高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)數(shù)列建模問題練習(xí)

1、7.5.3數(shù)列建模問題核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析基班考考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列簡單的實(shí)際應(yīng)用臼主竦蔭o題組練透o.有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè),現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要 （）A.6秒鐘 B.7秒鐘 C.8秒鐘 D.9秒鐘.我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題 ：“今有金第,長五尺，斬本一尺，重四斤.斬 末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根5尺長的金杖，一頭粗，一頭細(xì).在 粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤.問依次每一尺各重多少斤 ？”根據(jù) 上面的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，

2、問中間3尺的重量為（）A.6 斤 B.9 斤 C.9.5 斤 D.12 斤27r 7T.一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為 3 ,公差為36,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.為了觀看2022年的冬奧會，小明打算從2018年起，每年的1月1日到銀行存入a元的一年 期定期儲蓄，若年利率為 p,且保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期.2019年1月1日小明去銀行繼續(xù)存款a元后，他的賬戶中一共有 元；到2022年的1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則可取回 元. 口1 .2n【解析】1.選B.設(shè)需要n秒鐘，則1+22+2n-1 R100,所以 -100，所以n7.選B

3、.依題意，金杖由粗到細(xì)各尺的重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為an,則a1=4,a5=2,由等差數(shù)列的性質(zhì)得 a2+a4=a1+a5=2a3=6，所以a3=3，所以中間3尺的重量為a2+a3+a4 =3a3=9（斤）._ 1）文o 2.6.由于凸n邊形的內(nèi)角和為（n-2）兀，故 n+x =（n-2）兀.化簡得n2-25n+144=0.解得 n=9 或 n=16（舍去）.答案：9.依題意,2019年1月1日存款a元后，賬戶中一共有 a(1+p)+a=(ap+2a)(元).2022年1月1日可取出錢的總數(shù)為(l + pll+p)4 gWa(1+p) 4+a(1+p) 3+a(1+p) 2+a(1+p)=a

4、 - C + P) =P (1+p) 5-(1+p)= P (1+p)5-1-p. a答案：(ap+2a)1 (1+p) 5-1-p規(guī)律方法.解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題一一仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.(2)建模一一將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.求解一一求出該問題的數(shù)學(xué)解.(4)還原一一將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中.具體解題步驟用框圖表示如下考點(diǎn)二【典例】某商店投入81萬元經(jīng)銷某種紀(jì)念品經(jīng)銷時(shí)間共60天，市場調(diào)研表明，該商店在經(jīng)1 1 n 20/ 一 /nd21 n 6010銷這一產(chǎn)品期間第n天的利潤an=(單位：萬兀,n N).為了狄得

5、更多的利潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中，記第n天的利潤率第n天的利潤bn= m投f金:之和%.例如,b 39+ & + % 求bi,b 2的值.(2)求第n天的利潤率bn【解題導(dǎo)思】字號要目拆解(1) an=| lrln20 毒 21。V 60an以分段函數(shù)給出，注意變量范E目bn= 第北天的利潤 這九天的投入資金總和,求b1,b 2的值以3人力” 81 + Qi + 結(jié)合例子b3=，求 b1,b 2(2)求第n天的利潤率bn結(jié)合 an=I 1 1 n 20 /tn 21n60bn =副天的稗這也天的投入資i形式,行總和求解，注意bn為分段函數(shù)o 1【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),b i

6、 =當(dāng)n=2時(shí),b2=卜(2)當(dāng) 1 w nW 20 時(shí)，a i=82=a3= , =an-i=an=1,% 1訴門 h 81 + % + + 冊 i 80 + n所以bn=當(dāng) 2K n60 時(shí),所以第n天的利潤率1-ln20n/V*80 + 唐2n-21n60nG AT*+ 1600bn =i.若典例中條件不變，求該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤率最大？并求該日的利潤率.【解析】當(dāng)1W nW 20時(shí),b n=8 + ”遞減，此時(shí)bn的最大值為bi812nn=n + 1 6001 600n +n又因?yàn)閝T yg3 082,所以 a141621又ae N*,所以a的最小值為147.考點(diǎn)三數(shù)

7、學(xué)文化與數(shù)列考什么：考查數(shù)列的遞推關(guān)系，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和怎么考：以古今數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)列問題新趨勢：從中國古代數(shù)學(xué)名著，如九章算術(shù)算法統(tǒng)宗律學(xué)新說等世界數(shù)學(xué)名著中挖掘素材，也可從古代詩歌、傳說中進(jìn)行提煉解決數(shù)列應(yīng)用問題，要明確問題屬于哪一種類型，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，是求 命題禽度1夕等差數(shù)列模型itan還是Sn,特別是要弄清項(xiàng)數(shù).【典例】九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中均輸章有如下問題 ：“今有五人分五 TOC o 1-5 h z 錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”其意思為：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同

8、，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？（“錢”是古代的一種重量單位 ）在這個(gè)問題中，丙所得為（）52石彳qA. 口錢bF錢C.Q錢D.1錢【解析】 選D.因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，設(shè)每人所得依次為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,貝U a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,解得 a=1,即丙所得為 1 錢.命題角度等比數(shù)列模型【典例】我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增， 共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下 一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2倍，則塔的頂層共有

9、燈（）A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞【解析】選B.設(shè)塔的頂層共有燈x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為x,公比為2的等比數(shù)列，汽1 . 27）結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有= =381，解得x=3,即塔的頂層共有燈 3盞.感后反思j如何建立該題的數(shù)學(xué)模型 ？提示：建立等比數(shù)列模型，設(shè)頂層燈盞數(shù)x為數(shù)列首項(xiàng)，數(shù)列的公比q=2,7層塔的總燈數(shù)為等 比數(shù)列的前7項(xiàng)和.【名師點(diǎn)睛】用數(shù)列知識解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型一一數(shù) 列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題還是最值問題

10、，然后將經(jīng)過數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果放回到實(shí)際問題中，進(jìn)行卞驗(yàn)，最終得出結(jié)論.命通角度34遞推關(guān)系模型【典例】意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的數(shù)列:1,1,2,3,5,8,，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第3個(gè)數(shù)起,每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和,人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列an稱為“斐波那契數(shù)列”，則a1 + aj + aj + + a2 蒞 g0ig是斐波那契數(shù)列中的第 項(xiàng).匚【解析】（方法一：分析分子和式的通項(xiàng)，求和化簡）息彳導(dǎo) a尸&=1,a n+2=an+i +an,dj) X, 1an+i an+2=+an an+1 ,所以=an+1an+2-a n an+1,c

11、2a2 019=a2 019 a2 020 -a 2 018 a2 019門 2 a2 018=a2018a2 019-a 2 017a2 018,2 016 a2 017因此& 019+2必如到+.唱+012020a2 019,2 020 項(xiàng).+ 必 + Q4C 2 a2 017咫 。ll=a2a3-a R,又 1 =a1a2,12 + I2 + 22 al + a1 + aj + 欣二3二劭12 + 12 + 22 + 32=5=a5,猜測af + a1 + + a2 公an+1.由此可知a2 019=a2020.答案：2 020。題組通關(guān)合變式鞏固T閨.萊因德紙草書是世界上最古老的數(shù)學(xué)著

12、作之一，書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包I分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的,是較小的兩份之和，問最小 的一份為 （）【解析】選A.由100個(gè)面包分給5個(gè)人，每個(gè)人所得成等差數(shù)列，可知中間一人得20塊面包，設(shè)較大的兩份為20+d,20+2d,較小 的兩份為20-d,20-2d, 由 已知條件可得乙20+20+d+20+2d）=20-d+20-2d,解得 d= ,所以最小的一份為 20-2d=20-55 5.中國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題 ：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人走37

13、8里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了 6天后到達(dá)目的地，請問第二天走了 （）A.192 里B.96 里C.48 里D.24 里【思路分析】 讀懂題意，將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，本題相當(dāng)于：已知等比數(shù)列an5中，公比q=,前6項(xiàng)和S6=378,求a2.,S6=378,【解析】 選B.依題意,每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列a n,且n=6,公比q于設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,依題意有解得 ai=192.所以a2=192X=96.即第二天走了 96里.綜合創(chuàng)新 fi宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著四元玉鑒卷中“菱草形段”第一個(gè)問題“今 有菱草六百八十束，欲令

14、落一形埋（同垛）之.問底子（每層三角形菱草束數(shù)，等價(jià)于層數(shù)） 幾何？”中探討了 “垛積術(shù)”中的落一形垛 （“落一形”即是指頂上 1束，下一層3束，再下層6束，成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示第二層開始的每層菱草束數(shù)）,則本問題中三角垛底層菱草總束數(shù)為【思路分析】 閱讀理解，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題.本題實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)列求和問題 ，為此要分析通 項(xiàng)的特點(diǎn)，根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)選擇求和方法【解析】設(shè)自上而下每一層菱草束數(shù)構(gòu)造的數(shù)列為an,則ai=1,a 2=l+2,a 3=1+2+3,，nn + 1)1所以 an=1+2+n=/(n2+n),12所以 $=1+3+6+, + (n +n)12=(1 2+2

15、2+n2)+(1+2+ -+n)10n(n+1)(2n+1)+n(n+1)=n(n+1)(n+2).i由條件 6n(n+1)(n+2)=680,即有 n(n+1)(n+2)=15 x 16X 17=680 x 6,15(15+ 1)所以 n=15，所以 a15=120.即三角垛底層菱草總束數(shù)為120.答案:120【數(shù)學(xué)經(jīng)典簡介】.九章算術(shù)：九章算術(shù)大約成書于公元 1世紀(jì)，是中國古代第一部數(shù)學(xué)著作 .九章 算術(shù)共收有246個(gè)與生產(chǎn)實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用題 ，包括問、答和術(shù)三部分，并配有插圖，分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章.九章算術(shù)是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作 ，其中盈不足的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造，“方程”章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則.算法統(tǒng)宗：算法統(tǒng)宗是由明代數(shù)學(xué)家程大位（公元1