高等數(shù)學(xué)第六章定積分的應(yīng)用習(xí)題課課件

1、第六章 定積分應(yīng)用習(xí)題課一、定積分應(yīng)用的類型1幾何應(yīng)用 平面圖形的面積特殊立體的體積平面曲線弧長旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知立體的體積2物理應(yīng)用 變力作功水壓力引力二、構(gòu)造微元的基本思想及解題步驟1. 構(gòu)造微元的基本思想無論是幾何應(yīng)用還是物理應(yīng)用通常采用元素法。元素法的實(shí)質(zhì)是局部上“以直代曲”、“以不變代變”、“以均勻變化代不均勻變化”的方法，其“代替”的原則必須是無窮小量之間的代替。將局部 上所對(duì)應(yīng)的這些微元無限積累，通過取極限，把所求的量表示成定積分 2. 在求解定積分應(yīng)用問題時(shí)，主要有四個(gè)步驟： 選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；三、典型例題1. 幾何應(yīng)用 定積分的幾何應(yīng)用包括求平面圖形的面積、特殊立

2、體的體積和平面曲線的弧長。解決這些問題的關(guān)鍵是確定面積元素、體積元素和弧長元素。在 上求出微元解析式把所求的量表示成定積分 確定積分變量和變化范圍 ；【例1】求由 所圍成圖形的面積。 分析：在直角坐標(biāo)系下,由給定曲線所圍成的幾何圖形如圖所示。 如果取 為積分變量, 則 設(shè)區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積為 則面積元素 就是在 上以“以直代曲”所形成的矩形面積。解：(1) 確定積分變量和積分區(qū)間：的交點(diǎn)為 和 ,取 為積分變量, 則由于曲線 和（2）求微元：任取 如果將圖形上方直線的縱坐標(biāo)記為 ,將圖形下方拋物線的縱坐標(biāo)記為 ,那么， 就是區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的矩形的面積。因此（3） 求定積分：所求的幾何圖形

3、的面積表示為計(jì)算上面的積分得： 分析：在直角坐標(biāo)系下，由給定曲線所圍成的面積如圖 【例2】* 求位于曲線 下方，該曲線過原點(diǎn)的切線 的左方以及 軸上方之間的圖形的面積。 所示。如果取 為積分變量，則 設(shè)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形就是在 上“以直代曲”所形成的矩形面積。 面積為 則面積元素考慮到當(dāng) 和 時(shí)上所對(duì)應(yīng)曲邊梯形不同，所以，相對(duì)應(yīng)矩形面積的表達(dá)式也不同，因此微元 應(yīng)該分別去求. 解：（1）確定積分變量和積分區(qū)間：設(shè)切點(diǎn) 的坐標(biāo)為 則過原點(diǎn)且與 相切的切線方程為： 由 得 的坐標(biāo)為 .故得到切線方程為 . 所以選取 為積分變量, .（2）求微元：任取 ,則當(dāng)時(shí),那么面積元素 就是區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的矩

4、形的面積，（3）求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為：解上面的積分得：即 當(dāng) 時(shí),那么面積元素 就是區(qū)間所當(dāng)對(duì)應(yīng)的矩形的面積，即 【例3】求由擺線 , 的一拱與 軸所圍成圖形的面積.分析：曲線的方程為參數(shù)方程，圍成圖形如圖所示，設(shè)區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積為 則面積元素 就是在 上“以直代曲” 所形成的矩形面積。 如果取 為積分變量,則 .解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：選取 為積分變量，(2) 求微元： , ,那么面積元素 就是區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的矩形的面積，即 . (3) 求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為：【例4】求曲線 圍成的圖形的面積. 分析：在極坐標(biāo)系下，由給定曲線所圍成的面

5、積如圖所示。所對(duì)應(yīng)的曲邊扇形的面積為 所求圖形的面積 則面積元素 就是用區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的扇形面積代替曲邊扇形的面積 面積因?yàn)榍€關(guān)于 軸對(duì)稱，所以只須考慮第一象限中的情況.取 為積分變量,則 設(shè)區(qū)間解：(1) 確定積分變量和積分區(qū)間:取 為積分變量， (2) 求微元：任取 則面積元素 就是區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的扇形面積,(3) 求定積分： 第一象限圖形的面積表示為則所求的幾何面積為 【例5】設(shè)由曲線 ， 及 圍成平面圖形 繞 軸, 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：此題為求解旋轉(zhuǎn)體體積的問題，繞 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，取 為積分變量; 繞 軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 取 為積分變量。設(shè)區(qū)間對(duì) 或?qū)?所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形為 是以直代曲所

6、形成的矩形為 則繞 軸、 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋 轉(zhuǎn)體的體積微元 就是矩形 分別繞 軸、 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積.解: (一) 求 繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 （1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖,旋轉(zhuǎn)體體積元素 是 對(duì)應(yīng)的矩形繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，即 （2）求微元：對(duì)取 為積分變量,則（3）求定積分：繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為計(jì)算積分得：（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖, 取 為積分變量, 則(二) 求繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積（2）求微元：對(duì)旋轉(zhuǎn)體的體積元素 是 對(duì)應(yīng)的矩形繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體體積, 即（3）求定積分：繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為 計(jì)算積分得:通過例5，

7、同樣可求出繞平行于 軸和平行于 軸的直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，見例6。對(duì) 設(shè)區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形為 旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 【例6】設(shè)由曲線 及 圍成平面圖形 試求平面圖形 繞直線 旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。的旋轉(zhuǎn)體的體積微元 就是矩形 分別繞直線 分析：此題為求解旋轉(zhuǎn)體體積的問題，因?yàn)橹本€ 以直代曲所形成的矩形為 則繞直線 旋轉(zhuǎn)而成平行于 軸, 所以繞直線 旋轉(zhuǎn)時(shí), 取 積分變量。解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：(2) 求微元：對(duì) 軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，即 取 為積分變量,則繞直線 旋轉(zhuǎn)如圖 ，旋轉(zhuǎn)體的體積元素 是 對(duì)應(yīng)的矩形繞 計(jì)算積分得：(3) 求定積分：繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體

8、的體積表示為 【例7】 計(jì)算底面是半徑為2 的圓，而垂直于底面上一條固定 直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。分析：此題為平行截面面積為已知的立體的體積。若選擇 積分變量為 , 如果能求出平面 所截立體的截面面積 那么， 所對(duì)應(yīng)的體積元素為 . 建立如圖所示的坐標(biāo)系，解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：則底圓方程為 取 為積分變量, 所以 （2）求微元：因?yàn)檫^點(diǎn) 的截面為等邊三角形（如圖）， 其邊長為 高為 所以截面積為 因此, 對(duì) 所對(duì)應(yīng)的體積元素為 （3） 求定積分：所求立體的體積為【例8】計(jì)算半立方拋物線了 被拋物線 截得的一段弧的長度。分析：所給定的曲線弧如圖所示。 對(duì) 把區(qū)間

9、 上 所對(duì)應(yīng)的曲線段長 用切線段長 代替，則得到弧長的微元 的解析式.取積分變量為 則取 為積分變量,則解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：計(jì)算兩曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)得(2) 求微元： 區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲線段長 用切線段長 來代替,得弧長元素由于從而 (3) 求定積分：所求的曲線弧長可表示成定積分計(jì)算得【例9】求星形線 的全長.分析：曲線為參數(shù)方程，由于星形線關(guān)于 軸都對(duì)稱所以只須考慮第一象限中的情況。取參數(shù) 為積分變量， 對(duì) 把區(qū)間 上所對(duì)應(yīng)的曲線段長 用切線段長 代替,則得到曲線弧長的微元 的解析式。 解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間:取參數(shù) 為積分變量, (2) 求微元： 把區(qū)間 上所對(duì)

10、應(yīng)的曲線弧長用切線段長 代替, 得弧長元微元 (3) 求定積分：所求的曲線弧長可表示成定積分計(jì)算得則所求曲線弧長為 注：若曲線用極坐標(biāo)的形式表出，也可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)來做，但積分時(shí)要注意積分上下限的確定。 以上例1-9給出了定積分在求幾何圖形面積，旋轉(zhuǎn)體體積，截面面積為已知的立體的體積和曲線弧長方面的應(yīng)用。下面的例10給出了定積分的綜合應(yīng)用?！纠?0】* 設(shè)曲線 與 交于點(diǎn)過坐標(biāo)原點(diǎn) 和點(diǎn) 的直線與曲線 圍成一平面圖形， 問 為何值時(shí), 該圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積最大？最大體積是多少？分析：此題為定積分應(yīng)用的最值問題，首先應(yīng)先求出交點(diǎn) 的方程與曲線 圍成一平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得

11、到的旋轉(zhuǎn)體的體積可看成直線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積減去曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積, 見圖, 最后求駐點(diǎn)，即可得 .解：求交點(diǎn)： ,的坐標(biāo)，確定 的范圍, 然后求出直線 的方程, 直線解得直線 方程為直線 與曲線 圍成一平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為令 得 為唯一駐點(diǎn).所以，當(dāng) 時(shí)旋轉(zhuǎn)體的體積最大2. 物理應(yīng)用 定積分的物理應(yīng)用包括作功、水壓力和引力等問題。本節(jié)僅給出作功、水壓力和引力問題的例子。重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。特別指出的是，在應(yīng)用定積分解決物理應(yīng)用方面的問題時(shí)，選取合適的坐標(biāo)系，有利于積分式的簡(jiǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)單?！纠?

12、1】 將半徑為 的半球形水池內(nèi)注滿水,若將滿池水 全部抽出，需作多少功？分析：吸水作功是水的重力在作功問題，此問題可理解成將水一層一層吸出的。取坐標(biāo)原點(diǎn)在水平面， 軸鉛直向下如果設(shè) 所對(duì)應(yīng)的薄層的體積為 那么在 上以直代曲，便得體積元素 從而得到重力作功的功元素 解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：建立如圖所示的坐標(biāo)系.則半圓的方程為 取 為積分變量, 則(2) 求微元: 對(duì) 把區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的薄層的體積用圓柱體體積代替,得到 由于將這一薄層水吸出是這一薄層水的重力在作功，設(shè)水的比重為 所以功的元素為(3) 求定積分：將滿池水全部抽出所作的功為【例12】一底為8厘米，高為6厘米的等腰三角形片，

13、鉛直沉 入水中，頂在上，底在下，底與水平面平行，頂距水面3厘 米，求每面所受的壓力。分析：由于水壓力等于受力面積乘以壓強(qiáng)。如果取如圖所示的坐標(biāo)系，壓力可理解水深 處的壓強(qiáng)乘上受力面積. 的矩形面積 代替, 所以水壓力元素為對(duì)應(yīng)的受力面積 可用相應(yīng)那么 在 窄條所受的水解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則直線 的方程為 取 為積分變量，則 (2) 求微元： 且 窄條上所受的壓強(qiáng)為 窄條 的面積 用對(duì)應(yīng)矩形的面積 近似代替, 得到所以的水壓力元素為(3) 求定積分：每面所受的壓力為 【例13】* 有一半徑為 得均勻半圓弧，質(zhì)量為 求它對(duì) 位于圓心處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力。分析：圓弧對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力可采用元素