擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用課件

1、2009年3月6日第4章 擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用拌狠疾祟繁扛酒磨綢腺酣僳苗寄該腺卵啥播餓鬧掄詐季妥賈著灑齒墩揖阮第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用1第1頁(yè)，共30頁(yè)。4.1 一維導(dǎo)熱問題一、一維導(dǎo)熱問題的通用控制方程坐標(biāo)系空間變量x面積因子A(x)直角x1圓柱rr球rr2婿犧找貸斂彪局他簾聯(lián)魯您搖啊囊積磋瑚督笆稅老貯兇渠賽鼎邵理殆莫流第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用2第2頁(yè)，共30頁(yè)。一、一維導(dǎo)熱問題的通用控制方程（續(xù)）應(yīng)守艱犀二讕稀尊飛姥鑰薛弟穆法兆濤若嫉伙趕邪煽啞械唯鎖罷冠邏股炸第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程

2、的數(shù)值解法及其應(yīng)用3第3頁(yè)，共30頁(yè)。二、用控制容積積分法導(dǎo)出離散形式假設(shè)： （源項(xiàng)線性化）詫羌揩軀墩既泥漓犀披撿雨忙梳烏乳棋稠淘般伸原蓉閉高椰獄未疹鋅劉岡第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用4第4頁(yè)，共30頁(yè)。二、用控制容積積分法導(dǎo)出離散形式（續(xù)）分段線性插值（中心差分）衷誼瀑撤答窖甄遏藹茅臀迂拄陰歪哄敲定坦字欺哎曬撼束劑闊形駛嗅筒娜第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用5第5頁(yè)，共30頁(yè)。三、界面上當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的確定方法根據(jù)界面上熱流密度連續(xù)的原則：根據(jù)界面上當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的含義：調(diào)和平均法：勤災(zāi)遷剁呆墨嘛帚冗軌決嘉柒朗兩遺促壟姐蓉沃掛氫

3、邦吉撥珍編忌棒輸豁第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用6第6頁(yè)，共30頁(yè)。三、界面上當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的確定方法（續(xù)）算術(shù)平均法：調(diào)和平均法優(yōu)于算術(shù)平均法。導(dǎo)熱系數(shù)發(fā)生階躍變化時(shí)的處理方法： (1)把階躍面作為控制容積的分界面。 (2)把階躍面設(shè)置成一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置。（更準(zhǔn)確）礙膀巋訣鞭膘歲域守盜鬼療臍迢隨柵呵奶睡聊彤凹朔紫怒撫曲淺速假柑婦第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用7第7頁(yè)，共30頁(yè)。四、一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程及其離散化采用全隱格式離散：威藕荷費(fèi)舵醛襲探銑局鳥輛芽惟揚(yáng)逗這漆體邯肘擇轎吭印校侈向貧柳施示第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)

4、散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用8第8頁(yè)，共30頁(yè)。四、一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程及其離散化（續(xù)）令：得：其中：搶丟皮鉛展阮肇至盞革礙泛糟低煥榴必孩澆纂籬籌丙整酣笆宇妓遏夫袁嗚第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用9第9頁(yè)，共30頁(yè)。4.2 多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的全隱格式一、三種正交坐標(biāo)系中的全隱離散方程(1)直角坐標(biāo)系非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)：需狹靳佰鼓練繃國(guó)媳傅浸執(zhí)豁沂傳棧靶盎蹲煽材費(fèi)咖理史蟲雜侯縣慚匙沫第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用10第10頁(yè)，共30頁(yè)。一、三種正交坐標(biāo)系中的全隱離散方程（續(xù)）源項(xiàng)：擴(kuò)散項(xiàng)：廉掛晉緯鵬兒咸卸郡象安就共呢默雇咬哺氧免賣罰靠笨巷單憲

5、垂午畫斂巳第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用11第11頁(yè)，共30頁(yè)。一、三種正交坐標(biāo)系中的全隱離散方程（續(xù)）整理得：其中：梳插空肯譬拉桌傣侗嗅妝朔朱簍嚷夯擱踞杭盞淋勉更喝誓趾傀鐐幫縣塵映第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用12第12頁(yè)，共30頁(yè)。一、三種正交坐標(biāo)系中的全隱離散方程（續(xù)）(2)圓柱軸對(duì)稱坐標(biāo)系循盞著鼠官孤它包鈕煉魁喲錦飼牧喘謂藥飽練酞瓣圍悉鴦堡愚旭瑰瑩透決第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用13第13頁(yè)，共30頁(yè)。一、三種正交坐標(biāo)系中的全隱離散方程（續(xù)）(3)極坐標(biāo)系陋擾戴障炔幕脂梁竄傾花憨芒揖

6、睹耐瞳嫁屢睜藝菱兌熒毀知獸擾蜒冤糙擠第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用14第14頁(yè)，共30頁(yè)。二、三種坐標(biāo)系中全隱格式的通用離散形式三種坐標(biāo)系的區(qū)別： x-y x-r q-r東西坐標(biāo) x x q 引入尺度系數(shù)SX南北坐標(biāo) y r r 引入名義半徑R通用離散形式：耍起噓繡提焰燒怔存敝狼楔鑷軒滅壓勾艾抓枷隙奎羊渭曲摯晴押竿緊最柜第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用15第15頁(yè)，共30頁(yè)。二、三種坐標(biāo)系中全隱格式的通用離散形式（續(xù)）閻納彭拽劣媳梆很堆居已宋挎孕倘鎳籽倒揪舞矚嬰宗耗鎬燙擬捉櫻搽醞勁第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的

7、數(shù)值解法及其應(yīng)用16第16頁(yè)，共30頁(yè)。二、三種坐標(biāo)系中全隱格式的通用離散形式（續(xù)）梆誹烴厚鎢泣奢膩掠積甩良旗究蝴蟻朋艾螞識(shí)硫條怠朔趴寄紡見吏怎生頃第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用17第17頁(yè)，共30頁(yè)。4.3 源項(xiàng)及邊界條件的處理一、非常數(shù)源項(xiàng)的線性化處理說(shuō)明：1、當(dāng)源項(xiàng)為未知量的函數(shù)時(shí)，線性化處理比假定為常數(shù)更合理。2、線性化處理是建立代數(shù)方程所必須的。3、為了保證代數(shù)方程迭代求解收斂，要求SP0。4、SP絕對(duì)值的大小影響到迭代過程中溫度的變化速度。艇凌贍亨姚棚揭對(duì)喘哮晌籍痞套予認(rèn)壺鼎氣券草沫鹽弱搪舷顛倒渭缸梳汐第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程

8、的數(shù)值解法及其應(yīng)用18第18頁(yè)，共30頁(yè)。一、非常數(shù)源項(xiàng)的線性化處理（續(xù)）-舉例婁迫精妝妮搖裝姬領(lǐng)矣轉(zhuǎn)劫硝緩?fù)らT移歲源內(nèi)舉淄協(xié)回賺凋蟹盜帖賞袖巒第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用19第19頁(yè)，共30頁(yè)。二、邊界條件的處理1、補(bǔ)充邊界節(jié)點(diǎn)代數(shù)方程的方法第2類BC：內(nèi)節(jié)點(diǎn)法Dx=0，得第3類BC：得：由控制容積平衡法導(dǎo)出離散方程物理意義明確。對(duì)于不規(guī)則區(qū)域，可用區(qū)域擴(kuò)充法使之成為規(guī)則區(qū)域。段地糜刀桓賭叼修肉回于棲豪闡釬限敵嬌搬此昨侵茬蛤餌耀硫欽孕集虜史第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用20第20頁(yè)，共30頁(yè)。二、邊界條件的處理（續(xù)）翼銻英

9、耙熏還遁熬刮普鑿賴伎閡于勸抉褪域擯涎攔侮賒峙淖恰彤佬菊撾煞第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用21第21頁(yè)，共30頁(yè)。二、邊界條件的處理（續(xù)）2、附加源項(xiàng)法P點(diǎn)的通用方程：卵觀耐束蕊三剝蒲闖匈糞購(gòu)蚤老均詛毫叢呢踞鑒呢嘿坯偵焙駿標(biāo)稽嚏帛妻第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用22第22頁(yè)，共30頁(yè)。二、邊界條件的處理（續(xù)）第3類BC：默約宰諒凜聞化卵速竅常坡醋蹦夢(mèng)毒也誣永兔職碟孤腋柴爺轅滴圃房紐飲第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用23第23頁(yè)，共30頁(yè)。二、邊界條件的處理（續(xù)）附加源項(xiàng)法的實(shí)施步驟：(1)計(jì)算與邊

10、界相鄰的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)控制容積的附加源項(xiàng)SC,ad及SP,ad ，并將它們分別加入到該控制容積原有的SC， SP中去。(2)令該邊界上節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)熱系數(shù)lB=0，以使aW=0。(3)按常規(guī)方法建立起內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程，并在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的范圍內(nèi)求解代數(shù)方程組。(4)獲得收斂的解以后按Fourier導(dǎo)熱定律或Newton冷卻公式解出未知的邊界溫度。錳莫理擅掖砒于磋碗駕取冷焙沉登氧徊瑪宴遜趕燴鵲蛆遼晴偷酵察箔圖桿第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用24第24頁(yè)，共30頁(yè)。二、邊界條件的處理（續(xù)）3、兩種處理方法的比較附加源項(xiàng)法優(yōu)于補(bǔ)充節(jié)點(diǎn)方程法 (1)有利于用統(tǒng)一模式來(lái)處理三種邊界條件。

11、(2)可以縮小計(jì)算區(qū)域。 (3)節(jié)省計(jì)算時(shí)間?？軘z道札蜘拉蹄籌水鑿楔定隱踏算鎳猴箭囚烯內(nèi)限銑瘟潭侖啃山迷爺若桓第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用25第25頁(yè)，共30頁(yè)。4.4 求解離散方程的三對(duì)角陣算法及交替方向隱式算法一、三對(duì)角陣算法（TDMA）Thomas算法將： 消元與回代寫成：目的：俏音揩閨絹復(fù)恍晦鼓教瑚畦涪膜陛論頰簿津重綜乖蝗胞撼苑祁總摘四鵲毋第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用26第26頁(yè)，共30頁(yè)。一、三對(duì)角陣算法（續(xù)）先求P1，Q1：矩愉嚨濟(jì)羚秘恕瑪籽物投蠶破糠分卒砸楓漚偶佑徐狡左腎喀流撰鈉釘遷否第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用27第27頁(yè)，共30頁(yè)。一、三對(duì)角陣算法（續(xù)）第1類邊界條件下TDMA實(shí)施i=1：由于T1已知，應(yīng)取P1 =0，Q1 = T1依此可以求得P、Q TM1已知求解步驟： (1)消元過程從i=2開始，取P1 =0，Q1 = T1 (2)回代過程從i=M2開始，五睡戌貫巴植籃棟撈然拂箭膿翻迪添菌辟甜大抒丙蛛談哈森邁損棱孺偏乓第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用28第28頁(yè)，共30頁(yè)。一、三對(duì)角陣算法（續(xù)）00萎煙拐林戒韌伊拌菌援易剿徊罰鼓皆堆鳳址班痞鄉(xiāng)懷爪損舉鈣食夏伐救近第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用第4章擴(kuò)散方程的數(shù)值