微積分在不等式中的應(yīng)用

1、*師*學(xué)院本科畢業(yè)論文-PAGE 2- -. z摘要微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)根底學(xué)科，容主要包括：微分、積分及其應(yīng)用。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著開(kāi)展起來(lái)的，微積分的開(kāi)展極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的開(kāi)展。不等式是數(shù)學(xué)學(xué)科中極為重要的容，證明不等式的方法多種多樣，有些不等式用以前學(xué)習(xí)的方法來(lái)證明比擬麻煩，其證明通常不太客易。本文回憶了幾種常用的證明不等式的初等方法，利用微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、極值最值的判定法、函數(shù)凸凹性質(zhì)、泰勒公式、定積分的性質(zhì)等一些微積分知識(shí)探究了不等式的證明方法，本文探討了如何巧妙利用微積分中的知識(shí)和方法來(lái)解決一些不等式的問(wèn)題。用

2、微積分證明不等式成立, 根本思路是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù),把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用微積分來(lái)研究函數(shù)的形態(tài)，然后利用微積分求出該函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式。希望通過(guò)本文的介紹能使人們意識(shí)到微積分與不等式的密切關(guān)系，讓大家能意識(shí)到理論與實(shí)際結(jié)合的重要性。關(guān)鍵詞： 微積分；不等式；證明；應(yīng)用 AbstractThe calculus is study on the function of Higher Mathematics in the differential, integral and relevant concepts and applications of mathematics branch.It

3、 is a basic discipline of mathematics, mainly including: differential, integral and its application.Calculus develops with the application, the development of calculus greatly promoted the development of mathematics.Inequality is a very important content in mathematics,the various methods to prove i

4、nequality,some methods of inequality by the previous study to prove troublesome, it is usually not too easy.This paper reviews the elementary methods to prove inequality,the use of differential mean value theorem,the monotone of the function,e*treme( ma*imum ) determination method,conve*-concave fun

5、ction,the Taylor formula,the definite integral,some knowledge of calculus method to prove inequality,this paper discusses how to skillfully use the knowledge and method of the calculus to solve some of the problems of inequality.Using calculus to prove inequality,the basic idea is to construct an au

6、*iliary function,the proof of inequality into to study function using calculus form,then use the calculus calculate the properties of the function to prove inequality.Hope that through this paper can make people aware of the close relationship between calculus and inequality,Let us be aware of the i

7、mportance of integrating theory with practice.Keywords: calculus; inequality; prove; application新!為您提供類似表述，查看例如用法： 分享到翻譯結(jié)果 HYPERLINK fanyi.baidu./translate l # 重試抱歉，系統(tǒng)響應(yīng)超時(shí)，請(qǐng)稍后再試支持中英、中日在線互譯 支持網(wǎng)頁(yè)翻譯，在輸入框輸入網(wǎng)頁(yè)地址即可 提供一鍵清空、復(fù)制功能、支持雙語(yǔ)對(duì)照查看，使您體驗(yàn)更加流暢不要?jiǎng)h除行尾的分節(jié)符，此行不會(huì)被打印-. z目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc34750

8、2360摘要 PAGEREF _Toc347502360 h IHYPERLINK l _Toc347502361Abstract PAGEREF _Toc347502361 h IIHYPERLINK l _Toc3475023621 緒論 PAGEREF _Toc347502362 h 2HYPERLINK l _Toc3475023631.1 學(xué)術(shù)背景 PAGEREF _Toc347502363 h 2HYPERLINK l _Toc3475023641.2 微積分的實(shí)踐意義 PAGEREF _Toc347502364 h 2HYPERLINK l _Toc3475023651.3 國(guó)外

9、研究現(xiàn)狀 PAGEREF _Toc347502365 h 3HYPERLINK l _Toc3475023661.4 課題研究的主要容 PAGEREF _Toc347502366 h 3HYPERLINK l _Toc3475023672 微積分 PAGEREF _Toc347502367 h 4HYPERLINK l _Toc3475023682.1 微積分定義 PAGEREF _Toc347502368 h 4HYPERLINK l _Toc3475023692.2 微積分的開(kāi)展史 PAGEREF _Toc347502369 h 5HYPERLINK l _Toc3475023702.3

10、本章小結(jié) PAGEREF _Toc347502370 h 6HYPERLINK l _Toc3475023713 微積分在不等式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc347502371 h 7HYPERLINK l _Toc3475023723.1 利用微分中值定理證明不等式 PAGEREF _Toc347502372 h 7HYPERLINK l _Toc347502373 微分中值定理拉格朗日中值定理 PAGEREF _Toc347502373 h 7HYPERLINK l _Toc347502374 微分中值定理在不等式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc347502374 h 7HYPERL

11、INK l _Toc3475023753.2 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 PAGEREF _Toc347502375 h 8HYPERLINK l _Toc347502376 函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Toc347502376 h 8HYPERLINK l _Toc347502377 函數(shù)單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc347502377 h 8HYPERLINK l _Toc3475023783.3 利用函數(shù)的極值(最值)證明不等式 PAGEREF _Toc347502378 h 9HYPERLINK l _Toc347502379 函數(shù)的極值定理 PAGEREF _T

12、oc347502379 h 9HYPERLINK l _Toc347502380 函數(shù)極值在不等式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc347502380 h 10HYPERLINK l _Toc3475023813.4 利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式 PAGEREF _Toc347502381 h 11HYPERLINK l _Toc347502382 函數(shù)的凹凸性質(zhì) PAGEREF _Toc347502382 h11HYPERLINK l _Toc347502383 函數(shù)的凹凸性質(zhì)在不等式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc347502383 h 11HYPERLINK l _Toc3475023

13、843.5 利用泰勒公式證明不等式 PAGEREF _Toc347502384 h 12HYPERLINK l _Toc347502385 泰勒公式 PAGEREF _Toc347502385 h 12HYPERLINK l _Toc347502386 泰勒公式在不等式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc347502386 h 13HYPERLINK l _Toc3475023873.6 利用定積分的性質(zhì)證明不等式 PAGEREF _Toc347502387 h 14HYPERLINK l _Toc347502388 定積分的性質(zhì) PAGEREF _Toc347502388 h 14HYPERL

14、INK l _Toc347502389 定積分在不等式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc347502389 h 14HYPERLINK l _Toc3475023903.7 本章小結(jié) PAGEREF _Toc347502390 h 15HYPERLINK l _Toc3475023914 結(jié)論 PAGEREF _Toc347502391 h 16HYPERLINK l _Toc347502392參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc347502392 h 17HYPERLINK l _Toc347502393致 PAGEREF _Toc347502393 h 18千萬(wàn)不要?jiǎng)h除行尾的分節(jié)符，此行不會(huì)

15、被打印。在目錄上點(diǎn)右鍵更新域，然后更新整個(gè)目錄。打印前，不要忘記把上面Abstract這一行后加一空行-. z緒論學(xué)術(shù)背景微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造，它是從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過(guò)來(lái)廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的開(kāi)展。如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹(shù)，則初等數(shù)學(xué)是樹(shù)的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹(shù)枝，而樹(shù)干的主要局部就是微積分，微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。其地位介于自然和人文科學(xué)之間，成為高等教育成果碩然的中介。想真正理解數(shù)學(xué)的力量和表現(xiàn)，就必須從歷史的角度來(lái)理解這一領(lǐng)域開(kāi)展至今的現(xiàn)狀，以廣闊的視野對(duì)待數(shù)學(xué)。初等數(shù)學(xué)中不等式問(wèn)題涉及知識(shí)面廣，方法靈活多變，一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的難

16、點(diǎn)。微積分理論是高等數(shù)學(xué)的根底，同樣也是研究高中數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)不可或缺的局部。它除了對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)作用外，還能在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問(wèn)題上起到以簡(jiǎn)馭繁的作用。微積分應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)，使一些證明更嚴(yán)謹(jǐn)或更簡(jiǎn)單，并為許多問(wèn)題提供了新的解決途徑。本文試圖應(yīng)用微積分方法解決一些不等式中的證明問(wèn)題。在學(xué)習(xí)微積分理論時(shí)，學(xué)生自然會(huì)透過(guò)公式的表象，從中去探索和挖掘自身的思維能力。此外，微積分證明不等式的教學(xué)理念在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力方面發(fā)揮著不可小覷的作用。因?yàn)槲⒎e分證明不等式能夠不拘泥于固定的模式，途徑靈活多樣，通過(guò)這些優(yōu)點(diǎn)令學(xué)生舉一反三、易于掌握，將不等式的證明過(guò)程納入到微積分理論領(lǐng)域中。微積分的

17、實(shí)踐意義微積分的研究，極推動(dòng)了數(shù)學(xué)的開(kāi)展，過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要容之一，其常用方法有：比擬法、反證法、分析法、綜合法、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法、特殊不等式法等假設(shè)干方法。不等式中蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法。例如，數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想、類比的思想、分類討論思想、建模的思想等。不等式同時(shí)也是高中知識(shí)的一個(gè)重要的章節(jié)，高中時(shí)就學(xué)習(xí)了很多根本的不等式證明方法。不等式的證明在高等數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，是教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。但是有些不等式利用上述方法證明起來(lái)比擬困難，這時(shí)我們從函數(shù)的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)不

18、等式，以微積分為工具，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用微積分研究函數(shù)的性質(zhì)，相比照擬簡(jiǎn)單。利用微積分與不等式之間的密切聯(lián)系，把微積分作為解決不等式問(wèn)題的一種重要工具；用微積分證明不等式的實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造函數(shù)，然后利用微積分與函數(shù)之間的關(guān)系來(lái)證明不等式。微積分作為數(shù)學(xué)學(xué)科的重要容，利用其證明不等式是一種非常有效的方法，它能將*些不等式的證明化難為易。國(guó)外研究現(xiàn)狀微積分在不等式證明中的應(yīng)用已經(jīng)在國(guó)外都取得了一定的研究成果，特別是采用的方法上更是有著百花齊放的壯觀。目前在這方面國(guó)有了比擬全面深度的研究，國(guó)外的研究更側(cè)重深度的展開(kāi)。課題研究的主要容不等式涉及數(shù)量之間大小的比擬，而通過(guò)比擬常能顯示出變量變化之間互相

19、制約的關(guān)系，所以對(duì)不等式的研究無(wú)論是實(shí)踐應(yīng)用還是理論分析都有重要的意義。對(duì)于較復(fù)雜的不等式，用一般的解不等式的方法往往需要很多技巧，微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成局部，是一種實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)方法和工具，用它來(lái)解不等式就可以使解題思路變得簡(jiǎn)單。本章就從此基點(diǎn)出發(fā)，介紹利用微積分證明不等式的幾種方法：微分中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，極值最值的判定法，函數(shù)的凸凹性質(zhì)，泰勒公式，定積分的性質(zhì)等對(duì)不等式證明進(jìn)展了探究與歸納。微積分微積分定義概念微積分Calculus是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分Differentiation、積分(Integration)以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)根底學(xué)科，容主要

20、包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。設(shè)函數(shù)在*區(qū)間有定義，及在這區(qū)間，假設(shè)函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴于的一個(gè)常數(shù)，是的高階無(wú)窮小，則稱在點(diǎn)處可微。叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即設(shè)函數(shù)在上有解，在中任意插入假設(shè)干個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，并作出和如果不管對(duì)怎樣分法，也不管在小區(qū)間上的點(diǎn)怎樣取法，只要當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零時(shí)，和總趨于確定的極限， 這時(shí)我們稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分， 記作即微積分的開(kāi)展史從微積分成為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。從17世紀(jì)開(kāi)場(chǎng)，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的開(kāi)

21、展，以及如航海、天文、礦山建立等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開(kāi)場(chǎng)研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門(mén)學(xué)科。十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。隨著時(shí)代的開(kāi)展微積分在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到了很重要的開(kāi)展十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開(kāi)普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹(shù)的理論，為微積分的創(chuàng)立做出了奉獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的根底上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里單獨(dú)研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。牛

22、頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門(mén)學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。牛頓在1671年寫(xiě)了流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)，這本書(shū)直到1736年才出版，它在這本書(shū)里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否認(rèn)了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很乖僻的名字一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算。就是這樣一篇說(shuō)理也頗模糊的

23、文章，卻有劃時(shí)代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和根本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的開(kāi)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)展了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)決根底，才使微積分進(jìn)一步的開(kāi)展開(kāi)來(lái)。微積分的開(kāi)展歷史說(shuō)明了人的認(rèn)識(shí)是從生動(dòng)的直觀開(kāi)場(chǎng)，進(jìn)而到達(dá)抽象思維，也就是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。人類對(duì)客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)

24、識(shí)具有相對(duì)性，受到時(shí)代的局限。隨著人類認(rèn)識(shí)的深入，認(rèn)識(shí)將一步一步地由低級(jí)到高級(jí)、不全面到比擬全面地開(kāi)展，人類對(duì)自然的探索永遠(yuǎn)不會(huì)有終點(diǎn)。本章小結(jié)微積分學(xué)的創(chuàng)立，極推動(dòng)了數(shù)學(xué)的開(kāi)展，過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 一門(mén)科學(xué)的創(chuàng)立決不是*一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必定是經(jīng)過(guò)多少人的努力后，在積累了大量成果的根底上，最后由*個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣，這和歷史上任何一項(xiàng)重論的完要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣。微積分是證明許多定理與公式的工具，特別是在不等式中具有更重要的意義。微積分在不等式中的應(yīng)用利用微分中值定理證明不等式微分中值定理拉格朗日中值定理定理假

25、設(shè)函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)， 在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，則在至少存在一點(diǎn)，使得注：這里沒(méi)有給出確實(shí)切位置，而對(duì)于不等式而言，也不必準(zhǔn)確.因此可用中值定理證，這時(shí)的關(guān)鍵是選擇及區(qū)間.拉格朗日中值定理是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，雖然它的結(jié)論形式似乎是一條等式，但是由于，因此將有一個(gè)取值圍，于是就可將等式轉(zhuǎn)化為不等式。微分中值定理在不等式中的應(yīng)用一般地，假設(shè)所要證明的函數(shù)不等式或數(shù)值不等式含有增量或者可以生成增量或增量的商，則可考慮借助于拉格朗日中值定理證明，證明的關(guān)鍵是函數(shù)和區(qū)間的選?。蛔C明區(qū)間上的不等式，特別是含有兩個(gè)不等號(hào)時(shí)，可考慮利用拉格朗日中值定理。例1：證明：當(dāng)*0，證明證明：設(shè),區(qū)

26、間為顯然，在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件則有即又因?yàn)?，所以有，即? 證明：當(dāng)時(shí)，證明：設(shè),它在區(qū)間滿足拉格朗日中值定理的條件，有由于故，即利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性，在微積分中用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定.定理1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則在遞增(遞減)的充要條件是：(或)，2.設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在可導(dǎo)，如果在(或)，則在上嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)遞減)3.設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)，假設(shè)(或)，則在嚴(yán)格增加(或嚴(yán)格遞減)函數(shù)單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性本身就是不等式，利用此法證明不等式時(shí)，一般取不等式兩邊的函數(shù)之差為新函數(shù),然后討論的單調(diào)性。函數(shù)可微，則在嚴(yán)格遞增(遞減)充要條件：(或)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷

27、函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)，直接構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使得被證明的不等式中含有這個(gè)函數(shù)的兩個(gè)端點(diǎn)值，然后利用單調(diào)性即可解決問(wèn)題。分為三步：第一步移項(xiàng)，使不等式一端為0，另一端為所構(gòu)造的函數(shù)；第二步求出，利用定理判斷出所構(gòu)造的函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性；第三步求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，從而證明出不等式。例 3 證明：當(dāng)時(shí)，證明：取，則當(dāng)*1時(shí)， 0，即在1，上彈調(diào)增又在1，上連續(xù)，且f(1)=0故當(dāng)*1時(shí)，有即0所以，有例 4 證明當(dāng)時(shí)，證明：令=因?yàn)?0所以單調(diào)遞減，又因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，從而利用函數(shù)的極值(最值)證明不等式函數(shù)的極值定理設(shè)在的*領(lǐng)域一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，假設(shè)0，則在取得極小值。函數(shù)極值在不等式中的應(yīng)用

28、在不等式證明中，我們常常構(gòu)造函數(shù)，而構(gòu)造好后，如果在所給函數(shù)上無(wú)法判斷(或)的符號(hào)，即當(dāng)函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí)，在*鄰域，函數(shù)取得極大值或極小值，可以考慮用極值與最值得特點(diǎn)進(jìn)展證明不等式或當(dāng)給定的不等式是具體的函數(shù)，且又給出自變量的變化圍，欲證明它大于等于或小于等于*個(gè)定數(shù)，這時(shí)往往用最值證明比擬簡(jiǎn)單。證明思路：假設(shè)要證明(或)，則只需證明：(或)，首先要求出函數(shù)的最大值(或的最小值)，則在區(qū)間上有，就可得到要證的不等式成立。例5 證明：當(dāng)0*2時(shí)，證明：設(shè)因?yàn)椋?dāng)時(shí)*=1且，故*=1是唯一極小值點(diǎn)即是在(0,2)的最小值，從而故，當(dāng)時(shí)，例 6 證明不等式：當(dāng)，時(shí)，證明：設(shè)函數(shù)則令，得，令，則故當(dāng)

29、時(shí)，有利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式函數(shù)的凹凸性質(zhì)定義：設(shè)為定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，假設(shè)對(duì)于上任意兩點(diǎn)，恒有，則稱為上的凹函數(shù)，假設(shè)恒有，則稱為上的凸函數(shù)?；蛟?區(qū)間上凹或下凹，也即或定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在具有一二階導(dǎo)數(shù)，則 (1)假設(shè)時(shí)，恒有，則函數(shù)在區(qū)間為凹函數(shù)；(2)假設(shè)時(shí)，恒有，則函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)函數(shù)的凹凸性質(zhì)在不等式中的應(yīng)用如果函數(shù)是凸函數(shù)，則在上有；如果函數(shù)是凹函數(shù)，則在上有。函數(shù)凸凹性定理反映了二階可導(dǎo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與凸凹函數(shù)之間的關(guān)系，利用函數(shù)的凸凹性證明不等式是：首先構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，求出此函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而到達(dá)證明的目的；或函數(shù)在上連續(xù)，在二階可導(dǎo)，假設(shè)(或)，

30、則函數(shù)在上為 凹(或凸)函數(shù)。例7 證明不等式：證明：假設(shè)則，所以，函數(shù)在上是凹函數(shù)，通過(guò)凹函數(shù)的定義，可以得到：即所以：例8 假設(shè)且，證明：證明：設(shè)，則，所以在是凹函數(shù)所以即利用泰勒公式證明不等式泰勒公式一般涉及到高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可用泰勒公式或麥克勞林公式.定理 假設(shè)函數(shù)滿足如下條件：(i)在開(kāi)區(qū)間上函數(shù)存在直到階導(dǎo)數(shù)，(ii) 在閉區(qū)間上存在的階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任何,至少存在一點(diǎn)，使得泰勒公式在不等式中的應(yīng)用對(duì)于所給條件涉及到具有二階或更高階導(dǎo)數(shù)的題目，特別是最高階導(dǎo)數(shù)的取值圍時(shí)，可用泰勒公式來(lái)估計(jì)有關(guān)的量比擬簡(jiǎn)單。例9 設(shè)，二階可導(dǎo)，且，證明證明：由連續(xù)和，知又因?yàn)橛商├展接杏忠驗(yàn)?所以例 10

31、求證，證明：原式等價(jià)于因?yàn)槎约串?dāng)時(shí)，有利用定積分的性質(zhì)證明不等式定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)在區(qū)間上都是可積函數(shù)，如果在區(qū)間上滿足，則有.性質(zhì)2 如果在上的最大值和最小值分別為和，則定積分在不等式中的應(yīng)用根據(jù)定積分的廣義保號(hào)性和保序性、定積分中的絕對(duì)值不等式和柯西不等式相關(guān)性質(zhì)來(lái)證明。當(dāng)所求證不等式中含有積分號(hào)時(shí)，可以用定積分性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，到達(dá)目的。例11，當(dāng)n為正整數(shù)且時(shí)，求證：證明：因?yàn)榍宜杂忠驗(yàn)槭且詾橹芷诘暮瘮?shù)，在每個(gè)周期是積分值相等，所以即例12 證明不等式 證明：設(shè)函數(shù)，在上，所以所以本章小結(jié)本文把微積分證明不等式進(jìn)展了多種方法的介紹，在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要具體問(wèn)

32、題具體分析，可能有的不等式證明需要用到一種甚至多種的方法，這就需要掌握一定的技巧。技巧是寓于方法之中的，證明方法的選擇也是一種技巧，任何技巧都貫穿于解題過(guò)程之中。不等式是高等數(shù)學(xué)和近代數(shù)學(xué)分析的重要容之一，它反映了變量之間很重要的關(guān)系，證明不等式有很多方法，但是沒(méi)有什么固定方法，有時(shí)需要共同運(yùn)用多種方法。但如果能巧妙的應(yīng)用微積分方法，就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。高等數(shù)學(xué)中證明不等式的方法很多，利用微積分證明有時(shí)候可以將復(fù)雜繁冗的問(wèn)題變的簡(jiǎn)單明了。本文針對(duì)微積分證明不等式的幾種方法，進(jìn)展了初步的思考與探究，并對(duì)運(yùn)用*種方法給出了一定的結(jié)論。其實(shí)，對(duì)于一個(gè)不等式來(lái)說(shuō)，可以用多種方法予以證明，對(duì)于一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

33、的人來(lái)說(shuō)，能夠找到解決問(wèn)題的最簡(jiǎn)單的方法就是好方法，而利用微積分往往能讓問(wèn)題變的簡(jiǎn)單起來(lái).通過(guò)以上舉例，歸納總結(jié)了微積分的假設(shè)干概念定理性質(zhì)等容在不等式證明這一方面的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)微積分的過(guò)程中，我們用它解決了一些初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，將初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的有關(guān)容銜接起來(lái)，從而在整體上更好地理解有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)。在此提出的以微積分證明不等式的幾種方法在實(shí)際應(yīng)用中具有較高的價(jià)值。結(jié)論綜上所述,微積分在求解較復(fù)雜的方程和不等式時(shí),確實(shí)起著重要的作用。在教學(xué)中應(yīng)用微積分法解決初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題，不僅能使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解，還能加深學(xué)生對(duì)微積分知識(shí)的理解。以上我們通過(guò)舉例，歸納總結(jié)了微積分的假設(shè)干概念、定理、性質(zhì)等容在不等式證明這一方面的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)微積分的過(guò)程中，我們可以利用它來(lái)解決一些初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題，將初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的有關(guān)容銜接起來(lái)，從而在整體上更好地理解有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)。以上我們討論了利用微積分的知識(shí)證明不等式的一些常用方法，除了上述方法外，在微積分中還可以利用積分的知識(shí)，輔助函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的定義、極限的保序性、柯西不等式、凸凹函數(shù)積分法等方法證明不等式，解題時(shí)只要充分地展開(kāi)想象，翻開(kāi)思路，選擇適當(dāng)?shù)淖C