馬爾科夫預(yù)測(cè)的基本概述課件

1、 Market survey & Forecast 市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)(9)制作：陳曉慧武漢理工大學(xué)出版社 2009年4月第1頁(yè)，共68頁(yè)。第九章 馬爾科夫預(yù)測(cè)法第一節(jié) 馬爾科夫預(yù)測(cè)的基本概述第二節(jié) 馬爾科夫預(yù)測(cè)法的程序第三節(jié) 市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)第四節(jié) 期望利潤(rùn)率預(yù)測(cè)第2頁(yè)，共68頁(yè)。馬爾科夫預(yù)測(cè)法 是應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程中的馬爾科夫鏈的理論和方法研究有關(guān)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化規(guī)律及對(duì)未來(lái)預(yù)測(cè)的一種方法。 在市場(chǎng)預(yù)測(cè)中，有很多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象與自然現(xiàn)象中一樣一種特性“無(wú)后效性”。無(wú)后效性 系統(tǒng)在每一時(shí)刻的狀態(tài)僅僅取決于前一時(shí)刻的狀態(tài)，而與其過(guò)去歷史狀態(tài)無(wú)關(guān)。 例如,隨機(jī)過(guò)程中一個(gè)典型“無(wú)后效性”的例子： 池塘里有三張荷葉，我

2、們將它們編號(hào)為1，2，3，有一只青蛙隨機(jī)地在荷葉上跳來(lái)跳去，假設(shè)在初始時(shí)刻t0,它在第二張荷葉上。在時(shí)刻t1，它有可能跳到第一張荷葉或第三張荷葉上，也有可能在原地不動(dòng)。第3頁(yè)，共68頁(yè)。我們將青蛙某個(gè)時(shí)刻所處于荷葉的位置稱為青蛙所處的狀態(tài)。這樣，青蛙在未來(lái)t1時(shí)刻所處于的狀態(tài)，只與它現(xiàn)在時(shí)刻t0有關(guān)，而與t0以前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。 在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，也存在著這種大量的“無(wú)后效性”，因此，馬爾科夫預(yù)測(cè)法是市場(chǎng)預(yù)測(cè)的常用的方法，同時(shí)這種方法被廣泛的應(yīng)用其他的各個(gè)領(lǐng)域。 下面，我們就應(yīng)用馬爾科夫鏈的這種特性來(lái)研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的“無(wú)后效性”的問(wèn)題。第4頁(yè)，共68頁(yè)。一、馬爾科夫鏈定義 是一種隨機(jī)時(shí)間序列，它未

3、來(lái)取值只與現(xiàn)在有關(guān)，而與過(guò)去無(wú)關(guān),即:二、馬爾科夫鏈特點(diǎn) 1.無(wú)后效性； 2.離散性。三、馬爾科夫預(yù)測(cè)法 是根據(jù)對(duì)事件的不同狀態(tài)的初始概率以及狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率，來(lái)確定事件未來(lái)狀態(tài)。四、條件概率(轉(zhuǎn)移概率)定義：在事件B 已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A在給定B下的條件概率，稱為A對(duì)B的條件概率，記為P（A|B）。把P（A）稱為無(wú)條件概率。第一節(jié) 馬爾科夫預(yù)測(cè)的基本概述第一節(jié) 馬爾科的基本概念第5頁(yè)，共68頁(yè)。 盒子里有15件產(chǎn)品，其中次品3件，現(xiàn)作不回放隨機(jī)抽樣，每次取一件。試問(wèn)：第一次取到次品的條件下第二次仍取到次品的概率是多少？ 解：設(shè)第一次取到次品為事件A，第二次取到次品為事件B，則有：第一次

4、取到次品為 P（A）=3/15，P（B|A）=2/14=1/7四、全概率事件 當(dāng)事件A1，A2，A3，構(gòu)成一個(gè)完備事件組則對(duì)任何一個(gè)事件B，有：（1）稱為全概率公式。 特別指出：一般情況下，（1）概率基本概念回顧1第6頁(yè)，共68頁(yè)。第7頁(yè)，共68頁(yè)。五、狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率1、狀態(tài) 在前面的例子里，青蛙所處在的荷葉位置，稱為青蛙所處的狀態(tài)。在市場(chǎng)預(yù)測(cè)中，某一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在某一時(shí)刻t所出現(xiàn)的結(jié)果，則稱之為在t時(shí)刻所處的狀態(tài)。一般情況下，把隨機(jī)系統(tǒng)里的隨機(jī)變量Xt在t時(shí)刻所處的狀態(tài)i表示為：2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 由于狀態(tài)是隨機(jī)的，因此，用概率來(lái)描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可能性的大小，這個(gè)概率稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。 對(duì)于某

5、事件由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到Ej的概率，稱為從i到j(luò)的轉(zhuǎn)移概率。記為：第8頁(yè)，共68頁(yè)。實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用1 某地區(qū)有甲、乙、丙三家食品廠生產(chǎn)同一種食品有1000個(gè)用戶，假定在研究期間無(wú)新用戶加入也無(wú)老用戶退出，只有用戶的轉(zhuǎn)移。已知2006年5月份，甲、乙、丙三廠擁有用戶的份額分別為500、400、100戶。6月份，甲的原用戶中有400戶留在甲，有 50戶轉(zhuǎn)移到乙，50戶轉(zhuǎn)移到丙；乙原400戶中有300戶留在乙，有20戶轉(zhuǎn)移到甲，有80戶轉(zhuǎn)移到丙；在丙廠原100戶中有80戶留在丙，有10戶移到甲，有10 戶移到乙。試計(jì)算各廠的轉(zhuǎn)移概率。第9頁(yè)，共68頁(yè)。甲乙丙50504002080300101080狀態(tài)轉(zhuǎn)移

6、圖解：設(shè)甲、乙、丙原有用戶所處的狀態(tài)為1、2、3。則P11=400/500=0.8，P12=50/500=0.1， P13=50/500=0.1；P21=20/400=0.05，P22=300/400=0.75，P23=80/400=0.2P31=10/100=0.1， P32=10/100=0.1， P33=80/100=0.8。第10頁(yè)，共68頁(yè)。六、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 設(shè)某事件有E1、E2En種狀態(tài)，而且每次只能處于一種狀態(tài)中，則每一個(gè)狀態(tài)都具有n個(gè)轉(zhuǎn)向(含轉(zhuǎn)向本身）。即第i種狀態(tài)Ei可以是EiE1,Ei .E2,Ei En,P(Ei Ej)=P(Ej|Ei)=Pij, 共有n個(gè)轉(zhuǎn)移概率：

7、Pi1，Pi2， Pii， Pin。當(dāng)把Pij作為第i行，則n個(gè)狀態(tài)（j=1，2， ， n）共有n行，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：第11頁(yè)，共68頁(yè)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣描述了事件的變化過(guò)程。（2）是一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，對(duì)于多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，可假定：系統(tǒng)在時(shí)刻t0處于狀態(tài)i，經(jīng)過(guò)N步狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在時(shí)刻tN處于狀態(tài)j，那么，對(duì)這種具有N步轉(zhuǎn)移的概率的數(shù)量描述稱為N步轉(zhuǎn)移概率。（3）（4）第12頁(yè)，共68頁(yè)。第2步轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算可以由一步轉(zhuǎn)移概率求出，即：（5）（5）的意義：系統(tǒng)從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)2步轉(zhuǎn)移到j(luò)的概率等于系統(tǒng)從狀態(tài)i 出發(fā)到狀態(tài)k，其中k=1，2，N，然后再?gòu)臓顟B(tài)k 轉(zhuǎn)移到j(luò)的概率的總和，

8、由此得到：第13頁(yè)，共68頁(yè)。第14頁(yè)，共68頁(yè)。例 設(shè)一步轉(zhuǎn)移矩陣為：解：第15頁(yè)，共68頁(yè)。 某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有三種狀態(tài)E1（暢銷）、E2（一般）、E3（滯銷），系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況如表所示，求系統(tǒng)的二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。表 下步狀態(tài)本步狀態(tài)E1E2E3合計(jì)E12171442E21681236E3108220實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用2第16頁(yè)，共68頁(yè)。第17頁(yè)，共68頁(yè)。第二節(jié) 馬爾科夫預(yù)測(cè)法的程序一、馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)未來(lái)趨勢(shì)的步驟 馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)法通常是通過(guò)現(xiàn)在所處的狀態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)下一期可能出現(xiàn)的狀態(tài)。其步驟如下：第一步，劃分預(yù)測(cè)對(duì)象所出現(xiàn)的狀態(tài)。第二步，計(jì)算初始概率。 在收集到的資料中，分析歷史數(shù)據(jù)而得到的狀態(tài)

9、概率就是初始概率。 當(dāng)有n個(gè)狀態(tài)E1，E2，En，觀察了m個(gè)時(shí)期第18頁(yè)，共68頁(yè)。（6）其中狀態(tài)Ei(i=1,2, ,n)共出現(xiàn)了mi次則有：（6）的經(jīng)濟(jì)含義是Ei出現(xiàn)的頻率，用fi 近似表示為（i=1,2, , n） (7)第三步， 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率（用頻率近似表示概率） 首先計(jì)算狀態(tài) 由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej） 的概率： 。再由第二步可得：（8）（9）第19頁(yè)，共68頁(yè)。第四步， 根據(jù)初始狀態(tài)及轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行預(yù)測(cè)。 由第三步，可得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣Pij。 當(dāng)預(yù)測(cè)對(duì)象處于狀態(tài)Ei時(shí)，Pij表示目前狀態(tài)Ei在未來(lái)轉(zhuǎn)向狀態(tài)Ej(j=1,2,n)的可能性。按最大可能性作為選擇的結(jié)果，即選擇（P

10、i1,Pi2,Pin）中最大者作為預(yù)測(cè)的結(jié)果。第20頁(yè)，共68頁(yè)。月1234567891011121314151617181920銷售量404580120110384050629011013014012055704580110120實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用表7-3 某商店在最近20個(gè)月的商品銷售量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表，試預(yù)測(cè)第21個(gè)月的商品銷售量的狀態(tài)。第21頁(yè)，共68頁(yè)。解：第一步，劃分狀態(tài)。以月銷售量為標(biāo)準(zhǔn)： （1）銷售量0；虧損0。則P和R構(gòu)成一個(gè)有利潤(rùn)的馬爾科夫鏈， 若已知銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和利潤(rùn)矩陣，就可對(duì)未來(lái)的利潤(rùn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。 經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移，求期望利潤(rùn)的公式如下：（1）i=1,2,(i=1表示商品處于暢銷

11、狀態(tài)，i=2表示商品處于滯銷狀態(tài))。L的上角（1）經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移，L期望利潤(rùn)。第37頁(yè)，共68頁(yè)。二步轉(zhuǎn)移后的期望利潤(rùn)公式如下：（2）依次類推，經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后的期望利潤(rùn)公式如為：（3）注意：N為自然數(shù)，當(dāng)n=1時(shí)， 當(dāng)前期望利潤(rùn)。并且規(guī)定 。第38頁(yè)，共68頁(yè)。 經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查某商品銷路變化狀態(tài)由暢銷 滯銷、滯銷暢銷、連續(xù)暢銷和連續(xù)滯銷等四種狀態(tài)轉(zhuǎn)移表及其利潤(rùn)表見(jiàn)表(a)和表(b)所示：頻率f 狀態(tài)狀態(tài)暢銷1滯銷21 暢銷0.50.52 滯銷0.40.6利潤(rùn)R 狀態(tài)狀態(tài)暢銷1滯銷21 暢銷512 滯銷1-1表(a) 表(b) （百萬(wàn)元） 應(yīng)用馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)期望利潤(rùn)第39頁(yè)，共68頁(yè)。（1）由表(a)

12、可知：產(chǎn)品連續(xù)暢銷的概率為50%，由暢銷滯銷也為：50%，由滯銷暢銷的概率為40%，連續(xù)滯銷的概率為60%。（2）由表(b)可知：連續(xù)暢銷能獲利500萬(wàn)元；由暢銷滯銷或由滯銷暢銷均能獲利100萬(wàn)元；連續(xù)滯銷要虧損100萬(wàn)元。預(yù)測(cè)：若當(dāng)月處于暢銷、滯銷時(shí)，下一個(gè)月的期望利潤(rùn)各為多少？第40頁(yè)，共68頁(yè)。解：由表(a)和表(b)可得銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣和利潤(rùn)矩陣分別為：由公式（10）、（11）得：暢 滯暢滯暢 滯暢滯第41頁(yè)，共68頁(yè)。即當(dāng)本月處于暢銷時(shí)，下一個(gè)月期望獲利潤(rùn)300萬(wàn)元。當(dāng)n=2時(shí)，由公式（12）得： 即本月處于暢銷狀態(tài)時(shí)，則下一個(gè)的期望利潤(rùn)為440萬(wàn)元。當(dāng)處于滯銷時(shí)，則下個(gè)月的期望利

13、潤(rùn)為88萬(wàn)元。第42頁(yè)，共68頁(yè)。案例 某地區(qū)市場(chǎng)上主要銷售A、B、C三種品牌的牙膏，每月三種品牌的銷售總量通常保持在2萬(wàn)支左右。其中5月份A、B、C三種品牌牙膏的銷售量分別為8500、6500、5000支，假定5月份在該地區(qū)幾個(gè)大型商場(chǎng)，對(duì)購(gòu)買這三種品牌牙膏的500名顧客進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，調(diào)查結(jié)果是：在購(gòu)買A品牌牙膏的200名顧客中，打算6月份仍購(gòu)買A品牌的有140人，轉(zhuǎn)購(gòu)B品牌的有40人，轉(zhuǎn)購(gòu)C品牌的有20人；在購(gòu)買B品牌牙膏的150名顧客中，打算6月份仍購(gòu)買B品牌的有100人，轉(zhuǎn)購(gòu)A品牌的有30人，轉(zhuǎn)購(gòu)C品牌的有20人；在購(gòu)買C品牌牙膏的150名顧客中，打算6月份仍購(gòu)買B品牌的有120人，轉(zhuǎn)

14、購(gòu)A品牌的有15人，轉(zhuǎn)購(gòu)B品牌的有15人。第43頁(yè)，共68頁(yè)。若以后各月顧客在這三個(gè)品牌之間的保留率、轉(zhuǎn)出率和轉(zhuǎn)入率與此相同，且估計(jì)今后一段時(shí)間這三種品牌牙膏都不會(huì)退出該市場(chǎng)，也沒(méi)有新品牌牙膏在此市場(chǎng)銷售。要求預(yù)測(cè)：（1）6、7月份各月三品牌牙膏的市場(chǎng)占有率和銷售量；（2）達(dá)到市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)均衡狀態(tài)的三種品牌牙膏的市場(chǎng)占有率和銷售量。第44頁(yè)，共68頁(yè)。分析：1、首先應(yīng)劃分狀態(tài)和計(jì)算初始狀態(tài)概率。由于該地區(qū)牙膏市場(chǎng)主要三個(gè)品牌的產(chǎn)品占領(lǐng)，因此有三種狀態(tài)存在。設(shè)狀態(tài)1為購(gòu)買A品牌牙膏，狀態(tài)2為購(gòu)買B品牌牙膏，狀態(tài)3為購(gòu)買C品牌牙膏。 5月份各品牌的市場(chǎng)占有率為初始狀態(tài)概率，且2、確定一步轉(zhuǎn)移概率P11

15、=140/200=0.7, P12=40/200=0.2, P13=20/200=0.1P21=30/150=0.2, P12=100/150=0.67, P13=20/150=0.13P31=15/150=0.1, P32=15/150=0.2, P33=120/150=0.8第45頁(yè)，共68頁(yè)。 矩陣中，每一行元素表示各品牌牙膏顧客的保留率和轉(zhuǎn)出綠；沒(méi)一列元素表示各品牌牙膏顧客的保留率和轉(zhuǎn)入率。第46頁(yè)，共68頁(yè)。3、利用馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)6月份三種品牌牙膏的市場(chǎng)占有率（k=1）第47頁(yè)，共68頁(yè)。即A、B、C三種品牌6月份的市場(chǎng)的市場(chǎng)占有率分別為38.75%、32.78%和2

16、8.4%；7月份的市場(chǎng)占有率分別為36.53%、32.56%和30.91%；相應(yīng)地，6、7月份各品牌牙膏銷售量預(yù)測(cè)值為： 6月份 A：2000038.75%=7750(支) B：2000032.78%=6556(支) C：2000028.47%=5694(支) 7月份 A：2000036.53%=7386(支) B：2000032.56%=6512(支) C：2000030.91%=6182(支)第48頁(yè)，共68頁(yè)。4、求穩(wěn)定狀態(tài)下的各品牌牙膏的市場(chǎng)占有率 由上計(jì)算可以看出，隨著時(shí)間的推移，A、B品牌牙膏的市場(chǎng)占有率趨于下降，C品牌的市場(chǎng)占有率趨于上升態(tài)勢(shì)。由于顧客在各種品牌之間不斷轉(zhuǎn)入、轉(zhuǎn)出

17、，經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間后，各品牌市場(chǎng)占有率將趨于穩(wěn)定。各品牌穩(wěn)定狀態(tài)的市場(chǎng)占有率為：XP=X,即： 0.7x1+0.2x2+0.1x3=x1 0.2x1+0.67x2+0.13x3=x2 0.1x1+0.1x2+0.8x3=x1解之得x1=32.72%, x2=30.86%, x3=36.42%第49頁(yè)，共68頁(yè)。習(xí)題課3習(xí)題課3第50頁(yè)，共68頁(yè)。補(bǔ)充題、有三家企業(yè)A、B、C，由于產(chǎn)品質(zhì)量、服務(wù)質(zhì)量、價(jià)格、促銷、分銷等原因，訂購(gòu)戶的變化如下：4月份：A家200戶，B家500戶，C家300戶。5月份： A家保留160戶，而從B轉(zhuǎn)入20戶，從C轉(zhuǎn)入20戶；B家保留450戶，而從A轉(zhuǎn)入30戶，從C轉(zhuǎn)入20

18、戶，C家保留255戶，而從A轉(zhuǎn)入20戶，從B轉(zhuǎn)入15戶。試求其轉(zhuǎn)移矩陣。ABC302016020154502020255 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖解：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為第51頁(yè)，共68頁(yè)。1、列舉經(jīng)濟(jì)生活中，可以用馬爾可夫鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)的例子。 經(jīng)濟(jì)生活中可用馬爾可夫鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)的例子很多。例如，還照相機(jī)只與現(xiàn)在租照相機(jī)的地址有關(guān)，而與下次租相機(jī)的地址無(wú)關(guān)。第52頁(yè)，共68頁(yè)。2、對(duì)于競(jìng)爭(zhēng)激烈，經(jīng)常有企業(yè)加入或退出的產(chǎn)品，是否能用馬爾科夫預(yù)測(cè)嗎？為什么？ 不能。由于經(jīng)常有企業(yè)加入或退出的產(chǎn)品，這樣一來(lái)使得系統(tǒng)不穩(wěn)定，就不能應(yīng)用馬爾科夫鏈了。第53頁(yè)，共68頁(yè)。3、如果不同品牌之間，消費(fèi)者的流動(dòng)缺乏規(guī)律性，適合用馬爾可

19、夫預(yù)測(cè)法進(jìn)行預(yù)測(cè)嗎？不能。由于沒(méi)有規(guī)律，就得不出狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率，也就無(wú)法進(jìn)行預(yù)測(cè)。第54頁(yè)，共68頁(yè)。4、 某商品5年來(lái)銷售只有兩種表現(xiàn)：暢銷和滯銷。每個(gè)季節(jié)的表現(xiàn)如表5-5所示，試求市場(chǎng)的一步轉(zhuǎn)移概率。季度1234567891011121314151617181920狀態(tài)暢滯暢暢滯暢滯滯暢滯暢暢暢滯暢滯滯暢暢暢 表5-5解：一步轉(zhuǎn)移矩陣為：第55頁(yè)，共68頁(yè)。5、A、B、C、D四廠生產(chǎn)的電冰箱同時(shí)在某市銷售，由于質(zhì)量、價(jià)格、售后服務(wù)等因素的影響，每個(gè)月的訂貨數(shù)量都有所變化，現(xiàn)要求根據(jù)2、3月份的變化情況見(jiàn)表，試分析預(yù)測(cè)本年后3個(gè)月的電冰箱訂貨市場(chǎng)占有率情況。（假設(shè)某市每個(gè)月對(duì)電冰箱的需求量基本保持不變。）表 A、B、C、D廠2、3月份電冰箱訂貨數(shù)量變動(dòng)表 廠家ABCD2月份擁有訂貨數(shù)量5004506007003月份失去原訂貨數(shù)量5090120703月份保留原訂貨數(shù)量450360480630訂貨數(shù)量保留率90%80%80%90%第56頁(yè)，共68頁(yè)。廠家ABCD二月份訂貨數(shù)量A450152015500B103604040450C206048040600D102040630700三月份訂貨數(shù)量4904555807252250表 A、B、C、D廠3月份電冰箱訂貨數(shù)量轉(zhuǎn)移表第57頁(yè)，共68頁(yè)。5、解： （方