土木工程力學(xué)講義

1、第8章 超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法第1節(jié) 力法第2節(jié) 對(duì)稱性的利用 第3節(jié) 位移法第4節(jié) 力矩分配法第5節(jié) 超靜定結(jié)構(gòu)特性下一頁上一頁返回第8章 超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法 前面討論了靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算，本章將討論超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。超靜定結(jié)構(gòu)的幾何特征是：體系幾何不變、且有多余約束。多余約束的個(gè)數(shù)即為結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。下一頁上一頁圖示結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下圖a為二次超靜定梁圖b為一次超靜定桁架 下一頁上一頁b）a）圖示結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下，圖c為三次超靜定剛架，圖d為一次超靜定組合結(jié)構(gòu)。 d）c）下一頁上一頁圖示結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下圖e為三次超靜定拱圖f為二次超靜定排架。 f）e）下一頁上一頁 由于多余

2、約束的存在，超靜定結(jié)構(gòu)相對(duì)靜定結(jié)構(gòu)可提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性，因而在建筑工程中，超靜定結(jié)構(gòu)有著廣泛的應(yīng)用。超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算基本的方法分為兩種，一是力法，二是位移法。由于超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算量很大，因此還有其他實(shí)用計(jì)算方法，包括電算方法，但都是建立在這兩種基本方法的基礎(chǔ)之上。 本章只介紹力法、位移法和力矩分配法。下一頁上一頁第1節(jié) 力 法一、力法原理二、力法典型方程三、力法應(yīng)用舉例例8-1 例8-2返回下一頁上一頁一、力法原理 下一頁上一頁 力法是計(jì)算各種類型超靜定結(jié)構(gòu)的最基本方法，是將超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束用對(duì)應(yīng)的約束力來代替，稱為多余約束力，這時(shí)的多余約束力是未知的。這樣原來的超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)

3、換成靜定結(jié)構(gòu)，這個(gè)靜定結(jié)構(gòu)稱為基本結(jié)構(gòu)；由于原結(jié)構(gòu)中的多余約束，原結(jié)構(gòu)在多余約束處的變形和位移受到限制，這個(gè)限制稱為變形協(xié)調(diào)條件。根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件可建立求解多余約束力的方程，這個(gè)方程稱為補(bǔ)充方程或力法典型方程。通過求解力法的典型方程，求出多余約束力。這樣，超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算便可以轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算。 返回 可以將鏈桿支承B視為多余約束，撤除后以多余約束力X1代替如圖b所示靜定梁為原超靜定梁的基本結(jié)構(gòu)因原結(jié)構(gòu)中多余約束支座B的限制，則變形協(xié)調(diào)條件為1=BV=0根據(jù)疊加原理圖b可由圖c和圖d相加來等效1=1F+11=0 X1b)原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu) 荷載作用下的變形多余約束反力作用下的變形 B A ql

4、EIa)X1c)B A EI 11qd)B A EI 1F下一頁上一頁返回圖c又等價(jià)于X1=1時(shí)變形，如圖e所示的X1倍11=11 X1X1c)B A EI 11X1=1e)B A EI 11 X1倍下一頁上一頁返回 1為基本結(jié)構(gòu)在多余約束力X1作用處沿X1方向的位移 1F為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下在X1作用處沿X1方向的位移 11為基本結(jié)構(gòu)在多余約束力X1作用下在X1作用處沿X1方向的位移 11為多余約束力X1=1時(shí)，基本結(jié)構(gòu)在多余約束力X1作用下在X1作用處沿X1方向的位移 下一頁上一頁返回變形協(xié)調(diào)條件1=BV=0疊加原理1=11+1F=0 11=11 X111 X1+1F=0(8-1)下一頁

5、上一頁返回下一頁上一頁返回11 X1+1F=0X1=1e)B A EI 11d)B A EI 1F下一頁上一頁返回B A qEIa)FQ圖 M圖 下一頁上一頁返回解除結(jié)構(gòu)的多余約束的方法一般采用如下幾種方式 1）撤除一根支承鏈桿或切斷一根結(jié)構(gòu)內(nèi)部鏈桿相當(dāng)于解除一個(gè)多余約束。 2）將剛性連接改為單鉸連接，相當(dāng)于解除一個(gè)多余約束。 3)撤除一個(gè)固定鉸支座或撤除一個(gè)內(nèi)部單鉸,相當(dāng)于解除兩個(gè)多余約束。 4）撤除一個(gè)固定端支座或切斷一個(gè)剛性連接，相當(dāng)于解除三個(gè)多余約束。 返回下一頁上一頁1）撤除一根支承鏈桿或切斷一根結(jié)構(gòu)內(nèi)部鏈桿相當(dāng)于解除一個(gè)多余約束。b）a）X1X2一次超靜定桁架 X1X1二次超靜定梁

6、 d）X1f）一次超靜定組合結(jié)構(gòu) X1X2二次超靜定排架 下一頁上一頁返回2）將剛性連接改為單鉸連接，相當(dāng)于解除一個(gè)多余約束。a）X1二次超靜定梁 X1X2e）X2X3三次超靜定拱 下一頁上一頁返回3）撤除一個(gè)固定鉸支座或撤除一個(gè)內(nèi)部單鉸，相當(dāng)于解除兩個(gè)多余約束。 X2X1二次超靜定剛架 X2X1二次超靜定剛架 X2X1下一頁上一頁返回4）撤除一個(gè)固定端支座或切斷一個(gè)剛性連接，相當(dāng)于解除三個(gè)多余約束。 X1三次超靜定剛架 X2X3X3X3三次超靜定拱 X2X1X2X1下一頁上一頁返回二、力法典型方程 (8-1)11 X1+1F=0一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程 下一頁上一頁返回 圖a所示為二次超

7、靜定剛架，撤除固定鉸支座C，并用水平反力X1及豎向反力X2代替，得到如圖b所示的基本結(jié)構(gòu)。X2X1a)C B A qlhEIEIb)原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu) 要使圖b與圖等效，變形協(xié)調(diào)條件為基本結(jié)構(gòu)上C點(diǎn)的水平位移CH等于零和豎向位移CV等于零，即1=CH=02=CV=0 i為基本結(jié)構(gòu)在多余約束力Xi處沿Xi方向的位移。 下一頁上一頁返回X2X1qEIEIb)基本結(jié)構(gòu) C B A c)C B A 2111X1C B A X2qd)C B A 2212e)C B A 2F1F下一頁上一頁返回1=CH=02=CV=01=11+12+1F= 02=21+22+2F= 0 ij為基本結(jié)構(gòu)在多余約束力Xj單獨(dú)作用

8、下在Xi作用處沿Xi方向的位移。 iF為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下在多余約束力Xi作用處沿Xi方向的位移。下一頁上一頁返回c)C B A 21 11X1X2d)C B A 22 12f)C B A 2111X1=1C B A X1倍X2=1d)C B A 2212C B A X2倍ij=ij Xj 下一頁上一頁返回11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0 ij為多余約束力Xj=1時(shí)，基本結(jié)構(gòu)在Xj單獨(dú)作用下在Xi作用處沿Xi方向的位移。 ij=ij Xj 1=11+12+1F= 02=21+22+2F= 0 (8-2)下一頁上一頁返回二、力法典型方程 (8-1)一次超靜定結(jié)

9、構(gòu)的力法典型方程 11 X1+1F=0二次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程 11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0 (8-2)下一頁上一頁返回二、力法典型方程 (8-3)n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程 11X 1+12 X 2+1n X n+1F=021 X 1+22 X 2+2n X n+2F=0n1 X 1+n2 X 2+nn Xn+nF=0下一頁上一頁返回二、力法典型方程 一共有n個(gè)方程。其中，11、22nn位于方程的一條對(duì)角線上，稱為主系數(shù)。主系數(shù)ii表示基本結(jié)構(gòu)在單位多余約束力Xi=1單獨(dú)作用下，在Xi的作用處沿Xi方向所產(chǎn)生的位移，恒為正值。在對(duì)角線兩側(cè)的系數(shù)ij

10、稱為副系數(shù)，副系數(shù)ij表示基本結(jié)構(gòu)在單位多余約束力Xj=1單獨(dú)作用下，在多余約束力Xi的作用處沿Xi的方向所產(chǎn)生的位移，其值可能為正、為負(fù)或?yàn)榱?。下一頁上一頁返回二、力法典型方?根據(jù)位移的計(jì)算，可得ij=ji。因此，副系數(shù)只需要求其中一半即可。iF表示基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下，在多余約束力Xi的作用處沿Xi的方向所產(chǎn)生的位移，其值可能為正、為負(fù)或?yàn)榱?，稱為自由項(xiàng)。 力法典型方程中所有的系數(shù)和自由項(xiàng)均可利用上一章講述過的靜定結(jié)構(gòu)位移公式求得。下一頁上一頁返回三、力法應(yīng)用舉例綜前所述，力法的計(jì)算步驟歸納如下： 1）確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)。因?yàn)榱Ψǖ拇罅坑?jì)算都在基本結(jié)構(gòu)上進(jìn)行，選擇合適的基

11、本結(jié)構(gòu)可以減少解算的工作量。 2）建立力法典型方程。它是根據(jù)超靜定次數(shù)和多余約束處的變形諧調(diào)條件建立起來的。 3）計(jì)算力法典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)。就是對(duì)基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行位移計(jì)算，利用單位荷載法可簡(jiǎn)化計(jì)算。下一頁上一頁返回三、力法應(yīng)用舉例 4）解方程，求出多余約束力。 5）對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力分析?？衫渺o力平衡條件或疊加公式求內(nèi)力，作內(nèi)力圖。 上述各步中，第三步是重點(diǎn)和難點(diǎn)，必須加強(qiáng)練習(xí)，才能熟練掌握 。下一頁上一頁返回 例8-1 試用力法計(jì)算圖a所示單跨超靜定梁，畫出內(nèi)力圖。已知梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。 解 (1) 屬于一次超靜定梁，得到基本結(jié)構(gòu)如圖所示。 (2)建立力法典型方程。 X1（3）求系數(shù)

12、和自由項(xiàng) 11 X1+1F=0X1=1FABCl/2l/2M1圖MF圖Fl/4FABC1下一頁上一頁返回（3）求系數(shù)和自由項(xiàng) （5） 畫內(nèi)力圖FABCl/2l/2+3Fl/165Fl/3211F/165F/16M圖FQ圖11 X1+1F=0（4） 解方程 下一頁上一頁返回 例8-1 試用力法計(jì)算圖a所示單跨超靜定梁，畫出內(nèi)力圖。已知梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。 解2 (1) 屬于一次超靜定梁，得到基本結(jié)構(gòu)如圖所示。 (2)建立力法典型方程。 FABClX1（3）求系數(shù)和自由項(xiàng) 11 X1+1F=0X1=1FABCl/2l/2MF圖Fl/2下一頁上一頁返回M1圖（3）求系數(shù)和自由項(xiàng) （5） 畫內(nèi)力圖

13、FABCl/2l/2+3Fa/165Fa/3211F/165F/16M圖FQ圖（4） 解方程 下一頁上一頁返回11 X1+1F=0 例8-2 試?yán)L出圖a所示超靜定剛架的內(nèi)力圖。已知?jiǎng)偧芨鳁UEI均為常數(shù)。 解 (1)屬于二次超靜定剛架，得到基本結(jié)構(gòu)如圖b所示。 (2)建立力法典型方程 例8-2X2X1a)C B A qllEIEIb)原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu) （3）求系數(shù)和自由項(xiàng) lX1=1M1圖M2圖X2=1c)d)llMF圖e)ql2/2ql2/211 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0下一頁上一頁返回（3）求系數(shù)和自由項(xiàng) lX1=1M1圖c)MF圖e)ql2/2ql2/2d

14、)M2圖X2=1ll下一頁上一頁返回（3）求系數(shù)和自由項(xiàng) 11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0（4）解方程 下一頁上一頁返回第2節(jié) 對(duì)稱性的利用 實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)中，有一些是對(duì)稱結(jié)構(gòu)。這里所說的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，不僅要求結(jié)構(gòu)的幾何形狀及支承情況以某軸為對(duì)稱，還要求對(duì)稱桿件材料相同、截面尺寸相同。如圖a、b、c所示的梁和剛架均為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。EI1EI1對(duì)稱軸EI2（b）EI1EI1EI3（c）對(duì)稱軸EI2EI3llEIEI（a）返回下一頁上一頁 如作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上的荷載繞對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)180，結(jié)構(gòu)上的荷載不變，這類荷載稱為正對(duì)稱荷載，如結(jié)構(gòu)上的荷載大小不變，方向相反，這類

15、荷載稱為反對(duì)稱荷載。 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、變形與荷載之間存在以下基本特征：當(dāng)對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受正對(duì)稱荷載作用時(shí)，結(jié)構(gòu)在對(duì)稱軸的反對(duì)稱內(nèi)力（剪力）為零，結(jié)構(gòu)的變形以及軸力圖、彎矩圖為正對(duì)稱的，剪力圖為反對(duì)稱。當(dāng)對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受反對(duì)稱荷載作用時(shí)，結(jié)構(gòu)在對(duì)稱軸的正對(duì)稱內(nèi)力（彎矩和軸力）為零，結(jié)構(gòu)的變形以及軸力圖、彎矩圖為反對(duì)稱，剪力圖為正對(duì)稱。 返回下一頁上一頁 正是基于上述基本特征，可以利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，先研究結(jié)構(gòu)的一個(gè)局部，再結(jié)果推廣到全部，對(duì)較復(fù)雜的對(duì)稱的超靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。這種方法稱為半結(jié)構(gòu)法。 針對(duì)對(duì)稱剛架而言，半結(jié)構(gòu)法既為半剛架法，現(xiàn)將半剛架法中的半剛架常用的選取方法，分類歸納如下：返回下一頁上一

16、頁 1奇數(shù)跨對(duì)稱剛架 奇數(shù)跨對(duì)稱剛架，在對(duì)稱軸位置處，即中間跨的跨中。 1）正對(duì)稱荷載作用時(shí)，半剛架取法是將結(jié)構(gòu)沿對(duì)稱軸切開，反對(duì)稱內(nèi)力（剪力）為零，移走一半，根據(jù)切口處截面上的內(nèi)力，將留下一半的在切口處以對(duì)應(yīng)的約束代替。EI1EI1對(duì)稱軸EIa）lqh半剛架EI1EIb）l/2qhq返回下一頁上一頁 1奇數(shù)跨對(duì)稱剛架 奇數(shù)跨對(duì)稱剛架，在對(duì)稱軸位置處，即中間跨的跨中。 2）反對(duì)稱荷載作用時(shí)，半剛架取法是將結(jié)構(gòu)沿對(duì)稱軸切開，正對(duì)稱內(nèi)力（彎矩和軸力）為零，移走一半，根據(jù)切口處截面上的內(nèi)力，將留下一半的在切口處以對(duì)應(yīng)的約束代替。EI1EI1對(duì)稱軸EIa）h半剛架EI1EIb）l/2hlqqqqlqq

17、返回下一頁上一頁 2偶數(shù)跨對(duì)稱剛架 在對(duì)稱軸位置處，一般有立柱（中柱）或豎向約束。 1）正對(duì)稱荷載作用時(shí)，剛架在對(duì)稱軸位置處，沒有反對(duì)稱位移（如水平位移），而豎向位移由于中柱或豎向約束也為零，半剛架取法是將連同中柱在內(nèi)的一半剛架去掉，根據(jù)截面處位移的限制，以相應(yīng)的約束取代。EI1EI1對(duì)稱軸EIa）qh半剛架EI1EIb）lhqllqEI1EI返回下一頁上一頁qq 2偶數(shù)跨對(duì)稱剛架 在對(duì)稱軸位置處，一般有立柱（中柱）或豎向約束。 2）反對(duì)稱荷載作用時(shí)，半剛架取法是先將中柱分為兩根抗彎剛度各為EI/2、間距無限小的情形，然后取一半即可。EI1EI1對(duì)稱軸EI2a）h半剛架EI1EI2b）lhll

18、EIEI2qqEI/2EI/2EI/2qq返回下一頁上一頁 例8-3 試?yán)脤?duì)稱性，對(duì)圖a所示連續(xù)梁，取半結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化計(jì)算，畫出彎矩圖。 解 (1)選擇半結(jié)構(gòu)如圖b所示 水平梁在豎向荷載作用下不產(chǎn)生水平反力,基本結(jié)構(gòu)如圖c所示 (2) 力法典型方程 例8-36mA3mEIEIEIBCD40kN3m3m3m40kNa）半結(jié)構(gòu)b）A3mEIEIBE40kN3m3mEIE3mc）A3mEIB40kN3m基本結(jié)構(gòu)X111 X1+1F=0 返回下一頁上一頁（3）求系數(shù)及自由項(xiàng) (4) 解方程 EIE3mc）A3mEIB40kN3mX111 X1+1F=0 d）X1=11MF圖（kNm）M1圖e）60返回下一

19、頁上一頁（5）畫彎矩圖 =51kNm（下側(cè)受拉） EIE3mc）A3mEIB40kN3mX1d）X1=11MF圖（kNm）M1圖e）60（上側(cè)受拉） f）M圖（kNm）185160185160返回下一頁上一頁40 kNm 例8-4 試?yán)脤?duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算圖a所示的對(duì)稱剛架，畫出彎矩圖。 解 (1)選擇半結(jié)構(gòu)如圖c所示 (2) 力法基本結(jié)構(gòu)如圖d所示例8-411 X1+1F=0 a）EIEIEIA3mBCD3m 4m20 kNm20 kNmb）EIEIACE3m 4m20 kNmc）半結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu) (3) 力法典型方程 EIEIACE3m 4m20 kNmd）EIEIACE3m 4m20 kNmX

20、1返回下一頁上一頁（3）求系數(shù)及自由項(xiàng)X1=13MF圖（kNm）M1圖(m)20e）3f）20基本結(jié)構(gòu)EIEIACE3m 4m20 kNmd）X1返回下一頁上一頁 (4) 解方程 11 X1+1F=0 （5）畫彎矩圖（內(nèi)側(cè)受拉） （內(nèi)側(cè)受拉） （內(nèi)側(cè)受拉） （外側(cè)受拉） 返回下一頁上一頁 （5）畫彎矩圖（內(nèi)側(cè)受拉） （內(nèi)側(cè)受拉） （內(nèi)側(cè)受拉） （外側(cè)受拉） M圖（kNm）g）22022220返回下一頁上一頁第3節(jié) 位移法一、位移法原理二、位移法典型方程三、位移法應(yīng)用舉例例8-5例8-6返回下一頁上一頁第3節(jié) 位移法下一頁上一頁 位移法是計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本方法，由于它是以結(jié)點(diǎn)位移作為基本

21、未知量，故稱位移法。對(duì)于某些連續(xù)梁、剛架或排架，如果超靜定次數(shù)較高，即多余未知力較多，而未知的結(jié)點(diǎn)位移數(shù)目較少時(shí)，則用位移法計(jì)算較為簡(jiǎn)便，由于是以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，位移法更便于計(jì)算機(jī)編程。返回第3節(jié) 位移法下一頁上一頁 力法計(jì)算采用了典型方程解法，為了便于對(duì)照、理解和記憶，這里的位移法也是采用典型方程解法。力法是解除多余約束，得到基本結(jié)構(gòu)，將超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題來求解。位移法是在相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移處增加約束，使結(jié)構(gòu)的各桿件的位移彼此獨(dú)立，得到基本結(jié)構(gòu)，將多桿件超靜定問題轉(zhuǎn)化為單跨超靜定梁的問題來求解。返回下一頁上一頁 常見的單跨超靜定梁有三種類型： 一是等截面的兩端固定梁。 二是一端固定

22、、另一端鉸支的等截面梁。 三是一端固定、另一端滑動(dòng)支承的等截面梁。B A qEIa)lB A qEIc)b)B A qEI返回桿件的線剛度 b)B A qEIB A qEIa)B A qEIc)l下一頁上一頁返回桿端剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定不變桿端彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：對(duì)桿端以順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。對(duì)支座或結(jié)點(diǎn)以逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。 a)C A B b)C A B MAB0MBA0MBC0MAB0MBA0MBC0返回下一頁上一頁 荷載作用下引起的桿端內(nèi)力稱為固端內(nèi)力，在桿端內(nèi)力符號(hào)上加注上標(biāo)F，如AB桿A端的桿端彎矩用 ， B端的桿端彎矩用 表示。b)B A qEIB A qEIa)B A

23、qEIc)l下一頁上一頁返回一、位移法原理下一頁上一頁 由于位移法以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，因此，必須首先掌握位移法基本未知量數(shù)目的確定方法。位移法的基本未知量分為兩類：一類是結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角，另一類是獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移。位移法基本未知量的數(shù)目就等于結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角數(shù)目及獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目之和。 返回一、位移法原理下一頁上一頁 結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角數(shù)目就等于結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點(diǎn)數(shù)，其中包含組合結(jié)點(diǎn)和桿截面尺寸突變點(diǎn)。因?yàn)榻M合結(jié)點(diǎn)處有部分桿件之間為剛性連接，階梯形截面桿要分成等截面桿后處理，截面尺寸突變處也就成了剛性連接點(diǎn)?？傊?，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角數(shù)目是比較容易確定的。返回一、位移法原理下一頁上一頁 確定結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目時(shí)，要忽略

24、桿件的軸向變形和彎曲變形對(duì)桿件長(zhǎng)度的影響。一般可以通過直接觀察確定獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目，如遇到困難可通過鉸化法判定。所謂鉸化法，就是將結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點(diǎn)，包括支座結(jié)點(diǎn)在內(nèi)全改為鉸結(jié)點(diǎn)，變成幾何可變體系。再看在各鉸結(jié)點(diǎn)之間至少需要添加多少根鏈桿才能使其變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，則所添鏈桿數(shù)即為結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)。 返回在任意荷載作用時(shí)D、E、F、G、H各結(jié)點(diǎn)一共將產(chǎn)生五個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角ABCDEFHG下一頁上一頁返回在任意荷載作用時(shí)D、E兩結(jié)點(diǎn)水平線位移相等F、H兩個(gè)結(jié)點(diǎn)線位移確定后G結(jié)點(diǎn)的位置也就唯一確定三個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移鉸化法確定獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目是三個(gè)ABCG下一頁上一頁DEFHGFH返回b)下一頁上一頁

25、該梁只有一個(gè)基本未知量，即B結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角，設(shè)以順時(shí)針的Z1表示。Z1qC A EIllB EIa)c)C A B EIEI原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu) C A B EIqR1FZ1C A B EIEIR11d)e)基本結(jié)構(gòu) R1=0EIR1R1F+R110返回荷載對(duì)基本結(jié)構(gòu)剛臂結(jié)點(diǎn)B產(chǎn)生的約束力矩R1F Z1轉(zhuǎn)角對(duì)基本結(jié)構(gòu)剛臂結(jié)點(diǎn)B產(chǎn)生的約束力矩R11 下一頁上一頁基本未知量為一個(gè)時(shí)的位移法典型方程為Z1=1C A B EIEIr11f)R1R1F+R110llZ1C A B EIEIR11d)r11Z1 R11r11Z1 +R1F 0返回下一頁上一頁MB0 g)qR1FB MF圖C A B 3i3iZ1=1C

26、 A B r11h)M1圖R1FR1Fi)r11r113i3iMB0 j)B r11Z1 +R1F 0返回下一頁上一頁MB0 MB0 r11Z1 +R1F 0上側(cè)受拉 上側(cè)受拉 返回下一頁上一頁k)M圖C A B C A B l)上側(cè)受拉 上側(cè)受拉 FQ圖-+返回下一頁上一頁 綜上所述，位移法是先確定基本未知量數(shù)目，再加上相應(yīng)的附加約束，畫出基本結(jié)構(gòu)，原結(jié)構(gòu)各桿即變成單跨超靜定梁。根據(jù)附加約束處對(duì)應(yīng)的平衡條件，建立位移法典型方程，查表8-1可畫出基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下的彎矩圖及基本結(jié)構(gòu)在基本未知量等于1時(shí)的彎矩圖。仍利用平衡條件求出位移法方程的系數(shù)及自由項(xiàng)，解方程求出基本未知量，最后畫出內(nèi)力圖。

27、位移法典型方程解法與力法典型方程解法的步驟具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，但具體作法有本質(zhì)區(qū)別。 返回二、位移法典型方程下一頁上一頁 前面已得出一個(gè)基本未知量時(shí)的位移法典型方程。通過下面的例子，說明有兩個(gè)基本未知量時(shí)，位移法典型方程的建立過程。以此推出兩個(gè)及任意n個(gè)基本未知量時(shí)，位移法典型方程的形式。返回qb)基本結(jié)構(gòu) Z2a)EI=常數(shù)lhZ1C B A DC B A DC B A Dc)Z2EI=常數(shù)Z1C B A DR1=0c)Z2EI=常數(shù)Z1C B A DR2=0R1為約束力矩R2為約束力返回下一頁上一頁d)C B A Dc)Z2EI=常數(shù)Z1C B A DR1=0R2=0e)f)C B A DC B

28、 A DqR1FR2FC B A DZ1R11Z1R21Z2R22R12返回下一頁上一頁R1=R11+R12+R1F= 0R2=R21+R22+R2F= 0 R1F和R2F為基本結(jié)構(gòu)在原荷載作用下，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩） R11和R21為基本結(jié)構(gòu)在附加剛臂C處由角位移Z1，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩） R21和R22為基本結(jié)構(gòu)在附加鏈桿D處由線位移Z2，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩）返回下一頁上一頁R22e)f)C B A DC B A DZ1R11Z1R21Z2R12e)f)C B A DC B A DZ1=1r11Z1=1r21Z2=1r22r12乘Z1乘Z2返

29、回下一頁上一頁R1=R11+R12+R1F= 0R2=R21+R22+R2F= 0 r11和r21為基本結(jié)構(gòu)在附加剛臂C處由角位移Z1=1，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩） r21和r22為基本結(jié)構(gòu)在附加鏈桿D處由線位移Z2=1，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩）R11=r11Z1R21=r21Z1R22=r22Z2R12=r12Z2返回下一頁上一頁R1=R11+R12+R1F= 0R2=R21+R22+R2F= 0兩個(gè)基本未知量時(shí)的位移法典型方程R11=r11Z1R21=r21Z1R22=r22Z2R12=r12Z2返回下一頁上一頁n個(gè)基本未知量時(shí)的位移法典型方程返回下一頁上一頁 它是

30、根據(jù)與n個(gè)附加約束所對(duì)應(yīng)的n個(gè)平衡條件建立起來的，由n個(gè)方程可求解n個(gè)未知的結(jié)點(diǎn)位移。該方程組中，有n2個(gè)系數(shù)、n個(gè)自由項(xiàng)。其中，主系數(shù)rii表示基本結(jié)構(gòu)在Zi=1時(shí)，引起第i個(gè)附加約束的約束力（矩），且恒為正值。副系數(shù)rij表示基本結(jié)構(gòu)在Zj=1，引起的第i個(gè)附加約束的約束力（矩），且與Zi同向時(shí)為正值。返回下一頁上一頁副系數(shù)及自由項(xiàng)可能為正、可能為負(fù)，也可能為零。所有的系數(shù)及自由項(xiàng)容易從對(duì)應(yīng)的及MF圖中直接看出或者通過簡(jiǎn)單計(jì)算求得。不難證明rij= rji，說明n2-n個(gè)副系數(shù)中只需求出一半即可。 返回下一頁上一頁下一頁 1.確定基本未知量數(shù)目，畫出基本結(jié)構(gòu)。 2.列出位移法典型方程。 3

31、.求系數(shù)及自由項(xiàng)。分別畫出基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)單位轉(zhuǎn)角、結(jié)點(diǎn)單位線位移及荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖后一一計(jì)算。 4.解位移法典型方程，求出基本未知量。 5.畫內(nèi)力圖。利用疊加法畫彎矩圖，根據(jù)彎矩圖畫剪力圖，根據(jù)剪力圖畫軸力圖。三、位移法應(yīng)用舉例 返回上一頁 例8-5 試用位移法計(jì)算圖a所示剛架，畫出內(nèi)力圖。設(shè)各桿EI相等。 解 (1) 圖示剛架共有一個(gè)基本未知量，得到基本結(jié)構(gòu)如圖b所示。 (2)列出位移法典型方程。 （3）求系數(shù)和自由項(xiàng) 下一頁上一頁r11 Z1+R1F=0F a)DEIBACEIEIlllDBACF b)DBACF基本結(jié)構(gòu) Z1返回（3）求系數(shù)和自由項(xiàng) 下一頁上一頁 c)F b)Z1=

32、1r11M1圖2i4i2i4iMF圖FlR1F（4）解位移法典型方程返回（5）畫彎矩圖、剪力圖、軸力圖 下一頁上一頁 e)M圖Fl上側(cè)受拉 上側(cè)受拉 下側(cè)受拉 左側(cè)受拉 右側(cè)受拉 返回（5）畫彎矩圖、剪力圖、軸力圖 下一頁上一頁根據(jù)彎矩圖可畫出剪力圖 e)M圖Flf)FQ圖F+根據(jù)剪力圖可畫出軸力圖 g)FN圖+返回 例8-6 試用位移法計(jì)算圖a所示鉸接排架，畫出彎矩圖。 解 (1) 圖示剛架共有一個(gè)基本未知量，得到基本結(jié)構(gòu)如圖b所示 (2)列出位移法典型方程。 下一頁上一頁r11Z1+R1F=0基本結(jié)構(gòu) EAEAEFEIGEIDHACBEIEIEA a)8m2kN/mEFiGiDHACBii

33、b)EFiGiDHACBiib)Z1返回（3）求系數(shù)和自由項(xiàng) 下一頁上一頁r11Z1+R1F=0e)Z1=1M1圖c)r11EFGHr11EFGHr11返回（3）求系數(shù)和自由項(xiàng) 下一頁上一頁r11Z1+R1F=0f)R1FEFGHR1FEFGHR1FMF圖d)q6kNm6kN（4）解位移法典型方程 返回下一頁上一頁M圖(kNm)（5）畫彎矩圖 2812161212g)利用疊加公式（左側(cè)受拉） （左側(cè)受拉） 返回第4節(jié) 力矩分配法 一、力矩分配法原理二、單結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的力矩分配法三、多結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的力矩分配法 例8-7 例8-8 例8-9 例8-10返回下一頁上一頁第4節(jié) 力矩分配法 下一頁上一頁 力矩

34、分配法是建立在位移法基礎(chǔ)上的一種漸進(jìn)算法，可用于對(duì)無結(jié)點(diǎn)側(cè)移連續(xù)梁和剛架的計(jì)算?？梢酝ㄟ^增加分配次數(shù)的辦法來，解決提高計(jì)算精確度。由于它的解題思路比較清晰，計(jì)算格式統(tǒng)一，計(jì)算過程比較簡(jiǎn)便，不需要列方程計(jì)算，因此，對(duì)于無結(jié)點(diǎn)線位移連續(xù)梁和剛架，人們常用力矩分配法來進(jìn)行計(jì)算。返回Bq下一頁上一頁一、力矩分配法原理a)iiACBBllqb)ACB1.基本原理 MB約束力矩 c)ACB-MB反向約束力矩 放松狀態(tài) 固端彎矩 約束力矩(不平衡力矩) BBB固定狀態(tài) 返回下一頁上一頁一、力矩分配法原理c)ACB-MB近端 反向約束力矩 放松狀態(tài) 分配彎矩 桿端彎矩 BBBC遠(yuǎn)端 遠(yuǎn)端 傳遞彎矩 原狀態(tài) 返

35、回2.力矩分配法的三個(gè)基本要素下一頁上一頁轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)及傳遞系數(shù)通常稱為力矩分配法的三個(gè)基本要素。返回轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S力矩分配法中，各桿仍以單跨超靜定梁來處理。為了使單跨超靜定梁的某端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角，在該端所需施加的力矩大小，稱為桿件該端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，也可說成是桿件近端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的大小與遠(yuǎn)端約束情況有關(guān)，其值可以從表8-1中直接查得。下一頁上一頁2.力矩分配法的三個(gè)基本要素ACB近端 (1)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SB=1B=1遠(yuǎn)端 遠(yuǎn)端 由于遠(yuǎn)端A為滑動(dòng)支承, BA桿B端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SBA=i由于遠(yuǎn)端C為固定端, BC桿B端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SBC=4i 另外，當(dāng)遇到遠(yuǎn)端為鉸支時(shí)，同樣可查表8-1第6欄，得到轉(zhuǎn)

36、動(dòng)剛度SAB=3iii放松狀態(tài) 返回下一頁上一頁2.力矩分配法的三個(gè)基本要素(2)分配系數(shù) ACB近端 B=1B=1遠(yuǎn)端 遠(yuǎn)端 ii-MB近端 BBB(1)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S BA桿B端的分配系數(shù) BC桿B端的分配系數(shù) 放松狀態(tài) 返回下一頁上一頁2.力矩分配法的三個(gè)基本要素(3)傳遞系數(shù)C (1)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S(2)分配系數(shù) ACB-MB近端 放松狀態(tài) BB遠(yuǎn)端 遠(yuǎn)端 遠(yuǎn)端為滑動(dòng)支承遠(yuǎn)端為固定端遠(yuǎn)端為鉸支返回下一頁上一頁3最終桿端彎矩的確定 SBA=i SBC=4i 返回下一頁上一頁3最終桿端彎矩的確定 桿端彎矩 原狀態(tài) qM圖d）ACB返回二、單結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的力矩分配法下一頁上一頁綜前所述，力矩分配法計(jì)算步

37、驟可歸納如下：1）求分配系數(shù)2）求固端彎矩及約束力矩3）求分配彎矩與傳遞彎矩4）求最終桿端彎矩5）畫內(nèi)力圖 對(duì)于單結(jié)點(diǎn)的連續(xù)梁和無側(cè)移剛架來說，用力矩分配法計(jì)算十分簡(jiǎn)便，只要將轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性結(jié)點(diǎn)固定、放松各一次，便可得到最終桿端彎矩的精確解。 為了便于計(jì)算及檢查復(fù)核，一般都采用列表計(jì)算的方式。返回CEIEIBA 例8-7 試用力矩分配法計(jì)算圖a所示連續(xù)梁，畫彎矩圖。 解 (1)求分配系數(shù) (2)求固端彎矩及約束力矩 下一頁上一頁 a)6m6mq=7kN/m 返回(3)求分配彎矩與傳遞彎矩 下一頁上一頁分配彎矩傳遞彎矩返回下一頁上一頁(4)求最終桿端彎矩(上側(cè)受拉)(上側(cè)受拉)(上側(cè)受拉)(5) 畫

38、彎矩圖 返回CEIEIBA下一頁上一頁 a)6m6mq=7kN/m 分配系數(shù)固端彎矩-21 +21-31.5 0分配與傳遞+3 +6+4.5 0最后桿端彎矩-18 +27-27 0M圖（kNm）b）182731.531.5返回 例8-8 試用力矩分配法計(jì)算圖a所示所示剛架，并且畫出剛架的彎矩圖、剪力圖、軸力圖。剛架各桿旁數(shù)值為各桿的相對(duì)線剛度值。 解 (1)求分配系數(shù) 下一頁上一頁 a）4m3m50kN15kN/m2mEBi=1.54mACDi=2i=2 返回 解 (1)求分配系數(shù) (2)求固端彎矩及約束力矩 下一頁上一頁 a）4m3m50kN15kN/m2mEBi=1.54mACDi=2i=

39、2 約束力矩返回(3)求分配彎矩與傳遞彎矩 下一頁上一頁分配彎矩傳遞彎矩返回下一頁上一頁(4)求最終桿端彎矩(5) 畫彎矩圖 kNm（左側(cè)受拉） kNm（右側(cè)受拉） kNm（上側(cè)受拉） kNm（上側(cè)受拉） kNm（上側(cè)受拉） （下側(cè)受拉）返回 a）4m3m50kN15kN/m2mEBi=1.54mACDi=2i=2 +34.8-26.4+28.2-1.8-0.90最終桿端彎矩-1.2-2.4-1.8-1.8-0.90分配與傳遞+36.0-24.0+30.0000固端彎矩固端0.40.30.3固端鉸支分配系數(shù)CBBCBABDDBAB桿端名稱CBDA結(jié)點(diǎn)下一頁上一頁M圖(單位kNm)b）1.80.

40、926.428.23034.828.6返回 a）4m3m50kN15kN/m2mEBi=1.54mACDi=2i=2下一頁上一頁 M圖(單位kNm)b）1.80.926.428.23034.828.628.2kNmFQABFQBA c）15kN/mBA15kN/mBAM圖為直線時(shí)剪力為常數(shù),大小是直線的斜率集中力處兩側(cè)剪力突變,突變值為集中力大小返回 M圖(單位kNm)b）1.80.826.428.23034.828.6FQ圖(單位kN)d）22.950.6818.3337.0531.67+f）0.68+FN圖(單位kN)Be）FNBD37.0518.33FNBC0.68B55.38下一頁上一

41、頁返回三、多結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的力矩分配法下一頁上一頁 當(dāng)連續(xù)梁和無側(cè)移剛架具有多個(gè)結(jié)點(diǎn)時(shí)，為了求出各固端彎矩，應(yīng)該將各個(gè)剛性結(jié)點(diǎn)全部加上剛臂后，再施加原荷載作用，查表8-1便可計(jì)算出各固端彎矩。但是，在放松時(shí)，為了仍然能夠保持各桿為單跨超靜定梁的基本特征，就必須采用間隔、交替放松的辦法，為了加快收斂速度，即為了加快約束力矩趨向于零的速度，應(yīng)該首先放松約束力矩絕對(duì)值較大處結(jié)點(diǎn)。如果結(jié)點(diǎn)有三個(gè)以上，可以按間隔原則，分為兩批，交替放松、固定。直至最后傳遞彎矩很小可以忽略不計(jì)為止。此時(shí)，結(jié)構(gòu)也就非常接近于結(jié)構(gòu)的真實(shí)平衡狀態(tài)了。將每一桿端各次的分配彎矩、傳遞彎矩和原有的固端彎矩相疊加，便得到各桿桿端的最后彎矩值

42、，最后便可畫出結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖。返回 例8-9 試用力矩分配法計(jì)算圖a所示連續(xù)梁，畫彎矩圖和剪力圖，并求出支座反力。 解 (1)求分配系數(shù) a）AC4m0.75EI1.5EIB8m3m3m2mEDF15kN/mEI40kN45kN轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為下一頁上一頁返回 例8-9 試用力矩分配法計(jì)算圖a所示連續(xù)梁，畫彎矩圖和剪力圖，并求出支座反力。解 (1)求分配系數(shù) 分配系數(shù)為 下一頁上一頁返回 (2)求固端彎矩及約束力矩 a）AC4m0.75EI1.5EIB8m3m3m2mEDF15kN/mEI40kN45kN下一頁上一頁返回（3）分配與傳遞下一頁上一頁 因?yàn)锽結(jié)點(diǎn)約束力矩絕對(duì)值較大，宜先放松B結(jié)點(diǎn)，求得分配

43、彎矩和傳遞彎矩后，再固定好B結(jié)點(diǎn)，放松C結(jié)點(diǎn)。此時(shí)，C結(jié)點(diǎn)的約束力矩為原約束力矩與傳遞彎矩代數(shù)和，求得分配彎矩和傳遞彎矩后，再進(jìn)行第二輪計(jì)算，如此計(jì)算三輪半，分配彎矩已經(jīng)為0.1kNm ,保證了各桿端彎矩取到三位有效數(shù)字。最后只分配不傳遞，以保證各結(jié)點(diǎn)力矩平衡。每次在分配彎矩下面畫一橫線，表示該結(jié)點(diǎn)力矩暫時(shí)平衡，并用剛臂再次鎖住該結(jié)點(diǎn)的放松狀態(tài)。B結(jié)點(diǎn)約束力矩 C結(jié)點(diǎn)約束力矩 返回下一頁上一頁 （4）求最后桿端彎矩 以上各步計(jì)算的同桿端的固端彎矩,分配彎矩或傳遞彎矩相加均填入圖表中最后桿端彎矩 （5）畫彎矩圖 根據(jù)最后桿端彎矩值可畫出彎矩圖。其中AB跨集中荷載作用截面彎矩CD跨集中荷載作用截面

44、彎矩BC跨彎矩極大值需等剪力圖畫出后根據(jù)剪力等于零的截面位置確定后才能求得 返回下一頁上一頁 （6）畫剪力圖 根據(jù)彎矩圖可畫出剪力圖。此圖中，按相似三角形比例關(guān)系，可確定剪力為零的截面位置為x=3.86m，進(jìn)而可求得彎矩極大值。（7）求支座反力 根據(jù)彎矩圖和剪力圖，直接得到各反力如下： MA=24.5kNm ( ) FA=25.6kN （） FB=19.4kN +57.9kN=77.3kN（） FC=62.1kN +31.4kN=93.5kN（） FD=8.6kN （）返回AC4m0.75EI1.5EIB8m3m3m2mEDFa）15kN/mEI40kN45kN-68.3 0-51.1 +68

45、.3-24.5 +51.1最后桿端彎矩+0.1+0.1B第4次放松-0.2-0.3C第3次放松+0.9+0.6B第3次放松-1.9-2.9C第2次放松+9.5+6.4B第2次放松-21.2-31.8C第1次放松+36.0+24.0B第1次放松分配與傳遞彎矩-45.0 0-80.0 +80.0-40.0 +20.0固端彎矩0.40.6 0.60.4分配系數(shù) +18.0+12.0 0-15.9 -(80-45+18)0.6=-31.8-(-15.9)0.4=6.4 +4.8+3.2 0-1.5 +0.5+0.3 0-0.2 下一頁上一頁返回b）分配系數(shù)0.40.6 0.60.4固端彎矩-40.0

46、+20.0-80.0 +80.0-45.0 0分配與傳遞彎矩B第1次放松+12.0 +24.0+36.0 +18.0C第1次放松-15.9 -31.8-21.2 0B第2次放松+3.2 +6.4+9.5 +4.8C第2次放松-1.5 -2.9-1.9 0B第3次放松+0.3 +0.6+0.9 +0.5C第3次放松-0.2 -0.3-0.2 0B第4次放松+0.1+0.1最后桿端彎矩-24.5 +51.1-51.1 +68.3-68.3 0M圖（kNm）25.826.868.360.624.551.1下一頁上一頁返回b）M圖（kNm）25.826.868.360.624.551.1c）FQ圖（kNm）8.631.462.125.657.919.43.86m+MAMA=24.5kNm ( )FA=25.6kN （）FB=19.4kN +57.9kN=77.3kN（）FC=62.1kN +31.4kN=93.5kN（）FD=8.6kN （）FAFBFCFD下一頁上一頁返回 例8-10 試用力矩分配法計(jì)算圖a所示所示對(duì)稱剛架，畫出內(nèi)力圖。假設(shè)剛架各桿線剛度i相等。 解 此剛架為偶數(shù)跨對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受正對(duì)稱荷載作用，可取圖