定角夾定高(學(xué)生版)

1、定角夾定高（探照燈模型）什么叫定角定高，如右圖，直線BC外一點(diǎn)A,A到直線BC距離為定值（定高），ZBAC為定角。則AD有最小值。又因?yàn)椋裉秸諢粢粯铀砸步刑秸諢裟Ｐ?。我們可以先看一下下面這張動圖，在三角形ABC當(dāng)中，ZBAC是一個定角,過A點(diǎn)作BC邊的高線，交BC邊與D點(diǎn)，高AD為定值。從動態(tài)圖中（定角定高動態(tài)圖gsp）疋角疋高動態(tài)圖.gsp我們可以看到，如果頂角和高，都為定值，那么三角形ABC的外接圓的大小，也就是半徑，是會隨著A點(diǎn)的運(yùn)動而發(fā)生變化的。從而弦BC的長也會發(fā)生變化，它會有一個最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面積就有一個最小值。我們可以先猜想一下，AD過圓心的

2、時(shí)候，這個外接圓是最小的，也就是，BC的長是最小的，從而三角形ABC的面積也是最小的。（定長可用圓處理，特別，定長作為高可用兩條平行線處理）那么該如何證明呢？首先我們連接OA，OB，OC,過O點(diǎn)作OH丄BC于H點(diǎn).（如圖1）顯然OA+OHAD，當(dāng)且僅當(dāng)A,O,D三點(diǎn)共線時(shí)取“=”由于ZBAC的大小是一個定值，而且它是圓o的圓周角，因此它所對的圓心角ZAOB的度數(shù)，也是一個定值。因此OH和圓O的半徑，有一個固定關(guān)系，所以，OA+OH也和O的半徑，有一個固定的等量關(guān)系。再根據(jù)我們剛才說的，OA+OHAD，就可以求得圓O半徑的最小值。簡證：OA+OHADOEDH為矩形，OH=ED,在RtAOE中,A

3、OAE,.AO+OH=AO+EDAE+ED=AD【總結(jié)】：定角定高三角形面積最小值時(shí)，該三角形為等腰三角形，其定高是所對底邊的垂直平分線，或者說定高過該三角形外接圓圓心。定角可以看做是圓周角，因此它所對圓心角不變，往往要通過圓心角所在等腰三角形中解直角三角形。定角定高作用，求這類三角形高所對底的最小值，以及這類三角形最小面積例1（旋轉(zhuǎn)全等構(gòu)造）：（2017曲江區(qū)模擬&巧學(xué)數(shù)學(xué)）如圖，在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=4,ADBC,ZB=60，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩個動點(diǎn)，且ZEAF=60。，則AAEF的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由。例2：(巧學(xué)數(shù)

4、學(xué))已知等邊ABC,點(diǎn)P是其內(nèi)部一個動點(diǎn)，且AP=10,M、N分別是AB、AC邊上的兩個動點(diǎn)，求APMN周長最小時(shí)，四邊形AMPN面積的最大值.【解題步驟】：1作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為r,用r表示圓心到底邊距離及底邊長;根據(jù)“半徑+弦心距三定高”求r的取值范圍；用r表示定角定高三角形面積，用r取值范圍求面積最小值?！竞唵翁秸諢簟咳鐖D，在AABC中，ZACB=60,CD為AB邊上的高，若CD=4，試判斷AABC的面積是否存在最小值？若存在，請求出面積最小值；若不存在，請說明理由.(高新一中6模)問題提出：如圖，已知Z4OB=45，點(diǎn)P在ZAOB內(nèi)部，且OP=10，若點(diǎn)M、N分別在

5、射線OA、OB上運(yùn)動,則APMN周長的最小值為如圖，在AABC中，AB=AC，AD丄BC,ZBAC=45,AD=22.請計(jì)算BC的長。BHC（3）某市成功躋身國家中心城市的行列，該市擬在如圖所示的區(qū)域，建造城市最大的文化生態(tài)公園。已知在四邊形ABCD中，ZABC=60，公園的設(shè)計(jì)師想在園中距離點(diǎn)B為100米的點(diǎn)P處修一休息室，同時(shí)在AB上選點(diǎn)M在邊BC上選點(diǎn)N,分別連接P、M、N,使APMN在周長最短的情況下，景觀綠化區(qū)四邊形BMPN的面積最大。設(shè)計(jì)師的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？如果能，請求出四邊形BMPN面積的最大值，若不能，說明理由。如圖，正方形ABCD的邊長為4,動點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且ZE

6、AF=45，則線段EF的最小值為；5CEF面積的最大值為；四邊形AECF面積的最大值為.（可將“ZEAF=45”更改為“ZDAE=ZFEA”同題5）4.如圖，四邊形ABCD中，AD/BC,ZD=90,BC=CD=4，E為CD邊上任意一點(diǎn)，連接AE、BE,若ZEAB=ZCBA，AABE的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由。（也可半角模型旋轉(zhuǎn)全等）5.（難）如圖，等邊ABC邊長是1,O是外心，過點(diǎn)O任意作一條直線分別交AB,BC于點(diǎn)D,E.將BDE沿直線DE折疊，得到BDE，若BE交AC于點(diǎn)F.試求EF的最小值，CEF面積的最大值6.（旋轉(zhuǎn)全等轉(zhuǎn)化）在四邊形ABCD中，A

7、B=AD,ZBAD=60,ZADC=150。，過點(diǎn)D作DH丄BC,垂足為H,若DH=2，求AC的最小值.【定角定高求周長最小】(探照燈問題由來)問題探究：如圖1,已知等邊ABC,邊長為4,則的外接圓的半徑長為.如圖2,已知在矩形ABCD中,AB=4,對角線BD與邊BC的夾角為30，點(diǎn)E在為邊BC上且BE二1BC,4點(diǎn)P是對角線BD上的一個動點(diǎn)，連接PE、PC,求APEC周長的最小值.問題解決：為了迎接新年的到來,西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演.其中一個鐳射燈距城墻30米,鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60，如圖3,若將兩根管線(AB、AC)和光線與城墻的兩交點(diǎn)的連接的線段(BC)看作一個三

8、角形，記為ABC,那么該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.圖1圖2在AABC中，ZBAC=60，高AD=30,求周長的最小值。在AABC中，ZBAC=90。，高AD=2，求AABC周長的最小值.【旋轉(zhuǎn)全等構(gòu)造探照燈】正AABC邊長為2+3,PB丄AB,PC丄AC,M,N分別在PB、PC上,ZMAN=30，則Sam最最小時(shí)，MN=2如圖，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花圃劃分為幾個區(qū)域種植不同花草。在四邊形ABCD中,ZBAD=45,ZB=ZD=90,CB=CD=0込，點(diǎn)E、F分別為邊AB.AD上的點(diǎn)，若保持CE丄CF,那么四邊形AECF的面積是否存在最大值,若存在,請求出

9、面積的最大值；若不存在,請說明理由。3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=3,ZBAD=120,ZB=ZD=90，且ZEAF=60。，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，則AAEF面積的最小值是多少？如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=4込,ZB=45,ZD=135，點(diǎn)E,F分別是射線CB、CD上的動點(diǎn),并且ZEAF=ZC=60。，求AAEF的面積的最小值.5.（初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)資源中心20190619）如圖，有一塊四邊形ABCD板材，AD=40.：3cm,ZC=60,AD/BC,AB丄BC,工人師傅想從四邊形ABCD的板材中截出一個四邊形FMCN部件，且滿足F在AB上,BF=80cm,AF=40cm

10、，點(diǎn)M在CD上，點(diǎn)N在BC,ZMFN=90，這個四邊形FMCN部件的面積是否存在最大值？若存在，求出面積最大值；若不存在,請說明理由。6如圖，O是正方形ABCD的中心，AOEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，OE=AB=4,NOEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)它與正方形ABCD的重疊部分的面積為S,求S的取值范圍。7.如圖，四邊形ABCD邊長為6的菱形，其中，厶A=60。,E、F分別在射線AB、BC上，ZEDF=90求AEDF面積的最小值.&（2019碑林區(qū)校級模擬）（1）如圖1,已知ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，E,F分別為邊AC，BC上的動點(diǎn)，連接EF,DE,DF,請直接寫出ABC的

11、面積；若ZEDF=120,請求出ACEF周長的最小值；（2）如圖2,已知四邊形ABCD中，AD=3,AB=2,BC=4,ZB=60,ZD=90,E為BC邊上一個動點(diǎn)，點(diǎn)F在直線CD上，且滿足EA丄AF,連接EF.試探究AAEF的面積是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值；若不存在，說明理由AEBABEB備用圖【旋轉(zhuǎn)位似構(gòu)造探照燈】（陜西初中數(shù)學(xué)學(xué)堂定角三角形研究二）如圖，正ABC邊長為3,D、E、F分別在邊BC、AB、AC上,BD=2CD,ZEDF=60，求：ADEF面積的最小值（陜西初中數(shù)學(xué)學(xué)堂定角三角形研究二）（旋轉(zhuǎn)全等）AABC,ZA=120,AB=AC=1,D是BC中點(diǎn)，ZEDF=1

12、20，求：ADEF面積的最小值（陜西初中數(shù)學(xué)學(xué)堂定角三角形研究二）在ABC中，ZA=120,AB=AC,D是BC上一點(diǎn)，CD=kBD,/EDF=120，求：ADEF面積的最小值（陜西初中數(shù)學(xué)學(xué)堂定角三角形研究二）在厶ABC中，ZA=9,AB=AC,D、E、F分別是BC、AB、AC上的點(diǎn)，CD=k-BD,ZEDF=5,（0+8-180。0），求ADEF面積的最小值.（化簡需用到高中誘導(dǎo)公式）如圖，四邊形ABCD中，ZA=135,ZB=60,ZD=120,AD=5,AB=6,E、F分別為邊BC及射線CD上的動點(diǎn)，ZEAF=45，求AAEF面積的最小值.如圖，四邊形ABCD中，ZB=ZD=60,ZC

13、=90,AD=2AB=2,M、N分別在直線BC、CD邊上，ZMAN=60，求AAMN面積最小值.7如圖，ZMEN=90,其頂點(diǎn)E為正方形ABCD邊BC的中點(diǎn)，正方形的邊長為4,將上MEN繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),邊EM與正方形的邊交于點(diǎn)F,邊EN與正方形的邊交于點(diǎn)G,求AEFG面積的取值范圍.（ZMEN為其他角度。2.（平幾大典）ZBAM=ZABN=90,ZMPN=60，AP=2PB=2，求SpM最小值【8字相似構(gòu)造探照燈】1.已知矩形ABCD,AB=10,AD=18,BE:EA=2:3,F、G分別是BC、AD上的動點(diǎn)，滿足ZFEG=60，求EFG面積的最小值。【變式】定周長；定角；定旁切圓。知二推一，求面

14、積最大值（定周長+定角定旁切圓）如圖，已知ABC的周長為6,ZA=120，求ABC面積的最大值.（定周長+定角n定旁切圓）【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1,已知ABC,試確定一點(diǎn)P,使其到ABC三邊距離相等?！締栴}探究】如圖2，已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E、F分別在DC、CB上，且ZEAF=45,G為FC的中點(diǎn)，求四邊形AEGF的面積.【問題解決】河北公園要圍一個三角形花圃。如圖3,結(jié)合各項(xiàng)實(shí)際因素，將這個三角形花圃（AABC）的一個內(nèi)角（ZA）設(shè)計(jì)為120，并使其面積最大?，F(xiàn)用于圍花圃的柵欄有20m，則這個計(jì)劃是否可行？若可行，求出邊BC的長度（結(jié)果保留根號）；若不可行，請說明理由。圖1EFG圖2圖3CE（定旁切圓+定周長n定周長）如圖，在ABC中，BC=6,AC=8,AB=10,點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在邊AC.BC上，且DE恒過ABC的內(nèi)心I.點(diǎn)C關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,DC、EC分別交AB于點(diǎn)F、點(diǎn)G,則FC+GC的最大值是【定角夾定角分線】1.(2019定角夾定角分線)如圖，在同一平面內(nèi)的ABC與ACDE均為等邊