工程控制基礎(chǔ)：線性系統(tǒng)的頻域分析

1、第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析 頻率特性法（1）第五章 頻率響應(yīng)法頻率響應(yīng)（又稱頻率特性） 是控制系統(tǒng)在頻域中的一種數(shù)學(xué)模型，是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種工程求解方法。 能間接揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 可以由實(shí)驗(yàn)確定，有利于難以建立動(dòng)態(tài)模型的系統(tǒng)。5.1.1 線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng) 頻率響應(yīng)是控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)，是時(shí)間響應(yīng)的特例。 一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，若輸入正弦信號(hào)，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出仍是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。51 頻率特性示例：一階RC網(wǎng)絡(luò)，ui(t)與u0(t)分別為

2、輸入與輸出信號(hào)，其傳遞函數(shù)為 RCui(t)u0(t)i(t)G(s)= 其中T=RC，為電路的時(shí)間常數(shù)，單位為s(秒）。 51 頻率特性 在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)時(shí)，即 ui(t)=UisintUi與分別為輸入信號(hào)的振幅與角頻率，運(yùn)用時(shí)域法求電路的輸出。 輸出的拉氏變換為：U0(s)=對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時(shí)域表達(dá)式51 頻率特性第一項(xiàng)是瞬態(tài)響應(yīng)分量，呈指數(shù)衰減形式，當(dāng)t時(shí)，衰減為0。衰減速度由時(shí)間常數(shù)T決定。第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，當(dāng)t時(shí)，電路的穩(wěn)態(tài)輸出為正弦信號(hào)。 51 頻率特性輸出信號(hào)與輸入信號(hào)是同頻率的正弦函數(shù)，幅值與相位與輸入不同，輸出滯后于輸入。當(dāng)t時(shí)，電路的穩(wěn)

3、態(tài)輸出： 51 頻率特性輸出與輸入相位差 = -arctanT A與者僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。輸出與輸入幅值比51 頻率特性L一般地，對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)r(t)=Uisint 時(shí)，過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為 css(t)=Uosin(t+)Uisint線 性定常系統(tǒng)Uosin(t+)tr(t)css(t)51 頻率特性設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 則輸出設(shè)輸入r(t)=Asint，其拉氏變換51 頻率特性 假定Q(s)具有不相等的根，則輸出 式中 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)51 頻率特性第一項(xiàng)是系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)其隨時(shí)間的增加趨于0后兩項(xiàng)是

4、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，51 頻率特性設(shè)又則51 頻率特性由此可知：（1）線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)與輸入是同頻率的正弦信號(hào)。 （2）輸出與輸入信號(hào)幅值之比 相移， 都是角頻率的函數(shù)。51 頻率特性（3）對(duì)所有角頻率（ 0），系統(tǒng)的輸出與輸入的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比隨變化的一條曲線描述，這就是系統(tǒng)的頻率特性。 頻率特性只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān)。51 頻率特性 線性定常系統(tǒng)的頻率特性定義為：系統(tǒng)輸入正弦信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之比，即將傳遞函數(shù)中的s用j代替，便得到系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性是復(fù)變函數(shù)，可以用幅值和相角表示。5.1.2 系統(tǒng)的頻率特性

5、頻率特性是復(fù)變函數(shù)，可以用幅值和相角表示，也可以用實(shí)部與虛部表示,5.1.2 系統(tǒng)的頻率特性其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性。其實(shí)部與虛部分別為實(shí)頻特性、虛頻特性。兩種表示之間的關(guān)系： 5.1.2 系統(tǒng)的頻率特性G(j)是角頻率的函數(shù)，當(dāng)變化時(shí)， G(j)向量端點(diǎn)軌跡是一條曲線，故頻率特性可以用頻率特性圖表示。常用的頻率特性圖有三種：(1)極坐標(biāo)圖，也稱奈奎斯特（Nyquist)圖，簡(jiǎn)稱奈氏圖。(2)對(duì)數(shù)頻率特性圖，也稱波德（Bode)圖。(3)對(duì)數(shù)幅相特性圖，也稱尼科爾斯（Nichols)圖。5.1.2 系統(tǒng)的頻率特性1、與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型 描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與

6、外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。2、頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量可以分離出來，因此可以用頻率特性來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。5.1.3 頻率特性的性質(zhì)3、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率 當(dāng)頻率改變，輸出與輸入的幅值之比|G(j)|和相位移()隨之改變,這是系統(tǒng)中的儲(chǔ)能元件引起的。4、實(shí)際系統(tǒng)的輸出量都隨頻率的升高而衰減 可以將它們看成為一個(gè)“低通”濾波器。5、頻率特性可應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)的分析中5.1.3 頻率特性的性質(zhì) 頻率特性的求取方法：1、根據(jù)定義求取 對(duì)已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量

7、與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即可得到。2、根據(jù)傳遞函數(shù)求取。 即用s=j代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。3、通過實(shí)驗(yàn)的方法直接測(cè)得。5.1.3 頻率特性的性質(zhì)根據(jù)傳遞函數(shù)求取頻率特性,設(shè)傳遞函數(shù):頻率特性: （s=j）5.1.3 頻率特性的性質(zhì)線性系統(tǒng)的頻域分析 頻率特性法（2）頻率特性的三種圖示法1、極坐標(biāo)圖 Nyquist圖（簡(jiǎn)稱奈氏圖）。 2、對(duì)數(shù)頻率特性圖Bode圖（簡(jiǎn)稱伯德圖）3、對(duì)數(shù)幅相特性圖Nichocls圖（簡(jiǎn)稱尼氏圖）。52 頻率特性圖5.2.1 極坐標(biāo)圖 當(dāng)從0時(shí)，向量G(j)端點(diǎn)在極坐標(biāo)平面上的軌跡，也稱G(j)的奈氏曲線圖。通常畫在復(fù)平面上。例51 畫出慣性環(huán)節(jié)頻率特性奈氏圖。

8、52 頻率特性圖解：其中 52 頻率特性圖逐點(diǎn)計(jì)算52 頻率特性圖0時(shí)是第四象限的半圓，圓心（1/2，0）半徑1/2。0時(shí)是第一象限的半圓。1.比例環(huán)節(jié) G(s)=K ，G(j)=K 比例環(huán)節(jié)的奈氏曲線是復(fù)平面實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為K。5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖2. 微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié) G(s)=s， G(j)=j 理想微分環(huán)節(jié)的奈氏曲線是一條與虛軸正段相重合的直線。 5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖一階微分環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1，G(j)=jT+1 一階微分環(huán)節(jié)的奈氏曲線是一條通過（1，j0)點(diǎn)，并與虛軸平行的直線。0時(shí)，處于（1，j0)點(diǎn)，隨著 ，軌

9、跡沿著直線向上移動(dòng)。5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖 二階微分環(huán)節(jié) G(s)=T2s2+2Ts+1 G(j)= -T22+j2T+1 =(1-T22)+j2T 二階微分環(huán)節(jié)的奈氏曲線可通過逐點(diǎn)計(jì)算得到。5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖3. 積分環(huán)節(jié)相角= - 90是常數(shù)。而幅值隨增大而減小。因此，積分環(huán)節(jié)是一條與虛軸負(fù)段相重合的直線。 4. 振蕩環(huán)節(jié) 5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖 奈氏曲線相位從0到180變化，頻率特性與虛軸交點(diǎn)處的頻率是無阻尼自然振蕩頻率n (1/T) ，越小，對(duì)應(yīng)的幅值越大。說明頻率特性與、均有關(guān)。5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖5. 延遲環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)的幅頻特性是與無關(guān)的常量，其值為

10、1。而相頻特性則與成線性變化。故其極坐標(biāo)圖是一個(gè)單位圓 。5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖例52 繪制奈氏圖。 解：其實(shí)部和虛部分別為 特殊點(diǎn)的計(jì)算5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖例525.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖 工程上不需要準(zhǔn)確畫出整條奈氏曲線，只要知道曲線的走向和主要特征，對(duì)曲線的關(guān)鍵部分進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算即可。 系統(tǒng)的奈氏曲線與傳遞函數(shù)有一定的關(guān)系，繪制系統(tǒng)奈氏曲線的一些規(guī)律概括如下：5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖（1）奈氏曲線的起點(diǎn)（0）決定于系統(tǒng)的類型及系統(tǒng)的增益K,即 例51 v=0,故|G(j0)|=K,(0)=0例52 v=1,故|G(j0)|=,(0)=-905.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖（

11、2）奈氏曲線的終點(diǎn)（）,對(duì)極點(diǎn)數(shù)n零點(diǎn)數(shù)m的系統(tǒng)有 例51 n=1,m=0,故|G(j)|=0,()=-90,例52 n=2,m=0,故|G(j)|=0,()=-1805.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖例53 繪制下列系統(tǒng)奈氏草圖。 5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖結(jié)論： () 0 型系統(tǒng)（N=0）：極坐標(biāo)圖起始于正實(shí)軸上的有限點(diǎn)，終止于原點(diǎn)。 () 1 型系統(tǒng)（N=1）：由于存在一個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以低頻時(shí)，極坐標(biāo)圖是一條漸近于和虛軸平行的直線。當(dāng)=時(shí)，幅值為零，曲線收斂于原點(diǎn)并且與某坐標(biāo)軸相切。 (3) 2 型系統(tǒng)（N=2）：低頻處，極坐標(biāo)圖是一條漸近于負(fù)實(shí)軸的直線 。在=處幅值為零，且曲線相切于某坐標(biāo)

12、軸。作業(yè)A5-2 （1）（7）A5-8 （1）（7）線性系統(tǒng)的頻域分析 頻率特性法（3） 伯德圖將系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性、對(duì)數(shù)相頻特性分別畫在各自的坐標(biāo)系中。1.對(duì)數(shù)幅頻特性圖： 縱坐標(biāo)：幅值的對(duì)數(shù)20lg|G(j)|(dB），采用線性分度； 橫坐標(biāo)：角頻率(rad/s),用頻率的對(duì)數(shù)lg分度。 5.2.3 對(duì)數(shù)頻率特性圖（伯德圖） 2.對(duì)數(shù)相頻特性圖 縱坐標(biāo)：頻率特性的相移() () ，采用線性分度； 橫坐標(biāo)：角頻率(rad/s),用頻率的對(duì)數(shù)lg分度。 半對(duì)數(shù)坐標(biāo) 5.2.3 對(duì)數(shù)頻率特性圖（伯德圖） 5.2.3 對(duì)數(shù)頻率特性圖（伯德圖） 伯德圖的優(yōu)點(diǎn):1.繪圖方便. 幅值采用對(duì)數(shù)將乘除法轉(zhuǎn)換

13、為加減法,還可用漸近線來近似曲線的作圖方法,便于工程應(yīng)用.2.分析方便. 實(shí)際控制系統(tǒng)多半是低通濾波器,低頻段很重要,半對(duì)數(shù)坐標(biāo)可擴(kuò)展低頻段,有利于系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì).5.2.3 對(duì)數(shù)頻率特性圖（伯德圖） 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：其頻率特性:5.2.3 對(duì)數(shù)頻率特性圖（伯德圖） 對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性 系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性、相頻特性分別是一些典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性、相頻特性的代數(shù)和,只要將這些典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性、相頻特性疊加,便可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性、相頻特性。5.2.3 對(duì)數(shù)頻率特性圖（伯德圖） 典型環(huán)節(jié)歸納為四類基本因子：常數(shù)增益K在原點(diǎn)的極點(diǎn)(或零點(diǎn)) (j)1實(shí)極點(diǎn)(或零點(diǎn)) (j+1)1復(fù)極

14、點(diǎn)(或零點(diǎn)) (j/n )2+2(j/n ) +115.2.3 對(duì)數(shù)頻率特性圖（伯德圖） 1. 常數(shù)增益的伯德圖 G(j)=K 對(duì)數(shù)幅頻特性L()=20lgK相頻特性()=0 對(duì)數(shù)幅頻特性：為20lgK分貝，平行于橫軸， K1時(shí)，20lgK0dB；K1時(shí)，20lgK0dB。相頻特性：橫軸重合， K是負(fù)值時(shí),相角()= =-180 5.2.4 基本因子的伯德圖 2.在原點(diǎn)的極點(diǎn)(或零點(diǎn)) (j)1的伯德圖 積分環(huán)節(jié)當(dāng)=1時(shí)當(dāng)=10時(shí) 每增加10倍，L()則衰減20dB，記為：20dB/十倍頻程，或-20dB/dec?；蛑苯訉懗?20。 說明積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻曲線是一條經(jīng)過橫軸上=1這一點(diǎn)，且斜率

15、為-20dB/dec的直線。 相頻特性()=-90與無關(guān)，是平行于橫軸的直線。若在原點(diǎn)有多重極點(diǎn) (j)-v 在原點(diǎn)的零點(diǎn)即純微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)是積分環(huán)節(jié)的倒數(shù)，它們的曲線斜率和相位也正好相差一個(gè)負(fù)號(hào)。若在原點(diǎn)有多重零點(diǎn) (j)v 3.實(shí)極點(diǎn)(或零點(diǎn)) (j+1) 1的伯德圖 實(shí)極點(diǎn)即慣性環(huán)節(jié) 其對(duì)數(shù)幅頻特性 在 時(shí)（低頻段）： 近似地認(rèn)為，慣性環(huán)節(jié)在低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性是與橫軸相重合的直線。 在 時(shí)（高頻段）： 幅頻特性： 是一條經(jīng)過橫軸 ，斜率為:20dB/dec 的直線。 綜上所述：慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可以用相交于（1/T，0）的兩條漸近直線來近似表示： 當(dāng) 時(shí)，是一條0分貝的直線；

16、當(dāng) 時(shí)，是一條斜率為-20dB/dec的直線 兩條漸近線相交處的角頻率 稱為 轉(zhuǎn)角角頻率。用兩條漸近線近似慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性,最大誤差出現(xiàn)在轉(zhuǎn)角角頻率處,慣性環(huán)節(jié)的相頻特性當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。 慣性環(huán)節(jié)具有低通特性，對(duì)低頻輸入能精確地復(fù)現(xiàn)，而對(duì)高頻輸入要衰減，且產(chǎn)生相位遲后。因此，它只能復(fù)現(xiàn)定?；蚓徛兓男盘?hào)。 實(shí)零點(diǎn)即一階微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性（1+jT）與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)關(guān)系，因此其對(duì)數(shù)幅頻曲線、相頻曲線慣性環(huán)節(jié)相比僅差一負(fù)號(hào)。即 一階微分環(huán)節(jié)高頻漸近線的斜率是+20dB/dec，其相位變化范圍由 0（=0）經(jīng) 45至 90（=）4.復(fù)極點(diǎn)(或零點(diǎn)

17、)(j/n)2+2(j/n)+11復(fù)極點(diǎn)即振蕩環(huán)節(jié)令u=/n對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性低頻段，即u1時(shí) 即高頻漸近線是一條斜率為-40dB/dec的直線。當(dāng) 時(shí):說明 為二階系統(tǒng) (振蕩環(huán)節(jié)) 的轉(zhuǎn)角角頻率。 漸進(jìn)線與實(shí)際曲線的誤差與阻尼比有關(guān)，當(dāng)0.707時(shí)必須考慮對(duì)L()的影響，對(duì)轉(zhuǎn)角角頻率=n附近的L()曲線進(jìn)行修正。當(dāng)頻率接近 =n時(shí)，將產(chǎn)生諧振峰。阻尼比的大小決定了諧振峰值的幅值。相角是和的函數(shù)。當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，不管值的大小， 當(dāng) 時(shí)， 。相頻曲線對(duì)-90的彎曲點(diǎn)是斜對(duì)稱的。 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率 附近產(chǎn)生諧振峰值 Mr可通過計(jì)算得到振蕩環(huán)節(jié)的幅頻 特性為其中 ：當(dāng)出現(xiàn)

18、諧振峰值時(shí)， 有最大值，即 有最小值。得 解得說明:r與 有關(guān),當(dāng)0.707時(shí),沒有諧振峰.將 代入 ，求得 。 因此，在=r 處 具有最小值，亦即 具有最大值。將 代入幅頻特性 中，得諧振峰值Mr為 諧振頻率r及諧振峰值Mr都與有關(guān)。越小, r越接近n, Mr將越大。當(dāng)0.707時(shí)，不存在諧振峰值，幅頻特性單調(diào)衰減。當(dāng)=0.707時(shí)，r=0，Mr=1。當(dāng)0，Mr1。當(dāng)0 時(shí)，rn，Mr。 復(fù)零點(diǎn)即二階微分環(huán)節(jié) 頻率特性 對(duì)數(shù)幅頻特性 相頻特性 即二階微分環(huán)節(jié)的幅頻和相頻特性分別與振蕩環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性是關(guān)于橫軸對(duì)稱。此時(shí)，其對(duì)數(shù)幅頻特性的高頻漸近線的斜率為 +40dB/dec，而相頻由 0（對(duì)應(yīng)

19、=0）經(jīng) 90（= n=1/T） ，最后趨于 180（）。 0.20.30.7 5延遲環(huán)節(jié) 對(duì)數(shù)幅頻特性 相頻特性 繪制伯德圖的基本步驟： 把系統(tǒng)的頻率特性改寫成各典型環(huán)節(jié)的乘積形式，畫出每一個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻和相頻曲線，然后進(jìn)行同頻率疊加，即得到該系統(tǒng)的伯德圖。 例： 常數(shù)增益K=10,原點(diǎn)一個(gè)極點(diǎn)，實(shí)極點(diǎn)1=1/T=105.2.5 控制系統(tǒng)的伯德圖 例5-4 繪制下列系統(tǒng)的伯德圖解：系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)包含的基本因子 常數(shù)增益K=25 一個(gè)積分因子1/j 兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)因子1=4, 2=0.1 一個(gè)實(shí)零點(diǎn)因子3=1(1)L()的低頻段由常數(shù)增益和積分因子的對(duì)數(shù)幅頻特性組成.常數(shù)增益:L()=20l

20、g25=28dB積分因子: L()=-20lg,過(1,0),斜率-20的直線疊加后為:過(1,28),斜率-20的直線(2)在實(shí)零點(diǎn)(或極點(diǎn))基本因子的轉(zhuǎn)角角頻率處, L()的斜率在原基礎(chǔ)上增加(或減小)20dB/dec,而在復(fù)零點(diǎn)(或極點(diǎn))的轉(zhuǎn)角角頻率處, L()的斜率在原基礎(chǔ)上增加(或減小)40dB/dec.兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)的轉(zhuǎn)角角頻率0.1和4,一個(gè)實(shí)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)角角頻率1(3)畫出對(duì)數(shù)幅頻特性L()的曲線(4)相頻特性曲線是所有基本因子相頻特性曲線的代數(shù)和積分因子: ()=-90(10j+1)-1, (j+1), (0.25j+1)-1,的相頻特性曲線分別是1,2,3四條曲線疊加后得到系統(tǒng)的相

21、頻特性曲線四條曲線疊加后的曲線,加粗實(shí)線表示例5-5 繪制下列系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線解：系統(tǒng)包含的基本因子 常數(shù)增益K=10 一個(gè)積分因子1/j 一個(gè)實(shí)極點(diǎn)因子1=1 一個(gè)實(shí)零點(diǎn)因子2=2 復(fù)極點(diǎn)n=10,=0.25復(fù)極點(diǎn)=0.25,有諧振峰值,需要對(duì)曲線修正畫出對(duì)數(shù)幅頻特性L()的曲線系統(tǒng)中兩個(gè)常用術(shù)語(1)增益剪切角頻率c: 系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性穿越0dB的角頻率,即 L()=0 時(shí)的角頻率;(2)相位剪切角頻率g:系統(tǒng)的相頻特性曲線穿越-180的角頻率,即()= -180時(shí)的角頻率;5.2.6 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng) 定義： 在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，沒有位于S右半平面的零點(diǎn)和極點(diǎn)，且沒有純

22、時(shí)間延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，反之為非最小相位系統(tǒng)。 從伯德圖上看，最小相位系統(tǒng)為具有相同幅頻特性的許多系統(tǒng)中其相移范圍為最小的穩(wěn)定系統(tǒng)。 5.2.6 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)的特征： (1) 在nm且幅頻特性相同的情況下，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小。 這里n和m分別表示傳遞函數(shù)分母和分子多項(xiàng)式的階次。例：兩個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為（T1T2）它們的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性為顯然,兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性一樣，但相頻特性不同。由圖可見， 的變化范圍要比 大得多。 最小相位系統(tǒng) 非最小相位系統(tǒng) (2)當(dāng)=時(shí)，其相角等于-90( n-m ) ，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率為20(nm)d

23、B/dec。 可用這一特性來判別該系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。 (3)對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于一個(gè)最小相位系統(tǒng)，若已知其幅頻特性，它的相頻特性也就唯一地確定了。即：只要根據(jù)其幅頻特性，就能寫出此最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而無需再畫出相頻特性。 非最小相位系統(tǒng)高頻時(shí)相角滯后大，起動(dòng)性能差，響應(yīng)緩慢。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)除了被控對(duì)象中可能包含之外，一般不人為引入非最小相位元件。作業(yè)A5-1 （1）（2）A5-7 （1）（2）5.3 頻域中的穩(wěn)定性判據(jù) （ Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)）5.3.1 引言基本思想：利用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)則閉環(huán)系統(tǒng)的特征式5.3.

24、1 引言系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)則閉環(huán)系統(tǒng)的特征式(1) F(s)是n階有理分式,且零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)相同;(2) F(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn);(3) F(s)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn).5.3.2 幅角原理1.映射 復(fù)數(shù)s s平面 s=+j. F(s) F(s) 復(fù)平面 F(s)= u+jv.在s平面上除了F(s)零點(diǎn)和極點(diǎn)外的任意點(diǎn)si ，經(jīng)過復(fù)變函數(shù)F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)F(si) 。所以復(fù)變函數(shù)F(s)就是從s平面到F(s)平面的映射，這種映射是一一對(duì)應(yīng)的.例如函數(shù) 若si = 2, 則F(s)=4/3;若si = -j,則F(s)=1- j 在s平面上取一閉合路

25、徑s ,它不經(jīng)過F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn), F(s)在s內(nèi)零點(diǎn)數(shù)為Z,極點(diǎn)數(shù)為P, s按順時(shí)針方向沿s繞一圈，則在F(s)平面上與之對(duì)應(yīng)的閉合回路F按順時(shí)針方向圍繞原點(diǎn)的圈數(shù)為: N=Z-P 若N0,即ZP,則F與s移動(dòng)方向一致; 若N=0,即Z=P,則F 不包圍原點(diǎn); 若N0,即Z P,則F與s移動(dòng)方向相反. 2. 幅角原理柯西定理證明:式中 當(dāng)s沿s繞行時(shí), 將隨之變化. 1)若F(s)的零點(diǎn)或極點(diǎn)在s之外, s沿s繞行一圈時(shí),相角變化皆為0.2)若F(s)的零點(diǎn)(如Z1 )在s之內(nèi), s沿s繞行一圈時(shí),相角變化為-2.3)若F(s)的極點(diǎn)在s之內(nèi)時(shí), s沿s繞行一圈時(shí),相角變化為2. 結(jié)論：

26、若F(s)在s中有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng)s沿s順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)， F(s)相角的變化：F(s)相角變化-2相當(dāng)于 F 順時(shí)針包圍F(s)平面原點(diǎn)一圈,所以上式可寫為 N=Z-P . 若 F(s)=1+G(s)H(s)- 系統(tǒng)特征方程 閉合路徑s取 - S 右半平面（奈氏路徑） 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什么? （Z0 即：N=-P） 負(fù)號(hào)表示沿逆時(shí)針方向包圍F(s)平面原點(diǎn)N圈 若P=0, 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是N=05.3.3 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)1奈氏路徑 順時(shí)針方向包圍整個(gè)s右半面。當(dāng)F(s)有若干個(gè)極點(diǎn)處于s平面虛軸上時(shí)，則以這些點(diǎn)為圓心，作半徑為無窮小的半圓，按逆時(shí)針方向從右側(cè)

27、繞過這些點(diǎn)。 2. 奈氏判據(jù) 設(shè)： 閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 顯然：F(s) 的零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。(1) 1G(S)H(S)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 假如s沿著奈氏路徑繞一圈，根據(jù)幅角定理，F(xiàn)(s)平面上繪制的F(s)曲線F順時(shí)針方向繞原點(diǎn)的圈數(shù) N 則為F(s)在s右半平面內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù) Z 與極點(diǎn)個(gè)數(shù) P 之差： N= Z - P 當(dāng) Z=0 時(shí)，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)在s右半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。 （2）G(s)H(s)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析-奈氏判據(jù) 因1+ G(s)H(s) 與G(s)H(s) 相差1，則系統(tǒng)穩(wěn)定性可表述為： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿奈氏路徑

28、繞一圈，G(s)H(s)曲線逆時(shí)針繞（-1，j0）點(diǎn)P圈。 即:N=-P （Z0） PG(s)H(s)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù) a. 若P=0，且 N=0，即GH曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；(最小相位系統(tǒng)P=0) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿奈氏路徑繞一圈，G(s)H(s)曲線逆時(shí)針繞（-1，j0）點(diǎn)P圈。 即:N=-P （Z0） b. 若P0，且N=-P，即GH曲線逆時(shí)針繞（-1，j0）點(diǎn)P 圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 不穩(wěn)定系統(tǒng)分布在s右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)可按下式求?。?Z=PNc. 若GH曲線通過（-1，j0）點(diǎn)L次，則說明閉環(huán)系統(tǒng)有L個(gè)極點(diǎn)分布在s平面的虛軸上

29、。 例: 一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 當(dāng) 變化，畫出系統(tǒng)的奈氏曲線。 一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)位于s的右半平面，即：P=1。 奈氏曲線是逆時(shí)針方向繞（-1，j0）點(diǎn)的1圈，即 N=-1。 根據(jù)奈氏判據(jù), 閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點(diǎn)數(shù) Z=P+N=1-1=0 ,所以系統(tǒng)穩(wěn)定。 3. s平面原點(diǎn)有F（S）極點(diǎn)時(shí)的奈氏路徑 s=-j0+j0時(shí)，以原點(diǎn)為圓心，作半徑為無窮小的半圓，按逆時(shí)針方向從右側(cè)繞過原點(diǎn)。 令 , 0 當(dāng)s從-j0+j0時(shí)，從-90+90 結(jié)論: 當(dāng)s從-j0+j0時(shí)，G(s)H(s)的奈氏曲線以半徑為無窮大，順時(shí)針轉(zhuǎn)過 。所以， 從 變到 。 s的奈氏

30、曲線令: 因?yàn)镽 ， 則有 對(duì)n-m0的系統(tǒng)，就趨向于零。 從(nm)90變到 +(nm)90。 結(jié)論: 當(dāng) s 沿奈氏路徑從+j到 -j時(shí)，對(duì)nm的系統(tǒng)，G(s)H(s)的奈氏曲線以無窮小半徑，繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過（n - m）。4.奈氏判據(jù)應(yīng)用舉例例5-9 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的 穩(wěn)定性 ：解 ：1型二階系統(tǒng) ，v=1, 先作+j0+j時(shí)的奈氏曲線。再根據(jù)對(duì)稱性，作出-j0 -j時(shí)的奈氏曲線。s從-j0 +j0時(shí)補(bǔ)180順時(shí)針半徑無窮大的虛圓弧.奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn),即N=0,而P=0,故系統(tǒng)穩(wěn)定.例5-10 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ：解 ： 1型二階系統(tǒng) ，v=1, 先作+j0到+j時(shí)的奈

31、氏曲線。再根據(jù)對(duì)稱性，作出-j0到-j時(shí)的奈氏曲線。s從-j0 +j0時(shí)補(bǔ)180順時(shí)針半徑無窮大的虛圓弧.奈氏曲線包圍(-1,j0)點(diǎn),即N=1,而P=0,故系統(tǒng)不穩(wěn)定.例5-11: 分析如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開環(huán)傳遞函數(shù)解：是最小相位系統(tǒng),曲線于實(shí)軸交點(diǎn) ,K取值不同時(shí),奈氏曲線不同。(a) :曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。(b) :曲線通過（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 (c) :曲線包圍（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5.判斷N的簡(jiǎn)易方法 （1）正、負(fù)穿越的概念G(j)H(j)奈氏曲線對(duì)稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫 部分。所謂 “穿越” 是指 軌跡穿過 段。正穿越：從下而上穿過該段一次（相角

32、減少），用N+ 表示。負(fù)穿越：由上而下穿過該段一次（相角增加），用N- 表示。 正穿越 負(fù)穿越 若G(j)H(j)軌跡起始或終止于 (-1, j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。 如果G(j)H(j)按順時(shí)針方向繞(-1, j0) 一周，則必正穿越一次。反之，若按逆時(shí)針方向包圍點(diǎn) (-1, j0) 一周，則必負(fù)穿越一次。這種正負(fù)穿越之和即為G(j)H(j)包圍的圈數(shù)。 N=2(N+-N-) 注意：這里對(duì)應(yīng)的變化范圍 。 例:已知某系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡，有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：系統(tǒng)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平

33、面（P=2），G(j)H(j)軌跡在點(diǎn)(-1, j0)以左的負(fù)實(shí)軸有1次正穿越， 2次負(fù)穿越， 求得：Z=P+N=2-2=0 所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 例: 已知兩系統(tǒng)s= +j0 j時(shí)的奈氏曲線，分析穩(wěn)定性。 解: (a) N= 2(N+-N)=2(1-0)= 2，且 P =0，所以 Z=P+N=2 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (b) K1時(shí)，N= 2(N+-N-)=2(1/2-1)= -1，且 P=1，所以 Z=P+N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； K1, N= 2(N+ - N)=2(2-1)=2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系統(tǒng)不穩(wěn)定。若b1a, N= 2(N+ - N)=2(1-1)=0，且 P=1，所以

34、 Z=P+N=1 系統(tǒng)不穩(wěn)定。若a1, N= 2(N+ - N)=2(1-0)= 2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.3.4 伯德圖的奈氏判據(jù) 伯德圖若用于最小相位系統(tǒng),奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)意味著()= -180時(shí), |G(j)H(j)| -180伯德圖的奈氏判據(jù):系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,剪切角頻率c處的相角 (c) -180.例5-13：用伯德圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性. -1, -2, -4 分別表示 L()的斜率 -20dB/dec,-40dB/dec,-60dB/dec,K=100時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定。K=143時(shí),系統(tǒng)臨界穩(wěn)定.K143時(shí),系統(tǒng)不穩(wěn)定.5.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的頻域分析與頻域指標(biāo)5.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的頻域分析與頻域指標(biāo)5.4.1 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 在穩(wěn)定的系統(tǒng)中,特征根離虛軸越遠(yuǎn),其瞬態(tài)過程越短,振蕩越小,系統(tǒng)越穩(wěn)定,即系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越好.用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)H(j)與GH平面上與（-1，j0）點(diǎn)的靠近程度來表征閉環(huán)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。G(j)H(j)離開（-