高等數(shù)學(xué)對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用

1、高等數(shù)學(xué)對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用摘要：隨著新課程改革的不斷進步，中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的高等數(shù)學(xué)的知識在高考中所占的比重越來 越大，所以，作為一名中學(xué)教師，必須認真學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，用更高的數(shù)學(xué)知識武裝自己，才能更加 深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)教材.這也是提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、實施素質(zhì)教育的條件之一.指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并將高等數(shù)學(xué)的思想方法滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中去是有重要的現(xiàn)實意義的.本文主論述的高等數(shù)學(xué)中的方法有微積分法、極限思想方法、概率與統(tǒng)計方法，并以大量詳實的中學(xué)數(shù)學(xué)的范例為依據(jù)，尤其是近幾年來的高考試題，充分說明了高等數(shù)學(xué)在解決中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)問題上具有的指導(dǎo)作用.關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)

2、；中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法A Guide of Advanced Mathematics to High SchoolMathematics TeachingAbstract: With the reform of new course, the knowledge of advanced mathematics in high school mathematics covers larger and larger percentage in College Entrance Examination, so, being a mathematics teacher in high scho

3、ol, we must learn advanced mathematics hard in order to equip ourselves with more advanced knowledge in mathematics and understand high school mathematical books. This is also one of the conditions to improve the teaching quality of high school mathematics and imply the Quality Education. It is of g

4、reat significance to guide the students to learn the internal relation between advanced mathematics and high school mathematics, and to permeate the high school mathematics with the thought of advanced mathematics. This paper mainly discusses the following methods in advanced mathematics: calculus m

5、ethod, extreme limit though method, probabilistic method, mathematics modeling method, with lots of detailed examples in high school mathematics teaching, which are mainly examples from College Entrance Examination in recent years, those examples prove that advanced mathematics are a good guide in s

6、olving related problems of high school mathematics.Key words: advanced mathematics; high school; mathematical thought; mathematical method1、引言 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 2、中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系 1.2. 1中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的概念界定 11 . 1中學(xué)數(shù)學(xué)11. 2 高等數(shù)學(xué)12中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系 13 數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的地位與作用 2 HYPERLI

7、NK l bookmark8 o Current Document 3、高等數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 2.1微積分方法的應(yīng)用 21.1求函數(shù)的極值、最值 21.2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 31.3求曲邊圖形的面積 41.4利用微積分證明代數(shù)式 52 極限思想方法的應(yīng)用 52.1利用極限解決數(shù)列問題 52.2雙曲線的漸近線 62.3利用重要極限證明不等式 73. 3 概率論的應(yīng)用 73.3.1概率的應(yīng)用73.3.2統(tǒng)計的應(yīng)用84、結(jié)束語8.參考文獻10.謝辭11.1引言隨著中學(xué)教材的改革和創(chuàng)新，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容也在不斷變化和發(fā)展，與原有中學(xué)數(shù)學(xué)教材相比，新教材在編寫思想和內(nèi)容選擇等發(fā)面，有了很大的進步.

8、新編高中教材更新了內(nèi)容，刪減了傳統(tǒng)初等數(shù)學(xué)中部分較難的內(nèi)容，新增了向量、簡易邏輯、概率統(tǒng)計、極限和微積分初步等知識；與此同 時，隨著全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽和國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）競賽水平的不斷提高，高等數(shù)學(xué)的思想和方法越來越普遍和深入地應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)中.提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法是教學(xué)的核心，實施素質(zhì)教育必須加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，對數(shù)學(xué)思想方法的研究，特別是對高等數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中作用的研究就顯得尤為重要和迫切2 .2中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系2. 1中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的概念界定2. 1. 1中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)時代所學(xué)的數(shù)學(xué)基本上是17世紀中葉以前的數(shù)學(xué)，它主要研究常量的運算和固定不

9、變圖形的性質(zhì).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個層次：表層知識和深層知識. 表層知識包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，深層知識主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)2. 1. 2高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)是以變量及變量之間的依賴關(guān)系一函數(shù)作為研究對象的，主要是由極限論、微分學(xué)、積分學(xué)、級數(shù)理論、解析幾何、微分方程等六部分組成的一個有機統(tǒng)一體.其中極限論是基礎(chǔ)；微 分、積分是核心，是從連續(xù)的側(cè)面揭示和研究函數(shù)變化的規(guī)律性，微分是從微觀上揭示函數(shù)的局部性質(zhì)，積分是從宏觀上揭示函數(shù)的整體性質(zhì)；級數(shù)理論是研究解析函數(shù)的主要手段；解析幾何為微積分的研究提供了解析工具，為揭示函數(shù)的性質(zhì)提供了直觀模型；

10、微分方程又從方程的角度把函數(shù)、 微分、積分有機的聯(lián)系起來，揭示了它們之間內(nèi)在的依賴轉(zhuǎn)化關(guān)系.2中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識，是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)中許多概念和理論的原型和特例所在.因此，從高等數(shù)學(xué)觀點來看中學(xué)數(shù)學(xué)，首先就要把高等數(shù)學(xué)中的某些概念和理論與中學(xué)數(shù)學(xué)里相應(yīng)的原型和特例聯(lián)系起來.這樣，就不僅能夠加深對高等數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們準確把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵.總之，要力求將高等數(shù)學(xué)思想方法全面滲入中學(xué)數(shù)學(xué)，尋找高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)合點4.這樣有利于提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平，拓展學(xué)生的解題思路，提高解題能力.3數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的地位與

11、作用數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中形成和發(fā)展的，它是人類對數(shù)學(xué)及其研究對象，對數(shù)學(xué)知識(主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的認識，來源于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本方法， 它在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的組織上起著核心的總領(lǐng)作用，是教材體系的靈魂.數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法密不可分，數(shù)學(xué)思想是其相應(yīng)數(shù)學(xué)方法的精神和理論基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)方法則是實施數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段和表現(xiàn)形式5.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)可以帶來以下幾點收益，首先，可以有效地幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀念和優(yōu)秀的數(shù)學(xué)精神，是在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中落實素質(zhì)教育的有效途徑；其次，可以提高中學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平；最后，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)應(yīng)

12、用能力.3高等數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用中學(xué)時代數(shù)學(xué)中常用的高等數(shù)學(xué)方法有極限法、求導(dǎo)法、微分法、積分法、行列式法、向量法、概率法等，下面以中學(xué)中常見的問題為例來說明高等數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.1微積分方法的應(yīng)用微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，它是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的，微積分是一種數(shù)學(xué)思想，無限細分就是微分，無限求和就是積分，微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一6.1. 1求函數(shù)的極值、最值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間a,b上的最大(小)值，或利用求導(dǎo)法解決一些實際應(yīng)用問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，從而使問題變得簡單化.例1 已知f (

13、x) ax3 bx2 cx(a 0)在x 1時取得極值，且 ”1)1 .(i)試求常數(shù)a , b , c的值；(n)試判斷x 1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由解 (I)由題得，f (x) 3ax2 2bx c,因為x 1是函數(shù)f(x)的極值點，所以x 1是方程f (x) 0的兩根，即3ax2 2b c 0的兩根.f (1) 0, 3a 2b c 0,(1)(2)f ( 1) 0,3a 2b c 0 ,又f(1)1,所以(3)由(1) (2) (3)解得,(n)由(I)得,13a一, b 0, c.221 33f(x) -x3 x,所以 f (x)2232(x 1)(x 1).1或x 1時

14、,f (x) 0；當(dāng) 1x 1 時，f (x) 0 .所以，函數(shù)f(x)在 ，1和1,上是增函數(shù)；在 1,1上是減函數(shù).即，當(dāng)x 1時，函數(shù)取得極大值 f ( 1) 1 ；當(dāng)x 1時，函數(shù)取得極小值 f(1)1 .注1利用導(dǎo)數(shù)這一工具，我們就很容易的解決了一元三次函數(shù)的極值問題.例2 (2005年陜西卷)用長為90 cm,寬為48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成(如圖).問該容器的高為多少時,容器的容積最大？最大容積是多少?解 設(shè)容器高為x cm ,容器的體積為 V(x)cm3,則V(x)x(90 2x)(48 2x) 4x3

15、276x24320 x (0 x 24),求V(x)的導(dǎo)數(shù)，得_2_ _V (x) 12x552x 4320 12(x 10)(x 36),令 V(x) 0 ,解得，x1 10 , x2 36 (舍去).當(dāng)0 x 10時，V (x) 0,那么V(x)為增函數(shù);當(dāng)10 x 24時，V(x) 0 ,那么V(x)為減函數(shù).因此，在定義域 0,24內(nèi)，函數(shù)V(x)只有當(dāng)x =10時取得最大值，其最大值為 3V(10) 10 (90 20) (48 20) 19600(cm ).注2從這道高考試題，我們可以看出，帳篷的體積函數(shù)是一個一元三次函數(shù)，如果用除導(dǎo)數(shù) 之外的其他方法，就會非常困難.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)這一工

16、具，則顯得非常容易.3. 1. 2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在高中階段，運用單調(diào)性的定義、以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解方法，可以解決一些比較簡單 的基本函數(shù)的單調(diào)性.但是對于一元三次(或更高次)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用定義就顯得力不從心，甚至不能求解.相反，用導(dǎo)數(shù)這一工具，卻顯得得心應(yīng)手.例3 (2006年陜西卷)設(shè)函數(shù) f (x) kx3 3x2 1 (k 0).(I)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若函數(shù)f(x)的極小值大于0 ,求k的取值范圍.解 (I)當(dāng)k 0時，f(x) 3x2 1,所以，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,0 ；單調(diào)減區(qū)間為0,;2當(dāng) k 0時，f (x) 3kx 6x 3kx(x ).k2

17、令f (x) 0,解得，x 0或x -.k當(dāng)x變化時，f (x), f (x)的變化情況如下表：x,0020, 一 k2 k2k ,f (x)+00+f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù) TOC o 1-5 h z 一 2，2所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ，0 ,-,;單調(diào)減區(qū)間為 0,2 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document kk(n)當(dāng)k 0時，函數(shù)f(x)不存在極小值； HYPERLINK l bookmark89 o Current Document , 一 、2812c當(dāng)k 0時，依題思f() -2- -2 1 0,即k 4.k k2

18、 k2由條件k 0,所以k的取值范圍為 2,. HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 32汪3導(dǎo)致在求形如 f(x) ax bx cx d的函數(shù)的單調(diào)性時，比一般方法要優(yōu)越很多. 由 此可見，導(dǎo)數(shù)進入中學(xué)數(shù)學(xué)教材， 給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了新的生機和活力，通過前面的論述我們知道了導(dǎo)數(shù)不但在解決函數(shù)的極值、最值、單調(diào)區(qū)間方面有重要作用，有時候甚至比普通的代數(shù)幾何方法還要方便、快捷.3. 1. 3求曲邊圖形的面積在初中，面積計算只限于規(guī)則圖形或可分割成規(guī)則圖形;但在高中我們可能會遇到計算曲邊圖形的面積，這就需要采用化曲為直的思想.積分知識在高中教材的

19、出現(xiàn)，使得求曲邊圖形的面積成為可能.例4（2000年高考題）求如圖示陰影部分的面積.解 這是一道經(jīng)典的由定積分求面積的問題.根據(jù)圖中所給的兩點，求得，拋物線方程為y方程為y2x ；,直線我們利用積分可得面積為13 (3x2)2xdx3233. 1. 4利用微積分證明代數(shù)式（ 1983省市、自治區(qū)聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽）求證:arcsin xarccosx 一,其中 x 1,1 .2證明當(dāng)x 1或x 1時，等式顯然成立.f(x) arcsin x arccosx xf (x) -1-_= 0,1 x2. 1 x2所以，f （x） C ,取 x 0得，f（0） ，則 C 一，故 arcsin x arcco

20、sx 一 .222注4利用微積分證明代數(shù)式（包括不等式與等式）可使問題簡單化 ，解題思路更加清晰；微它除了對積分理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同樣也是研究高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)系時不可缺少的部分, 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有重要的指導(dǎo)作用外，還能在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題上起到以簡馭繁的作用.3. 2極限思想方法的應(yīng)用3. 2. 1利用極限解決數(shù)列問題例6 （1997年高考題）已知數(shù)an,bn都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p, q,其中p q ,且p 1, qan， 一，一 .Snbn, Sn為數(shù)列Cn的前n項和，求lim n Sn 1Snb1卜面分兩種情況討論求值:SnSai q i pn ib1P i qn i

21、aibi當(dāng)p i時，由已知得,Sn lim n SSn ilimnaipn ibiai qib| p i qnnp ailimnaii -4r bipnqnpn iqn ipai qai q i ibi p i0bi p i0ai q iai q i(n)當(dāng)p i時,由已知得o qSn .=limSn n iai q ipn ib1P in in iai q i p ib1P i qai q i 0 i bi p i 0 iai q i 0 i bi pai q i bi p iai q i bi p i本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識，恒等變形的能力,分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和求極限的方法.我們發(fā)現(xiàn)如

22、果能夠靈活運用極限思想求解,往往可以避開一些抽象復(fù)雜的運算，降低解題難度,還可以優(yōu)化解題思路，收到事半功倍的效果.3. 2. 2雙曲線的漸近線2 X例7求雙曲線92y- i的漸近線方程.4解雙曲線方程可化為:漸近線的斜率,lim建x xlimx2、x2 93在y軸上的截距，b limxf(x) axlimx|(K故所求的漸近線方程為y3. 2. 3利用重要極限證明不等式重要極限lim到1x 0 x設(shè) f (x) a1 sin x a2 sin 2xan sin nx ,并且| f (x) | |sin x |, ai,a2,.,an為常數(shù)，求證:| a1 2a2 . nan | 1.證明因為

23、| f(x)| |sin x|,所以 1f(x)sin x|a1xxsin 2xa2上述兩邊令x 0,根據(jù)重要極限limx 0 xsin x sin x 口口|,即xsin nx.an|xsin x|，x1,得，|a1 2a2 . nan | 1 .3. 3概率論的應(yīng)用概率論是數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ),它研究的對象是隨機事件的數(shù)量的規(guī)律性，眾所周知，在生命世界里，隨機現(xiàn)象比比皆是， 許多隨機因素干擾著生命活動，所以，我們常常要通過隨機試驗來觀測隨機事件，這就必然會用到概率統(tǒng)計的數(shù)學(xué)方法.概率是一個要通過多次試驗或觀測才能得到的指標(biāo)：p(A) v/n,其基本性質(zhì)為0 p(A) 19.3. 3. 1概率

24、的應(yīng)用不等式的證明始終是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點，當(dāng)然，隨著高中知識的深入，我們也學(xué)會了越來越多的方法，下面讓我們來研究一下，概率在不等式證明中的作用.例 9 若 0 a 1, 0 b 1 ,試證：0 a b ab 1.證明 令A(yù), B是兩個相互獨立的事件，且使p(A) a, p(B) b,由p(AU B)p(A) p(B) p(AB) p(A) p(B) p(A)p(B) a b ab ；再由概率的性質(zhì)知：0 p(AUB) 1,從而0 a b ab 1.概率在實際生活中應(yīng)用也很大，下面再舉例來說明一下.例10(2006年山東卷)袋中裝著標(biāo)有 1, 2, 3, 4, 5的小球各2個，從袋中任取3

25、個小球，按3個小球上最大數(shù)字的 9倍計分，每個小球被取出來的可能性都相等.用表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：(I)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；(n)隨機變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(出)計分介于 20分到40分之間的概率.解 (I) “一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,則P(A)(n)由題意P(P(所以隨即變量有可能的取值為：2,2)4)3, 4, 5,C2c2c；c；C30,p(303)c：c； c4c2215c2c2c：c；C303/p(105)c；c；c；c；c30_8152345p130215310815的概率分布為： TOC o 1-5 h z 因此， 的數(shù)學(xué)期望為：E 2 345 13.301510153(出)“一次取