高等代數(shù)北大版第三版習(xí)題答案II

1、第一章 第二章 第三章 第四章 第五章、t r ; 弟八早 第七章第八章 第九章 第十章高等代數(shù)（北大第三版）答案目錄多項(xiàng)式行列式線性方程組矩陣二次型線性空間線性變換矩陣歐氏空間雙線性函數(shù)與辛空間注：答案分三部分，該為第二部分，其他請(qǐng)搜索，謝謝！12.設(shè)A為一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且 A 0,證明：必存在實(shí) n維向量X 0,使XAX 0。n ,且A不是正定矩陣。故必存在非證 因?yàn)锳 0 ,于是A 0,所以rank A退化線性替換X C 1Y使X AX Y C 1 ACY YBY2yi2V22222ypyp i yp 2yn,且在規(guī)范形中必含帶負(fù)號(hào)的平方項(xiàng)。于是只要在yp0, yp 1 yp 2yn

2、i,則可得一線性方程組 TOC o 1-5 h z CiiXiC12X2CinXn0Cp1X1Cp2 x2Cpnxn 0Cp 1,1X1 Cp 1,2X2C p 1,n Xn1CniXi Cn2X2gn Xn1由于C 0 ,故可得唯一組非零解Xsx1s,x2s,Xns使sis， as，nsXsAXs 0 00 1 11 n p 0,即證存在X 0 ,使X AX 0。13 .如果A, B都是n階正定矩陣，證明： A B也是正定矩陣。證 因?yàn)锳,B為正定矩陣，所以 X AX, X BX為正定二次型，且XAX 0,XBX 0,因此X A B X X AX X BX 0,是X A B X必為正定二次型

3、，從而A B為正定矩陣。14 .證明：二次型f Xi,X2, ,Xn是半正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)與秩相等。證 必要性。采用反證法。若正慣性指數(shù)若令則可得非零解0矛盾，故充分性。2f X1 , X2 , Xny1y1 y2yp 0，ypX1 , X2 , XnXi, X2,f X1, X2 , Xn2y1故有 f X1, X2 , Xn15 .證明:n2n Xii1nnX；i1可見(jiàn):2X11)2)2y2, Xn2y20 ,即證二次型半正定。Xii12n X12X22X22X2Xn2X12X222yp yp 1y1 ，0。這與所給條件X1 , X2 , X nX12 2 X1X 2nXi

4、i12Xn2x1x22Xn 1 Xn )2是半正定的。2 X1 Xn2x2 X32X2 Xn2Xn 1Xn2Xn2x1 x22 X1 X n2X2X322X2X12 X1X 32XiXj oi j nX1 , X2 ,X1X2,Xn不全相等時(shí)X1, X2 , XnXn時(shí)X1 , X2 , Xn2X3XinXjXiXj2Xn 10。0。2Xn 1 Xn2Xn故原二次型f x1,x2,Xn是半正定的。16 .設(shè)f X1,X2, ,XnXAX是一實(shí)二次型，若有實(shí) n維向量Xi,X2使 TOC o 1-5 h z X1Ax 0, X2AX20。證明：必存在實(shí)n維向量X00使X0AX00。設(shè)A的秩為r

5、,作非退化線性替換 X CY將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型 222XAX diyi d2y2drYr ,其中dr為1或-1。由已知，必存在兩個(gè)向量 Xi,X2使XiAXi 0 和X2AX2 0,故標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)d1,dr不可能全為1,也不可能全為-1。不妨設(shè)有p個(gè)1, q個(gè)-1 ,2222xax y yp ypiypq,這時(shí)p與q存在三種可能：p q， p q， p q下面僅討論p q的情形，其他類(lèi)似可證。令yiyq 1,yq 1yp , ypiyp q 1,則由Z CY可求得非零向量 X0使 2222X0AX0yiypypiyp q0,即證。A是一個(gè)實(shí)矩陣，證明：rank A A rank A 。0與

6、AAX 0為同解方程組，故只要證 由于rank A rank AA的充分條件是 AX證明AX 0與A AX 0同解即可。事實(shí)上AX 0 AAX 0X A AX 0AX AX 0即證AX 0與AAX 0同解，故rank A A rank A 。注 該結(jié)論的另一證法詳見(jiàn)本章第三部分（補(bǔ)充題精解）第 2題的證明，此處略。一、補(bǔ)充題參考解答.用非退化線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果:1) XnX2X2n 1X2X2n 1XnXn 1 ；22y1y2Ynyn 122Y2n 1 y2n ,2)X1X2X2X3XnXn；nX：Xi Xj ;11 i j n八 n2X1X2XnXi X ,其

7、中 X 1n解1 )作非退化線性替換X1y1y2 nX2y2y2n 1Xnynyn 1Xn 1y nyn 1且替換矩陣其中2）若T ATy1X1X2X3y2X1X2X32 y12y2y1y2y1y2于是當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，作變換X1X2X2X3,VXix 1 Xi 2XXi iXi 2i 1,3,5, ,n 2 ,YnXnX1X2X2X3Xn 1 Xn2222Y1Y2Y3Y422Yn 2Yn111000111000111000111000且當(dāng)n 4k 1時(shí)，得非退化替換矩陣為1111 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark331 o Current Document 1

8、100 HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 11T11當(dāng)n 4k 3時(shí)，得非退化替換矩陣為1111 HYPERLINK l bookmark206 o Current Document 1100 HYPERLINK l bookmark349 o Current Document 11T11 HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 1101故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，都有1111TAT當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，作非退化線性替換XiXi 1 Xi 2VXi 1Xi 22Xn 1 XnYn 1Xn 1 XnynX1X2X2X3i

9、1,3,5, ,n 3 ,2222Xn 1Xn Y1Y2Y3Y422Yn 1Yn,于是當(dāng)n 4k時(shí)，得非退化替換矩陣為1111111100001111T1100于是當(dāng)n 4k 2時(shí)，得非退化替換矩陣為1111 HYPERLINK l bookmark543 o Current Document 110011T11故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，都有 HYPERLINK l bookmark377 o Current Document 11 HYPERLINK l bookmark172 o Current Document 00 HYPERLINK l bookmark523 o Current Docume

10、nt 11 HYPERLINK l bookmark180 o Current Document 00TAT3）由配方法可得f于是可令X1X2xj j 321 n 1 2xn 1 - xnxn ,n 2ny1x1y2 x22jxj23jxj31 yn 1 n y nn 1- xnnyn xn則非退化的線性替換為13y3 TOC o 1-5 h z 1 x1y1- y221x2y23 y311yn 1- y nn 1 n1xn 1yn 1 y nn且原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為2y13 24y2n 2FT yn2n相應(yīng)的替換矩陣為11111123n1n111013n1n11001n1n00011n0000

11、1又因?yàn)樗?）令TATyi xi xy2 x2 xyn 1 xn 1 x y nxn則nxi 2yiVi 2nx2yi 2y2 Vi 3n 2 xn iyi 2yn i yni ixnYn由于yixin i原式 y2i i HYPERLINK l bookmark80 o Current Document nn i2ynyyii ii iyi i in i 22 V yii ii i j n i3 2 Z22zn i2z23 22Z2其中所作非退化的線性替換為 TOC o 1-5 h z 111YlZi-Z2-Z3一； Zni23n 1111y2Z2- Z3Z4-Zn134n 1y n 1Z

12、n 1ynZn故非退化的替換矩陣為nXi i 1X1X, X2X,XnX1X213131丁1丁1n 111n 111nnnnnnX11n 111n 11X2nnnnnn11n 111n 1XnnnnnnnXXnX1 , X2, ,Xx所以2.設(shè)實(shí)二次型證明：f的秩。Xi, X2,ZAZTATf Xi,X2,Xnn iiinnnXiin iiX2nnniin iXnnnn, XXaiiXiXi,X2, ,Xn的秩等于矩陣ai2ai2X2a2ia22a2n設(shè) rank A r ,f Xi , X2 ,卜面只需證明rank AErPAQ 0從而a，asias2asn,Xnr即可。由于rank Ara

13、nk故存在非退化矩陣P,Q使PAEr 0由于Q 1 Q 1即證rank A3.設(shè)其中l(wèi)i iP,PAAPPA APEr0Er0是正定的，因此它的rankAA 。f Xi,X2,1,2, p負(fù)慣性指數(shù)BrDBrD22,Xnl1l2設(shè) li bi1X1 bi2X2f X1,X2, Xn的正慣性指數(shù)為S ,yi ci1X1ci2X2使得f X1,X2, ,Xnl122y1卜面證明s p。采用反證法。bi1X1bpiXiEr 0Er0r級(jí)順序主子式lp lp1Br,Xn的一次齊次式,binXni 1,2,秩為Br00,從而A A的秩為21Pq證明：f X1, X2, Xnr ,則存在非退化線性替換ci

14、n Xn1,2, ,n ,的正慣性指lfcs 1 ,1 X1cn1X1lp l2122ys ys1l2q2yr P ,考慮線性方程組binXn0bpnXn 0cs 1,n Xn 0cnn Xn0該方程組含p n s個(gè)方程,小于未知量的個(gè)數(shù)n ,故它必有非零解a1, a2, an ,f ai ,a2, ,anlp 12yi上式要成立，必有yiys0,這就是說(shuō)，對(duì)于x1 a1, x2an這組非零數(shù)，有yi0，y20,yn 0 ，這與線性替換Y CX的系數(shù)矩陣非退化的條件矛盾。所以同理可證負(fù)慣性指數(shù)r4.設(shè)AiA21A2A22是一對(duì)稱(chēng)矩陣，且Ai 0,證明:存在T個(gè)級(jí)數(shù)與 A22相同的矩陣。證只要令

15、TE1A21A11注意到A12Ai；A；,則有TATA1i 0使TAT ；,其中表示1AiA12EA21A1AiA21A2A221 -Ai A12EAii0A121A 21A1 A12A220i.A11 A12EAi即證。5.設(shè)A是反對(duì)稱(chēng)矩陣，證明:A合同于矩陣01O1 00證采用歸納法。當(dāng)n 1時(shí)，A0合同于0 ,結(jié)論成立。下面設(shè) A為非零反對(duì)稱(chēng)矩陣。當(dāng)n 2時(shí)A 0a12第2行乘a01弘 0 第2列乘屋1 0，01人一，故A與合同，結(jié)論成立。1 0k時(shí)結(jié)論成立，今考察n k 1的情形。這時(shí)0Aaka1,k 1 TOC o 1-5 h z aka1,k10ak,k1ak,k10如果最后一行（

16、列）元素全為零，則由歸納假設(shè),結(jié)論已證。若不然，經(jīng)過(guò)行列的同時(shí)對(duì)換,1不妨設(shè)ak,k 10,并將最后一行和最后一列都乘以 ，則A可化成ak,k 10akb1a1k01b 1 0再將最后兩行兩列的其他非零元bi,aik i 1,2, ,k化成零，則有0b1,k 100b1,k 1000 ,00010010由歸納假設(shè)知bi,kb1,k 1合同，從而A合同于矩陣再對(duì)上面矩陣作行交換和列交換，便知結(jié)論對(duì)1級(jí)矩陣也成立，即證。6.設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：存在一正實(shí)數(shù)c,使對(duì)任一個(gè)實(shí)n維向量X都有證因?yàn)閄AX令 a maX ai.jX AXa。XiXji.jaaij i,jXi利用xi xj2Xi2X

17、j2XAX a可得i.jXixjXAXai.jXian xi2 cX X ,其中c an ,即證。7 .主對(duì)角線上全是1的上三角矩陣稱(chēng)為特殊上三角矩陣。1）設(shè)A是一對(duì)稱(chēng)矩陣，T為特殊上三角矩陣，而 B T AT ,證明：A與B的對(duì)應(yīng)順序主子式有相同的值；2）證明：如果對(duì)稱(chēng)矩陣 A的順序主子式全不為零，那么一定有一特殊上三角矩陣T使T AT成對(duì)角形；3）利用以上結(jié)果證明：如果矩陣A的順序主子式全大于零，則 XAX是正定二次型。證1 ）采用歸納法。當(dāng)n 2時(shí)，設(shè) TOC o 1-5 h z anai2a2ia22B TAT HYPERLINK l bookmark220 o Current Doc

18、ument 10a11a121b HYPERLINK l bookmark222 o Current Document b1a21a2201考慮B的兩個(gè)順序主子式：B的一階順序主子式為 a11,而二階順序主子式為B T|A|T| 1? A?1 |A,與A的各階順序主子式相同，故此時(shí)結(jié)論成立。歸納假設(shè)結(jié)論對(duì)n 1階矩陣成立，今考察 n階矩陣，將A,T寫(xiě)成分塊矩陣An 1其中Tn 1為特殊上三角矩陣。于Tn 10B1An 1annTn 101TmAmTmBni由歸納假設(shè)，B的一切 n i階的順序主子式，即Bn i Tn i An iTn i的順序主子式與 A i的順序主子式有相同的值，而B(niǎo)的n階順

19、序主子式就是 B ,由T |A|T 1? A?1 A,知B的n階順序主子式也與 A的n階順序主子式相等，即證。2 ）設(shè)n階對(duì)稱(chēng)矩陣A aj ,因aii0,同時(shí)對(duì)A的第一行和第一列進(jìn)行相同的第三種初等變換，可以化成對(duì)稱(chēng)矩陣aii0b2naii0Bnibn2bnn于是由i）知u0,從而b220,再對(duì)Bni進(jìn)行類(lèi)似的初等變換，使矩陣 Ai的第二行和第二列中除b22外其余都化成零;如此繼續(xù)下去,經(jīng)過(guò)若干次行列同時(shí)進(jìn)行的第三種初等變換，便可以將 A化成對(duì)角形B。n由于每進(jìn)行一次行、列的第三種初等變換，相當(dāng)于右乘一個(gè)上三角形陣 ,左乘一個(gè)下三角形陣，而上三角形陣之積仍為上三角形陣，故存在 T Ti,T2,

20、 ,Ts,使TAT B , 命題得證。3 ）由2）知，存在T使 i TAT2Bo又由i）知B的所有順序主子式與 A的所有順序主子式有相同的值，故a11所以20。所以a11a12a22aii0,0,ai1aii1,2,因X TY是非退化線性替換,由于o證明:X AXn都大于零,1）如果YT ATY21 V1故X AX是正定的。2Vl.2n 丫 n ,naijXiXj j 1aijaji是正定二次型,那么f Y11Y2,a11%anV1a21a22a2nV2aman2annVnV1V2Vn0，Vn是負(fù)定二次型;）如果A是正定矩陣，那么ann Pn這里Pn1是A的n 1階順序主子式;）如果A是正定矩

21、陣，那么a11a22ann o）如果T tj是n階實(shí)可逆矩陣，那么 TOC o 1-5 h z Tl2t;i 1證1 )作變換Y AZ,即yiailai2y2a21a22ynanian2則aiif yi,y2, ,ynaniyia yiAYZAZA因?yàn)锳是正定矩陣，所以 f /。2,2 ) A為正定矩陣，故Pn i對(duì)應(yīng)的fn i yi yn i是負(fù)定二次型。注意到aiiai,n iAan i ,ian i,n ianian,n iaiiai,n ian i,ian i,n ianian,n it2itni ain 4 TOC o 1-5 h z a2nZ2annznain0ann0ynyizi

22、ynzniynznAZ AZZ。,yn是負(fù)定二次型。n i階矩陣也是正定矩陣，由 i)知aiiai,n iyian i,ian i,n i yn iyiyn i0ainan i ,nannainaiiai,ni0an i,nan i,ian i,ni 00anian,ni annf n i ain，a2n，an i,nann Pn i ,又因 fn 1 a1n , a2n ,0ain中至少有一個(gè)不為0時(shí)，所以0時(shí),ann Pn 1 ,當(dāng) a1na2nann Pn 1 ,綜上有A%nPn3 ）由2）得AannPn 1annan1,n 1 Pn 2annan 1,n 1 a11。4 ）作非退化的線

23、性替換TY,則XXYT TY為正定二次型，所以 TT是正定矩陣，且TTt11tn1t11t1nt1nt nntn1tnnt121t21t21t22t2222t1n t2nt 2nn再由3）便得T2TTt2i2 tni 。9.證明：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A是半正定的充分必要條件是 A的一切主子式全大于或等于零（所謂k階主子式，是指形為的k級(jí)子式，其中1i1即1%知2ai2ikaiki1aiki2aikikikn）證必要性。取A的任一個(gè)m階主子式相應(yīng)的矩陣aiiiiaiiimAmaimiiaimimAm對(duì)應(yīng)的二次型為aisik xisxikX1Am X1,令 Xi0 iij,n，代入a。XiXj 0 ,得i.

24、j iaisikXiXiAm Xi0,故存在非退化矩陣Tm使di其中dj 0 i i,TmAmTmAmd2dmi,2, ,n o充分性。設(shè) A的主子式全大于或等于零，任取AmEmA的第m個(gè)順序主子式相應(yīng)的矩陣由行列式性質(zhì)，得aia12aimi,2, ,n ,amidm2a mmaimAma2ia22a2mamiam2a mmEm AmP miPmiPm,其中Pi是A m中一切i階主子式的和，由題設(shè)，A的一切i階主子式Ai0,所以P0。故當(dāng) 0時(shí)，有Em Am 0, TOC o 1-5 h z 即當(dāng) 0時(shí)，Em Am是正定矩陣。假若 A不是半正定矩陣，則存在一非零向量X0,使X0AXc c 0。

25、于是令cX0X00,c HYPERLINK l bookmark290 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark313 o Current Document X10 x20 xn0X0 E AX0 X0 EX0 X0AX0這與 0時(shí) E A為正定矩陣矛盾，故 A為半正定矩陣。第六章線性空間.設(shè) M N,證明：M I N M,M U N N。證任取 M,由M N,得 N,所以 M N,即證M NIM。又因M N M,故MI N M。再證第二式，任取 M或 N,但M N,因此無(wú)論哪一種情形，都有 N,此即。但N M N,所以M U N N。.證明 M (

26、N L) (M N) (M L) , M (N L) (M N) (M L)。證 x M (N L),則x M且x N L.在后一情形，于是x M N或x M L.所以 x (M N) (M L),由此得 M (N L) (M N) (M L)。反之，若x(MN)(ML),則 xMN或xML.在前一#形，xM,xN,因此xNL.故得xM(NL),在后一情形，因而xM ,xL,xNUL,得xM(NL),故(MN)(ML) M(NL),于是 M(NL)(MN)(ML)。若 x MU (NIL),則 x M,x NIL。在前一情形 Xx MUN, 且X MUL,因而x (MUN)I(MUL)。在后一

27、情形，x N,x L,因而x MUN,且X MUL,即X (MUN) I (MUL)所以 (M U N) I (MUL) M U(NU L)故M U (N I L) = (M U N) I ( MUL)即證。3、檢驗(yàn)以下集合對(duì)于所指的線性運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間：1)次數(shù)等于n (n 1)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法；2)設(shè)A是一個(gè)nxn實(shí)數(shù)矩陣，A的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f (A)的全體，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量 乘法；3)全體實(shí)對(duì)稱(chēng)(反對(duì)稱(chēng)，上三角)矩陣，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法；4)平面上不平行于某一向量所成的集合，對(duì)于向量的加法和數(shù)量乘法；5)全體實(shí)數(shù)的二元數(shù)列，對(duì)于下面定

28、義的運(yùn)算：(a1, b) (a b (& a2, b1 b2 a1a2)ko (al, b) = (kab kb+ k(k a226)平面上全體向量，對(duì)于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法：koa 0 ；7)集合與加法同6),數(shù)量乘法定義為:koa a；8)全體正實(shí)數(shù)r ,加法與數(shù)量乘法定義為：a b ab, koa ak ；解1 )否。因兩個(gè)n次多項(xiàng)式相加不一定是 n次多項(xiàng)式，例如(xn 5) ( xn 2) 3。2)令V=f (A) |f (x)為實(shí)數(shù)多項(xiàng)式，A是nxn實(shí)矩陣因?yàn)閒 (x) +g (x) =h (x), kf (x) =d (x)所以f(A) +g (A) =h (A), kf

29、 (A) =d (A)由于矩陣對(duì)加法和數(shù)量乘法滿足線性空間定義的18條，故v構(gòu)成線性空間。3 )矩陣的加法和和數(shù)量乘法滿足線性空間定義的18條性質(zhì)，只需證明對(duì)稱(chēng)矩陣(上三角矩陣，反對(duì)稱(chēng)矩陣)對(duì)加法與數(shù)量乘法是否封閉即可。下面僅對(duì)反對(duì)稱(chēng)矩陣證明：當(dāng)A, B為反對(duì)稱(chēng)矩陣，k為任意一實(shí)數(shù)時(shí)，有(A+B =A+B=-A-B=- (A+B , A+B仍是反對(duì)稱(chēng)矩陣。(KA) KA K( A)(KA),所以kA是反對(duì)稱(chēng)矩陣。故反對(duì)稱(chēng)矩陣的全體構(gòu)成線性空間。4)否。例如以已知向量為對(duì)角線的任意兩個(gè)向量的和不屬于這個(gè)集合。5)不難驗(yàn)證，對(duì)于加法，交換律，結(jié)合律滿足，(0, 0)是零元，任意(a, b)的負(fù)元是

30、2(-a , a -b )。對(duì)于數(shù)乘：1。(a, b)(1 a,1。b a2) (a,b),2 TOC o 1-5 h z l(l 1) 2l(l 1) k(k 1)2、k.(l.(a, b) k.(la, lba ) (kla,klba2(la)222l(l 1) 2, k(k 1)/1、2、. kl(kl 1) 2 k(k 1)、2、(kla,klba -(la) )(kla,-a-(la)2222(klakk_a2 klb) (kl ).(a, b), 2(k l)(k l 1) 2(k l).(a, b) (k l)a,a (k l)b2k(k 1) 2l(l 1) 2 TOC o 1

31、-5 h z k.(a,b) l.(a,b) (ka,kb - a ) (la,lb -a HYPERLINK l bookmark123 o Current Document 22k(k 1) 2 k(k 1) 2 . 2、(ka la,kb a a kla )22(k 1)(k l 1) 2(k l )a, a (k l )b.2即(k l) (a,b) k (a,b) l (a,b)。k (a1,b1 )(a2,b2)k (aa?,” b2 aa2)= k(a a2),k(b1 b2 a1a2k(； 1)(a az)2),k (,)k (a2,b2)k(k 1) 2= (ka1,kb1

32、a)(ka2,kb2k(k=(ka1ka2, kb1k(k 1)a2 kb2=(k(a1 a2),k(b1 b2a1 a2)=(k(a1 a2),k(b1 b2a0)4)2k(k 1) 2.2、a2 k a1a2)21) 2 k(k 1)2 aa222k(k 1)2k(kk2k a)即 k (a1 ,b1 )區(qū)心)(a2 a；)2),k (a1bjk (a2,b2),所以，所給集合構(gòu)成線性空間。6)否，因?yàn)?0.o2，所以(k l) (k ) (l ),7)否，因?yàn)?k l) ,k l所給集合不滿足線性空間的定義。8)顯然所給集合對(duì)定義的加法和數(shù)量乘法都是封閉的，滿足i)a b ab ba b

33、 a;ii )(a b) c (ab) c abca (bc) a (bc);iii )1 是零兀：a 1 a 1 a;iv)a的負(fù)元是1: a 1 a 1 a a aiv)1 a a a;ll kvi)(ko(l oa) ko(a ) (a )1,且a 1; alk kla a (kl) oa;vii )(k l) oa ak lak al(ka) (la);viii )k o(a b)k o(ab) (ab)k akbk (koa) (kob).所以，所給集合 R構(gòu)成線性空間。4在線性空間中，證明：1) k0 0 2 ) k(證 1 ) k0 k( () kk( ) k k( 1)(k (

34、 k)00。2)因?yàn)?k( ) k k()k，所以 k( ) k k5證明：在實(shí)函數(shù)空間中,1, cos21 ,cos 2t式線性相關(guān)的。證因?yàn)閏os 2t2 cos21 1,所以1, cos2 t,cos2t式線性相關(guān)的。6如果f(x), f2(x), f3(x)是線性空間Px中三個(gè)互素的多項(xiàng)式，但其中任意兩個(gè)都不互素，那么他們線性無(wú)關(guān)。證 若有不全為零的數(shù) k1, k2, k3使 k1fl(x) k2 f2(x) k3 f3(x) 0 ,不妨設(shè)k1 0,則f1(x)3f2(x) f3(x),這說(shuō)明f2(x), f3(x)的公因式也是f1(x)k1k1的因式，即f(x), f2(x), f3

35、(x)有非常數(shù)的公因式，這與三者互素矛盾，所以f1(x), f2(x), f3(x)線性無(wú)關(guān)。7在P4中，求向量 在基1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)。設(shè)1)1(1,1,11), 2(1,1, 1, 1), 3 (I 11 1)，4 (I I 11)，2)1(1,1,0,1), 2(2,1,3,1), 3(1,1,0,0), 4(0,1, 1, 1),(0,0,0,1)。解1）設(shè)有線性關(guān)系abcd1abcd2a 1 b 2 c 3 d 4,則abcd1abcd15 .1可得在基1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)為a -,b -,c44?d2）設(shè)有線性關(guān)系a 2b c 0a b c d 0a 1 b 2

36、c 3 d 4，則3b d 0a b d 1可得在基1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)為a 1,b0,c1,d0。8求下列線性空間的維數(shù)于一組基：1）數(shù)域P上的空間Pn n; 2） Pn n中全體對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng),上三角）矩陣作成的數(shù)域 P上的空間；3）第3題8）中的空間;4）實(shí)數(shù)域上由矩陣 A的全體實(shí)1系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間，其中A= 00解 1） Pnn 的基是 Eij（i, j 1,2,.,n）,且 dim（Pnn）n2。1 3i1.2) i)令Fj ,即aj aji 1,其余元素均為零，則.1 F11,.,F1n,F22,.,F2n,.,Fnn是對(duì)稱(chēng)矩陣所成線性空間M n的一組基，所以M n是n(

37、n 1), 維的。ii)令Gij.,即a。 aji 1,(i j),其余元素均為零，則.1 G12,.,G1n,G23,.,G2n，,Gn 1m是反對(duì)稱(chēng)矩陣所成線性空間Sn的一組基，所以它是n(n 1),維的。2iii)E11,.,E1n,E22,.,E2n,.,Enn 是上三角陣所成線性空間的一組基，所以它是n(n 1),維的。23)任一不等于1的正實(shí)數(shù)都是線性無(wú)關(guān)的向量，例如取2,且對(duì)于任一正實(shí)數(shù) a,可經(jīng)2線性表出，即.a (log2 a) 2,所以此線性空間是一維的，且2是它的一組基。4)因?yàn)?,所以1,n 3q,n 3q 1 , ,n 3q 2于是A21,A31 E,而 An1E,n

38、 3qA, n 3q 1。A2,n 3q 29.在P4中，求由基12, 3, 4，到基1, 2, 3, 4的過(guò)渡矩陣，并求向量在所指基下的坐標(biāo)。設(shè)11,0,0,0彳 20,1,0,0130,0,1,040,0,0,1X1,X2,X3,X4 在1,2, 101, 1,1,11,2,1,11, 1,0,112,1, 1,120,3,1,035,3,2,146,61,31, 2, 3, 4下的坐標(biāo);12,1,0,120,1,2,232,1,1,2 41,31,21,0,0,0 在 1, 2, 3, 4，下的坐標(biāo);1. 1,1.11,1,1,11,1, 1, 11, 1,1, 11,1,0,12,1,

39、311,1,0,00,1, 1,1,0。4下的坐標(biāo);3,這里A即為所求由基2 , 3,4,到1,2,2,3,X1X2X3X4所以在基下的坐標(biāo)為X1X21,4的過(guò)渡矩陣,將上式兩邊右乘得X11 X2X3X4X3X4491這里1 = 27113491192327 232627272 令 e1 (1,0,0,0),e2(0,1,0,0)(0,0,1,0),e4(0,0,0,1)則24)=( e1 , e2,e3 , e4 )110=( e1,e2 e3,e4)A,14)=( e1，e2,e3，e4) 03=(1el , e2,e3，e4 ) B,將(e1 , e2,e3 , e4 )=(一 1 .

40、_ 一4) A代入上式，得這里2,4)A31351=13213331311331321313且A 1B即為所求由基1331341001131311,A 1B=101，410111131300107813131, 2,3 ,4,到基1, 2,3 ,4的過(guò)渡矩陣6511,進(jìn)而有1,0。0所以在1,=(e1，e2,e3,e4)3, 4)3 e,e2,e3,e4 同 2 ,3,1 A=1313513213 3134下的坐標(biāo)為同理可得,B=313,513,213,313標(biāo)。1=1一 4則所求由1B=再令2,1, 2, 3, 4的過(guò)渡矩陣為2+c1,0,0,03+da, b, c, d由上式可解得 在下的

41、坐標(biāo)為10.繼第又因?yàn)閍, b, c, d2,9題1)求一非零向量4,2 a,b, c, d1它在基在兩基下的坐標(biāo)為 x1,x2, x3,x4x1X2x3x44下的坐標(biāo)為2,1,1,x1又2x3x4卜有相同的坐1 , 2 , 3, 4)3,4)A，所以于是只要令X4c,就有x1 2x23x3 6cX1X2X1X3X3 c ,2c0,X1X1X1X2X2/_X2=A(A - E )X3X3X3X4X4X4二0。0,且解此方程組得X1, X2,X3,X4二 c, c,c,（c為任意非零常數(shù)）,取c為某個(gè)非零常數(shù)c0 ,則所求c0 1 c0 2c0 3 c0 4。.證明：實(shí)數(shù)域作為它自身的線性空間與

42、第3題8）中的空間同構(gòu)。證 因?yàn)樗鼈兌际菍?shí)數(shù)域上的一維線性空間，故同構(gòu)。.設(shè)M,V2都是線性空間V的子空間，且V1 V2,證明：如果V1的維數(shù)與V2的維數(shù)相等，那么V1 V2。證 設(shè)dim（ V1）二r ,則由基的擴(kuò)充定理，可找到V1的一組基a1，a2,.a.，因V1,且它們的唯數(shù)相等，故a1, a2,ar,也是V2的一組基，所以V1二V2 。13. A Pn no1）證明：全體與可交換的矩陣組成的一個(gè)子空間，記做C (A);2）當(dāng) A二E時(shí)，求 C （A）;3)當(dāng) A=時(shí)，求C (A)的維數(shù)和一組基。n證1 )設(shè)與A可交換的矩陣的集合記為C(A)O若B,D屬于C(A),可得A(B+D尸AB+

43、AD=BA+DA=(B+D)A ,故B+D C(A)。若k是一數(shù)，B C(A),可得A (kB) =k(AB)=k(BA)=(kB)A ,所以kB C(A)O故C(A)構(gòu)成pnn子空間。2)當(dāng) A=E時(shí)，C (A) =pn n。3)設(shè)與A可交換的矩陣為B=( bj )，則B只能是對(duì)角矩陣,故維數(shù)為 n, Eii,E22,.Enn即為它的一組基。14.設(shè)求中全體與可交換的矩陣所成的子空間的維數(shù)和一組基。解若記1 0 0A= 0 1 00 0 10 0 0000 E S,3 1 1abc并設(shè)B= a1b1c1與A 口父換，即a2b2c2000abcSB=000a1b1 c1311 a2b2 c23

44、aabc0 0 0 3cBS=a1b1c10 0 0 = 3ga2b2c23 1 13c2AB=BA 貝U SB=BS 且由可是g c 0,000000，a1a2 3b b1b23c c1c2ccc1Ci ,c2c23a a1a23c23b b1b2 c23c2 3a a1a2 c2 3b b1 b2該方程組的系數(shù)矩陣的秩為2,所以解空間的維數(shù)為5。取自由未知量a, c2,并令b=1,其余為0,得c2=3,a=3;令ai =1,其余為0,得 C2 =3,a=令bi =1,其余為0,得 C2=1,a=1;令a2 =1,其余為0,c2=0,a=13；令b2=1,其余為0,C2=1,a=1;則與A可

45、交換的矩陣為其中B=a2bib2C2,a,C2可經(jīng)b,a1，a2,b1,b2表示，所求子空間的一組基為且維數(shù)為5。同理,.如果C1a證由GC3.在P4中,a11)a2a3a4C2C30,且 C1C30,所以a可線性表出。故 L a,證明:a,經(jīng)線性表出，即=L求由下面向量組生成的子空間的基與維數(shù)。設(shè)2,1,3,1(1,2,0,1)1,1, 3,0)(1,1,1,1)a2a3a42,1,3, 1(1,1, 3,1)(4,5,3, 1)(1,5, 3,1)=L可經(jīng)解 1) a1，a2,a3,a4的一個(gè)極 大線性 無(wú)關(guān)組a1，a2,a4 ,因此a1，a2, a4為L(zhǎng) 81,82,33,84的一組基，

46、且的維數(shù)是 3。2) 31,32,33, 34的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為ai, a2,故 ai,a2是ai,a2, a3,84 的一組基，且維數(shù)為 2。17.在P4中，由齊次方程組3x12x25x34x43x1X23x33x43x15x213x311x4000確定的解空間的基與維數(shù)。解對(duì)系數(shù)矩陣作行初等變換，有1311所以解空間的維數(shù)是2,它的一組基為311 82 7 一，一,1,0 , 32- , ,0,1 。9 39 318.求由向量1,2生成的子空間與由向量2生成的子空間的交的基與維數(shù)，設(shè)321,21,01,1,1,12,1,1,0,11,3,731321,1,0,01,0,1,10,0,1

47、,10,1,1,03132331,2, 1, 2(3,1,11)(1,0,1, 1)設(shè)所求交向量則有k1k2k12k1k1k2k2k2k2l12,5, 6, 51,2,7,3k2l12l1l13l2l2l20l11 l22,l2 20,7l2 0可算得D19.因此方程組的解空間維數(shù)為(1,4, .3,1)所以它們的交）設(shè)所求交向量k1則有k1k2k2L(1,）是一維的,k111112120,故交的維數(shù)也為就是其一組基。任取一非零解523,4),k22 l111 22 ,因方程組的系數(shù)行列式不等于交的維數(shù)為0。）設(shè)所求交向量為得120,故方程組只有零解，即 k1 k2k1k22111k13k2k

48、32112klk12 klk281k2k2k3k32126115110,因此交向量11設(shè)V1與V2分別是齊次方程組X1127120 312 0知解空間是維的,因此交的維數(shù)是X21就是組基。Xn0,Xi X2(k1，k2,11, I2)=11120,從而1。令 111,可Xn的解空間,證明：PnV1V2.由于 X1x2Xn間是你 n其基為1( 1,1,0,.,0), 2( 1,0,1,.,0),., n 1(1,0,0,.,1)而由X1X2Xn 1 Xn知其解空間是1維的，令xn1,則其基為(1,1,.,1).且1, 2，n 1,即為Pn的一組基，從而 Pn V1 V2.又 dim(Pn) di

49、m(V1) dim(V2),故 Pn VV2.。.證明：如果 VV1V2 M V11 V12,那么V V11 V12V2。證 由題設(shè)知VV11V12 V2，因?yàn)閂 V1 V2,所以dim(V) dim(V1) dim(V2),又因?yàn)?V1V11V12，所以dim(V1) dim(V11) dim(V12),故 dim(V) dim(V11) dim(V12) dim( V2),即證 V V11 V12 V2。.證明：每一個(gè)n維線性空間都可以表示成n個(gè)一維子空間的直和。證 設(shè)1, 2,., n是n維線性空間V的一組基。顯然L( 1),L( 2)，.，L( n)都是V的dim( L( 1)一維子空

50、間，且L( 1) L( 2) . L( n) L( 1, 2,., n)=V,又因?yàn)閐im( L( 2) . dim( L( n) dim(V),故 V L( 1) L( 2)L( n)。i 1Vj0(i 2,.,s)。j 1s.證明：和Vj是直和的充分必要條件是 Vii 1Vj 0,所以 j1i 1證 必要性是顯然的。這是因?yàn)?ViVj Vij1i 1ViVj 0。j1s TOC o 1-5 h z 充分性 設(shè) Vi不是直和，那么0向量還有一個(gè)分解 012i 1其中jVj(j 1,2,., s)。在零分解式中，設(shè)最后一個(gè)不為0的向量是 k(k s),則012. k 1 k ,即 12. k

51、1 k ,k1k1因此kVj, k Vk,這與Vk Vj 0矛盾，充分性得證。j1j123.再給定了空間直角坐標(biāo)系的三維空間中，所有自原點(diǎn)引出的向量天添上零向量構(gòu)成一個(gè)三維線性空間 R3。1)問(wèn)所有終點(diǎn)都在一個(gè)平面上的向量是否為子空間2)設(shè)有過(guò)原點(diǎn)的三條直線，這三條直線上白全部向量分別成為三個(gè)子空間L1,L2,L3,問(wèn)LiL2,Li L2 L3能構(gòu)成哪些類(lèi)型的子空間，試全部列舉出來(lái)；3)就用該三維空間的例子來(lái)說(shuō)明，若 U,V,X,Y是子空間，滿足 U+V= X, X Y,是否一 定有 Y YI U Y I V。解1)終點(diǎn)所在的平面是過(guò)原點(diǎn)的平面，那么所有這些向量構(gòu)成二維子空間；但終點(diǎn)在 不過(guò)原

52、點(diǎn)的平面上的向量不構(gòu)成子空間，因?yàn)閷?duì)加法不封閉。Li L2 ;(1)直線11與l2重合時(shí)，是L1L2一維子空間；li與12不重合時(shí)，時(shí)Li L2二維子空間。Li L2 L3 ：li，l2/3重合時(shí)，LiL2 L3構(gòu)成一維子空間；li，l2,l3在同一平面上時(shí)，Li L2 L3構(gòu)成二維子空間；li，l2,l3不在同一平面上時(shí)，Li L2 L3構(gòu)成三維子空間。3)令過(guò)原點(diǎn)的兩條不同直線li, l2分別構(gòu)成一維子空間U和V, X= U+ V是二維子空間，在li, l2決定的平面上，過(guò)原點(diǎn)的另一條不與li, l2相同的直線l3構(gòu)成一維子空間 Y,顯然 Y X,Y U 0, Y V 0,因此(Y U)

53、(Y V) 0, 故Y (Y U ) (Y V)并不成立。二.補(bǔ)充題參考解答1.1)證明：在 Pxn 中，多項(xiàng)式 fi(x i).(X i i)(X i i).(X n)(i=1, 2,，n)是一組基，其中 1, 2,., n是互不相同的數(shù)；2)在1)中，取1, 2,., n是全體n次單位根，求由基1, x ,., xn 1到基f1, f2 ,., fn的過(guò)渡矩陣。1 )設(shè) k1flk2 f2kn1代入上式，得f2（ 1） f3（1）fn(1）0，f1（ 1）0,于是k1 = 0。同理，將x2,., Xn分別代入,可得女2女3kn0,f1, f2,., fn 是 PX n 的一組基。所以f1,

54、 f2,., fn線性無(wú)關(guān)。而Px n是n維的,故2)取1 , 2,.n為全體單位根1, . 2nfiX 1,21 X XX 1nX 1 n 1 n 2Xn故所求過(guò)渡矩陣為f 工 in Xo.n 11, 2 ,.維線性空間V個(gè)n x s矩陣，且1, 2,., s)( 1 , 2,., n)A)證明：L（2 ，.，s）的維數(shù)等于A的秩。只需證2 ,.s的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)等于A的秩。設(shè)asamanrans且rank (A) r, r min(n,s)。不失一般性，可設(shè) A的前r列是極大線性無(wú)關(guān)組，由條1all 1 a21 2an1 n件得rar 1 a2r 2anr ns a1s 1a

55、 2s 2 a ns n可證1, 2,.,構(gòu)成1, 2,., r, r1,., s的一個(gè)極大線性方程組。事實(shí)上，設(shè) I11sk11k22kr r 0,于是得(ka11. krar) 1(k1a21. ka2r) 2.(k1an1. krar) n 0,a11kla12k2. a1r kr0因?yàn)?, 2,., n線性無(wú)關(guān)，所以amKan2k2a nr kr 0該方程組的系數(shù)矩陣秩為r,故方程組只有零解k1k2kr0,日KE 1 , 2 ,., r線性無(wú)關(guān)。其次可證：任意添一個(gè)向量j后，向量組2,., r，j 一定線性相關(guān)。事實(shí)上,ank1a12k2. arkr如勺設(shè) k 1k2 2kr r kj

56、 j 0 ,于是an1k1 an2k2anr kr anj k j其系數(shù)矩陣的秩為rr+1 ,所以方程組有非零解k1,k2,.,kr,k,即1, 2,., r, j線性相關(guān)。因此， 1, 2,., 是1, 2,.,s的極大線性無(wú)關(guān)組。從而L( 1, 2,., s)的維數(shù)等于A的秩，即等于rank(A)。13.設(shè)f (x1,X2,.,Xn)是一秩為n的二次型，證明：有 Rn的一個(gè)(n s)維子空間Vi(其中為符號(hào)差),使對(duì)任一(x1,x2,., xn)V1，有 f(x1,x2,.,xn)= 0。證 設(shè)f (x1,x2,.,xn)的正慣性指數(shù)為p,負(fù)慣性指數(shù)為q,則p+q=n。于是存在可逆矩陣,c, Y= CX 彳f (x1 ,x2,.,xn)=y1. yp yp 1. ypq11由 一