間，影響到黎曼的工作。Klein Model和非歐幾何的誕生球面幾何球面幾何：球面上當(dāng)然沒(méi)有“直線”，取而代之的是“大圓” - 球面上以球心為圓心的的圓?！熬€段”則是大圓的圓弧。過(guò)球上任意不是對(duì)徑點(diǎn)的兩點(diǎn)，都有唯一的大圓把它們連起來(lái)。類似的，我們還可以定義兩條大圓弧的夾角為相應(yīng)切線的夾角。遺憾的是，由于任意兩個(gè)大圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，球面幾何并不在歐氏幾何的體系內(nèi)。球面幾何

6、球面幾何：球面幾何所討論的三角形是一個(gè)球面三角形，在這個(gè)情形下，三角形三內(nèi)角之和會(huì)大于 180，并且有一個(gè)非常重要的公式：球面幾何是非常有用的幾何， 天上（天文），地上（地理） 都用得著它。要是沒(méi)有球面 幾何學(xué)，大航海時(shí)代恐怕很 難到來(lái)，誰(shuí)讓地球是圓的呢？球面三角形效果圖 雙曲幾何、非歐幾何 雙曲幾何 ：在這個(gè)情形下，三角形三內(nèi)角之和是小于 180的，即有如下的重要公式：非歐幾何：球面幾何 與雙曲幾何 統(tǒng)稱為 非歐幾何。內(nèi)角和公式的解釋 代表非歐幾何的一個(gè)絕對(duì)的度量，表示彎曲程度，叫曲率。因此有曲率的觀念跑到這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的公式里。這在數(shù)學(xué)或物理上是一個(gè)重要發(fā)展，因?yàn)閻?ài)因斯坦的相對(duì)論中，曲率 代

7、表一個(gè)場(chǎng)的力，所以幾何度量和物理度量便完全一樣。內(nèi)角和公式的解釋球面幾何中曲率是正的，雙曲幾何中曲率是負(fù)的。而其相對(duì)應(yīng)的三角形三內(nèi)角和，也分別有大于或小于 180之情形，不再滿足歐幾里得的平行公理。從這些公式可以看出，三角形的面積越小，它越像歐氏幾何。今天的我們知道，之所謂我們感覺(jué)自己生活在歐氏空間里，是因?yàn)槲覀兩畹某叨群陀钪姹绕饋?lái)太小太小了 。非歐幾何一度被視為“幽靈” 科學(xué)史上每次出現(xiàn)新生事物總有個(gè)被誤解然后慢慢被承認(rèn)的過(guò)程。牛頓的無(wú)窮小量也好，虛數(shù)也好，都在很長(zhǎng)的時(shí)間里被人們視為“幽靈”。羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)了新的幾何后，自己也覺(jué)得這個(gè)東西實(shí)在太古怪。他把這種幾何稱為“想象的幾何”。要人們

8、接受這種想象的幾何實(shí)在不容易。羅巴切夫斯基試圖將雙曲幾何和人們熟悉的球面幾何聯(lián)系起來(lái)，說(shuō)服人們雙曲幾何只是球面幾何的一個(gè)兄弟。他的想法是正確的，但他并未完全成功。 高斯發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和減去180后與曲率和三角形面積的乘積相等，高斯把這個(gè)性質(zhì)推廣成為一條有關(guān)曲率的積分方式。高斯-Bonnet公式 在現(xiàn)代幾何和拓?fù)鋵W(xué)中非常重要。陳省身先生將它推廣到高維空間，而最后發(fā)展成陳氏類，這個(gè)發(fā)展為近代時(shí)空創(chuàng)造了宏觀的看法。在近代的弦學(xué)中，時(shí)空的質(zhì)子數(shù)目與陳氏類有關(guān)。陳省身陳氏示性類 要等到費(fèi)馬（1629）和笛卡兒（1637）引入坐標(biāo)系統(tǒng)后，人們才能用代數(shù)的方式來(lái)表示運(yùn)動(dòng)軌跡。 笛卡兒（1596 - 1650

9、）： 我已鐵定了心，揚(yáng)棄抽象的幾何學(xué)，它探討的問(wèn)題，除了能夠鍛煉頭腦外，就沒(méi)有什么用處。代而之我要研究那些以解釋大自然現(xiàn)象為目標(biāo)的幾何?！癐 have resolved to quit only abstract geometry, that is to say, the consideration of questions which serve only to exercise the mind, and this, in order to study another kind of geometry, which has for its object the explanation of

10、 the phenomena of nature.”費(fèi)馬解析幾何笛卡兒解析幾何 歐幾里得幾何之后，第二個(gè)重要的發(fā)展是坐標(biāo)幾何。這是法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒（15961650年），對(duì)于研究幾何，引進(jìn)了坐標(biāo)的概念，因此可用解析的方法來(lái)處理幾何的問(wèn)題。坐標(biāo)就是說(shuō)：假使在 X-Y 平面上，有兩個(gè)軸：X 軸和 Y 軸，那么一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè) X、Y 坐標(biāo)，就分別以如下圖中的兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的度量來(lái)表示:解析幾何解析幾何的理論價(jià)值 這樣的發(fā)展不但使幾何問(wèn)題的處理容易些，更有其重大的意義： 解析之后，使可研究的圖形的范圍擴(kuò)大，除了直線的一次方程式，或者圓周的二次方程式，我們還可以取任意的方程式 f(x,y)=0，討論所

11、有點(diǎn)它的坐標(biāo) (x,y) 適合這樣方程式的軌跡。因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析化之后，都可從表示它的方程式中得到有關(guān)的幾何性質(zhì)。 解析幾何的理論價(jià)值研究的圖形不再局限在二維的平面上，可推廣至高維的空間。世界上的事情，如果只用二維的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐標(biāo)。例如我們所在的空間是三維，有 x、y、z 三個(gè)度量。假使要用幾何來(lái)表示物理的問(wèn)題，那么三個(gè)度量之外，尚須加一個(gè)時(shí)間 t，所以物理的空間就變成了四維的空間；解析幾何的理論價(jià)值不但如此，假使有一點(diǎn)在三維空間運(yùn)動(dòng)，那么除了需要 (x,y,z) 來(lái)表示點(diǎn)的位置，還需要這三坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的微分來(lái)表示它的速率，即 這就成了六維空間。

12、所以種種的情形都指示我們 有必要考慮更高維的空間，來(lái)表示自然的現(xiàn)象。 解析幾何的理論價(jià)值解析幾何把幾何研究的范圍大大地?cái)U(kuò)大了，而科學(xué)發(fā)展的基本現(xiàn)象，就是要擴(kuò)大研究的范圍，了解更多的情形。笛卡兒的解析幾何，便達(dá)到了這個(gè)目的，使幾何學(xué)邁入一個(gè)新的階段。 笛卡兒發(fā)明了解析幾何，可說(shuō)是幾何學(xué)上的一大突破。他引進(jìn)坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)描述幾何圖形，幾何和代數(shù)因此結(jié)合起來(lái)了。坐標(biāo)系統(tǒng)讓我們繞過(guò)歐氏公理來(lái)研究幾何圖形，它也領(lǐng)導(dǎo)我們進(jìn)入了高維空間。 在笛卡兒的坐標(biāo)系統(tǒng)中，直線是由線性函數(shù)定義的，而圓錐截面則由二次函數(shù)決定。利用這種代數(shù)的方式，刻卜勒的行星運(yùn)動(dòng)定律就變得一清二楚了?？滩防盏诙山馕鰩缀蔚膽?yīng)用利用解析幾何和

13、微積分，牛頓及其它天文學(xué)家對(duì)天體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了巨細(xì)無(wú)遺的計(jì)算。天體的運(yùn)動(dòng)是透過(guò)歐氏空間的整體坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)描述的，在那里空間是靜止的，而時(shí)間則獨(dú)立于空間之外。太陽(yáng)系鳥(niǎo)瞰牛頓 (Newton) (1642 1727)牛頓宣稱他的時(shí)空是絕對(duì)的、靜止的。它為宇宙提供一個(gè)剛性的、永恒不變的舞臺(tái)。對(duì)內(nèi)對(duì)外而言，絕對(duì)空間都是相似及不動(dòng)的?！癆bsolute space, in its own nature and with regard to anything external, always remains similar and unmovable.” 牛頓利用一個(gè)旋轉(zhuǎn)水桶的實(shí)驗(yàn)，來(lái)說(shuō)明絕對(duì)空間的存在性，而

14、慣性坐標(biāo)便是在絕對(duì)空間中靜止的坐標(biāo)。絕對(duì)空間幾何學(xué)的統(tǒng)一 19世紀(jì)中葉以后，通過(guò)否定歐幾里得幾何中這樣或那樣的公設(shè)、公理，產(chǎn)生了各種新而又新的幾何學(xué)，除了上述幾種非歐幾何、黎曼幾何外，還有如非阿基米德幾何、非德沙格幾何、非黎曼幾何、有限幾何等等，加上與非歐幾何并行發(fā)展的高維幾何、射影幾何、微分幾何以及較晚才出現(xiàn)的拓?fù)鋵W(xué)等，19世紀(jì)的幾何學(xué)展現(xiàn)了無(wú)限廣闊的發(fā)展前景。在這樣的形勢(shì)下，尋找不同幾何學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，用統(tǒng)一的觀點(diǎn)來(lái)解釋它們，便成為數(shù)學(xué)家們追求的一個(gè)目標(biāo)?？巳R因 統(tǒng)一幾何學(xué)的第一個(gè)大膽計(jì)劃是由德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因提出的。1872年，克萊因發(fā)表了著名的演講愛(ài)爾朗根綱要，闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的新思想

15、?？巳R因的Erlangen program 他在二十二歲的時(shí)候，前往德國(guó)小城 Erlangen 的一所大學(xué)任教。依據(jù)德國(guó)的習(xí)慣，新教授上任必須做一次公開(kāi)演講，而他講演的結(jié)果Erlangen program，就是這個(gè)新幾何學(xué)?？巳R因幾何學(xué)的新思想所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對(duì)于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問(wèn)。他把幾何學(xué)建立在群的觀念上：一個(gè)空間有一個(gè)變換群，允許把空間的圖形從這個(gè)位置移到另一個(gè)位置。因此有了一個(gè)群之后，便有一種幾何，它研究所有經(jīng)過(guò)這個(gè)變換群不變的幾何性質(zhì)。這個(gè)群可以是歐幾里得運(yùn)動(dòng)群，也可以是投影變換群，或者其它種種的群。因?yàn)槿旱倪x擇不同，也就得到許多不同的幾何學(xué)；其中包括非歐幾何

16、學(xué)?？巳R因的Erlangen program 這樣一來(lái)，不僅19世紀(jì)涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學(xué)被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對(duì)應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類。并非所有幾何都能納入克萊因方案，例如今天的代數(shù)幾何和微分幾何，然而克萊因的綱領(lǐng)的確能給大部分幾何提供一個(gè)系統(tǒng)的分類方法，對(duì)幾何思想的發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響。群 群是數(shù)學(xué)上一個(gè)基本的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)上總是要運(yùn)算，加、減、乘、除；研究幾何的話，把這個(gè)東西從這個(gè)位置移動(dòng)到其它的位置，也是個(gè)運(yùn)算。這樣的運(yùn)算（也稱為運(yùn)動(dòng)）有一個(gè)特別的性質(zhì)，也就是說(shuō)：把一個(gè)物體從甲地移到乙地，再移到丙地，可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，可經(jīng)由一次

17、運(yùn)動(dòng)來(lái)達(dá)成，具有這個(gè)特殊性質(zhì)的，便稱其成一群。豐富的研究工具微積分的誕生解決了彎曲對(duì)象的計(jì)算問(wèn)題，如曲線的弧長(zhǎng)、曲面域的面積、幾何體的體積等；代數(shù)學(xué)的進(jìn)展使得幾何對(duì)象能用精確的代數(shù)語(yǔ)言來(lái)重新描述；微分方程的進(jìn)展使得幾何中最基本的存在性問(wèn)題得以解決;計(jì)算機(jī)技術(shù)的更新使得幾何對(duì)象得以直觀再現(xiàn)豐富的數(shù)學(xué)語(yǔ)言使問(wèn)題的描述更為方便、精確微分幾何學(xué)的起步解析幾何學(xué)中用來(lái)處理二次曲線和二次曲面的初等代數(shù)學(xué)方法仍然不能處理一般曲線和一般曲面;隨著微積分的發(fā)展,分析學(xué)進(jìn)入幾何學(xué)，可以利用微積分來(lái)揭示空間更一般的曲線和曲面的幾何性質(zhì),這就形成了三維空間中曲線和曲面的微分幾何學(xué)(經(jīng)典微分幾何)；主要包括曲線論和曲面

18、論兩部分內(nèi)容：微分幾何學(xué) - 曲線論 曲線論：表現(xiàn)為如下兩個(gè)方面的內(nèi)容：描寫(xiě)它的弧長(zhǎng)（曲線上兩點(diǎn)之間的距離）、曲率（反映曲線的彎曲程度）和撓率（描寫(xiě)曲線的扭曲程度），這三個(gè)兩刻畫(huà)了曲線的形狀和大??；兩條曲線能夠在一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)下彼此重合的充要條件是它們的弧長(zhǎng)相等，并且曲率和撓率作為弧長(zhǎng)的函數(shù)也對(duì)應(yīng)地相同。因此，弧長(zhǎng)、曲率和撓率構(gòu)成了空間曲線的完全不變量系統(tǒng)。 微分幾何學(xué)- 曲面論 曲面論：與曲線相比較，情況比較復(fù)雜：將曲面上兩個(gè)無(wú)限鄰近點(diǎn)之間的距離表示成 通常稱為曲面的度量形式（或第一基本形式），它可以用來(lái)描寫(xiě)曲面上曲線的弧長(zhǎng)、兩個(gè)方向之間的夾角、曲面域的面積將到鄰近點(diǎn)的切平面之間的距離表示成

19、通常稱為曲面的第二基本形式，由它結(jié)合第一基本形式可以用來(lái)描述曲面的彎曲。第一和第二基本形式構(gòu)成曲面的完全不變量系統(tǒng)Euler Monge Gauss 對(duì)微分幾何做出過(guò)杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家有Euler和Monge,他們的工作是如何描寫(xiě)和刻畫(huà)曲面對(duì)微分幾何做出劃時(shí)代貢獻(xiàn)的當(dāng)推德國(guó)數(shù)學(xué)家Gauss高斯對(duì)經(jīng)典微分幾何學(xué)的貢獻(xiàn)Gauss的主要貢獻(xiàn)表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：證明了第一和第二基本形式不是彼此獨(dú)立的；曲面的許多彎曲性質(zhì)完全由度量形式?jīng)Q定；特別Gauss曲率是內(nèi)蘊(yùn)幾何量（高斯絕妙定理）闡明了非歐幾何與歐氏幾何的實(shí)質(zhì)區(qū)別在于空間具有不同的度量形式，從而具有不同的彎曲性質(zhì)。歐氏空間是平直的，而非歐空間是負(fù)常彎

20、曲的； 高斯把他的絕妙定理寫(xiě)入曲面通論一書(shū)中。他指出必須把曲面的內(nèi)在性質(zhì)，即身處曲面內(nèi)扁小甲蟲(chóng)所經(jīng)驗(yàn)的屬性，與其外在的，即依賴于曲面如何置于空間的性質(zhì)區(qū)分開(kāi)來(lái)，而只有內(nèi)在性質(zhì)，才值得幾何學(xué)家焚膏繼晷，兀兀窮年地上下求索(most worthy of being diligently explored by geometers)。后世稱研究這些性質(zhì)的學(xué)問(wèn)為內(nèi)蘊(yùn)幾何。如測(cè)地線、曲面上三角形的內(nèi)角和、平行移動(dòng)等概念；內(nèi)蘊(yùn)幾何從球面剪取一片曲面，其高斯曲率為正常數(shù)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，局部而言，任何具正常曲率的曲面都是球面的一部分。類似地，從雙曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于負(fù)一，而反過(guò)來(lái)說(shuō)曲率等于負(fù)一的曲面

21、與雙面曲面局部相等。雙曲曲面曾在討論歐氏第五公設(shè)時(shí)論及。 高斯曲率決定曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何高斯顯然因他的定理興奮不已。但他并沒(méi)有認(rèn)為人們對(duì)空間已認(rèn)識(shí)透徹。高斯：我愈來(lái)愈相信，人類的理性并不能證明或理解幾何的必要性。也許后世能對(duì)空間的本質(zhì)有新的洞見(jiàn)，但目前這卻是不可能的事?！癐 am becoming more and more convincing that the necessity of our geometry cannot be proved, at least not by human reason nor for human reason. Perhaps in another life

22、 we will be able to obtain insight into the nature of space which is now unattainable.”高斯對(duì)幾何的深思高斯：當(dāng)下我們不能把幾何與本質(zhì)是先驗(yàn)的算術(shù)相提并論，只適宜將它與力學(xué)并列。 “Until then we must place geometry not in the same class with arithmetic which is purely a priori, but with mechanics.”物理學(xué)的影響高斯研究的是二維曲面內(nèi)的幾何。高維流形的內(nèi)蘊(yùn)幾何是由黎曼提出的。黎曼在他的教授就職演

23、說(shuō)建構(gòu)幾何學(xué)的假設(shè)中，利用尺度的無(wú)限小形式，引入了抽象空間。在那里高斯曲率有了明確的涵義。這是一個(gè)重要的時(shí)刻，人們終于擺脫了平坦的歐氏（線性）空間，而成功創(chuàng)造一個(gè)自我生存的內(nèi)蘊(yùn)空間了。 黎曼抽象空間（現(xiàn)代幾何學(xué)的誕生）黎曼在1852年的就職演說(shuō)第一位創(chuàng)建廣義的新幾何學(xué)體系的數(shù)學(xué)家是黎曼.他必須通過(guò)就職演講，才能擔(dān)任無(wú)報(bào)酬的哥廷根大學(xué)的講師職位.他提交了三個(gè)題目由教授會(huì)選擇，他希望他們選中前兩個(gè)中的一個(gè)，這是他已經(jīng)準(zhǔn)備好了的.但是他輕率地提出的第三個(gè)題目正是高斯仔細(xì)考慮了60年或更長(zhǎng)時(shí)間的問(wèn)題幾何基礎(chǔ)，而這個(gè)題目他沒(méi)有準(zhǔn)備.使黎曼大吃一驚的是，高斯指定第三個(gè)題目. 黎曼在1852年的就職演說(shuō)“所

24、以我又處在絕境中了，”他給父親寫(xiě)信說(shuō)，“因?yàn)槲也坏貌蛔鞒鲞@個(gè)題目.我恢復(fù)了對(duì)電、磁、光和引力的研究，我已經(jīng)進(jìn)行到可能沒(méi)有絲毫懷疑地發(fā)表它.我越來(lái)越相信高斯已經(jīng)在這個(gè)題目上工作了許多年，并對(duì)一些朋友談到過(guò)它.” 黎曼在1852年的就職演說(shuō)黎曼的就職演講（1854年6月10日）得到熱情接受.這篇演講無(wú)論就數(shù)學(xué)還是就文筆來(lái)說(shuō)，都是杰作.它改革了幾何學(xué)的研究,并且被認(rèn)為是整個(gè)數(shù)學(xué)史上篇幅最短，內(nèi)容最豐富的文章.在演講的結(jié)尾，他說(shuō)， “這樣一種研究的價(jià)值也許在于能使我們從先入之見(jiàn)中解放出來(lái)，需要用某種不同于歐幾里得幾何學(xué)的幾何學(xué)來(lái)研究物理定律的日子必將到來(lái).” 這些預(yù)見(jiàn)在他死后五十年，由于愛(ài)因斯坦的廣義

25、相對(duì)論而實(shí)現(xiàn)了. 就職演說(shuō)的貢獻(xiàn)對(duì)黎曼的簡(jiǎn)單扼要的論文的任何解釋，都不能說(shuō)明這篇論文的全部?jī)?nèi)涵.有三點(diǎn)最基本的貢獻(xiàn)需要指出.這就是流形的概念，度量的定義和流形的曲率的概念. 將高斯關(guān)于歐氏空間中曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何推廣成任意空間的內(nèi)蘊(yùn)幾何。他把 n 維空間稱作一個(gè)流形， n 維流形中的一個(gè)點(diǎn)，可用n 個(gè)參數(shù)x1 , x2 , , x n 的一組特定數(shù)值來(lái)表示，稱作流形的坐標(biāo)。就職演說(shuō)的貢獻(xiàn)定義流形中的兩點(diǎn)距離（即度量），假定這微小距離的平方是一個(gè)二次微分齊次由度量定義流形的曲率， 常見(jiàn)三種曲率空間：（1）曲率為正常數(shù)；（黎曼幾何空間）（2）曲率為負(fù)常數(shù)；（羅氏幾何空間）（3）曲率恒等于零。（歐氏幾何

26、空間）黎曼的新發(fā)現(xiàn)從根本上改變了數(shù)學(xué)家對(duì)幾何的看法。從此以后，幾何學(xué)家研究的空間不再依賴于歐氏空間，我們可以獨(dú)立地討論抽象空間的幾何了（即黎曼幾何）。他的后繼者Christoffel、Ricci、Levi-Civita和Beltrami開(kāi)拓了流形上的微積分和張量分析等研究。不過(guò)對(duì)絕大多數(shù)人而言，這些高維抽象空間要不是枯燥無(wú)味，就是跟大自然風(fēng)馬牛不相及。 ChristoffelRicciBeltrami黎曼幾何黎曼幾何學(xué)與廣義相對(duì)論 真正使黎曼幾何受到重視的是愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論。大致說(shuō)起來(lái)，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論是要把物理幾何化，也就是說(shuō)把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)，因此黎曼幾何就成為物理學(xué)家一定

27、要念的一門數(shù)學(xué)。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因?yàn)槔杪臻g是高維的，所以它的曲率概念就變得相當(dāng)復(fù)雜。在愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的基本公式里，大致說(shuō)起來(lái)，物理的力是一個(gè)曲率；數(shù)學(xué)家講曲率和物理學(xué)家講力、位勢(shì) (potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 在黎曼幾何中，Levi-Civita 平行性是一個(gè)重要的觀念。Levi-Civita 以為在偽黎曼幾何（廣義相對(duì)論里的其中一種，稱為勞倫茲幾何）都有一個(gè)很基本的性質(zhì)，那就是平行性；在這個(gè)時(shí)候，空間不再是只用一個(gè)坐標(biāo)系表示的空間，而是需要很多不同的坐標(biāo)系才能表現(xiàn)的流形(manifold)，這樣又把幾何研究的空間

28、推廣了。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 陳省身常有個(gè)比喻，如果我們把幾何空間的推廣和人類穿衣服的過(guò)程相對(duì)照，那么一開(kāi)始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會(huì)中沒(méi)有穿衣服，是裸體的；然后笛卡兒把坐標(biāo)的概念加入了赤裸的空間，就好比人類開(kāi)始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現(xiàn)代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣奇裝異服式的換坐標(biāo)，但是沒(méi)有關(guān)系，愛(ài)因斯坦花了七年的時(shí)間，才終于接受坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)換的概念，而能從狹義相對(duì)論進(jìn)展到廣義相對(duì)論。聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 空間中有不同的坐標(biāo)系，那么麻煩就來(lái)了，因?yàn)閹缀蔚男再|(zhì)便和坐標(biāo)系的選取有關(guān)了，不過(guò)不要緊，只要我們能控制坐標(biāo)變換的性質(zhì)，使在變換前既有的性質(zhì)

29、，經(jīng)過(guò)變換之后仍為我們所控制，那么換坐標(biāo)就沒(méi)關(guān)系了，這是近代幾何學(xué)比較困難的地方。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 用以表示流形的坐標(biāo)系是任意的，因此可能是非線性的坐標(biāo)，在處理上就變得比較困難;但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說(shuō)，雖然流形本身是非線性的，但在流形上的一點(diǎn)，都有一個(gè)和普通空間一樣的線性空間，即切空間。這些切空間之間原本是沒(méi)有關(guān)系的，而 Levi-Civita 平行性就是要建立二點(diǎn)之間的切空間的關(guān)系；之后，微分幾何學(xué)家發(fā)現(xiàn)，這個(gè)平行性是非?；镜男再|(zhì)。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 又因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué) (topology) 的發(fā)展，我們把這個(gè)觀念推廣了，不一定要談切空間，任意一個(gè)空間都可以。

30、于是就有矢量叢 (vector bundles) 和聯(lián)絡(luò) (connections) 的觀念。也就是說(shuō)流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個(gè)豎起來(lái)的空間，任何的矢量空間都可以。從黎曼幾何推廣到有聯(lián)絡(luò)的矢量叢，這也就是物理上規(guī)范場(chǎng)論 (gauge field) 的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 法國(guó)數(shù)學(xué)家加當(dāng)（E.Cartan 1869-1951）于1923年提出了一般聯(lián)絡(luò)的理論，是纖維叢概念的發(fā)端，加當(dāng)還是利用外微分形式和活動(dòng)標(biāo)形法的首創(chuàng)者。美國(guó)數(shù)學(xué)家莫爾斯（Morse 1892- 1977 ）于1934年創(chuàng)建了大范圍變分學(xué)理論，為微分幾何提供了有效的工具?，F(xiàn)代微分幾何美籍華裔數(shù)學(xué)家陳省身（1911-2005）建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，又是纖維叢概念的創(chuàng)建人之一，對(duì)推進(jìn)整體微分幾何學(xué)的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。國(guó)際上公認(rèn)，陳省身是現(xiàn)代微分幾何的奠基者，加當(dāng)?shù)睦^承人?，F(xiàn)代微分幾何陳省身：“我為我們說(shuō)不清楚它（指現(xiàn)代微分幾何）是什么而高興，我希望它不要象其它數(shù)學(xué)分支那樣被公理化，保持著它把局部和整體相結(jié)合的精神，它在今后