1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

1、 階躍函數(shù) 沖激函數(shù)是兩個典型的奇異函數(shù)。 階躍序列和單位樣值序列1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)函數(shù)本身有不連續(xù)點(跳變點)或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點的一類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異信號(Singular Signals)或奇異函數(shù)(Singularity Functions)。一、單位階躍函數(shù)(Unit Step Functions)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個函數(shù)序列n(t)如圖所示。 1. 定義(Definition)2. 延遲(Delay)單位階躍信號3. 階躍函數(shù)的性質(zhì)(Property)(1)可以方便地表示某些信號 f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) (2)用

2、階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間 (3)積分 二、單位沖激函數(shù)(Unit Impulse Functions) 單位沖激(脈沖)函數(shù)是個奇異函數(shù)，它是對強度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。 狄拉克(Dirac)定義 函數(shù)序列定義(t) 沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系 沖激函數(shù)的性質(zhì)1. 狄拉克(Dirac)定義 函數(shù)值只在t = 0時不為零； 積分面積為1； t =0 時， ，為無界函數(shù)。 2.函數(shù)序列定義(t)對n(t) 求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t) 。 求導(dǎo)高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對稱窄脈沖。 3. (t)與(t)的關(guān)系求導(dǎo)n求導(dǎo)三、沖激函數(shù)的性質(zhì)(Property) 取樣性

3、沖激偶 尺度變換復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)1. 取樣性(篩選性) sifting property對于平移情況：如果f(t)在t = 0處連續(xù)，且處處有界，則有 證明舉例2.沖激偶 (a first-order derivative of impulse function) 沖激偶的性質(zhì)(property) f(t) (t) = f(0) (t) f (0) (t) 證明 證明(n)(t)的定義：(t)的平移：例3. 對(t)的尺度變換 scaling證明推論:(1)(2t) = 0.5 (t) (2) 當(dāng)a = 1時所以， ( t) = (t) 為偶函數(shù)， ( t) = (t)為奇函數(shù)舉例舉例已

4、知f(t)，畫出g(t) = f (t)和 g(2t) 求導(dǎo)，得g(t) 壓縮，得g(2t) f(t)=(2-t)(t+2)-(t-2)引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導(dǎo)數(shù)(derivative)也存在f(t) = 2(t +1)-2(t -1)f(t) = 2(t +1)-2(t -1)求導(dǎo)4. 復(fù)合函數(shù)(Composite function)形式的沖激函數(shù) 實際中有時會遇到形如f(t)的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t) = 0有n個互不相等的實根 ti ( i=1，2，n) (t2 4)=1 (t+2)+(t 2)f(t)圖示說明： 例f(t)= t2 4 一般地，這表明，f(t)是位于各ti處，強度為 的n個沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。 注意：如果f(t)=0有重根，f(t)無意義。 ( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2)沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié) (Summary)(1)取樣性 (2)奇偶性 (3)比例性 (4)微積分性質(zhì)(5)沖激偶 四、 單位序列(k)和階躍序列(k) (參見3.2)1. 單位(樣值,脈沖,沖激)序列(k) Unit Impulse Sequence取樣性質(zhì)：f(k)(k) = f(0)(k)f(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 例定義Kronecker克羅尼克 (k)函數(shù)2.