數(shù)值計算方法1

1、作業(yè)1：根據(jù)給出的過程系統(tǒng)，作出信息流程圖，寫出過程矩陣、關(guān)聯(lián)矩陣和鄰接矩陣。如何利用鄰接矩陣識別輸入流、輸出流和循環(huán)流 ？作業(yè)2 單元過程自由度分析的主要步驟和意義是什么？作業(yè)3 簡述化工流程模擬主要包括哪些基本模型，你認為選用這些模型 的過程中有哪些注意事項？1關(guān)于數(shù)學(xué)模型的自由度 數(shù)學(xué)模型的自由度一般小于實際過程系統(tǒng)的自由度 單元過程的自由度隨著描述該單元數(shù)學(xué)模型的變化而變化數(shù)學(xué)模型建立和求解的過程中，自由度分析是不容違背的原則 2 第三章 數(shù)學(xué)模型求解方法（Introduction）“算法（algorithm）”與“方法（method）” “算法”是指那些已經(jīng)程式化的、有具體操作步驟或

2、套路、往往可表達為計算公式的在數(shù)學(xué)上比較成熟的計算過程。換句話說，算法（Algorithm）是一系列解決問題的清晰指令，也就是說，能夠?qū)σ欢ㄒ?guī)范的輸入，在有限時間內(nèi)獲得所要求的輸出。 “方法”：意味著尚未形成成熟的算法，不存在解決問題的固定套路，但是有解決問題的一系列思路，也可能在“方法”的某些環(huán)節(jié)也存在相應(yīng)算法可用于解決某些子問題。古指量度方形的法則；現(xiàn)指為達到某種目的而采取的途徑、步驟、手段等 。 3主要內(nèi)容基本概念 線性代數(shù)方程組非線性一元方程的迭代解法非線性一元方程組的迭代解法*迭代加速技術(shù)*方程組的切割技術(shù)雙層法*（第四章流程模擬部分）常微分方程組的初值問題與動態(tài)模擬化工裝置的動態(tài)仿

3、真* 簡介，選擇學(xué)習(xí)化工計算主要涉及試差法，該法的實質(zhì)為非線性方程（組）的求解問題NOTE：數(shù)值計算方法采用某個公式反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確化。是研究并解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值近似解方法，簡稱計算方法。 化工常用的數(shù)值計算方法 4概述：在化工系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模擬問題中，系統(tǒng)模型主要是代數(shù)方程組，多數(shù)常含有非線性方程，屬于非線件代數(shù)方程組。因此非線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法，就成為化工流程模擬解算時必須首先掌握的一種十分重要的基本方法。 （向量表示法）（向量表示）3.1 基本概念53.1.1 隱式與顯式代數(shù)方程 隱式顯式轉(zhuǎn)換：一般來說：顯示方程化成隱式較為容易，隱患較少，而隱式方程化成顯式方程則存在一定

4、隱患。例：將f(x)=0 x=x+f(x) ?例：x2-x=0例：x=x2+26 方程形式轉(zhuǎn)換的目的：(1) 符合專業(yè)工程師的理解習(xí)慣，便于從物理的、工程的角度分析問題。(2) 擴大模型求解時的收斂范圍，及便于給出初始值。(3) 適應(yīng)模型自由度的分析結(jié)果，調(diào)整、選擇模型的設(shè)計變量、狀態(tài)變量，盡量將方程（組）表達為狀態(tài)變量的顯函數(shù)方程形式。(4) 提高模型求解的收斂速度或數(shù)值穩(wěn)定性。(5) 為了適應(yīng)已熟悉的、現(xiàn)成的求解方法或軟件。73.1.2 迭代過程與迭代法 迭代法求解代數(shù)方程（組）是最重要的一類方法。使用迭代法的意義在于： a.在絕大多數(shù)化工計算中，無法用直接方法求得方程組的解，只能使用迭代

5、法求其數(shù)值解。 b.有時使用迭代法求解時，計算效率高或數(shù)值穩(wěn)定性好。 c.尤其對于復(fù)雜的化學(xué)工程問題，往往函數(shù)性狀十分復(fù)雜，甚至函數(shù)無解析表達式，只能由一段程序或數(shù)據(jù)表格定義。此時只能使用迭代法。迭代法也稱輾轉(zhuǎn)法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程：設(shè)定變量的初始假設(shè)值，然后用一系列迭代修正來改進，使其逐步逼近精確值。如: X=(X2+4)/3 8單步法(One-Step Methods)迭代 多步法(Multistep Methods)迭代 滿足上式的點叫迭代過程的不動點(Fixed Point)；不動點，是一個函數(shù)術(shù)語，在數(shù)學(xué)中是指“被這個函數(shù)映射到其自身一個點”。Xk成為迭代序列，其極

6、限X*稱為吸引點(Point of Attraction) 從一個初始向量出發(fā)從m個初始向量出發(fā)的m步 K=m-19應(yīng)用迭代法需注意三方面的問題：適定性（well-posedness）問題 ： 由迭代計算得到的序列是否均在求解域或定義域內(nèi)，或說每步迭代計算是否都能得到有意義的結(jié)果。這個問題在實際中極為復(fù)雜。尤其在化工流程模擬計算中，往往由于數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜性使得我們忽視了模型及其求解算法的適定性問題而導(dǎo)致計算的困難。收斂性問題 ：局部收斂性與全局收斂性（根據(jù)初值要求的苛刻與否） 極 限迭代的效率問題 ： 即用計算機求方程組的數(shù)值解的過程中，機時與內(nèi)存是否節(jié)省。評價效率一般需綜合考慮迭代序列的收斂

7、性與每步迭代的計算量。收斂性好的算法需要的迭代輪次較少，但如果每一輪迭代的計算量過大也會影響總的計算效率。 10影響迭代過程四要素： 初始點或初始估計值。 迭代公式或迭代格式。 收斂判據(jù)(convergence criterion)。 收斂容差(convergence tolerance)。 如何判斷收斂與否？-兩個向量之間的距離113.1.3預(yù)備知識-范數(shù) norm 用途:為了度量計算解的準(zhǔn)確程度及研究迭代法的收斂性，需要對Rn（n維向量空間）中向量的“大小”進行評價。 引入向量范數(shù)的概念。向量范數(shù)定義 如果向量X Rn的某個實值函數(shù)N(x) x，滿足下述條件：（1）x0，且x=0當(dāng)且僅當(dāng)x

8、為0向量（正定條件）（2）cx=c x，c為任意實數(shù)（齊次條件）（3） x+y x+ y （三角不等式） 則稱N(x)是Rn上的一個向量范數(shù)。12幾種常用范數(shù)定義-向量的范數(shù)vector norm 如果向量x=（x1,x2,x3,x4.xn)T Rn,則： L1： x1=xi “1”范數(shù) L2： x2= （ xi2）1/2 “2”范數(shù) L3： x=maxxi “無窮”范數(shù)例： 計算向量x=（-1，1，-2）T 的三種范數(shù)133.2 線性代數(shù)方程組 3.2.1一般形式 求解線性代數(shù)方程組可以使用高斯消去法等類型的算法。但是對于維數(shù)較高的情況，往往使用迭代法具有占用工作單元較少，程序結(jié)構(gòu)簡單，計算

9、效率較高并且數(shù)值穩(wěn)定性較好等優(yōu)勢。（1）14 方程組的解法： 分類：直接法（適于特殊的線性方程）和迭代法 直接法direct method：就是不考慮舍入誤差，通過有限步驟四則運算即能求得線性方程組準(zhǔn)確解的方法。 克萊姆法則（不實用） 高斯消去法 三角分解法 迭代法(iteration methods)：基本思想是設(shè)定變量的初始假設(shè)值，然后用一系列迭代修正來改進，使其逐步逼近精確。（如：Jacobi法p63） 化工過程模擬計算（或優(yōu)化）非線性方程組求解 -線性化構(gòu)造迭代序列 關(guān)鍵：迭代序列的構(gòu)造和算法的選擇 153.2.2簡單迭代法（Jacobi法,自學(xué)） 改寫方程（1）為顯式：對應(yīng)的Jaco

10、bi迭代公式：寫成增量格式：163.2.3超松弛迭代算法（Successive Over Relaxation Method，SOR法） 迭代格式：-Jacobi法的改進（自學(xué)，p64）均有成熟的算法程序！增加了松弛因子；利用了本輪迭代信息；173.3 非線性一元方程迭代解法3.3.1隱式方程迭代解法 隱式方程的迭代算法主要有： 切線法（牛頓法） 割線法 （弦截法） 18（1）牛頓法求根對于隱式函數(shù)f(x)=0對函數(shù)f(x)在x= xk處，對xk（第k輪迭代中x的估計值）作泰勒展開，取一次項得：希望：x= xk+1， 牛頓法的地位：是求解非線性方程組的基本算法之一，具有重要價值。f(x)f(x

11、K)+ (x-xk)f(xk)+ (x-xk)=019 xk+1 xk 牛頓法求根幾何意義：以（Xk) ,f(xk)點的是導(dǎo)數(shù)為斜率，做該點的切線方程，該方程與x軸的交點即為xk+1，逐步逼近方程的根。f(x)x特點：二階收斂，局部收斂性好；初值要求高； 迭代區(qū)間存在水平切線時可能不收斂，多重根時收斂階下降；函數(shù)不可導(dǎo)或無法解析表達時受限20牛頓法求根的關(guān)鍵是求 ：對于函數(shù)的數(shù)學(xué)形式已知的情況下，可先對之進行求導(dǎo)而取得 的函數(shù)形式(切線法），再將xk+1代入;如果函數(shù)比較復(fù)雜可用微差商來代替導(dǎo)數(shù)（割線法）。xk+1=xk-f(xk) (xk-xk-1) /f(xk)-f(xk-1) （稱弦截法

12、或割線法）（2）割線法（弦截法）思考：割線法求根的物理意義？F(xk)=(f(xk)-f(xk-1)/(xk-xk-1)21 xk xk-1 弦截法求根幾何意義：以（Xk,f(xk)、(xk-1,f(xk-1)點為坐標(biāo)，做割線方程，該方程與x軸的交點即為xk+1 ，逐步逼近方程的根。f(x)xxk+1特點：超線性收斂（1.618階）；需兩個初值。相當(dāng)于多不迭代（兩步迭代）； 不用求導(dǎo)數(shù)，適應(yīng)性廣22例題1：牛頓法求代數(shù)方程x3-2x-5=0，在x0=21.5,3附近的零點 （精度：0.001) 解: 迭代格式: xk+1=xk-(xk3-2xk-5)/(3xk2-2) x1=2+1/10=2.

13、1 x2=2.1-0.0054=2.09460 判斷: =x2-x1=0.0050.001 x3=2.0946-0.0000048=2.094595 判斷: =x2-x1=0.00000480.001 (計算結(jié)束) 兩次計算可得方程的根!23（3）三階迭代法（不講）（4）王健紅迭代法1（不講） 該法收斂階為3，特別適合于化工流程模擬計算中狀態(tài)方程求根計算。需注意計算時根號內(nèi)若小于零則取零，根號前號可按照求根的物理意義確定。如求氣相體積根，恒取號；如求液相體積根則恒取負號。若求密度根，則規(guī)律相反。 若非狀態(tài)方程求根，可按下式求取：式中號可取一階導(dǎo)數(shù)的符號，則可迭代至較靠近近似值的根。解決復(fù)雜系統(tǒng)

14、計算穩(wěn)定性243.3.2 程序設(shè)計 （Fortran & C）3.3.3顯式方程迭代解法 （1）直接迭代法（direct substitution, direct iteration） 增量格式 25 直接 迭代概念（iteration) f（x）=0 x=g（x）-1 f(x) x(0) x(1) -2 轉(zhuǎn)換判斷：Xk+1與Xk是否足夠接近？ -3收斂convergent ：趨向于某一個數(shù)值發(fā)散divergent ：計算值沒有規(guī)律振蕩oscillating ：假設(shè)值重復(fù)直接迭代原理（實質(zhì)）：迭代法求根就是確定y=g(x)與y=x的交點x*26直接迭代法求解方程組的步驟(1) F(X)=0 轉(zhuǎn)

15、化為等價的X=(X)(2)迭代格式為：Xn+1= (Xn)(3) 計算，判斷：是否符合判據(jù)。如果符合，則X*= (X*)直接迭代法的應(yīng)用和評價： 直接迭代法的迭代方程X=(X)是表示迭代變量的計算值同假定值之間的函數(shù)關(guān)系的一般形式，在序貫?zāi)K法中，這一函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)為隱式復(fù)合函數(shù)形式（稍候講）。 直接迭代法并不總是能收斂的，其收斂特征與具體過程的非線性特性有關(guān)。幾何意義見教材p73頁。 27例題：求代數(shù)方程x3-2x-5=0，在x0=21.5,3附近的零點 （精度： xk+1-xK0.001) 28 解: 轉(zhuǎn)換x= =(2x+5)1/3 x= (x3-5 )/2 迭代格式: xk+1=(2xk+

16、5)1/3 x1=2.08008 x1=1.5 x2=2.09235 x2=-0.8125 判斷: =x2-x1=0.01270.001 x3=-2.7688 x3=2.09420 x4=-13.106 =x3-x2=0.001850.001 - x4=2.09448 =x4-x3=0.000280.001 (不收斂） (收斂，計算結(jié)束) f1（2）=0.154 1 f2（2）=1.5 1 29 直接迭代法的收斂性定理：若（x）定義在（a，b）上，如果（x）滿足1，當(dāng)xa,b時，有a（x）b2， （x）在a,b上可導(dǎo)，并且存在正數(shù)L1，使對于任意的xa,b，有（x）L則在a,b上有唯一的點X*滿足X*= （x*）（