《偏微分方程概述及運(yùn)用matlab求解偏微分方程常見(jiàn)問(wèn)題》

1、北京航空航天大學(xué)偏微分方程概述及運(yùn)用matlab求解微分方程求解常見(jiàn)問(wèn)題姓名徐敏學(xué)號(hào)57000211班級(jí)380911班2011年6月偏微分方程概述及運(yùn)用matlab求解偏微分方程常見(jiàn)問(wèn)題徐敏摘要偏微分方程簡(jiǎn)介，matlab偏微分方程工具箱應(yīng)用簡(jiǎn)介，用這個(gè)工具箱解方程的過(guò)程是：確定待解的偏微分方程；確定邊界條件；確定方程所在域的幾何形狀；劃分有限元；解方程關(guān)鍵詞MATLAB偏微分方程程序如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含有一個(gè)自變量，這個(gè)方程叫做常微分方程，也簡(jiǎn)稱微分方程：如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種

2、微分方程就是偏微分方程。一，偏微分方程概述偏微分方程是反映有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間制約關(guān)系的等式。許多領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來(lái)描述，很多重要的物理、力學(xué)等學(xué)科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微積分理論剛形成后不久，人們就開(kāi)始用偏微分方程來(lái)描述、解釋或預(yù)見(jiàn)各種自然現(xiàn)象，并將所得到的研究方法和研究成果運(yùn)用于各門(mén)科學(xué)和工程技術(shù)中，不斷地取得了顯著的成效，顯示了偏微分方程對(duì)于人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然界基本規(guī)律的重要性。逐漸地，以物理、力學(xué)等各門(mén)科學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題為背景的偏微分方程的研究成為傳統(tǒng)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)最主要的內(nèi)容，它直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題，不斷地提出和產(chǎn)生

3、出需要解決的新課題和新方法，不斷地促進(jìn)著許多相關(guān)數(shù)學(xué)分支（如泛函分析、微分幾何、計(jì)算數(shù)學(xué)等）的發(fā)展，并從它們之中引進(jìn)許多有力的解決問(wèn)題的工具。偏微分方程已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的組成部分，是純粹數(shù)學(xué)的許多分支和自然科學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域之間的一座重要的橋梁。在國(guó)外，對(duì)偏微分方程的應(yīng)用發(fā)展是相當(dāng)重視的。很多大學(xué)和研究單位都有應(yīng)用偏微分方程的研究集體，并得到國(guó)家工業(yè)、科學(xué)部門(mén)及軍方、航空航天等方面的大力資助。比如在國(guó)際上有重大影響的美國(guó)的Courant研究所、法國(guó)的信息與自動(dòng)化國(guó)立研究所等都集中了相當(dāng)多的偏微分方程的研究人員，并把數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)方法、應(yīng)用軟件及實(shí)際應(yīng)用融為一體，在解決實(shí)際課題、推

4、動(dòng)學(xué)科發(fā)展及加速培養(yǎng)人才等方面都起了很大的作用。在我國(guó)，偏微分方程的研究起步較晚。但解放后，在黨和國(guó)家的大力號(hào)召和積極支持下，我國(guó)偏微分方程的研究工作發(fā)展比較迅速，涌現(xiàn)出一批在這一領(lǐng)域中做出杰出工作的數(shù)學(xué)家，如谷超豪院士、李大潛院士等，并在一些研究方向上達(dá)到了國(guó)際先進(jìn)水平。但總體來(lái)說(shuō)，偏微分方程的研究隊(duì)伍的組織和水平、研究工作的廣度和深度與世界先進(jìn)水平相比還有很大的差距。因此，我們必須繼續(xù)努力，大力加強(qiáng)應(yīng)用偏微分方程的研究，逐步縮小與世界先進(jìn)水平的差距二，偏微分方程的內(nèi)容偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內(nèi)容？這里我們可從一個(gè)例子的研究加以介紹。弦振動(dòng)是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律是質(zhì)點(diǎn)

5、力學(xué)的F二ma，但是弦并不是質(zhì)點(diǎn)，所以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的定律并不適用在弦振動(dòng)的研究上。然而，如果我們把弦細(xì)細(xì)地分成若干個(gè)極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣我們就可以應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基本定律了。弦是指又細(xì)又長(zhǎng)的彈性物質(zhì)，比如弦樂(lè)器所用的弦就是細(xì)長(zhǎng)的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時(shí)候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬(wàn)倍。當(dāng)演奏的人用薄片撥動(dòng)或者用弓在弦上拉動(dòng)，雖然只因其所接觸的一段弦振動(dòng)，但是由于張力的作用，傳播到使整個(gè)弦振動(dòng)起來(lái)。用微分的方法分析可得到弦上一點(diǎn)的位移是這一點(diǎn)所在的位置和時(shí)間為自變量的偏微分方程。偏方程又很多種類(lèi)型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、

6、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動(dòng)方程，它屬于數(shù)學(xué)物理方程中的波動(dòng)方程，也就是雙曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有無(wú)窮多個(gè)，但是解決具體的物理問(wèn)題的時(shí)候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因?yàn)槠⒎址匠淌峭活?lèi)現(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式，僅僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問(wèn)題的特殊性，所以就物理現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，各個(gè)具體問(wèn)題的特殊性就在于研究對(duì)象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。拿上面所舉的弦振動(dòng)的例子來(lái)說(shuō)，對(duì)于同樣的弦的弦樂(lè)器，如果一種是以薄片撥動(dòng)弦，另一種是以弓在弦上拉動(dòng)，那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動(dòng)”或“拉動(dòng)”的那個(gè)“初始”時(shí)刻的振動(dòng)情況不同，因此

7、產(chǎn)生后來(lái)的振動(dòng)情況也就不同。天文學(xué)中也有類(lèi)似情況，如果要通過(guò)計(jì)算預(yù)言天體的運(yùn)動(dòng)，必須要知道這些天體的質(zhì)量，同時(shí)除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統(tǒng)的初始狀態(tài)，就是在某個(gè)起始時(shí)間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數(shù)學(xué)物理方程的時(shí)候，總會(huì)有類(lèi)似的附加條件。就弦振動(dòng)來(lái)說(shuō)，弦振動(dòng)方程只表示弦的內(nèi)點(diǎn)的力學(xué)規(guī)律，對(duì)弦的端點(diǎn)就不成立，所以在弦的兩端必須給出邊界條件，也就是考慮研究對(duì)象所處的邊界上的物理狀況。邊界條件也叫做邊值問(wèn)題。當(dāng)然，客觀實(shí)際中也還是有“沒(méi)有初始條件的問(wèn)題”，如定場(chǎng)問(wèn)題（靜電場(chǎng)、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定溫度分布等），也有“沒(méi)有邊界條件的問(wèn)題”，如著重研究不靠近兩端的那

8、段弦，就抽象的成為無(wú)邊界的弦了。在數(shù)學(xué)上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達(dá)同一類(lèi)物理現(xiàn)象的共性，是作為解決問(wèn)題的依據(jù);定解條件卻反映出具體問(wèn)題的個(gè)性，它提出了問(wèn)題的具體情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問(wèn)題。求偏微分方程的定解問(wèn)題可以先求出它的通解，然后再用定解條件確定出函數(shù)。但是一般來(lái)說(shuō)，在實(shí)際中通解是不容易求出的，用定解條件確定函數(shù)更是比較困難的。偏微分方程的解法還可以用分離系數(shù)法，也叫做傅立葉級(jí)數(shù)；還可以用分離變數(shù)法，也叫做傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數(shù)法可以求解有界空間中的定解問(wèn)題，分離變數(shù)法可以求解無(wú)界空間的定解問(wèn)題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間

9、的數(shù)學(xué)物理方程的定解。對(duì)方程實(shí)行拉普拉斯變換可以轉(zhuǎn)化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進(jìn)行反演就可以了。應(yīng)該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問(wèn)題是不能?chē)?yán)格解出的，只可以用近似方法求出滿足實(shí)際需要的近似程度的近似解。常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成變分問(wèn)題，再求變分問(wèn)題的近似解；有限差分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個(gè)物理的問(wèn)題實(shí)驗(yàn)研究來(lái)代替所研究某個(gè)物理問(wèn)題的定解。雖然物理現(xiàn)象本質(zhì)不同，但是抽象地表示在數(shù)學(xué)上是同一個(gè)定解問(wèn)題，如研究某個(gè)不規(guī)則形狀

10、的物體里的穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上是拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題，由于求解比較困難，可作相應(yīng)的靜電場(chǎng)或穩(wěn)恒電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究，測(cè)定場(chǎng)中各處的電勢(shì)，從而也解決了所研究的穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度分布問(wèn)題。隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學(xué)自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開(kāi)、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進(jìn)行發(fā)展。從這個(gè)角度說(shuō)，偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心。三，用matlab解偏微分方程解偏微分方程不是一件輕松的事，但是偏微分方程在自然科學(xué)和工程領(lǐng)域中應(yīng)用很廣，因此，我們可以運(yùn)用matlab這個(gè)軟件來(lái)解決一些常見(jiàn)的偏微分方程。（一）

11、Matlab偏微分方程工具箱簡(jiǎn)介。1，概述。本文只給出該工具箱的函數(shù)列表2，偏微分方程算法函數(shù)列表。adaptmesh生成自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)及偏微分方程的解assemb生成邊界質(zhì)量和剛度矩陣assema生成積分區(qū)域上質(zhì)量和剛度矩陣assempde組成偏微分方程的剛度矩陣及右邊hyperbolic求解雙曲線型偏微分方程parabolic求解拋物線型偏微分方程pdeeig求解特征型偏微分方程pdenonlin求解非線性型微分方程poisolv利用矩陣格式快速求解泊松方程3，圖形界面函數(shù)。pdecirc畫(huà)圓pdeellip畫(huà)橢圓pdemdlcv轉(zhuǎn)化為版本1.0式的*.m文件pdepoly畫(huà)多邊形pderec

12、t畫(huà)矩形pdetool偏微分方程工具箱的圖形用戶界面4，幾何處理函數(shù)。csgchk檢查幾何矩陣的有效性csgdel刪除接近邊界的小區(qū)decsg將固定的幾何區(qū)域分解為最小區(qū)域initmesh產(chǎn)生最初的三角形網(wǎng)絡(luò)jigglemesh微調(diào)區(qū)域內(nèi)的三角形網(wǎng)絡(luò)poimesh在矩形區(qū)域上產(chǎn)生規(guī)則的網(wǎng)絡(luò)refinemesh細(xì)化三角形網(wǎng)絡(luò)wbound寫(xiě)一個(gè)邊界描述文件wgeom寫(xiě)一個(gè)幾何描述文件pdecont畫(huà)輪廓圖pdemesh畫(huà)偏微分方程的三角形網(wǎng)絡(luò)pdeplot畫(huà)偏微分方程的三角形網(wǎng)絡(luò)其中，A又稱為L(zhǎng)aplace算子。這樣橢圓型偏微分方程可以簡(jiǎn)單地寫(xiě)pdesurf畫(huà)表面圖命令5，通用函數(shù)。pdetriq

13、三角形單元的品性度量poiasma邊界點(diǎn)對(duì)快速求解泊松方程的“貢獻(xiàn)”矩陣poicalc規(guī)范化的矩陣格式的點(diǎn)索引(二)Matlab偏微分方程工具箱應(yīng)用。可以用詞工具箱求解如橢圓方程，雙曲線方程，特征值方程，拋物線方程。橢圓型偏微分方程的一般形式為一div(cVu)+au=f(x,t)其中：若u=u(x，x,，x,t)=u(x，r),Vu為u的梯度，則其定義為12nVu=散度div(v)的定義為66ddx，6x，6x1266+、6x6x12這樣，div(cVu)可以更明確地表示為div(v)=6)+6x丿ndiv(cVu)=6uc66x6x丿6x1126uc6x,26+U6x6x62+6x2丿nu

14、=cAu若c為常數(shù)，則進(jìn)一步化簡(jiǎn)為T(mén)OC o 1-5 h z6262div(cVu)=cI+I6x26x212特征值型偏微分方程c廠d2d2d2+dx2丿n+dx2dx212拋物型偏微分方程u+au=f(x,t)拋物型偏微分方程的一般形式為dud一div(cVu)+au=f(x,t)dt根據(jù)上面敘述，若c為常數(shù)，則該方程可以更簡(jiǎn)單地寫(xiě)為7dud一cdtd2d2d2+dx2dx2dx2)12nu+au=f(x,t)雙曲型偏微分方程雙曲型偏微分方程的一般形式為d2ud一div(cVu)+au=f(x,t)dt2若c為常數(shù)，則可以將該方程簡(jiǎn)化為T(mén)d2u(d2d2d2d一cI+dt2Idx2dx2dx

15、2/12n三類(lèi)方程的直接的區(qū)別在于u對(duì)t的導(dǎo)數(shù)的階次。u+au=f(x,t)若對(duì)t沒(méi)有求導(dǎo)，可以理解為其值為常數(shù)，故稱為橢圓型的。若取u對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，則與u對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)直接構(gòu)成了拋物線關(guān)系，故稱為拋物型偏微分方程。若取u對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)，稱其為雙曲型偏微分方程。特征值型偏微分方程為一div(cVu)+au-xdu對(duì)常數(shù)c該方程可以化簡(jiǎn)為(d2d2d2)一cI+u+auxf(x,t)(dx2dx2dx2丿12n該方程是橢圓型偏微分方程的特例。pdetool的使用：在matlab命令窗口中鍵入pdetoo1窗口打開(kāi)進(jìn)入工作狀態(tài)，pdetool提供兩種解方程的方法，一種是通過(guò)函數(shù)，利用函數(shù)

16、可以編程也可以用命令行的方式解方程，兩一種是對(duì)pdetool窗口進(jìn)行交互操作。一般來(lái)說(shuō)，用函數(shù)解方程比較繁瑣，但是比較靈活：通過(guò)窗口交互操作比較簡(jiǎn)單。解方程的全部過(guò)程以及結(jié)果都可以輸出保存為文本文件。限于文本的篇幅，我們主要介紹交互操作偏微分方程的方法。1.確定待解的偏微分方程。利用函數(shù)assempde可以對(duì)待解的偏微分方程加以描述。在交互操作中，為了方便用戶，pdetool把常見(jiàn)問(wèn)題歸結(jié)為及各類(lèi)型，可以再pdetool窗口的工具欄上找到選擇類(lèi)型的彈出菜單，這些類(lèi)型如下：通用問(wèn)題通用系統(tǒng)(二維的偏微分方程組)結(jié)構(gòu)力學(xué)：平面應(yīng)力結(jié)構(gòu)力學(xué)：平面應(yīng)變靜電學(xué)靜磁學(xué)交流電電磁學(xué)直流電導(dǎo)電介質(zhì)熱傳導(dǎo)擴(kuò)散確

17、定問(wèn)題類(lèi)型后，可以再PDESpecification對(duì)話框填入c,a,f,d等系數(shù)，這樣就確定了待解的偏微分方程。2.確定邊界條件用函數(shù)assemb可以描述邊界條件。用pdetool提供的邊界條件對(duì)話框，在對(duì)話框里填入g,h,q,r等邊界條件。3.確定偏微分方程所在Q域的幾何圖形平面上波得散射問(wèn)題。按照上面所說(shuō)的解方程的過(guò)程，首先確定帶解的偏微分方程。散射是介質(zhì)對(duì)入射波的反射。假定介質(zhì)是均勻的，那么入射波在介質(zhì)中傳播的速度是一個(gè)常數(shù)c?？梢杂煤瘮?shù)畫(huà)出0域的幾何圖形。Pdecirc:畫(huà)圓：pdeellip:畫(huà)橢圓：pderect:畫(huà)矩形：pdepoly：畫(huà)多邊形。無(wú)論哪種畫(huà)法，圖形一經(jīng)畫(huà)出，pd

18、etool就為這個(gè)圖形自動(dòng)取名，并把代表圖形的名字放入Setformula窗口，在這個(gè)窗口，可以通過(guò)+，-圖形的名字現(xiàn)在對(duì)圖形的拓?fù)溥\(yùn)算，以便構(gòu)造復(fù)雜的0域幾何圖形4.劃分有限元對(duì)q域進(jìn)行有限元的劃分函數(shù)有，initmesh:基本劃分；jigglemesh:采用jiggle方法劃分;refinemesh:精細(xì)劃分。在pdetool窗口中直接點(diǎn)擊劃分有限元的按鈕劃分有限元，劃分的方法與上面的函數(shù)想對(duì)應(yīng)。5.解方程經(jīng)過(guò)1.11.4步驟后就可以解方程。解方程的函數(shù)有，adaptunesh:解方程的通用函數(shù)；poicalc：矩形有限元快速解橢圓形方程；poisolv:矩形有限元解橢圓形方程；parab

19、olic:解拋物線型方程：hyperbolic:解雙曲線型方程。在pdetool窗口中直接點(diǎn)擊解方程的按鈕即可解方程，解方程所耗費(fèi)的時(shí)間在于有限元?jiǎng)澐值亩嗌佟?三)實(shí)例求解偏微分方程的邊值問(wèn)題一、MATLAB支持的偏微分方程類(lèi)型考慮平面有界區(qū)域D上的二階橢圓型PDE邊值問(wèn)題：_VcVu)+au=f(0.1)其中(a力、(1)，一(2)a,f是D上的已知函數(shù)c是標(biāo)量或2x2的函數(shù)方陣oxBy丿未知函數(shù)為U(x,y)(x,y)eD。它的邊界條件分為三類(lèi)：1)Direchlet條件：hu=f2)Neumann條件：JcVu)+qu=g(3)混合邊界條件：在邊界qd上部分為Direchlet條件,為N

20、eumann條件。其中h,r,q,g,c是定義在邊界QD的已知函數(shù)，另外c也可以殳的函數(shù)矩陣，n是沿邊界的外法線的單位向量。在使用pdetool時(shí)要向它提供這些已知參數(shù)。二、例題例題1用pdetool求解-Au=1D:x2+y21u=0QD(0.2)(0.3)另外部分一個(gè)2*2(0.4)解：首先在MATLAB的工作命令行中鍵入pdetool，按回牟鍵確定于是出現(xiàn)PDEToolbox窗口，選GenenicScalar模式.(l)畫(huà)區(qū)域圓單擊橢圓工具按鈕，大致在(0，0)位置單擊鼠標(biāo)右鍵，拖拉鼠標(biāo)到適當(dāng)位置松開(kāi)。為了保證所繪制的圓是標(biāo)準(zhǔn)的單位園，在所繪園上雙擊，打開(kāi)ObjectDialog對(duì)話框，

21、精確地輸入圓心坐標(biāo)X-center為0、Y-center為0及半徑Radius為l，然后單擊OK按鈕，這樣單位畫(huà)已畫(huà)好(2)設(shè)置邊界條件單擊工具邊界模式按鈕，圖形邊界變紅，逐段雙擊邊界，打開(kāi)Boundarycondition對(duì)話框輸入邊界條件對(duì)于同一類(lèi)型的邊界，可以按Shift鍵，將多個(gè)邊界同時(shí)選擇，統(tǒng)一設(shè)邊界條件.本題選擇Dirichlet條件，輸入h為1,r為0。，然后單擊OK按鈕也可以單擊Boundary菜單中SpocifyBoundaryCondition選項(xiàng)，打開(kāi)BoundaryCondition對(duì)話框輸入邊界條件(3)設(shè)置方程單擊偏微分方程按鈕，打開(kāi)PDESpecification

22、對(duì)話框，選擇方程類(lèi)型本題選Ellintic(橢圓型)，輸入c為1,a為0,f為1,然后單擊OK按鈕(4)網(wǎng)格剖分單擊網(wǎng)格工具，或者單擊Mesh菜單中InitializeMesh項(xiàng)，可進(jìn)行初始網(wǎng)格剖分這時(shí)在PDEToolbox窗口下方的狀態(tài)欄內(nèi)顯示出初始網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù)和三角形單元數(shù)本題節(jié)點(diǎn)數(shù)為144個(gè)，三角形單元數(shù)為254個(gè)(圖?)。如果要細(xì)化網(wǎng)格，單擊細(xì)化工具，或者單擊Mesh菜單中RefineMesh選項(xiàng)，節(jié)點(diǎn)數(shù)成為541個(gè)，三角形單元數(shù)為1016個(gè)。(5)解方程單擊解方程工具，或者單擊Solve菜單中SolvePDE選項(xiàng)，可求得方程數(shù)值解并用彩色圖形顯示。單擊作圖工具，或者單擊Plot菜單中

23、Parameter選項(xiàng)，出現(xiàn)Plotselection對(duì)話框.從中選擇于Height(3-Dplot)，然后單擊Plot按鈕，方程的圖形解如圖?？所示。除了作定解問(wèn)題解u的圖形外，也可以作|gradu|等圖形Info:Selectanewplot,orchangemodetoalterPDEZmesh,orboundaries.PDEToolbox-UntitledFileEditOptionsDrawBoundaryPDEMeshSolvePlotWindowHelp|田|O|方|OG|pDe|A|血J=|氣矗enericSc砌三11%：心Setformula:-1.5-1-0.50.51.

24、6）輸出網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的編號(hào)、單元編號(hào)以及節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)單擊Mesh菜單中ShowNodeLabels選項(xiàng)，再單擊網(wǎng)格工具，即可顯示節(jié)點(diǎn)編號(hào)（圖？）。若要輸出節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，只需單擊Mesh菜單中ExportMesh選項(xiàng)，這時(shí)打開(kāi)的Export對(duì)話框中的默認(rèn)值為pet,這里p、e、t分別表示point（點(diǎn)）、edges（邊）、triangles（三角形）數(shù)據(jù)變量，單擊OK按鈕，然后在MATLAB命令行鍵入p,即可以顯示按節(jié)點(diǎn)編號(hào)排列的坐標(biāo);鍵入e再回車(chē)則顯示邊界數(shù)據(jù)矩陣（7維數(shù)組）；鍵入t按回車(chē)則顯示三角形單元數(shù)據(jù)矩陣（4維數(shù)組）。點(diǎn)、邊、單元的部分輸出為：p=Columns1through11-0.7071-0.70710.7071-0.7071-1.00000.00001.00000.00000.7071-0.7071-0.9808-0.9239-0.8315-0.0000-1.000001.00000.70710.7071-0.1951-0.3827-0.5556Columns1through111.00009.000010.000011.00005.000012.000013.000014.00002.00001