高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)

1、數(shù)列的概念高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)知識(shí)框架數(shù)列的分類函數(shù)角度理解數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列的定義an an 1 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an等差數(shù)列的求和公式Sn 等差數(shù)列的性質(zhì)an amd(n 2)ai (n 1)dn ,、 n(n 1)(ai an) naid22ap aq(m n p q)數(shù)列兩個(gè)基本數(shù)列a等比數(shù)列的定義q(n 2)an 1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn 1等比數(shù)列等比數(shù)列的求和公式Snna1 anqa1(1 q )/ 八(q 1)1 q 1 qna(q 1)等比數(shù)列的性質(zhì)anam apaq(m n p q)公式法分組求和數(shù)列求和錯(cuò)位相減求和 裂項(xiàng)求和 倒序相加求和累

2、加累積歸納猜想證明數(shù)列的應(yīng)用分期付款 其他掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握 了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式(1)觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為 an+1=an+d 及 an+1=qan (d, q 為常數(shù))例 1、已知a n ?兩足 an+1=an+2,而且 a1=1 求 an。解 : an+1-a n=2為常數(shù)，an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列 - an=1+2

3、(n-1 ) 即 an=2n-1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 1一例2、已知an滿足an 1 an,而a1 2 ,求an =?,2解 7 4-二是常數(shù)42，值Q是以2為首項(xiàng)？公比為:的等比數(shù)列(2)遞推式為 an+i=an+f (n)例3、已知an中aian 1an1 十2，求 an.4n2 1解：由已知可知an 1 an1111 -()(2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1令n=1, 2,，(n-1),代入得(n-1 )個(gè)等式累加，即(a2-a 1) +a3-a 2) +- + (an-a n-1)=

4、(1 + c 2l 33 5. 上門_L_ 的 5(2n-12n -11ana1萬(11)4n4n 2是可求的，就可以由an+1=an+f (n)以 n=1, 2, 說明 只要和f (1) +f (2) +f (n-1)(n-1 )代入，可得n-1個(gè)等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pan+q (p, q為常數(shù))例 4、an中，a11 ,對于n 1(nC N)有 an3an1 2 ,求 an.解法一：由已知遞推式得 an+1=3an+2, an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3 (an-an-1)因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a 1= (3X1+

5、2) -1=4 an+1-a n=4 , 3 an+1=3an+23an+2-a n=4 , 3 即 a n=2 , 3 -1解法二：上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列)于是有：32-a1=4,a3-a2=4 3a4-a3=4,3an-an-1 =4,3n-2,把 n-1 個(gè)等式累加得： 、_ 力=4 ( i+ 空注+空-a ) =_Lan=2 - 3n-1-1(4)遞推式為an+1=p an+q n (p, q為常數(shù))略解 在/廿二1口十(,)的兩邊乘以泮1得2泮1 %+】=,(2+ 1,令J = 2 %2則說于是可得anb 3(5 n2(9 n2n 232 2 nbn i bn -(

6、bn1)由上題的解法，得：。 3 2(-)n33(5)遞推式為 an 2 pan 1 qan思路：設(shè)an2 pan 1qan,可以變形為：an 2an1(an1an),想于是a n+1- a an是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。求an。分析0L + PCL P4三，兩邊減去+1得.a.(6)遞推式為S與an的關(guān)系式-5 -1例7設(shè)6)前口項(xiàng)的和S“ =4-an-白(0求i與1的關(guān)系；(2)試用n表小anoJr得I_ 1 一T Sn 1Sn(an3n 1)an 1 anan 112n 1J (?n 212an-X)2n 1)12n上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則

7、2，n是公差為2的等差數(shù)列。1- 2nan= 2+ ( n-1 ) - 2=2n.n2.數(shù)列求和問題的方法(1)、應(yīng)用公式法n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前21 + 3+ 5+(2n-1)=n【例 8】 求數(shù)歹U 1, (3+5), (7+9+10) , ( 13+15+17+19),前 n 項(xiàng)的和。1解本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+,一+萬田11 1)個(gè)奇數(shù),12 最后一個(gè)奇數(shù)為：1+ n(n+1)-1 x 2=n +n-12因此所求數(shù)列的前 n項(xiàng)的和為(2)、分解轉(zhuǎn)化法對通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列

8、或等比數(shù)列求和?！纠?9求和 S=1 (n2-1 ) +2 - (n2-22) +3 - (n2-32) + +n (n2-n2) 解 S=n2 (1+2+3+n) - ( 13 +23+33+-+n3)(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3C： 6Cn L 3nCn解 Sn 0?C0 3Cn 6Cn L3nCn又=3口或 + 3 (n - 1) C 廿十+0C：相加，且運(yùn)用CJ = C9可得2sli = 3n (C： + C： * + 大)=丸 2*n-1 S n=3n - 2(4)、錯(cuò)位相

9、減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和.例11、 求數(shù)列1, 3x, 5x2，,(2n-1)x n-1前n項(xiàng)的和.解設(shè) S=1+3+5x2+(2n-1)x n-1 .(2)X=0 時(shí)，Sn=1. 當(dāng)xw0且xwl時(shí)，在式兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)x n,-，得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x n.(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：1例12、求和1?513?7, L 15?9(2n 1)(2n

10、3)(2n-D(2ii + 3) 4 2n - 1 2口*3)*注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?3】等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai0,前n項(xiàng)的和為Sn,若S=Sk (l wk)問n為何值時(shí)與最大？解依題意n設(shè)f (竹)=工+ 與 d(11) =|dna + (的 _ g) n此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)。= ai0 Si=Q (l wk) ,d a5 = 14.已知數(shù)列 an滿足a1 = 1 ,

11、an = 3n 1an 1(n 2)求a2, a3 ；求an.5.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為24,公差為時(shí)，該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn取得最大值。6.在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a10,公差d0,若 a a a?a3 La7,貝U kA. 21B. 22C. 23D. 247.已知正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3 12,且2a1,a2,a3 1成等比數(shù)列(I)求an的通項(xiàng)公式；(n)記bn粵的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn. 3n1 a 1.在數(shù)列an中，已知a1 ， 一，bn 2 310gl an(n N*).4 an44(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(3)設(shè)數(shù)列冊滿足Cn

12、an必，求Cn的前n項(xiàng)和Sn .13 -3 913 仇 2).已知數(shù)列bn刖n項(xiàng)和Sn-n - n ,數(shù)列an滿足a 4 (n N )，數(shù)列cn滿足cnanbn。22an(1)求數(shù)列 an和數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn ；10.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，對任意的n n ,都有Sm 1 man（m為常數(shù)，且m 0）.(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列an的公比q f m ,數(shù)列bn滿足bi2&,如fbn 1*(n 2, n n ),求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式；(3)在滿足(2)的條件下，求數(shù)列2n 1的前n項(xiàng)和Tn .bn答案1、解：(1)二數(shù)列Sn是以c(c 0)

13、為公比的等比數(shù)列，且S1a11 Sns1cn 1 cn 1 3 分14 - Sn 1 cn 2( n 2) an Sn Sni Cn1 Cn 2(C 1)cn 2(n 2)1,n 1, - an_ n 2廠(c 1)C, n2,且 nN(2)由(1)知 a2,a4,a6,a2n，是以 22為首項(xiàng), HYPERLINK l bookmark135 o Current Document 2n2n(c 1)(1 c ) c 1a2 a4a2n-211 CC 18分d為公比的等比數(shù)列，11分14分2. a3 a9 7 19 26 2a6,a6 13 由 a6 a3 3d 得 d 2a5 11 選 c3

14、、T5 a1a2a3a4a5 a35 1 所以 a3 1,選 B 24、(1)解：(1)解：.a11 ,a23 1 4,a334 13(2)證明：已知an an 1 3n 1(n 2) 得an(an an 1) (an 1 an 2) a1)a1n 1 n 233n312,31 13n 1當(dāng) n 1 時(shí)，a1 31 1an 3-1224分8分12分14分5.由已知得：an24 (n 1)?( 2)26 2n ,由an0an 1026 2n 024 2n 012* ，一 、13,n N ,所以 n=12 或 137.解：（I）.S3 12,即為 a2 a3 12,，3a2 12,所以 a2 4,

15、分又 2a1，a2, a3 1成等比數(shù)列，2.2a2 2a(a3 1),4分解得，d 3或d 4 (舍去)，a1a2 d 1,7分(n)法 1： bn an(3n 2) !333 HYPERLINK l bookmark98 o Current Document 1111Tn 1 - 4 -2 7 -3 L (3n 2)333315 -2_a2 2(a2 d) d 1)故a 3n 2-13n1 43Tn1 - 3-12)3n1 4312131-3得3n-13n-63n3n1-31 一3n56n5 -423n23n1 -4n 4T-123n1 - y54 6n5- 4113n 1 -y n2 L

16、1 -31 n3 1 - 3n 41 一3231 3 an一3n2 H 12 A 法 設(shè)1-ynL1彳431?213A1 - 3Hu 貝1 一3nn113nLl32131A2 - 3#, 1一yx73 一 2/V3 1 2n1 一 n3- 1 一 31 一3n9 - 4/V9 一 41-3nd3 - 29- 4/V9- 41-3nd1313A分Tn14an 11an48.解：（1）1 一 ， 1 ,一.，數(shù)列an是首項(xiàng)為一，公比為一的等比數(shù)歹U, TOC o 1-5 h z 441 nan(-)n (n N*) 2分 bn 3log1 an 2 3 分41bn3log 1 ()2 3n 2 4

17、分4 416-，數(shù)列bn是首項(xiàng)bi 1,公差d 3的等差數(shù)列(3)由(1)知，an Cn(3n 2)1 c(1)n，bn4/ 1 n / (4)，(n3n2(n N*) Sn 1(42(1)34是3n4(4)2(4)3(4)4(3n 5) 0n 1 (3n 2)(孑1 n(3n 5)-)n (3n 2)410分兩式相減得3s4Sn1412(3n 2)（1）34（4）(n (3n 2)12分故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anJ、n a(3n 2) 24 -(1)二4 TOC o 1-5 h z Sn 2 12n 8 (1)n1(n N*) . 14分 HYPERLINK l bookmark137 o

18、Current Document 3349.解：(1)由已知和得，當(dāng) n 2時(shí)，3)1321一，、bn Sn Sn1 (萬 n2 /)(萬(n 1)2 -(n 1) 3n 22分又b11 3 1 2 ,符合上式。故數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式bn 3n 2。3分3(bn 2) HYPERLINK l bookmark92 o Current Document (bn 2)3乂 an 441c2)qn,Sn-得14(4)4Sn(;)3(3n2)(4)(1)21 _4（4）（4） 色 14(3n1n35)(n4(3n。41(3n1 n(-)n (3n 2)2) (i)n12)*1、n 1(3n 2) (4

19、)，17 -Sn2 12n 8/ 1 n 1(4)。10分10.解：(1)證明：當(dāng)n 1時(shí)，a1m 1 ma1,解得 a11.當(dāng)n 2時(shí),anSnSn 1man 1即 1 m anm為常數(shù),且 m 0,-a-an 1，數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為(2)解：由(1)得，q廣一的等比數(shù)列.m,b1 2a12.1 mbnf bn 1bn 11bn 11bn工1, bn 1bn1bn 11bn是首項(xiàng)為1、，1,公差為1的等差數(shù)列.22n 1 Hnn 1 1 ，即(3)解：由(2)知bn22n 1J則J2n 1bn2n2n10分bab?即 Tn21 1223 232n12n2n11分貝 u 2Tn 221

20、 23242n2n2n12分得Tn2n 12n2 2324L2n 113分故 Tn2n 123 1 2n 12n2n 12n 3 6 .14分用放縮法處理數(shù)列和不等問題一.先求和后放縮(主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理)例1.正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn,滿足2、氐 an 1，試求：(1)數(shù)列an的通項(xiàng)公式；18 -(2)設(shè) bn1,數(shù)列bn的刖n項(xiàng)的和為Bn,求證:解：(1)所以(ananan 1由已知得4Sn (a數(shù)列,bnan 1)(an2. Sa11an 1n2)1)2,0,n 2時(shí)，4Sm (am 又因?yàn)閍n為正數(shù)數(shù)列,1Bn 21)2,作差得:所以 an an4an2,a；即an2an

21、 an 1 2an 1,是公差為2的等差Bnanan 11(1 1 123 3所以an(2n 1)(2n115 2n 1L 1)2 2n)12n 122n111-)2n 12(2n 1)所以真題演練1: (06全國1卷理科22題)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，Sn4-a 32nn 1,2,3,ggg(i)求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an ； (n)設(shè)Tn2n一, Gn 1,2,3,ggg,證明:nTii 1解：(I )由 S n=ga 3n+1 2nX2 +3, n=1,2,3得 a 1=S= -a1-x 4+- 所以333a1=24,再由有 Sn 1=an 1- -x 2n+|, n=2,3 ,333將和相減

22、得：a n=S S1二 3(a L -1) 3*(2n+1-2n),n=2,3,整理得：an+2n=4(a n1+2nT),n=2,3,因而數(shù)列 an+2n是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列，即：an+2n=4 TOC o 1-5 h z x 4n1= 4 n, n=1,2,3,，因而 an=4n 2n, n=1,2,3,，(n)將an=4n2n 代入得Sn=4X(4 n2n) !1)an1T1)n 1an(1)n2an 1(1)2 口是以3(1)( 2)n1，數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為:an觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜,1 L a5am3，2 22 1用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和,嘗試知:12