全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題獲獎?wù)撐膬τ凸薜淖兾蛔R別與罐容表標(biāo)定

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?江西師范大學(xué) 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 洪 情 2. 楊玉花 3. 袁定歡 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 教練組 日期： 2010 年 9 月 12 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）摘要本文通過對儲油罐中油位高度及變位參數(shù)之間的不同情形的儲油量進(jìn)行分析并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，在該

3、過程中先利用投影法、截面法及微元法得出儲油量與油位高度及變位參數(shù)的函數(shù)關(guān)系。再由Matlab編程可知各高度儲油量的理論數(shù)據(jù)，最后分析誤差及評價模型的合理性。對于問題一的任一種情形，我們均建立笛卡爾坐標(biāo)系，當(dāng)儲油罐無變位時，利用微元法得到體積關(guān)于的公式，當(dāng)儲油罐發(fā)生變位時，根據(jù)儲油罐中油量的多少分成三種情形，就每一類利用微元法得到體積關(guān)于的公式。代人附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的高度得到儲油罐中的理論油量。根據(jù)理論油量及實(shí)際油量得出誤差，判斷誤差所服從的分布，再利用相對誤差進(jìn)行誤差分析并評價模型的合理性。由上述得到儲油罐發(fā)生變位時體積關(guān)于的公式我們給出了罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值（即進(jìn)/出

4、油量與罐內(nèi)油位高度的表格）。對于問題二中的儲油罐，我們先將問題進(jìn)行簡化考慮，得出了儲油罐水平臥放時油量與浮油子高度的函數(shù)關(guān)系；再考慮儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）的一般情況，在該過程中，我們進(jìn)行近似處理，利用投影法和截面法得出了儲油量關(guān)于油位高度及變位參數(shù)的函數(shù)關(guān)系；并在固定的橫向偏轉(zhuǎn)角度條件下，就縱向傾斜角度的變化進(jìn)行分成三類討論，這三類又可以分成八種情形，得到了每一種情形下實(shí)際儲油罐罐內(nèi)儲油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系。在模型的改進(jìn)中，我們就問題二儲油量與油位高度及變位參數(shù)的一般情況進(jìn)行了仔細(xì)的考慮，將含油部分的體積分成四個部分，每一個部分將上述所提到的積分方法相結(jié)合，

5、得到了各個部分的儲油量與油位高度及變位參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，從而可得總儲油量與油位高度及變位參數(shù)的函數(shù)關(guān)系；并據(jù)此利用Matlab編程和實(shí)際測量的數(shù)據(jù)求得和值；與此同時我們可以得出在固定、值時各高度下的理論儲油量；根據(jù)理論油量及實(shí)際油量得出誤差，判斷誤差所服從的分布再利用相對誤差進(jìn)行誤差分析并評價模型的合理性。由上述得到儲油罐發(fā)生變位時體積關(guān)于的公式我們給出了罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。【關(guān)鍵詞】投影法 截面法 微元法 Matlab編程1問題重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等

6、數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。請你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm

7、的罐容表標(biāo)定值。（2）對于圖1所示的實(shí)際儲油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。（以上涉及的圖14均在附錄中）2模型的假設(shè)與符號的約定2.1模型的假設(shè)與說明（1）在儲油罐傾斜的情況下，忽略油浮子高度為0時油所占的體積；（2）在儲油罐傾斜的情況下，假設(shè)當(dāng)油浮子高度達(dá)到最大后不再進(jìn)油；（3）油的

8、揮發(fā)速度很慢，忽略因油的揮發(fā)而造成儲油量的減少；（4）儲油罐的材料為鋼體，忽略因滲出油而造成儲油量的減少；（5）儲油罐管理妥當(dāng)，不會因特殊情況而造成儲油量的變化。2.2符號的約定與說明3問題的分析3.1問題一的分析當(dāng)儲油罐無變位時，儲油罐圓柱體的接地一端為原點(diǎn)，以圓柱體高方向?yàn)檩S，建立笛卡爾坐標(biāo)系，利用微元法得到體積關(guān)于的公式，代人附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的高度得到儲油罐中的理論油量。利用附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中得到儲油罐中的實(shí)際油量，根據(jù)理論油量及實(shí)際油量就可以得出誤差，判斷誤差所服從的分布，利用相對誤差進(jìn)行誤差分析。當(dāng)儲油罐發(fā)生變位時，以儲油罐圓柱體的接地一端為原點(diǎn)，圓柱體高方向?yàn)檩S，建立笛卡爾坐標(biāo)系。根

9、據(jù)儲油罐中油量的多少分成三類，然后就每一類利用微元法得到體積關(guān)于的公式，代人附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的高度得到儲油罐中的理論油量。利用附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中得到儲油罐中的實(shí)際油量，根據(jù)理論油量及實(shí)際油量就可以得出誤差，判斷誤差所服從的分布，利用相對誤差進(jìn)行誤差分析。由上述得到儲油罐發(fā)生變位時體積關(guān)于的公式可以給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值（即進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度的表格）。3.2問題二的分析對于實(shí)際儲油罐，我們首先將問題進(jìn)行簡化考慮，得出了當(dāng)實(shí)際儲油罐水平臥放時實(shí)際儲油罐中油量與浮油子高度的函數(shù)關(guān)系；然后我們先考慮實(shí)際儲油罐罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）的一

10、般情況，在該過程中，我們進(jìn)行近似處理，利用投影法和截面法得出了儲油量關(guān)于油位高度及變位參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，再在固定的橫向偏轉(zhuǎn)角度條件下，就縱向傾斜角度的變化進(jìn)行分類討論，一共有三種情形，得到了每一種情形下實(shí)際儲油罐罐內(nèi)儲油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系。最后我們先利用附件2中的少量實(shí)際數(shù)據(jù)得出了附件2所處狀態(tài)下的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度，再利用附件2中給定各高度進(jìn)行代人，得到實(shí)際儲油罐理論的儲油量，與實(shí)際儲油量進(jìn)行比較，求出誤差及相對誤差。由上述得到儲油罐發(fā)生變位時體積關(guān)于的公式可以給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值（即進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度的表格）。4模型的建立與求解4.1問題一4.

11、1.1模型一當(dāng)儲油罐體無變位時，儲油罐圓柱體的接地一端為原點(diǎn)，以圓柱體高方向?yàn)檩S，建立笛卡爾坐標(biāo)系，如圖4-1所示，在高度為時，利用微元法過垂直軸的方向做截面，對關(guān)于進(jìn)行積分，得到體積關(guān)于的公式。圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 1利用Matlab中的命令subs代人附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的各高度得到儲油罐中的理論油量。由附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中進(jìn)油量、出油量及儲油罐罐內(nèi)油量初值可以得到儲油罐中的實(shí)際儲油量，根據(jù)理論油量及實(shí)際油量就可以得出誤差。由附錄中的程序youliang1，我們得到了理論儲油量，誤差及相對誤差。進(jìn)油后理論儲油量與實(shí)際儲油量隨高度的變化規(guī)律如圖4-2所示：圖4- SEQ 圖4-

12、* ARABIC 2出油后理論儲油量與實(shí)際儲油量隨高度的變化規(guī)律如圖4-3所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 3無變位進(jìn)油和無變位出油的儲油理論量和儲油實(shí)際量及誤差和相對誤差的數(shù)據(jù)如表4-1所示：表4- SEQ 表4- * ARABIC 1無變位進(jìn)油無變位出油儲油量實(shí)際值儲油量理論值(誤差)相對誤差儲油量實(shí)際值儲油量理論值(誤差)相對誤差312322.910.883.37%3916.24052.8136.613.37%362374.612.633.37%3866.24001.0134.863.37%412426.414.363.37%3816.23949.3133.133.37%4

13、62478.116.133.37%3766.23897.6131.383.37%512529.917.853.37%3716.23845.8129.653.37%562581.619.613.37%3666.23794.1127.883.37%612633.421.353.37%3616.23742.3126.163.37%662685.123.083.37%3566.23690.6124.393.37%712736.824.853.37%3516.23638.8122.653.37%762788.626.583.37%3466.23587.1120.923.37%812840.328.333

14、.37%3416.23535.4119.173.37%862892.130.063.37%3366.23483.6117.433.37%912943.831.803.37%3316.23431.9115.703.37%962995.533.543.37%3266.23380.1113.943.37%10121047.335.303.37%3216.23328.4112.183.37%10621099.137.053.37%3166.23276.6110.453.37%11121150.838.813.37%3116.23224.9108.703.37%11621202.640.553.37%3

15、066.23173.2106.963.37%12121254.342.293.37%3016.23121.4105.223.37%12621306.044.033.37%2966.23069.7103.463.37%13121357.845.773.37%2916.23017.9101.733.37%13621409.547.493.37%2866.22966.2100.003.37%14121461.249.243.37%2816.22914.498.233.37%14621513.050.983.37%2766.22862.796.503.37%15121564.752.743.37%27

16、16.22811.094.763.37%15621616.554.493.37%2666.22759.293.023.37%16121668.256.243.37%2616.22707.591.263.37%16621720.057.983.37%2566.22655.789.513.37%17121771.759.733.37%2516.22603.987.763.37%17621823.561.463.37%2466.22552.286.033.37%18121875.263.193.37%2416.22500.584.303.37%18621927.064.953.37%2366.224

17、48.782.533.37%19121978.766.683.37%2316.22397.080.803.37%19622030.468.433.37%2266.22345.379.073.37%20122082.270.203.37%2216.22293.577.323.37%20622134.071.953.37%2166.22241.775.553.37%21122185.773.673.37%2116.22190.073.843.37%21622237.475.433.37%2066.22138.372.083.37%22122289.277.163.37%2016.22086.570

18、.323.37%22622340.978.893.37%1966.22034.868.603.37%23122392.780.673.37%1916.21983.066.853.37%2315.82396.680.783.37%1866.21931.365.123.37%2365.82448.482.543.37%1816.21879.563.353.37%2367.12449.682.563.37%1766.21827.861.613.37%2417.12501.484.343.37%1716.21776.159.883.37%2467.12553.186.053.37%1666.21724

19、.358.123.37%2517.12604.987.823.37%1616.21672.656.373.37%2567.12656.689.533.37%1566.21620.854.643.37%2617.12708.391.283.37%1516.21569.152.873.37%26672760.093.033.37%1466.21517.351.143.37%2668.82761.993.113.37%1416.21465.649.423.37%2718.82813.794.833.37%1366.21413.847.653.37%2768.82865.496.593.37%1316

20、.21362.145.913.37%2818.82917.298.343.37%1266.21310.444.183.37%2868.82968.9100.093.37%1216.21258.642.423.37%2918.83020.7101.843.37%1166.21206.940.683.37%2968.83072.4103.583.37%1116.21155.138.943.37%3018.83124.1105.313.37%1066.21103.437.193.37%3068.83175.9107.063.37%1016.21051.635.433.37%3118.83227.61

21、08.803.37%966.2999.933.713.37%3168.83279.4110.553.37%916.2948.231.963.37%3168.93279.5110.553.37%866.2896.430.203.37%3218.93331.2112.273.37%816.2844.628.453.37%3268.93382.9114.033.37%766.2792.926.713.37%3318.93434.7115.763.37%716.2741.224.993.37%3368.93486.4117.523.37%666.2689.423.253.37%3418.93538.2

22、119.263.37%616.2637.721.513.37%3468.93589.9121.013.37%566.2585.919.743.37%3518.93641.7122.763.37%516.2534.218.023.37%3568.93693.4124.513.37%466.2482.516.283.37%3618.93745.1126.233.37%416.2430.714.503.37%3668.93796.9127.983.37%366.2379.012.773.37%3718.93848.6129.743.37%316.2327.211.023.37%3768.93900.

23、4131.483.37%266.2275.59.283.37%3818.93952.1133.233.37%3868.94003.9134.953.37%3918.94055.6136.703.37%3968.94107.4138.453.37%由上述的表格可以得出相對誤差穩(wěn)定，不會隨高度發(fā)生變化。當(dāng)儲油罐體發(fā)生變位時，我們就油面及油浮子的位置與傾斜角度的變化情況分成將該問題三類，然后就每一類進(jìn)行分析，找出了儲油罐中油的體積與油浮子位置的函數(shù)關(guān)系，其立體圖如圖4-4所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 4（1）當(dāng)油浮子的高度在時，如圖4-5所示，截面圖如圖4-6所示圖4- SEQ 圖

24、4- * ARABIC 5圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 6截面圖截面面積為：所以油罐體積為：（1.1）將代入公式（1.1），則公式（1.1）（2）當(dāng)油浮子的高度在，如圖4-7所示， 圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 7截面面積為： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)所以油罐裝油的體積為； MACROBUTTON MTPlaceRef

25、 * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)將公式 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)，：，則（3）當(dāng)油浮子的高度時，如圖4-8所示，圖4- SEQ 圖4- *

26、ARABIC 8其中，此時截面面積為：所以油罐裝油的體積為則上式公式變?yōu)椋豪肕atlab中的命令subs代人附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的各高度得到儲油罐中的理論油量。由附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中進(jìn)油量、出油量及儲油罐罐內(nèi)油量初值可以得到儲油罐中的實(shí)際油量，根據(jù)理論油量及實(shí)際油量就可以得出誤差。由附錄中的程序youliang2，我們得到了理論油量，誤差及相對誤差。傾斜時進(jìn)油后理論儲油量與實(shí)際儲油量隨高度的變化規(guī)律如圖4-9所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 9傾斜時出油后理論儲油量與實(shí)際儲油量隨高度的變化規(guī)律如圖4-10所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 10將傾斜進(jìn)油和傾斜變位出油的儲油

27、理論值和儲油實(shí)際值及誤差和相對誤差的數(shù)據(jù)如表4-2所示：表4- SEQ 表4- * ARABIC 2傾斜變位進(jìn)油傾斜變位出油儲油量實(shí)際量儲油量理論值(誤差)相對誤差儲油量實(shí)際值儲油量理論值(誤差)相對誤差962.91010.07.194.67%3464.73523.158.371.66%1012.91058.345.474.30%3414.73478.163.351.82%1062.91118.055.194.94%3364.73430.465.671.91%1112.91167.554.674.68%3314.73382.067.281.99%1162.91222.159.294.85%32

28、64.73330.966.191.99%1212.91279.266.345.19%3214.73289.474.692.27%1262.91327.564.634.87%3164.73234.569.772.16%1312.81382.669.825.05%3114.73188.974.172.33%1362.81433.670.814.94%3064.73137.372.572.31%1412.71485.072.234.86%3014.73088.974.112.40%1462.71536.173.354.78%2964.73040.175.402.48%1512.71591.979.1

29、44.97%2914.72989.274.482.49%1562.71645.182.425.01%2864.72947.782.982.82%1612.71697.484.674.99%2814.72891.176.362.64%1662.71749.987.164.98%2764.72845.480.622.83%1712.71796.683.894.67%2714.72794.079.312.84%1762.71848.886.084.66%2664.72747.582.723.01%1812.71900.087.324.60%2614.72695.881.073.01%1862.719

30、52.790.014.61%2564.72644.579.783.02%1912.71999.286.484.33%2514.72598.183.333.21%1962.72052.789.974.38%2464.72547.182.383.23%2012.72103.290.504.30%2414.72500.285.473.42%2062.72148.485.723.99%2364.72451.987.113.55%2112.72202.389.544.07%2314.72402.988.143.67%2162.72252.790.014.00%2264.72349.784.973.62%

31、2212.72303.791.013.95%2214.72298.884.113.66%2262.72352.289.443.80%2164.72256.091.294.05%2312.72402.790.023.75%2114.72204.489.664.07%2362.72452.289.513.65%2064.72156.691.834.26%2412.72497.985.173.41%2014.72106.791.974.37%2462.72548.785.933.37%1964.72053.188.354.30%2512.72599.686.833.34%1914.72005.690

32、.814.53%2562.72644.781.963.10%1864.71953.588.784.54%2612.72696.383.553.10%1814.71905.190.394.74%2662.72748.886.113.13%1764.71852.888.024.75%2712.72798.986.143.08%1714.71801.586.774.82%2762.72847.284.492.97%1664.71752.787.995.02%2812.72895.983.132.87%1614.71699.384.554.98%2862.72942.179.342.70%1564.7

33、1645.981.184.93%2912.72992.679.842.67%1514.71602.087.275.45%2962.73044.281.482.68%1464.71544.179.355.14%3012.73089.676.912.49%1414.71492.677.895.22%3062.73140.878.102.49%1364.71444.179.415.50%3112.73189.776.992.41%1314.71392.377.565.57%3162.73234.071.322.21%1264.71333.468.625.15%3212.73284.171.392.1

34、7%1214.71280.565.785.14%3262.73334.671.882.16%1164.71230.665.915.36%3312.73379.066.291.96%1114.71175.160.375.14%3362.73423.560.821.78%1064.71124.759.975.33%3412.73473.260.461.74%1014.71067.853.104.97%3462.73517.754.931.56%964.71011.847.054.65%3512.73569.556.731.59%3514.73573.258.491.64%由上述的程序還可以描繪出傾

35、斜時儲油量的誤差隨罐內(nèi)油位高度的變化情況，如圖4-11所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 11由上述圖我們可以知道傾斜時不管是進(jìn)油后儲油量的誤差還是出油后儲油量的誤差均隨罐內(nèi)油位高度的變化呈正態(tài)分布，說明該模型建立得貼合實(shí)際。由上述得到儲油罐發(fā)生變位時體積關(guān)于的公式我們可以給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值（即進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度的表格），如表4-3所示：表4- SEQ 表4- * ARABIC 3罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值高度（h）cm體積（v）L高度（h）cm體積（v）L高度（h）cm體積（v）L高度（h）cm體積（v）L13.5312646

36、1.5511413.9762491.326.26352749452145677253439.974828527.1531498.4782576.6414.756329560.9541540.9792619.1520.690830595.2551583.5802661.4627.854231630.1561626.3812703.6736.316332665.6571669.2822745.5846.142433701.5581712.2832787.2957.393534738591755.3842828.71070.12735774.9601798.58528701184.396836812

37、.2611841.8862911.112100.254137850621885.1872951.813117.747538888.2631928.5882992.314136.92339926.7641971.9893032.515157.824640965.7652015.4903072.416180.493941100.5662058.891311217204.971421044.6672102.3923151.218228.9431084.5682145.7933190.119254.94411248692189.1943228.620281.9451165.3702232.595326

38、6.721309.8461206.2712275.8963304.422338.5471247.2722319.1973341.723368.1481.2886732362.3983378.524398.5491330.1742405.4993414.925429.7501371.9752448.41003450.74.2問題二我們一開始考慮當(dāng)儲油罐水平放置時油量與浮油子高度的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)儲油罐水平放置無橫向與縱向傾斜時，設(shè)油高為h，所建立的空間直角建立坐標(biāo)系如圖4-12所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 12儲油罐中儲油的體積可分為兩部分，圓柱體中儲存油的體積與兩端的球罐體中油的

39、體積，根據(jù)對稱性，兩端的球罐體中油的體積相等。用垂直于z軸 的平面截儲油罐，根據(jù)截面法求體積公式可求出儲油的體積。第一種情況：1、對于圓柱體部分：2、，如圖4-13所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 13圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 14由圖4-13可看出，根據(jù)幾何關(guān)系：用平面截球罐體，設(shè)截得小圓半徑為，所圖4-14所示，根據(jù)幾何關(guān)系得：截面圓的油高為，積分解得：第二種情況： 對于圓柱體的部分同第一種情況對于球罐體體積截面圓的油高為這種情況與第一種情況相同，因此與第一種情況相同。模型的建立：V與h的函數(shù)關(guān)系為：我們就油所占的體積進(jìn)行初步討論,建立笛卡爾坐標(biāo)系如圖4-15

40、,可以得出球冠體的球面方程為:圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 15如圖4-15所示，油罐體中所含油的部分分成兩份，分別計算它們的體積。因?yàn)橛野氩糠值捏w積利用投影法可以由以下約束公式算出由上述第一個公式可以得出曲頂柱體的蓋面方程為左半部分的體積近似利用截面法可以由以下公式算出，由圖4-15可以得出點(diǎn)的坐標(biāo)為；過垂直于軸做截面，設(shè)過的截面面積為；由圖4-15可知過的截面面積為近似可表示如下：有上述的可以得到儲油罐中油量與油位高度及變位參數(shù)的函數(shù)關(guān)系：以下為在固定的橫向偏轉(zhuǎn)角度條件下，就縱向傾斜角度的變化進(jìn)行分類討論。令情形當(dāng)時，（1）該情況的圖4-16所示：圖4- SEQ 圖4- * A

41、RABIC 16由圖4-16可知 和式代入式，得：由此可得：（2）該情況如圖4-17所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 17同上可得（3）該情況如圖4-18所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 18,設(shè)實(shí)際儲油罐總體積為，情形當(dāng)時，（1）該情況的圖示如下：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 19（2）該情況如圖4-20所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 20（3）該情況如圖4-21所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 21,情形當(dāng)時，（1）該情況如圖4-22所示：圖4- SEQ 圖4- * ARABIC 22（2）該情況如圖4-23所示：圖4-

42、 SEQ 圖4- * ARABIC 235模型的進(jìn)一步討論就第二問我們在上述討論一般情況分析的基礎(chǔ)上對左半部分進(jìn)行了詳細(xì)的分析。以下方程用來求：首先我們求出截面和球冠體的交線：6模型的優(yōu)缺點(diǎn)6.1優(yōu)點(diǎn)（1）對于問題一，從儲油罐無變位與變位兩個方面建立了模型，求得的儲油量理論值與儲油量實(shí)際值吻合得較好，相對誤差小；特別是水平時相對誤差穩(wěn)定，符合要求，因此能準(zhǔn)確的預(yù)測出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對于問題二，先就一般情況考慮，再細(xì)分成8種情形，思維縝密，考慮周到。利用Matlab軟件求出 值，求得各高度下的儲油量理論值與儲油量實(shí)際值吻合得較好，相對誤差小，符合要求，因此能準(zhǔn)

43、確的預(yù)測出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。（3）模型實(shí)用性好，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用指導(dǎo)意義，數(shù)學(xué)推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，理論性強(qiáng)。6.2缺點(diǎn)模型的假設(shè)不夠充分，對誤差的檢驗(yàn)不夠詳細(xì)，沒有從多方面進(jìn)行誤差診斷。7參考文獻(xiàn)1韓中庚.數(shù)學(xué)建模競賽-獲獎?wù)撐木x與點(diǎn)評M.北京：科學(xué)出社,2007.2王文波.數(shù)學(xué)建模及其基礎(chǔ)知識詳解M.武漢：武漢大學(xué)出版社，2006.3王庚，王敏生.現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法M.北京:科學(xué)出版社,2006.4趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)M.北京:高等教育出版社,2007.5姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型M.北京:高等教育出版社,2003.6馮杰,黃力偉,王勤,尹成義.數(shù)學(xué)建模原

44、理與案例M.北京:科學(xué)出版社,2007.7附錄7.1附件表7- SEQ 表7- * ARABIC 1無變位進(jìn)油流水號油罐號累加進(jìn)油量/L油位高度/mm采集時間11150159.022010-08-18 10:32142010-08-18 10:33592010-08-18 10:3452010-08-18 10:35932010-08-18 10:36972010-08-18 10:37:08171350253.662010-08-18 10:38:08181400

45、268.042010-08-18 10:39:08191450282.162010-08-18 10:40:08201500296.032010-08-18 10:41:08211550309.692010-08-18 10:41:58221600323.152010-08-18 10:42:58231650336.442010-08-18 10:43:58241700349.572010-08-18 10:45562010-08-18 10:46:08261800375.422010-08-18 10:47:08271850388.162010-08-18 10:4

46、8:08281900400.792010-08-18 10:49:08291950413.322010-08-18 10:49:583011000425.762010-08-18 10:50:583111050438.122010-08-18 10:51:583211100450.42010-08-18 10:52:483311150462.622010-08-18 10:53:483411200474.782010-08-18 10:54:483511250486.892010-08-18 10:55:483611300498.952010-08-18 10:56:383711350510.

47、972010-08-18 10:57:383811400522.952010-08-18 10:58:383911450534.92010-08-18 10:59:284011500546.822010-08-18 11:00:284111550558.722010-08-18 11:01:184211600570.612010-08-18 11:02:184311650582.482010-08-18 11:03:184411700594.352010-08-18 11:04:084511750606.222010-08-18 11:05:084611800618.092010-08-18

48、11:05:584711850629.962010-08-18 11:06:584811900641.852010-08-18 11:07:584911950653.752010-08-18 11:08:485012000665.672010-08-18 11:09:485112050677.632010-08-18 11:10:485212053.83678.542010-08-18 11:11:185312103.83690.532010-08-18 11:12:185412105.06690.822010-08-18 12:36:185512155.06702.852010-08-18

49、12:37:185612205.06714.912010-08-18 12:38:185712255.06727.032010-08-18 12:39:185812305.06739.192010-08-18 12:40:185912355.06751.422010-08-18 12:41:186012404.98763.72010-08-18 12:42:186112406.83764.162010-08-18 12:50:286212456.83776.532010-08-18 12:51:386312506.83788.992010-08-18 12:53:086412556.83801

50、.542010-08-18 12:54:086512606.83814.192010-08-18 12:54:586612656.83826.952010-08-18 12:56:086712706.83839.832010-08-18 12:57:086812756.83852.842010-08-18 12:58:086912806.838662010-08-18 12:59:087012856.83879.322010-08-18 13:00:087112906.83892.822010-08-18 13:01:387212906.91892.842010-08-18 13:02:187

51、312956.91906.532010-08-18 13:03:287413006.91920.452010-08-18 13:04:287513056.91934.612010-08-18 13:05:287613106.91949.052010-08-18 13:06:187713156.91963.82010-08-18 13:07:287813206.91978.912010-08-18 13:08:187913256.91994.432010-08-18 13:09:188013306.911010.432010-08-18 13:10:288113356.911026.992010

52、-08-18 13:11:288213406.911044.252010-08-18 13:12:288313456.911062.372010-08-18 13:13:288413506.911081.592010-08-18 13:14:188513556.911102.332010-08-18 13:15:188613606.911125.322010-08-18 13:16:288713656.911152.362010-08-18 13:17:288813706.911193.492010-08-18 13:18:28注：（1）罐體無變位進(jìn)油，罐內(nèi)油量初值262L；（2）第三列累加進(jìn)

53、油量是每次加入一定量油后的累加值；（3）第四列是原罐內(nèi)初始油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。表7- SEQ 表7- * ARABIC 2無變位出油流水號油罐號累加出油量/L油位高度/mm采集時間111152.721150.722010-08-18 14:31:011121102.721123.992010-08-18 14:31:561131152.721101.152010-08-18 14:32:561141202.721080.512010-08-18 14:33:461151252.721061.362010-08-18 14:34:461161302.721043.292010-08-1

54、8 14:35:461171352.721026.082010-08-18 14:36:361181402.721009.542010-08-18 14:37:361191452.72993.572010-08-18 14:38:261201502.72978.082010-08-18 14:39:261211552.72962.992010-08-18 14:40:161221602.72948.262010-08-18 14:41:161231652.72933.842010-08-18 14:42:061241702.72919.692010-08-18 14:43:061251752.

55、72905.782010-08-18 14:43:561261802.72892.12010-08-18 14:44:561271852.72878.612010-08-18 14:45:461281902.72865.32010-08-18 14:46:461291952.72852.152010-08-18 14:47:3613011002.72839.142010-08-18 14:48:3613111052.72826.272010-08-18 14:49:2613211102.72813.522010-08-18 14:50:2613311152.72800.872010-08-18

56、 14:51:1613411202.72788.332010-08-18 14:52:1613511252.72775.882010-08-18 14:53:1613611302.72763.512010-08-18 14:54:0613711352.72751.212010-08-18 14:55:0613811402.72738.982010-08-18 14:56:0613911452.72726.812010-08-18 14:56:5614011502.72714.72010-08-18 14:57:5614111552.72702.642010-08-18 14:58:461421

57、1602.72690.612010-08-18 14:59:4614311652.72678.632010-08-18 15:00:3614411702.72666.682010-08-18 15:01:3614511752.72654.752010-08-18 15:02:3614611802.72642.842010-08-18 15:03:2614711852.72630.962010-08-18 15:04:2614811902.72619.082010-08-18 15:05:1614911952.72607.212010-08-18 15:06:1615012002.72595.3

58、52010-08-18 15:07:0615112052.72583.482010-08-18 15:08:0615212102.72571.612010-08-18 15:09:0615312152.72559.722010-08-18 15:09:5615412202.72547.822010-08-18 15:10:5615512252.72535.92010-08-18 15:11:4615612302.72523.952010-08-18 15:12:4615712352.72511.972010-08-18 15:13:3615812402.72499.962010-08-18 1

59、5:14:3615912452.72487.92010-08-18 15:15:3616012502.72475.82010-08-18 15:16:2616112552.72463.652010-08-18 15:17:2616212602.72451.432010-08-18 15:18:2616312652.72439.152010-08-18 15:19:1616412702.72426.82010-08-18 15:20:1616512752.72414.362010-08-18 15:21:1616612802.72401.842010-08-18 15:22:0616712852

60、.72389.222010-08-18 15:23:0616812902.72376.492010-08-18 15:23:5616912952.72363.642010-08-18 15:24:5617013002.72350.672010-08-18 15:25:5617113052.72337.552010-08-18 15:26:4617213102.72324.272010-08-18 15:27:4617313152.72310.822010-08-18 15:28:4617413202.72297.182010-08-18 15:29:3617513252.72283.33201