二次函數(shù)中幾何的最值問題

1、-. z二次函數(shù)中幾何的最值問題一、解答題1、如圖，在平面直角坐標系中，ABC的三個頂點坐標分別為A2，0、B6，0、C0，2，拋物線y=a+b*+ca0經(jīng)過A、B、C三點。1求直線AC的解析式；2求此拋物線的解析式；3假設(shè)拋物線的頂點為D，試探究在直線AC上是否存在一點P，使得BPD的周長最小，假設(shè)存在，求出P點的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由。2、如圖，拋物線y=-+m*+3與*軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為3，0。1求m的值及拋物線的頂點坐標；2點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標。3、如圖，二次函數(shù)y=a+b*的圖象經(jīng)過點A2，4與B6，

2、01求a，b的值；2點C是該二次函數(shù)圖象上A，B兩點之間的一動點，橫坐標為*2*6，寫出四邊形OACB的面積S關(guān)于點C的橫坐標*的函數(shù)表達式，并求S的最大值。4、如圖，拋物線y=+b*+ca、b、c為常數(shù)，a0經(jīng)過點A1，0，B5，6，C6，01求拋物線的解析式；2如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點P使四邊形PACB的面積最大？假設(shè)存在，請求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由；3假設(shè)點Q為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出QAB為等腰三角形的點Q一共有幾個？并請求出其中*一個點Q的坐標5、如圖，長方形OABC的OA邊在*軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線y=+b*經(jīng)過點B1，4

3、和點E3，0兩點1求拋物線的解析式；2假設(shè)點D在線段OC上，且BDDE，BD=DE，求D點的坐標；3在條件2下，在拋物線的對稱軸上找一點M，使得BDM的周長為最小，并求BDM周長的最小值及此時點M的坐標；4在條件2下，從B點到E點這段拋物線的圖象上，是否存在一個點P，使得PAD的面積最大？假設(shè)存在，請求出PAD面積的最大值及此時P點的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由6、如圖，拋物線y=-3*+與*軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E1求直線BC的解析式；2當線段DE的長度最大時，求點D的坐標。7、如圖1，對稱軸*=為直線的

4、拋物線經(jīng)過B2，0、C0，4兩點，拋物線與軸的另一交點為A1求拋物線的解析式；2假設(shè)點P為第一象限拋物線上一點，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；3如圖2，假設(shè)M是線段BC上一動點，在軸上是否存在這樣有點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形？假設(shè)存在，求出Q點坐標；假設(shè)不存在，請說明理由8、如圖1，拋物線y=-*2+2*+3與*軸交于A，B，與y軸交于C，拋物線的頂點為D，直線l過C交*軸于E4，01寫出D的坐標和直線l的解析式；2P*，y是線段BD上的動點不與B，D重合，PF*軸于F，設(shè)四邊形OFPC的面積為S，求S與*之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；3點Q在*軸的正半軸上

5、運動，過Q作y軸的平行線，交直線l于M，交拋物線于N，連接，將CMN沿翻轉(zhuǎn)，M的對應(yīng)點為M在圖2中探究：是否存在點Q，使得M恰好落在y軸上？假設(shè)存在，請求出Q的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由-. z二次函數(shù)中幾何的最值問題的答案和解析一、解答題1、答案：1y*22y-*-23存在，-試題分析：1設(shè)出一次函數(shù)解析式，代入A、C兩點的坐標即可解決問題；2把A、B、C三點代入拋物線y=a*2+b*+c，列出三元一次方程組解答即可；3利用軸對稱圖形的性質(zhì)，找出點B關(guān)于直線AC的對稱點，進一步利用直角三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法與兩直線的相交的關(guān)系求得答案。解：1設(shè)直線AC的解析式為y=k*+b，把A-2，

6、0，C0，-2代入解析式得，解得k，b2，y*2；2把A-2，0，B6，0，C0，-2三點代入拋物線y=a+b*+c得，解得：a=，b，c2，所求拋物線方程為y-*-2；3存在滿足條件的點P拋物線方程為y，頂點D的坐標為(2，)，要使BDP的周長最小，只需DP+PB最小，延長BC到點B，使BC=BC，連接BD交直線AC于點P，=16，=48，=64，=+，BCAC，BP=BP，DP+BP=DP+BP=BD最小，則此時BDP的周長最小，點P就是所求的點，過點B作BHAB于點H，B6，0，C0，2，在RtBOC中，BC=4，OCBH，BC=BC，OH=BO=6，BH2OC4，B(6，4)，設(shè)直線B

7、D的解析式為y=m*+n，D(2，)，B(6，4)在直線BD上，m，n3，y*-3，*，y，P(，)，在直線AC上存在點P，使得BDP的周長最小，此時P(，)2、答案：1m=2，1，421，2試題分析：1首先把點B的坐標為3，0代入拋物線y=+m*+3，利用待定系數(shù)法即可求得m的值，繼而求得拋物線的頂點坐標；2首先連接BC交拋物線對稱軸l于點P，則此時PA+PC的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，繼而求得答案解：1把點B的坐標為3，0代入拋物線y=+m*+3得：0=+3m+3，解得：m=2，y=+2*+3=+4，頂點坐標為：1，42連接BC交拋物線對稱軸l于點P，則此時PA+PC

8、的值最小，設(shè)直線BC的解析式為：y=k*+b，點C0，3，點B3，0，解得：，直線BC的解析式為：y=*+3，當*=1時，y=1+3=2，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標為：1，23、答案：1a=-,b=32S=-+8*2*6,16試題分析：1把A與B坐標代入二次函數(shù)解析式求出a與b的值即可；2如圖，過A作*軸的垂直，垂足為D2，0，連接CD，過C作CEAD，CF*軸，垂足分別為E，F(xiàn)，分別表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面積，之和即為S，確定出S關(guān)于*的函數(shù)解析式，并求出*的圍，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可確定出S的最大值，以及此時*的值。解：1將A2，4與B6，0代入y=a

9、*2+b*，得，解得：；2如圖，過A作*軸的垂直，垂足為D2，0，連接CD，過C作CEAD，CF*軸，垂足分別為E，F(xiàn)，=ODAD=24=4；=ADCE=4*-2=2*-4；=BDCF=4-+3*=-+6*，則S=+=4+2*-4-+6*=-+8*，S關(guān)于*的函數(shù)表達式為S=-+8*2*6，S=-+8*=-+16，當*=4時，四邊形OACB的面積S有最大值，最大值為164、答案：1y=-5*-62存在，P2，-123，-試題分析：1拋物線經(jīng)過點A-1，0，B5，-6，C6，0，可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為y=a*+1*-6，代入B5，-6即可求得函數(shù)的解析式；2作輔助線，將四邊形PACB分

10、成三個圖形，兩個三角形和一個梯形，設(shè)Pm，-5m-6，四邊形PACB的面積為S，用字母m表示出四邊形PACB的面積S，發(fā)現(xiàn)是一個二次函數(shù)，利用頂點坐標求極值，從而求出點P的坐標3分三種情況畫圖：以A為圓心，AB為半徑畫弧，交對稱軸于和，有兩個符合條件的和；以B為圓心，以BA為半徑畫弧，也有兩個符合條件的和；作AB的垂直平分線交對稱軸于一點，有一個符合條件的；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出坐標.解：1設(shè)y=a*+1*-6a0，把B5，-6代入：a5+15-6=-6，a=1，y=*+1*-6=-5*-6；2存在，如圖1，分別過P、B向*軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，設(shè)P

11、m，-5m-6，四邊形PACB的面積為S，則PM=-+5m+6，AM=m+1，MN=5-m，=6-5=1，BN=5，S=+=-+5m+6m+1+6-+5m+65-m+16=-+12m+36=+48，當m=2時，S有最大值為48，這時-5m-6=-52-6=-12，P2，-12，3這樣的Q點一共有5個，連接、，y=-5*-6=-；因為在對稱軸上，所以設(shè)，y，是等腰三角形，且，由勾股定理得：+=+，y=-，-.5、答案：1y=+6*20，13+，4，試題分析:1將點B1，4，E3，0的坐標代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b的方程組，求得a、b的值，從而可得到拋物線的解析式；2依據(jù)同角的余角相等證明

12、BDC=DE0，然后再依據(jù)AAS證明BDCDEO，從而得到OD=AO=1，于是可求得點D的坐標；3作點B關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點B，連接BD交拋物線的對稱軸與點M先求得拋物線的對稱軸方程，從而得到點B的坐標，由軸對稱的性質(zhì)可知當點D、M、B在一條直線上時，BMD的周長有最小值，依據(jù)兩點間的距離公式求得BD和BD的長度，從而得到三角形的周長最小值，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得D、B的解析式，然后將點M的橫坐標代入可求得點M的縱坐標；4過點F作FG*軸，垂足為G設(shè)點Fa，+6a，則OG=a，F(xiàn)G=+6a然后依據(jù)=-的三角形的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.解：1將點B1，4，E3

13、，0的坐標代入拋物線的解析式得：，解得：，拋物線的解析式為y=+6*2如圖1所示；BDDE，BDE=90BDC+EDO=90又ODE+DEO=90，BDC=DE0在BDC和DOE中，BDCDEOOD=AO=1D0，13如圖2所示：作點B關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點B，連接BD交拋物線的對稱軸與點M*=，點B的坐標為2，4點B與點B關(guān)于*=對稱，MB=BMDM+MB=DM+MB當點D、M、B在一條直線上時，MD+MB有最小值即BMD的周長有最小值由兩點間的距離公式可知：BD=，DB=，BDM的最小值=+設(shè)直線BD的解析式為y=k*+b將點D、B的坐標代入得：，解得：直線DB的解析式為y=*+1將*

14、=代入得：y=M，4如圖3所示：過點F作FG*軸，垂足為G設(shè)點Fa，+6a，則OG=a，F(xiàn)G=+6a=OD+FGOG=+6a+1a=+a，=ODOA=11=，=AGFG=+-3a，=-=+a-當a=時，的最大值為點P的坐標為，6、答案：1y=-*+2，-試題分析：1利用坐標軸上點的特點求出A、B、C點的坐標，再用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；2設(shè)點D的橫坐標為m，則縱坐標為m，3m+，E點的坐標為m，m+，可得兩點間的距離為d=+2m，利用二次函數(shù)的最值可得m，可得點D的坐標.解：1拋物線y=-3*+與*軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，令y=0，可得*=或*=，A，0，B，0；令*=0

15、，則y=，C點坐標為0，設(shè)直線BC的解析式為：y=k*+b，則有，解得：，直線BC的解析式為：y=*+；2設(shè)點D的橫坐標為m，則坐標為m，3m+，E點的坐標為m，m+，設(shè)DE的長度為d，點D是直線BC下方拋物線上一點，則d=m+-3m+，整理得，d=-+m，a=-10，當m=時，= =，D點的坐標為，7、答案：(1)y=-2+2*+4(2)6(3)存在，Q-,0試題分析：1由對稱軸的對稱性得出點A的坐標，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；2作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡后是一個關(guān)于S的二次函數(shù)，求最值即可；3畫出符合條件的Q點，只有一種，利用平行相似得對應(yīng)高的比

16、和對應(yīng)邊的比相等列比例式；在直角OCQ和直角CQM利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解并取舍解：1由對稱性得：A-1，0，設(shè)拋物線的解析式為：y=a*+1*-2，把C0，4代入：4=-2a，a=-2，y=-2*+1*-2，拋物線的解析式為：y=-2+2*+4；2如圖1，設(shè)點Pm，-2+2m+4，過P作PD*軸，垂足為D，S=+=m-2+2m+4+4+-2+2m+42-m，S=-2+4m+4=-2+6，-20，S有最大值，則=63如圖2，存在這樣的點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形，理由是：設(shè)直線BC的解析式為：y=k*+b，把B2，0、C0，4代入得：，解得：，直線BC的解析

17、式為：y=-2*+4，設(shè)Ma，-2a+4，過A作AEBC，垂足為E，則AE的解析式為：y=*+，則直線BC與直線AE的交點E1.4，1.2，設(shè)Q-*，0*0，AEQM，ABEQBM，由勾股定理得：+=2+，由得：=4舍，=，當a=時，*=，Q-，08、答案：試題分析：1先把拋物線解析式配成頂點式即可得到D點坐標，再求出C點坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線l的解析式；2先根據(jù)拋物線與*軸的交點問題求出B3，0，再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=-2*+6，則P*，-2*+6，然后根據(jù)梯形的面積公式可得S=-*2+*1*3，再利用而此函數(shù)的性質(zhì)求S的最大值；3如圖2，設(shè)Qt，0t0，則可表示出Mt，-t+3，Nt，-t2+2t+3，利用兩點間的距離公式得到MN=|t2-t|，CM=t，然后證明NM=CM得到|t2-t|=t，再解絕對值方程求滿足條件的t的值，從而得到點Q的坐標試題解析：1y=-*2+2*+3=-*-12+4，D1，4，當*=0時，y=-*2+2*+3=3，則C0，3，設(shè)直線l的解析式為y=k*+b，把C0，3，E4，0分別代入得，解得，直線l的解析式為y=-*+3；2如圖1，當y=0時，-*2+2*+3=0，解得*1=-1，*2=3，則B3，0，設(shè)直線BD的解析式為y=m*+n，把B3，0，D1，4分別代入得，解得，直線BD的解析式為y=-2*