高數(shù)課件第一章函數(shù)的極限

1、 第一章 一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容 :函數(shù)的極限 一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1. 時(shí)函數(shù)極限的定義引例. 測(cè)量正方形面積.面積為A )邊長為(真值:邊長面積直接觀測(cè)值間接觀測(cè)值任給精度 ,要求確定直接觀測(cè)值精度 :定義1 . 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,當(dāng)時(shí), 有則稱常數(shù) A 為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí), 有若記作極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2) 這表明: 幾何解釋:例1. 證明證:故對(duì)任意的當(dāng)時(shí) , 因此總有例2. 證明證:欲使取則當(dāng)時(shí), 必有因此只要例3. 證明證:故取當(dāng)時(shí), 必有因此例4. 證

2、明: 當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證 .必有2. 保號(hào)性定理定理1 . 若且 A 0 ,證: 已知即當(dāng)時(shí), 有當(dāng) A 0 時(shí), 取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上( 0)則存在( A 0 )(P37定理3)若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域上 若則存在使當(dāng)時(shí), 有推論:(P37定理3)分析:定理 2 . 若在的某去心鄰域內(nèi), 且 則證: 用反證法.則由定理 1,的某去心鄰域 ,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真, (同樣可證的情形)思考: 若定理 2 中的條件改為是否必有不能! 存在如 假設(shè) A 0 , 條件矛盾,故3. 左極限與右極限左極限 :當(dāng)時(shí), 有右極限 :當(dāng)時(shí), 有定理 3 .( P39 題*11 )例5. 給定函數(shù)討論 時(shí)的極限是否存在 . 解: 利用定理 3 .因?yàn)轱@然所以不存在 .定義2 . 設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱常數(shù)時(shí)的極限,幾何解釋:記作直線 y = A 為曲線的水平漸近線 .A 為函數(shù)二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限例6. 證明證:取因此注:就有故欲使只要直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況 :當(dāng)時(shí), 有當(dāng)時(shí), 有幾何意義 :例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2. 函數(shù)極限的性質(zhì):保號(hào)性定理與左右極限等價(jià)定理思考與練習(xí)1. 若極限存在,2. 設(shè)函數(shù)且存在, 則例3 作業(yè) P3