空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算A

1、空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算（A）9.7空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算(B)【教學(xué)目標(biāo)】掌握空間點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo) 運(yùn)算法則、空間中兩點(diǎn)間距離及兩向量的夾角公式的坐標(biāo)、ab,a / b,的坐標(biāo)表示；會求平面的法向量。培養(yǎng)學(xué)生的建系意識，并能用空間向量知 識解決有關(guān)問題?！局R梳理】1.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：rrr r(1)若a (&e2自)力(bQh) , 貝U a b (& ha 4自 b3) ?r ra b (a b,a2 b2,a3r ra b a1bl a2b2 a3b3 ,r ra ba1bl a2b2 a3b3b3)r r a/bra ( a, a2, a3)(R)ab1,a2b2

2、,a34( R),r r3夾角公式：c。相端a1b22b32 .a1bla2b2a3b3222222a2a3b2b34.兩點(diǎn)間的距離公式：若若慶區(qū)八乙)，B(x2,y2Z)UULT則 | AB |UUU 2AB,72 72 2.(X2 Xi) (y2 yi)(Z2 Zi)或dA,B ,(X2 K) (V2 yi) % 4)，【點(diǎn)擊雙基】1若2!= (2x, 1, 3), b= (1, -2y, 9),如 果a與b為共線向量，則A.x=1, y=1B.x=；, y=一；C.x=6, y=-| D.x= y=|解析：. a= (2x, 1, 3)與 b= (1, -2y, 9)共線，故有牛=匕哼

3、y x=1, y=- 3.應(yīng)選 C.答案：C.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P (x, y, z), 下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1 (x, y, z) 點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 P2 (x, -y, -z) 點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的 坐標(biāo)是P3 (x, y, z) 點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱 的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4 (x, y, z)A.3B.2C.1D.0解析：P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Pl (x, y,z),關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)為P2( x,y, z),關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P3 (x, y, z).故 錯(cuò)誤.答案：C.已知向量 a= (1 , 1 , 0), b= ( 1 , 0, 2)

4、, 且ka+b與2ab互相垂直)則k值是A.1BC.jD.5解析：ka+b=k (1 , 1 , 0) + ( 1 , 0, 2) =(k1) k, 2), 2ab=2 (1 , 1 , 0)(1 , 0, 2) = (3, 2, 2):兩向量垂直， .3 (k1) +2k-2X2=0./.k=|.答案：D.已知空間三點(diǎn) A (1, 1, 1)、B ( 1, 0, 4)、C (2, 2, 3),則AB與ca的夾角0的大小 是.解析：ab= (2, -1, 3), CA= (-1, 3, 2),cosab, caJ1萬 3 (2),14 . 14=9=(, CA =120答案：120.已知點(diǎn) A

5、 (1 , 2, 1)、B ( 1, 3, 4)、D (1 ,1 , 1),若對，PB,則|pD |的值是解析：設(shè)點(diǎn)P (x, v，z),則由 ap=2pb,得(x 1, y 2, z 1) =2 ( 1 x, 3 y, 4 z),1x 3,x 12 2x,3. l即 y 2 6 2y,解得 y 8,貝/玩| = )( 1 1)2 (8 1)2 (3 1)2 =4.311333z 1 8 2z,z 3,答案：【典例剖析】例1.773已知Q= (2, 2, 1), aC= (4, 5,3),求平面ABC的單位法向量.解：設(shè)面ABC的法向量n= (x, y, 1)則nLAB且n.?Pnx1、，、,

6、 ， 一乎三聽其nf=01)即單位法向量n0=(2x+2y+1=01 = _4x+5y/31=0)3特別提示一般情況下求法向量用待定系數(shù)法.由于法 向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自 由度，可把n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1,再求另兩個(gè)坐 標(biāo).平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量 的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解.【例2】 在三棱錐SABC中，/ SAB=/ SAC=/ACB=90 ) AC=2, BC=3, SB=，區(qū).(1)求證：SCBC;(2)求SC與AB所成角的余弦值.解法一：如下圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別 為V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有 AC=2, BC=炳，

7、SB=29,得 B (0,折，0)、S (0, 0, 26)、C(2后,京,0)，函=(2后,奈，一 2石),CB= ( 2后，親,0)A/JB yxC(1). SC . CB=0) . SCX BC.(2)設(shè)SC與AB所成的角為*/ AB= (0)后)0), SC - ab=45 |sc| =4而).二cos / =叵)即為所求.17解法二：(1) /SAX面 ABC, ACXBC, A 是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，SCBC.(2)如下圖，過點(diǎn) C作CD/AB,過點(diǎn)/ 作AD / BC交CD于點(diǎn)D ,連結(jié)SD、SC,則/SCD為異面直線SC與AB所成的角.四邊形ABCD 是平行四邊形，C

8、D= SA=2套，SD=sa求 cos BAr,CBr的值； 求證：AiBXCiM.解：依題意得 B (0, 1, 0), N (1, 0, ad2=Ji2 13=5），在ASDC 中）由余弦定 理得cos/ SCD=也，即為所求.17 S特別提示本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩 種證法.題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接 計(jì)算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需 建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但 要選點(diǎn)、平移、作輔助線、解三角形.【例3】如下圖，直棱柱ABCAiBiCi的底面 ABC 中，CA=CB=1, / BCA=90 ,棱AAi=2, M、N分別是AiBi、AiA的

9、中點(diǎn).M1(1)求bn的長;A M1),BN=(1 0)2 (0 1) fE, B (1 0)2 = 3 .解：A1 (1, 0, 2), B (0, 1, 0), C(0, 0, 0), B1 (0, 1 , 2),，而=(1)1)2)函=(0)1)2), 函函=3)麗 | =J6 , | CB； I =套./. COS BA1CB1 =當(dāng)雪=_2 .IBA1IICB1I 10(3)證明：C1 (0, 0, 2), M6，2), A1B= (1, 1, 2), CM = (1, g, 0),.A1b 麗=0,AB_LC1M.深化拓展根據(jù)本題條件，還可以求直線AC1與平面A1ABB1所成的角.

10、(答案是arcsin嚕)【例4】如下圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).D1C1(1)ADXD1F;AB；(2)求AE與D1F所成的角;(3)證明面AED上面A1D1F.解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DDi為x軸、 y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長為 2, 則 A (2, 0, 0)、Ai (2, 0, 2)、Di (0, 0, 2)、 E (2, 2, 1)、F (0, 1 , 0).;DA .#=(2, 0, 0)-(0, 1, 2) =0, /. ADXD1F. AE - dF= (0, 2, 1)-(0, 1 2) 二0,AELD1F,即AE與D1F成90角.; De - D1F= (2, 2, 1)-(0, 1, 2) 二0,/.DEXD1F. /AED1F, /. D1J面 AED. D1F 呈面 A1D1F,，面 AEDL面 A1D1F.思考討論本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜， 而運(yùn)用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代 數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體 幾何復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)去掌握.通過坐標(biāo)法計(jì)算數(shù) 量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點(diǎn).【知識方法總結(jié)】立體幾何中的平行與垂直的