廣東省江門佛山兩市2022學年高考臨考沖刺數(shù)學試卷(含解析)

1、2022學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設函數(shù)的定義域為，命題：，的否定是（ ）A，B，C，D，2下列命題為真命題的個數(shù)是（ ）（其中，為無理數(shù)）；.A0B1C2D33九章算術中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，當

2、陽馬體積的最大值為時，塹堵的外接球的體積為（ ）ABCD4過圓外一點引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是（ ）ABCD5已知ab0，c1，則下列各式成立的是（）AsinasinbBcacbCacbcD6已知是過拋物線焦點的弦，是原點，則（ ）A2B4C3D37若復數(shù)是純虛數(shù)，則( )A3B5CD8半正多面體(semiregular solid) 亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形為面的半正多面體.如圖所示，圖中網(wǎng)格是邊長為1的正方形，粗線部分是某二十四等邊體的三

3、視圖，則該幾何體的體積為（ ）ABCD9若的展開式中的系數(shù)之和為，則實數(shù)的值為（ ）ABCD110設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（ ）AB3C1D11如圖所示的莖葉圖為高三某班名學生的化學考試成績，算法框圖中輸入的，為莖葉圖中的學生成績，則輸出的，分別是（） A，B，C，D，12設為定義在上的奇函數(shù)，當時，(為常數(shù))，則不等式的解集為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，已知，若對任意都有成立，則的值為_14若變量，滿足約束條件則的最大值為_.15如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為_. 16設向

4、量，且，則_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.18（12分）已知函數(shù)，.（1）當為何值時，軸為曲線的切線；（2）用表示、中的最大值，設函數(shù)，當時，討論零點的個數(shù).19（12分）某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝，再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個8

5、0元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1：一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2：二級濾芯更換頻數(shù)條形圖 以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各

6、級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率；（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定的值.20（12分）已知數(shù)列滿足（），數(shù)列的前項和，（），且，（1）求數(shù)列的通項公式：（2）求數(shù)列的通項公式（3）設，記是數(shù)列的前項和，求正整數(shù)，使得對于任意的均有21（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方

7、程；（2）設為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且，射線交曲線分別于，求面積的最小值，并求此時四邊形的面積.22（10分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.（）證明：；（）設，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30，求的值.2022學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】根據(jù)命題的否定的定義，全稱命題的否定是特稱命題求解.【題目詳解】因為：，是全稱命題，所以其否定是特稱命題，即，.故選：D【答案點睛】本題主要考查命題的否定，還考查了理解辨析

8、的能力，屬于基礎題.2、C【答案解析】對于中，根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對于中，構造新函數(shù)，利用導數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進而得到，即可判定是錯誤的；對于中，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【題目詳解】由題意，對于中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對于中，設函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，則又由，所以，即，所以不正確；對于中，設函數(shù)，則，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【答案點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導數(shù)在函

9、數(shù)中的綜合應用，其中解答中根據(jù)題意，合理構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.3、B【答案解析】利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【題目詳解】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【答案點睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應用,體現(xiàn)了數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).4、A【答案解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為，故選5、B【答案解析】根據(jù)函數(shù)單

10、調(diào)性逐項判斷即可【題目詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定，故錯誤；對B,因為ycx為增函數(shù)，且ab，所以cacb，正確對C,因為yxc為增函數(shù),故 ，錯誤；對D, 因為在為減函數(shù)，故 ，錯誤故選B【答案點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎題6、D【答案解析】設，設：，聯(lián)立方程得到，計算得到答案.【題目詳解】設，故.易知直線斜率不為，設：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【答案點睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積，設直線為可以簡化運算，是解題的關鍵 .7、C【答案解析】先由已知，求出，進一步可得，再利用復數(shù)模的運算即可【題目詳解】由z是純虛數(shù)，

11、得且，所以，.因此，.故選：C.【答案點睛】本題考查復數(shù)的除法、復數(shù)模的運算，考查學生的運算能力，是一道基礎題.8、D【答案解析】根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示，求出該幾何體的棱長，可以將該幾何體看作是相應的正方體沿各棱的中點截去8個三棱錐所得到的，可求出其體積.【題目詳解】如下圖所示，將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長為2的正方體中，由三視圖可知，該幾何體的棱長為，它是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，該幾何體的體積為，故選：D.【答案點睛】本題考查三視圖，幾何體的體積，對于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點得到，屬于中檔題.9、B【答案解析】由，進而分

12、別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實數(shù)的值.【題目詳解】由，則展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【答案點睛】本題考查二項式定理的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.10、D【答案解析】整理復數(shù)為的形式,由復數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【題目詳解】由題,因為純虛數(shù),所以,則,故選:D【答案點睛】本題考查已知復數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復數(shù)的除法運算.11、B【答案解析】試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績不小于80的有12個，成績不小于60且小于8

13、0的有26個，故，考點：程序框圖、莖葉圖12、D【答案解析】由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【題目詳解】因為在上是奇函數(shù).所以，解得，所以當時，且時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，故有，解得.故選：D.【答案點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由已知條件得出關于首項和公差的方程組，解出這兩個量，計算出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對應的值，即可得解.【題目詳解】設等差數(shù)列的公

14、差為，由，解得，.所以，當時，取得最大值，對任意都有成立，則為數(shù)列的最大值，因此，.故答案為：.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列前項和最值的計算，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計算能力，屬于中等題.14、7【答案解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合，即可容易求得目標函數(shù)的最大值.【題目詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當直線過點時，有最大值，.故答案為：.【答案點睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結合思想，屬基礎題.15、【答案解析】由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關系，進而可寫出半

15、球的半徑與四棱錐體積的關系，進而求得結果.【題目詳解】設所給半球的半徑為，則四棱錐的高，則，由四棱錐的體積，半球的體積為：.【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.16、【答案解析】根據(jù)向量的數(shù)量積的計算，以及向量的平方，簡單計算，可得結果.【題目詳解】由題可知：且由所以故答案為：【答案點睛】本題考查向量的坐標計算，主要考查計算，屬基礎題.三、解答題：

16、共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）（）見證明【答案解析】（）求導得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構造函數(shù)，通過求導判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（）由是減函數(shù)，且可得，當時，則，即，兩邊同除以得，即，從而 ，兩邊取對數(shù) ，然后再證明恒成立即可，構造函數(shù)，通過求導證明即可【題目詳解】解：（）的定義域為，.由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設.，由知，當時，；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在時取得最大值.又，對任意的，恒成立，即的最大值為.，解得.（）由是減函數(shù)，且可得，當時，即.兩邊同除以得，即.從而 ，所以 .下面證；記，. ，在上單調(diào)

17、遞增，在上單調(diào)遞減，而，當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，即時，當時，.，當時，即.綜上可得，.【答案點睛】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系，考查了函數(shù)的最值，考查了構造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計算求解能力，屬于難題，18、（1）；（2）見解析.【答案解析】（1）設切點坐標為，然后根據(jù)可解得實數(shù)的值；（2）令，然后對實數(shù)進行分類討論，結合和的符號來確定函數(shù)的零點個數(shù).【題目詳解】（1），設曲線與軸相切于點，則，即，解得.所以，當時，軸為曲線的切線；（2）令，則，由，得.當時，此時，函數(shù)為增函數(shù)；當時，此時，函數(shù)為減函數(shù).，.當，即當時，函數(shù)有一個零點；當，即當時，函數(shù)有兩個零點；當，即當時

18、，函數(shù)有三個零點；當，即當時，函數(shù)有兩個零點；當，即當時，函數(shù)只有一個零點.綜上所述，當或時，函數(shù)只有一個零點；當或時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有三個零點.【答案點睛】本題考查了利用導數(shù)的幾何意義研究切線方程和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，關鍵是分類討論思想的應用，屬難題19、（1）0.024；（2）分布列見解析，；（3）【答案解析】（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二

19、級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，而的可能取值為8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及數(shù)學期望；（3）由，且，可知若，則，或若，則，再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【題目詳解】（1）由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件，因為一個一

20、級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，所以.（2）由柱狀圖知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，由題意的可能取值為8，9，10，11，12，從而，.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16（個）.或用分數(shù)表示也可以為89101112（個）.（3）解法一：記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用（單位：元）因為，且，1若，則，（元）；2若，則，（元）.因為，故選擇方案：.解法二：記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級濾芯和二級濾芯所需費用（單位：元）1若，則

21、，的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級濾芯所需總費用為（元）；2若，則，的分布列為800100012000.520.320.16（元）.因為所以選擇方案：.【答案點睛】此題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及應用，考查古典概型，考查運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）（）（2），（3）【答案解析】（1）依題意先求出,然后根據(jù) ,求出的通項公式為,再檢驗的情況即可;（2）由遞推公式,得, 結合數(shù)列性質(zhì)可得數(shù)列相鄰項之間的關系,從而可求出結果;（3）通過（1）、（2）可得,所以,記,利用函數(shù)單調(diào)性可求的范圍,從而列不等式可解.【題目詳解】解：（1）因為數(shù)列滿足（）；當時,檢驗當時, 成立.所以,數(shù)列的通項公式為（）（2）由,得, 所以, 由,得,即, 所以, 由,得,因為,所以,上式同除以,得,即,所以,數(shù)列時首項為1,公差為1的等差數(shù)列,故,（3