角的計算與證明

1、角的計算與證明余加補和及伯分線的簡丫運雋-兒的計算與證明角度計算屮的分類討論-一角的定義、表示方法、分類.角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，這條射線叫做這個角的角平分線.余角和補角余角：如果兩個角的和等于 90，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角. 補角：如果兩個角的和等于 180，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角. 兩個基本定理： 同角（或等角）的余角相等.同角（或等角）的補角相等.注意：暑期班提及過余角、補角、角分線相關知識但只是簡單介紹，本講深入了解，并讓學生熟練掌 握對于角的基本概念、分類和表示方法等相關知識這里不再重復講解，

2、建議教師根據(jù)班級情 況自行講解.【例1】如果90，而與互余,那么與的關系為（）A .互余B.互補C.相等D.不能確定已知是銳角,與互補，與互余，則的值等于A. 45B .60C. 90D.180如果和互補，且，則下列表示的余角的式子中：9090 ；!（):-( ).正確的有（）22A .4個B . 3個C . 2個D . 1個一個角的余角的2倍和它的補角的1互為補角，求這個角的度數(shù).2【解析】C;同角或等角的余角相等；C; 一個角的補角與這個角的余角的差等于90B; 設這個角的度數(shù)為x，則它的余角為90 x，補角為180 x，由題意，得：12（90 x） -（180 x） 180，解得：x 3

3、6 .【鋪墊】 下列說法：銳角的補角一定是鈍角；一個角的補角一定大于這個角；如果兩個角是 同一個角的余角，那么它們相等；銳角和鈍角互補.其中正確的說法有（）A . 4個 B. 3個C. 2個 D . 1個下列說法中，正確的是（）A.一個角的補角必是鈍角B .兩個銳角一定互為余角C.直角沒有補角D .如果 MON 180，那么M , O , N三點在一條直線上下列語句正確的是（）A .鈍角與銳角的差不可能是鈍角B .兩個銳角的和不可能是銳角鈍角的補角一定是銳角和 互補（），則 是鈍角或直角【解析】C;D;C.【備選】若個角的余角是40 ,則這個角是（)A .40B .50C . 60D .140

4、互為補角的兩個角度比是3: 2，這兩個角是（)A .108 , 72B.9585C .108 , 80D. 110 70 對于互補的下列說法中：/A+ / B+ / C=90 ，則/ A、/ B、/ C互補；若/ 1是/2的補角，則/ 2是/ 1的補角；同一個銳角的補角一定比它的余角大90。：互補的兩個角中，一定是一個鈍角與一個銳角.其中，正確的有（）A .1個B . 2 個C .3個D. 4個如圖，A ,O ,B在一條直線上，AOC是銳角，則 AOC的余角是（）A .1BOCAOCB .1BOC AOCC222C .1-(BOCAOC)D.1-(BOCAOC)23AOB【解析】B ；2）A

5、；B ；C.【總結(jié)】復習余角與補角的基本概念【例2】如右圖，已知直線AB、CD相交于點O ,OE平分COB ,若 EOB 55，貝U BOD的度數(shù)是（ ）A . 35 B. 55 C. 70D. 110D如右圖，分別在長方形 ABCD的邊DC、BC上取兩點E、 使得AE平分/ DAF，若/A 15 B30 BAF = 60C. 45則/ DAE =( D 60 如右圖，OM平分求BOC 10 ,AOB ,AODON平分COD，若 MONF，)50（東城區(qū)期末）【解析】【例3】【解析】C;A;AOD 2 MONBOC501090 如圖所示,如果如果如果OM AOC MON MON是28 ,n求出

6、 AOB的度數(shù)；n的大小改變，AOB的大小是否隨之改變？AOC的平分線，MON 35ON是，求出BOC的平分線,AOB的度數(shù)；它們之間有怎樣的大小關系？請寫出來 OM平分MOC ON平分NOCAOC1-AOC2AOC1-BOC2MONNOCMOCAOCMONAOB352 MON70 ；-AOB同上 AOB 2 MON MON的大小改變時2n ；AOB的大小也隨之改變當 0 n 1的自然數(shù)），則OA、OB以及這些射線為邊的銳角共有多少個？【解析】200個，2n題型三：角的綜合應用思路導航丁【提示】在 AOB的內(nèi)部，以O為頂點，畫1, 2, 3, 4條射線，數(shù)數(shù)各有多少個銳角，找出規(guī)律，再 計算1

7、00條射線、n條射線所構(gòu)成的銳角的個數(shù).1.方位角度”、南偏東 度”、南偏西90 .方位角一般以正北、正南為基準，描述物體運動方向 即北偏東 度”、北偏西方位角的取值范圍0 2鐘表問題：分針每分鐘轉(zhuǎn)6時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5【例6】 如右圖所示，下列說法中錯誤.的是（）A . 0/的方向是北偏西15 B . OB的方向是南偏西45OC的方向是南偏東 60OD的方向是北偏東60（西城區(qū)期末）東C 如左下圖所示的4 4正方形網(wǎng)格中,1234567如右下圖，將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于0點，則AOCBC 如圖，將兩塊三角板的直角頂點重疊在一起.圖10B圖2O如圖1,若AOD20，則COB如圖2

8、,若AOD30，則COB如圖3,若AOD50，則COB如圖4,若AOD猜想COB與證明你的結(jié)論.的數(shù)量關系為：（用式子表示）COB AOC AOB 9090180【解析】D;利用對稱性得315 ； 180 ;160 , 150 ,130 . COB180+（證明：|COD90 ,AOB 90 ,AODAOC90,BOD90（巔峰突號【例7】 飯后，韓老師準備外出散步，出發(fā)時看了一下鐘，時間是6點多，時針與分針成90角，散完步后回家，韓老師又看了一下鐘，還不到7點，而時針與分針又恰好成 90角，問韓老師外出多少分鐘？【解析】鐘表上相鄰兩個數(shù)字之間有 5個小格，每個小格表示1分鐘，如與角度聯(lián)系起來

9、，每小格6，秒針每分鐘轉(zhuǎn)過360，分針每分鐘轉(zhuǎn)過 6，時針每分鐘轉(zhuǎn)過 0.5 .設小明外出時，時間為 6點x分，又設小明回家時是 6點y分.由題意得1806x 0.5x90, 6y 1800.5y90解得x164 ,1 y 491111148y x4916 32 .111111【備選】，都是鈍角，甲、乙、丙、丁計算，1()的結(jié)果依次為50 , 26 , 72 , 90 ,6其中有正確的結(jié)果，則計算一定正確的是（）A .甲 B .乙 C .丙 D .丁已知 、中有兩個銳角和一個鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計算 丄的值時,15有三位同學分別計算出了23、24、25這三個不同的結(jié)果，其中有一個是正確答案

10、，則【解析】A ;345 .1因為90360，故6-24，所以三個結(jié)果中23是正確的，所以1515 23345 .思維拓展訓練（選講）訓練1.下列圖中的角表示方法正確的個數(shù)有（）CABA B直線是平角A O BAOB是平角 TOC o 1-5 h z A . 1個B . 2個C. 3個把20.3換算成度、分、秒的結(jié)果是 .用度表示72 23 42;計算 32 1625 4 78 25.計算 157 435 =.【解析】 B : 20 18 : 72.395 : 50 40 40 ;(5) 3132 36訓練2.如圖， AOB 90 , OE平分 AOC , OF平分 BOD , EOF比 CO

11、D的4倍少28 ,則COD (精確到秒)【解析】20 51 26 訓練3.從下午13: 00到當天下午13:50,時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度為 度.(西城區(qū)期末)【解析】300.訓練4.如圖，OC是/ AOB的平分線，且/ AOD = 90.O圖中/ COD的余角是 如果/ COD=24 45，求/ BOD的度數(shù).【解析】AOC , BOC ;解： AOC AOD COD 9024 45 65 15 因為OC是 AOB的平分線，所以AOB 2 AOC 130 30.所以 BOD BOC COD 65 15 24 45 40 30.題型一 余角、補角及角分線的簡單運算鞏固練習【演練1】如果一個角的補角

12、與余角的和，比它的補角與余角的差大60，求這個角的余角度數(shù).【解析】設這個角為x，則它的補角和余角分別為 180 x和90 x ,(180 x) (90 x) (180 x) (90所以這個角的余角的度數(shù)為30 x)60，所以 x 60 ,【演練2】 如圖，O為直線AB上一點，AOC 50 , OD平分請你數(shù)一數(shù)，圖中有多少個小于平角的角；求出 BOD的度數(shù)；請通過計算說明OE是否平分 BOC .AOC , DOE 90AOB【解析】 圖中共有9個小于平角的角； 155 ； BOE 180 DOE AOD 180902565 , COE 902565 ，所以BOE COE，即 OE 平分 BOC .題型二 角度計算中的分類討論鞏固練習【演練3】 已知 AOB 100， BOC 50，求 AOC的度數(shù)【解析】AOC等于50或150 .【演練4】 已知：OA、OB、OC是從點O引出的三條射線，AOB 85 , BOC 41 36，求 AOC .C東【解析】 注意分情況討論，容