土木工程力學講義

1、第8章 超靜定結構的計算方法第1節(jié) 力法第2節(jié) 對稱性的利用 第3節(jié) 位移法第4節(jié) 力矩分配法第5節(jié) 超靜定結構特性下一頁上一頁返回第8章 超靜定結構的計算方法 前面討論了靜定結構的內力計算，本章將討論超靜定結構的內力計算。超靜定結構的幾何特征是：體系幾何不變、且有多余約束。多余約束的個數(shù)即為結構的超靜定次數(shù)。下一頁上一頁圖示結構在任意荷載作用下圖a為二次超靜定梁圖b為一次超靜定桁架 下一頁上一頁b）a）圖示結構在任意荷載作用下，圖c為三次超靜定剛架，圖d為一次超靜定組合結構。 d）c）下一頁上一頁圖示結構在任意荷載作用下圖e為三次超靜定拱圖f為二次超靜定排架。 f）e）下一頁上一頁 由于多余

2、約束的存在，超靜定結構相對靜定結構可提高結構的強度、剛度及穩(wěn)定性，因而在建筑工程中，超靜定結構有著廣泛的應用。超靜定結構的內力計算基本的方法分為兩種，一是力法，二是位移法。由于超靜定結構的計算量很大，因此還有其他實用計算方法，包括電算方法，但都是建立在這兩種基本方法的基礎之上。 本章只介紹力法、位移法和力矩分配法。下一頁上一頁第1節(jié) 力 法一、力法原理二、力法典型方程三、力法應用舉例例8-1 例8-2返回下一頁上一頁一、力法原理 下一頁上一頁 力法是計算各種類型超靜定結構的最基本方法，是將超靜定結構的多余約束用對應的約束力來代替，稱為多余約束力，這時的多余約束力是未知的。這樣原來的超靜定結構轉

3、換成靜定結構，這個靜定結構稱為基本結構；由于原結構中的多余約束，原結構在多余約束處的變形和位移受到限制，這個限制稱為變形協(xié)調條件。根據(jù)變形協(xié)調條件可建立求解多余約束力的方程，這個方程稱為補充方程或力法典型方程。通過求解力法的典型方程，求出多余約束力。這樣，超靜定結構的計算便可以轉化為靜定結構的計算。 返回 可以將鏈桿支承B視為多余約束，撤除后以多余約束力X1代替如圖b所示靜定梁為原超靜定梁的基本結構因原結構中多余約束支座B的限制，則變形協(xié)調條件為1=BV=0根據(jù)疊加原理圖b可由圖c和圖d相加來等效1=1F+11=0 X1b)原結構基本結構 荷載作用下的變形多余約束反力作用下的變形 B A ql

4、EIa)X1c)B A EI 11qd)B A EI 1F下一頁上一頁返回圖c又等價于X1=1時變形，如圖e所示的X1倍11=11 X1X1c)B A EI 11X1=1e)B A EI 11 X1倍下一頁上一頁返回 1為基本結構在多余約束力X1作用處沿X1方向的位移 1F為基本結構在荷載作用下在X1作用處沿X1方向的位移 11為基本結構在多余約束力X1作用下在X1作用處沿X1方向的位移 11為多余約束力X1=1時，基本結構在多余約束力X1作用下在X1作用處沿X1方向的位移 下一頁上一頁返回變形協(xié)調條件1=BV=0疊加原理1=11+1F=0 11=11 X111 X1+1F=0(8-1)下一頁

5、上一頁返回下一頁上一頁返回11 X1+1F=0X1=1e)B A EI 11d)B A EI 1F下一頁上一頁返回B A qEIa)FQ圖 M圖 下一頁上一頁返回解除結構的多余約束的方法一般采用如下幾種方式 1）撤除一根支承鏈桿或切斷一根結構內部鏈桿相當于解除一個多余約束。 2）將剛性連接改為單鉸連接，相當于解除一個多余約束。 3)撤除一個固定鉸支座或撤除一個內部單鉸,相當于解除兩個多余約束。 4）撤除一個固定端支座或切斷一個剛性連接，相當于解除三個多余約束。 返回下一頁上一頁1）撤除一根支承鏈桿或切斷一根結構內部鏈桿相當于解除一個多余約束。b）a）X1X2一次超靜定桁架 X1X1二次超靜定梁

6、 d）X1f）一次超靜定組合結構 X1X2二次超靜定排架 下一頁上一頁返回2）將剛性連接改為單鉸連接，相當于解除一個多余約束。a）X1二次超靜定梁 X1X2e）X2X3三次超靜定拱 下一頁上一頁返回3）撤除一個固定鉸支座或撤除一個內部單鉸，相當于解除兩個多余約束。 X2X1二次超靜定剛架 X2X1二次超靜定剛架 X2X1下一頁上一頁返回4）撤除一個固定端支座或切斷一個剛性連接，相當于解除三個多余約束。 X1三次超靜定剛架 X2X3X3X3三次超靜定拱 X2X1X2X1下一頁上一頁返回二、力法典型方程 (8-1)11 X1+1F=0一次超靜定結構的力法典型方程 下一頁上一頁返回 圖a所示為二次超

7、靜定剛架，撤除固定鉸支座C，并用水平反力X1及豎向反力X2代替，得到如圖b所示的基本結構。X2X1a)C B A qlhEIEIb)原結構基本結構 要使圖b與圖等效，變形協(xié)調條件為基本結構上C點的水平位移CH等于零和豎向位移CV等于零，即1=CH=02=CV=0 i為基本結構在多余約束力Xi處沿Xi方向的位移。 下一頁上一頁返回X2X1qEIEIb)基本結構 C B A c)C B A 2111X1C B A X2qd)C B A 2212e)C B A 2F1F下一頁上一頁返回1=CH=02=CV=01=11+12+1F= 02=21+22+2F= 0 ij為基本結構在多余約束力Xj單獨作用

8、下在Xi作用處沿Xi方向的位移。 iF為基本結構在荷載作用下在多余約束力Xi作用處沿Xi方向的位移。下一頁上一頁返回c)C B A 21 11X1X2d)C B A 22 12f)C B A 2111X1=1C B A X1倍X2=1d)C B A 2212C B A X2倍ij=ij Xj 下一頁上一頁返回11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0 ij為多余約束力Xj=1時，基本結構在Xj單獨作用下在Xi作用處沿Xi方向的位移。 ij=ij Xj 1=11+12+1F= 02=21+22+2F= 0 (8-2)下一頁上一頁返回二、力法典型方程 (8-1)一次超靜定結

9、構的力法典型方程 11 X1+1F=0二次超靜定結構的力法典型方程 11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0 (8-2)下一頁上一頁返回二、力法典型方程 (8-3)n次超靜定結構的力法典型方程 11X 1+12 X 2+1n X n+1F=021 X 1+22 X 2+2n X n+2F=0n1 X 1+n2 X 2+nn Xn+nF=0下一頁上一頁返回二、力法典型方程 一共有n個方程。其中，11、22nn位于方程的一條對角線上，稱為主系數(shù)。主系數(shù)ii表示基本結構在單位多余約束力Xi=1單獨作用下，在Xi的作用處沿Xi方向所產(chǎn)生的位移，恒為正值。在對角線兩側的系數(shù)ij

10、稱為副系數(shù)，副系數(shù)ij表示基本結構在單位多余約束力Xj=1單獨作用下，在多余約束力Xi的作用處沿Xi的方向所產(chǎn)生的位移，其值可能為正、為負或為零。下一頁上一頁返回二、力法典型方程 根據(jù)位移的計算，可得ij=ji。因此，副系數(shù)只需要求其中一半即可。iF表示基本結構在荷載作用下，在多余約束力Xi的作用處沿Xi的方向所產(chǎn)生的位移，其值可能為正、為負或為零，稱為自由項。 力法典型方程中所有的系數(shù)和自由項均可利用上一章講述過的靜定結構位移公式求得。下一頁上一頁返回三、力法應用舉例綜前所述，力法的計算步驟歸納如下： 1）確定結構的超靜定次數(shù)，選取基本結構。因為力法的大量計算都在基本結構上進行，選擇合適的基

11、本結構可以減少解算的工作量。 2）建立力法典型方程。它是根據(jù)超靜定次數(shù)和多余約束處的變形諧調條件建立起來的。 3）計算力法典型方程中的系數(shù)和自由項。就是對基本結構進行位移計算，利用單位荷載法可簡化計算。下一頁上一頁返回三、力法應用舉例 4）解方程，求出多余約束力。 5）對結構進行受力分析。可利用靜力平衡條件或疊加公式求內力，作內力圖。 上述各步中，第三步是重點和難點，必須加強練習，才能熟練掌握 。下一頁上一頁返回 例8-1 試用力法計算圖a所示單跨超靜定梁，畫出內力圖。已知梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。 解 (1) 屬于一次超靜定梁，得到基本結構如圖所示。 (2)建立力法典型方程。 X1（3）求系數(shù)

12、和自由項 11 X1+1F=0X1=1FABCl/2l/2M1圖MF圖Fl/4FABC1下一頁上一頁返回（3）求系數(shù)和自由項 （5） 畫內力圖FABCl/2l/2+3Fl/165Fl/3211F/165F/16M圖FQ圖11 X1+1F=0（4） 解方程 下一頁上一頁返回 例8-1 試用力法計算圖a所示單跨超靜定梁，畫出內力圖。已知梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。 解2 (1) 屬于一次超靜定梁，得到基本結構如圖所示。 (2)建立力法典型方程。 FABClX1（3）求系數(shù)和自由項 11 X1+1F=0X1=1FABCl/2l/2MF圖Fl/2下一頁上一頁返回M1圖（3）求系數(shù)和自由項 （5） 畫內力圖

13、FABCl/2l/2+3Fa/165Fa/3211F/165F/16M圖FQ圖（4） 解方程 下一頁上一頁返回11 X1+1F=0 例8-2 試繪出圖a所示超靜定剛架的內力圖。已知剛架各桿EI均為常數(shù)。 解 (1)屬于二次超靜定剛架，得到基本結構如圖b所示。 (2)建立力法典型方程 例8-2X2X1a)C B A qllEIEIb)原結構基本結構 （3）求系數(shù)和自由項 lX1=1M1圖M2圖X2=1c)d)llMF圖e)ql2/2ql2/211 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0下一頁上一頁返回（3）求系數(shù)和自由項 lX1=1M1圖c)MF圖e)ql2/2ql2/2d

14、)M2圖X2=1ll下一頁上一頁返回（3）求系數(shù)和自由項 11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0（4）解方程 下一頁上一頁返回第2節(jié) 對稱性的利用 實際的工程結構中，有一些是對稱結構。這里所說的對稱結構，不僅要求結構的幾何形狀及支承情況以某軸為對稱，還要求對稱桿件材料相同、截面尺寸相同。如圖a、b、c所示的梁和剛架均為對稱結構。EI1EI1對稱軸EI2（b）EI1EI1EI3（c）對稱軸EI2EI3llEIEI（a）返回下一頁上一頁 如作用在對稱結構上的荷載繞對稱結構的對稱軸旋轉180，結構上的荷載不變，這類荷載稱為正對稱荷載，如結構上的荷載大小不變，方向相反，這類

15、荷載稱為反對稱荷載。 對稱結構的內力、變形與荷載之間存在以下基本特征：當對稱結構承受正對稱荷載作用時，結構在對稱軸的反對稱內力（剪力）為零，結構的變形以及軸力圖、彎矩圖為正對稱的，剪力圖為反對稱。當對稱結構承受反對稱荷載作用時，結構在對稱軸的正對稱內力（彎矩和軸力）為零，結構的變形以及軸力圖、彎矩圖為反對稱，剪力圖為正對稱。 返回下一頁上一頁 正是基于上述基本特征，可以利用結構的對稱性，先研究結構的一個局部，再結果推廣到全部，對較復雜的對稱的超靜定結構進行簡化計算。這種方法稱為半結構法。 針對對稱剛架而言，半結構法既為半剛架法，現(xiàn)將半剛架法中的半剛架常用的選取方法，分類歸納如下：返回下一頁上一

16、頁 1奇數(shù)跨對稱剛架 奇數(shù)跨對稱剛架，在對稱軸位置處，即中間跨的跨中。 1）正對稱荷載作用時，半剛架取法是將結構沿對稱軸切開，反對稱內力（剪力）為零，移走一半，根據(jù)切口處截面上的內力，將留下一半的在切口處以對應的約束代替。EI1EI1對稱軸EIa）lqh半剛架EI1EIb）l/2qhq返回下一頁上一頁 1奇數(shù)跨對稱剛架 奇數(shù)跨對稱剛架，在對稱軸位置處，即中間跨的跨中。 2）反對稱荷載作用時，半剛架取法是將結構沿對稱軸切開，正對稱內力（彎矩和軸力）為零，移走一半，根據(jù)切口處截面上的內力，將留下一半的在切口處以對應的約束代替。EI1EI1對稱軸EIa）h半剛架EI1EIb）l/2hlqqqqlqq

17、返回下一頁上一頁 2偶數(shù)跨對稱剛架 在對稱軸位置處，一般有立柱（中柱）或豎向約束。 1）正對稱荷載作用時，剛架在對稱軸位置處，沒有反對稱位移（如水平位移），而豎向位移由于中柱或豎向約束也為零，半剛架取法是將連同中柱在內的一半剛架去掉，根據(jù)截面處位移的限制，以相應的約束取代。EI1EI1對稱軸EIa）qh半剛架EI1EIb）lhqllqEI1EI返回下一頁上一頁qq 2偶數(shù)跨對稱剛架 在對稱軸位置處，一般有立柱（中柱）或豎向約束。 2）反對稱荷載作用時，半剛架取法是先將中柱分為兩根抗彎剛度各為EI/2、間距無限小的情形，然后取一半即可。EI1EI1對稱軸EI2a）h半剛架EI1EI2b）lhll

18、EIEI2qqEI/2EI/2EI/2qq返回下一頁上一頁 例8-3 試利用對稱性，對圖a所示連續(xù)梁，取半結構簡化計算，畫出彎矩圖。 解 (1)選擇半結構如圖b所示 水平梁在豎向荷載作用下不產(chǎn)生水平反力,基本結構如圖c所示 (2) 力法典型方程 例8-36mA3mEIEIEIBCD40kN3m3m3m40kNa）半結構b）A3mEIEIBE40kN3m3mEIE3mc）A3mEIB40kN3m基本結構X111 X1+1F=0 返回下一頁上一頁（3）求系數(shù)及自由項 (4) 解方程 EIE3mc）A3mEIB40kN3mX111 X1+1F=0 d）X1=11MF圖（kNm）M1圖e）60返回下一

19、頁上一頁（5）畫彎矩圖 =51kNm（下側受拉） EIE3mc）A3mEIB40kN3mX1d）X1=11MF圖（kNm）M1圖e）60（上側受拉） f）M圖（kNm）185160185160返回下一頁上一頁40 kNm 例8-4 試利用對稱性簡化計算圖a所示的對稱剛架，畫出彎矩圖。 解 (1)選擇半結構如圖c所示 (2) 力法基本結構如圖d所示例8-411 X1+1F=0 a）EIEIEIA3mBCD3m 4m20 kNm20 kNmb）EIEIACE3m 4m20 kNmc）半結構基本結構 (3) 力法典型方程 EIEIACE3m 4m20 kNmd）EIEIACE3m 4m20 kNmX

20、1返回下一頁上一頁（3）求系數(shù)及自由項X1=13MF圖（kNm）M1圖(m)20e）3f）20基本結構EIEIACE3m 4m20 kNmd）X1返回下一頁上一頁 (4) 解方程 11 X1+1F=0 （5）畫彎矩圖（內側受拉） （內側受拉） （內側受拉） （外側受拉） 返回下一頁上一頁 （5）畫彎矩圖（內側受拉） （內側受拉） （內側受拉） （外側受拉） M圖（kNm）g）22022220返回下一頁上一頁第3節(jié) 位移法一、位移法原理二、位移法典型方程三、位移法應用舉例例8-5例8-6返回下一頁上一頁第3節(jié) 位移法下一頁上一頁 位移法是計算超靜定結構的另一種基本方法，由于它是以結點位移作為基本

21、未知量，故稱位移法。對于某些連續(xù)梁、剛架或排架，如果超靜定次數(shù)較高，即多余未知力較多，而未知的結點位移數(shù)目較少時，則用位移法計算較為簡便，由于是以結點位移作為基本未知量，位移法更便于計算機編程。返回第3節(jié) 位移法下一頁上一頁 力法計算采用了典型方程解法，為了便于對照、理解和記憶，這里的位移法也是采用典型方程解法。力法是解除多余約束，得到基本結構，將超靜定問題轉化為靜定問題來求解。位移法是在相應的結點位移處增加約束，使結構的各桿件的位移彼此獨立，得到基本結構，將多桿件超靜定問題轉化為單跨超靜定梁的問題來求解。返回下一頁上一頁 常見的單跨超靜定梁有三種類型： 一是等截面的兩端固定梁。 二是一端固定

22、、另一端鉸支的等截面梁。 三是一端固定、另一端滑動支承的等截面梁。B A qEIa)lB A qEIc)b)B A qEI返回桿件的線剛度 b)B A qEIB A qEIa)B A qEIc)l下一頁上一頁返回桿端剪力的正負號規(guī)定不變桿端彎矩的正負號規(guī)定：對桿端以順時針轉為正，逆時針轉為負。對支座或結點以逆時針轉為正，順時針轉為負。 a)C A B b)C A B MAB0MBA0MBC0MAB0MBA0MBC0返回下一頁上一頁 荷載作用下引起的桿端內力稱為固端內力，在桿端內力符號上加注上標F，如AB桿A端的桿端彎矩用 ， B端的桿端彎矩用 表示。b)B A qEIB A qEIa)B A

23、qEIc)l下一頁上一頁返回一、位移法原理下一頁上一頁 由于位移法以結點位移作為基本未知量，因此，必須首先掌握位移法基本未知量數(shù)目的確定方法。位移法的基本未知量分為兩類：一類是結點轉角，另一類是獨立結點線位移。位移法基本未知量的數(shù)目就等于結點轉角數(shù)目及獨立結點線位移數(shù)目之和。 返回一、位移法原理下一頁上一頁 結點轉角數(shù)目就等于結構的剛結點數(shù)，其中包含組合結點和桿截面尺寸突變點。因為組合結點處有部分桿件之間為剛性連接，階梯形截面桿要分成等截面桿后處理，截面尺寸突變處也就成了剛性連接點?？傊?，結構的結點轉角數(shù)目是比較容易確定的。返回一、位移法原理下一頁上一頁 確定結構的獨立結點線位移數(shù)目時，要忽略

24、桿件的軸向變形和彎曲變形對桿件長度的影響。一般可以通過直接觀察確定獨立結點線位移數(shù)目，如遇到困難可通過鉸化法判定。所謂鉸化法，就是將結構的所有結點，包括支座結點在內全改為鉸結點，變成幾何可變體系。再看在各鉸結點之間至少需要添加多少根鏈桿才能使其變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，則所添鏈桿數(shù)即為結構的獨立結點線位移數(shù)。 返回在任意荷載作用時D、E、F、G、H各結點一共將產(chǎn)生五個結點轉角ABCDEFHG下一頁上一頁返回在任意荷載作用時D、E兩結點水平線位移相等F、H兩個結點線位移確定后G結點的位置也就唯一確定三個獨立結點線位移鉸化法確定獨立結點線位移數(shù)目是三個ABCG下一頁上一頁DEFHGFH返回b)下一頁上一頁

25、該梁只有一個基本未知量，即B結點轉角，設以順時針的Z1表示。Z1qC A EIllB EIa)c)C A B EIEI原結構基本結構 C A B EIqR1FZ1C A B EIEIR11d)e)基本結構 R1=0EIR1R1F+R110返回荷載對基本結構剛臂結點B產(chǎn)生的約束力矩R1F Z1轉角對基本結構剛臂結點B產(chǎn)生的約束力矩R11 下一頁上一頁基本未知量為一個時的位移法典型方程為Z1=1C A B EIEIr11f)R1R1F+R110llZ1C A B EIEIR11d)r11Z1 R11r11Z1 +R1F 0返回下一頁上一頁MB0 g)qR1FB MF圖C A B 3i3iZ1=1C

26、 A B r11h)M1圖R1FR1Fi)r11r113i3iMB0 j)B r11Z1 +R1F 0返回下一頁上一頁MB0 MB0 r11Z1 +R1F 0上側受拉 上側受拉 返回下一頁上一頁k)M圖C A B C A B l)上側受拉 上側受拉 FQ圖-+返回下一頁上一頁 綜上所述，位移法是先確定基本未知量數(shù)目，再加上相應的附加約束，畫出基本結構，原結構各桿即變成單跨超靜定梁。根據(jù)附加約束處對應的平衡條件，建立位移法典型方程，查表8-1可畫出基本結構在荷載作用下的彎矩圖及基本結構在基本未知量等于1時的彎矩圖。仍利用平衡條件求出位移法方程的系數(shù)及自由項，解方程求出基本未知量，最后畫出內力圖。

27、位移法典型方程解法與力法典型方程解法的步驟具有對應關系，但具體作法有本質區(qū)別。 返回二、位移法典型方程下一頁上一頁 前面已得出一個基本未知量時的位移法典型方程。通過下面的例子，說明有兩個基本未知量時，位移法典型方程的建立過程。以此推出兩個及任意n個基本未知量時，位移法典型方程的形式。返回qb)基本結構 Z2a)EI=常數(shù)lhZ1C B A DC B A DC B A Dc)Z2EI=常數(shù)Z1C B A DR1=0c)Z2EI=常數(shù)Z1C B A DR2=0R1為約束力矩R2為約束力返回下一頁上一頁d)C B A Dc)Z2EI=常數(shù)Z1C B A DR1=0R2=0e)f)C B A DC B

28、 A DqR1FR2FC B A DZ1R11Z1R21Z2R22R12返回下一頁上一頁R1=R11+R12+R1F= 0R2=R21+R22+R2F= 0 R1F和R2F為基本結構在原荷載作用下，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩） R11和R21為基本結構在附加剛臂C處由角位移Z1，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩） R21和R22為基本結構在附加鏈桿D處由線位移Z2，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩）返回下一頁上一頁R22e)f)C B A DC B A DZ1R11Z1R21Z2R12e)f)C B A DC B A DZ1=1r11Z1=1r21Z2=1r22r12乘Z1乘Z2返

29、回下一頁上一頁R1=R11+R12+R1F= 0R2=R21+R22+R2F= 0 r11和r21為基本結構在附加剛臂C處由角位移Z1=1，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩） r21和r22為基本結構在附加鏈桿D處由線位移Z2=1，在附加剛臂C和鏈桿D產(chǎn)生約束力（矩）R11=r11Z1R21=r21Z1R22=r22Z2R12=r12Z2返回下一頁上一頁R1=R11+R12+R1F= 0R2=R21+R22+R2F= 0兩個基本未知量時的位移法典型方程R11=r11Z1R21=r21Z1R22=r22Z2R12=r12Z2返回下一頁上一頁n個基本未知量時的位移法典型方程返回下一頁上一頁 它是

30、根據(jù)與n個附加約束所對應的n個平衡條件建立起來的，由n個方程可求解n個未知的結點位移。該方程組中，有n2個系數(shù)、n個自由項。其中，主系數(shù)rii表示基本結構在Zi=1時，引起第i個附加約束的約束力（矩），且恒為正值。副系數(shù)rij表示基本結構在Zj=1，引起的第i個附加約束的約束力（矩），且與Zi同向時為正值。返回下一頁上一頁副系數(shù)及自由項可能為正、可能為負，也可能為零。所有的系數(shù)及自由項容易從對應的及MF圖中直接看出或者通過簡單計算求得。不難證明rij= rji，說明n2-n個副系數(shù)中只需求出一半即可。 返回下一頁上一頁下一頁 1.確定基本未知量數(shù)目，畫出基本結構。 2.列出位移法典型方程。 3

31、.求系數(shù)及自由項。分別畫出基本結構在結點單位轉角、結點單位線位移及荷載單獨作用下的彎矩圖后一一計算。 4.解位移法典型方程，求出基本未知量。 5.畫內力圖。利用疊加法畫彎矩圖，根據(jù)彎矩圖畫剪力圖，根據(jù)剪力圖畫軸力圖。三、位移法應用舉例 返回上一頁 例8-5 試用位移法計算圖a所示剛架，畫出內力圖。設各桿EI相等。 解 (1) 圖示剛架共有一個基本未知量，得到基本結構如圖b所示。 (2)列出位移法典型方程。 （3）求系數(shù)和自由項 下一頁上一頁r11 Z1+R1F=0F a)DEIBACEIEIlllDBACF b)DBACF基本結構 Z1返回（3）求系數(shù)和自由項 下一頁上一頁 c)F b)Z1=

32、1r11M1圖2i4i2i4iMF圖FlR1F（4）解位移法典型方程返回（5）畫彎矩圖、剪力圖、軸力圖 下一頁上一頁 e)M圖Fl上側受拉 上側受拉 下側受拉 左側受拉 右側受拉 返回（5）畫彎矩圖、剪力圖、軸力圖 下一頁上一頁根據(jù)彎矩圖可畫出剪力圖 e)M圖Flf)FQ圖F+根據(jù)剪力圖可畫出軸力圖 g)FN圖+返回 例8-6 試用位移法計算圖a所示鉸接排架，畫出彎矩圖。 解 (1) 圖示剛架共有一個基本未知量，得到基本結構如圖b所示 (2)列出位移法典型方程。 下一頁上一頁r11Z1+R1F=0基本結構 EAEAEFEIGEIDHACBEIEIEA a)8m2kN/mEFiGiDHACBii

33、b)EFiGiDHACBiib)Z1返回（3）求系數(shù)和自由項 下一頁上一頁r11Z1+R1F=0e)Z1=1M1圖c)r11EFGHr11EFGHr11返回（3）求系數(shù)和自由項 下一頁上一頁r11Z1+R1F=0f)R1FEFGHR1FEFGHR1FMF圖d)q6kNm6kN（4）解位移法典型方程 返回下一頁上一頁M圖(kNm)（5）畫彎矩圖 2812161212g)利用疊加公式（左側受拉） （左側受拉） 返回第4節(jié) 力矩分配法 一、力矩分配法原理二、單結點結構的力矩分配法三、多結點結構的力矩分配法 例8-7 例8-8 例8-9 例8-10返回下一頁上一頁第4節(jié) 力矩分配法 下一頁上一頁 力矩

34、分配法是建立在位移法基礎上的一種漸進算法，可用于對無結點側移連續(xù)梁和剛架的計算?？梢酝ㄟ^增加分配次數(shù)的辦法來，解決提高計算精確度。由于它的解題思路比較清晰，計算格式統(tǒng)一，計算過程比較簡便，不需要列方程計算，因此，對于無結點線位移連續(xù)梁和剛架，人們常用力矩分配法來進行計算。返回Bq下一頁上一頁一、力矩分配法原理a)iiACBBllqb)ACB1.基本原理 MB約束力矩 c)ACB-MB反向約束力矩 放松狀態(tài) 固端彎矩 約束力矩(不平衡力矩) BBB固定狀態(tài) 返回下一頁上一頁一、力矩分配法原理c)ACB-MB近端 反向約束力矩 放松狀態(tài) 分配彎矩 桿端彎矩 BBBC遠端 遠端 傳遞彎矩 原狀態(tài) 返

35、回2.力矩分配法的三個基本要素下一頁上一頁轉動剛度、分配系數(shù)及傳遞系數(shù)通常稱為力矩分配法的三個基本要素。返回轉動剛度S力矩分配法中，各桿仍以單跨超靜定梁來處理。為了使單跨超靜定梁的某端產(chǎn)生單位轉角，在該端所需施加的力矩大小，稱為桿件該端的轉動剛度，也可說成是桿件近端的轉動剛度，轉動剛度的大小與遠端約束情況有關，其值可以從表8-1中直接查得。下一頁上一頁2.力矩分配法的三個基本要素ACB近端 (1)轉動剛度SB=1B=1遠端 遠端 由于遠端A為滑動支承, BA桿B端的轉動剛度SBA=i由于遠端C為固定端, BC桿B端的轉動剛度SBC=4i 另外，當遇到遠端為鉸支時，同樣可查表8-1第6欄，得到轉

36、動剛度SAB=3iii放松狀態(tài) 返回下一頁上一頁2.力矩分配法的三個基本要素(2)分配系數(shù) ACB近端 B=1B=1遠端 遠端 ii-MB近端 BBB(1)轉動剛度S BA桿B端的分配系數(shù) BC桿B端的分配系數(shù) 放松狀態(tài) 返回下一頁上一頁2.力矩分配法的三個基本要素(3)傳遞系數(shù)C (1)轉動剛度S(2)分配系數(shù) ACB-MB近端 放松狀態(tài) BB遠端 遠端 遠端為滑動支承遠端為固定端遠端為鉸支返回下一頁上一頁3最終桿端彎矩的確定 SBA=i SBC=4i 返回下一頁上一頁3最終桿端彎矩的確定 桿端彎矩 原狀態(tài) qM圖d）ACB返回二、單結點結構的力矩分配法下一頁上一頁綜前所述，力矩分配法計算步

37、驟可歸納如下：1）求分配系數(shù)2）求固端彎矩及約束力矩3）求分配彎矩與傳遞彎矩4）求最終桿端彎矩5）畫內力圖 對于單結點的連續(xù)梁和無側移剛架來說，用力矩分配法計算十分簡便，只要將轉動的剛性結點固定、放松各一次，便可得到最終桿端彎矩的精確解。 為了便于計算及檢查復核，一般都采用列表計算的方式。返回CEIEIBA 例8-7 試用力矩分配法計算圖a所示連續(xù)梁，畫彎矩圖。 解 (1)求分配系數(shù) (2)求固端彎矩及約束力矩 下一頁上一頁 a)6m6mq=7kN/m 返回(3)求分配彎矩與傳遞彎矩 下一頁上一頁分配彎矩傳遞彎矩返回下一頁上一頁(4)求最終桿端彎矩(上側受拉)(上側受拉)(上側受拉)(5) 畫

38、彎矩圖 返回CEIEIBA下一頁上一頁 a)6m6mq=7kN/m 分配系數(shù)固端彎矩-21 +21-31.5 0分配與傳遞+3 +6+4.5 0最后桿端彎矩-18 +27-27 0M圖（kNm）b）182731.531.5返回 例8-8 試用力矩分配法計算圖a所示所示剛架，并且畫出剛架的彎矩圖、剪力圖、軸力圖。剛架各桿旁數(shù)值為各桿的相對線剛度值。 解 (1)求分配系數(shù) 下一頁上一頁 a）4m3m50kN15kN/m2mEBi=1.54mACDi=2i=2 返回 解 (1)求分配系數(shù) (2)求固端彎矩及約束力矩 下一頁上一頁 a）4m3m50kN15kN/m2mEBi=1.54mACDi=2i=

39、2 約束力矩返回(3)求分配彎矩與傳遞彎矩 下一頁上一頁分配彎矩傳遞彎矩返回下一頁上一頁(4)求最終桿端彎矩(5) 畫彎矩圖 kNm（左側受拉） kNm（右側受拉） kNm（上側受拉） kNm（上側受拉） kNm（上側受拉） （下側受拉）返回 a）4m3m50kN15kN/m2mEBi=1.54mACDi=2i=2 +34.8-26.4+28.2-1.8-0.90最終桿端彎矩-1.2-2.4-1.8-1.8-0.90分配與傳遞+36.0-24.0+30.0000固端彎矩固端0.40.30.3固端鉸支分配系數(shù)CBBCBABDDBAB桿端名稱CBDA結點下一頁上一頁M圖(單位kNm)b）1.80.

40、926.428.23034.828.6返回 a）4m3m50kN15kN/m2mEBi=1.54mACDi=2i=2下一頁上一頁 M圖(單位kNm)b）1.80.926.428.23034.828.628.2kNmFQABFQBA c）15kN/mBA15kN/mBAM圖為直線時剪力為常數(shù),大小是直線的斜率集中力處兩側剪力突變,突變值為集中力大小返回 M圖(單位kNm)b）1.80.826.428.23034.828.6FQ圖(單位kN)d）22.950.6818.3337.0531.67+f）0.68+FN圖(單位kN)Be）FNBD37.0518.33FNBC0.68B55.38下一頁上一

41、頁返回三、多結點結構的力矩分配法下一頁上一頁 當連續(xù)梁和無側移剛架具有多個結點時，為了求出各固端彎矩，應該將各個剛性結點全部加上剛臂后，再施加原荷載作用，查表8-1便可計算出各固端彎矩。但是，在放松時，為了仍然能夠保持各桿為單跨超靜定梁的基本特征，就必須采用間隔、交替放松的辦法，為了加快收斂速度，即為了加快約束力矩趨向于零的速度，應該首先放松約束力矩絕對值較大處結點。如果結點有三個以上，可以按間隔原則，分為兩批，交替放松、固定。直至最后傳遞彎矩很小可以忽略不計為止。此時，結構也就非常接近于結構的真實平衡狀態(tài)了。將每一桿端各次的分配彎矩、傳遞彎矩和原有的固端彎矩相疊加，便得到各桿桿端的最后彎矩值

42、，最后便可畫出結構內力圖。返回 例8-9 試用力矩分配法計算圖a所示連續(xù)梁，畫彎矩圖和剪力圖，并求出支座反力。 解 (1)求分配系數(shù) a）AC4m0.75EI1.5EIB8m3m3m2mEDF15kN/mEI40kN45kN轉動剛度為下一頁上一頁返回 例8-9 試用力矩分配法計算圖a所示連續(xù)梁，畫彎矩圖和剪力圖，并求出支座反力。解 (1)求分配系數(shù) 分配系數(shù)為 下一頁上一頁返回 (2)求固端彎矩及約束力矩 a）AC4m0.75EI1.5EIB8m3m3m2mEDF15kN/mEI40kN45kN下一頁上一頁返回（3）分配與傳遞下一頁上一頁 因為B結點約束力矩絕對值較大，宜先放松B結點，求得分配

43、彎矩和傳遞彎矩后，再固定好B結點，放松C結點。此時，C結點的約束力矩為原約束力矩與傳遞彎矩代數(shù)和，求得分配彎矩和傳遞彎矩后，再進行第二輪計算，如此計算三輪半，分配彎矩已經(jīng)為0.1kNm ,保證了各桿端彎矩取到三位有效數(shù)字。最后只分配不傳遞，以保證各結點力矩平衡。每次在分配彎矩下面畫一橫線，表示該結點力矩暫時平衡，并用剛臂再次鎖住該結點的放松狀態(tài)。B結點約束力矩 C結點約束力矩 返回下一頁上一頁 （4）求最后桿端彎矩 以上各步計算的同桿端的固端彎矩,分配彎矩或傳遞彎矩相加均填入圖表中最后桿端彎矩 （5）畫彎矩圖 根據(jù)最后桿端彎矩值可畫出彎矩圖。其中AB跨集中荷載作用截面彎矩CD跨集中荷載作用截面

44、彎矩BC跨彎矩極大值需等剪力圖畫出后根據(jù)剪力等于零的截面位置確定后才能求得 返回下一頁上一頁 （6）畫剪力圖 根據(jù)彎矩圖可畫出剪力圖。此圖中，按相似三角形比例關系，可確定剪力為零的截面位置為x=3.86m，進而可求得彎矩極大值。（7）求支座反力 根據(jù)彎矩圖和剪力圖，直接得到各反力如下： MA=24.5kNm ( ) FA=25.6kN （） FB=19.4kN +57.9kN=77.3kN（） FC=62.1kN +31.4kN=93.5kN（） FD=8.6kN （）返回AC4m0.75EI1.5EIB8m3m3m2mEDFa）15kN/mEI40kN45kN-68.3 0-51.1 +68

45、.3-24.5 +51.1最后桿端彎矩+0.1+0.1B第4次放松-0.2-0.3C第3次放松+0.9+0.6B第3次放松-1.9-2.9C第2次放松+9.5+6.4B第2次放松-21.2-31.8C第1次放松+36.0+24.0B第1次放松分配與傳遞彎矩-45.0 0-80.0 +80.0-40.0 +20.0固端彎矩0.40.6 0.60.4分配系數(shù) +18.0+12.0 0-15.9 -(80-45+18)0.6=-31.8-(-15.9)0.4=6.4 +4.8+3.2 0-1.5 +0.5+0.3 0-0.2 下一頁上一頁返回b）分配系數(shù)0.40.6 0.60.4固端彎矩-40.0

46、+20.0-80.0 +80.0-45.0 0分配與傳遞彎矩B第1次放松+12.0 +24.0+36.0 +18.0C第1次放松-15.9 -31.8-21.2 0B第2次放松+3.2 +6.4+9.5 +4.8C第2次放松-1.5 -2.9-1.9 0B第3次放松+0.3 +0.6+0.9 +0.5C第3次放松-0.2 -0.3-0.2 0B第4次放松+0.1+0.1最后桿端彎矩-24.5 +51.1-51.1 +68.3-68.3 0M圖（kNm）25.826.868.360.624.551.1下一頁上一頁返回b）M圖（kNm）25.826.868.360.624.551.1c）FQ圖（kNm）8.631.462.125.657.919.43.86m+MAMA=24.5kNm ( )FA=25.6kN （）FB=19.4kN +57.9kN=77.3kN（）FC=62.1kN +31.4kN=93.5kN（）FD=8.6kN （）FAFBFCFD下一頁上一頁返回 例8-10 試用力矩分配法計算圖a所示所示對稱剛架，畫出內力圖。假設剛架各桿線剛度i相等。 解 此剛架為偶數(shù)跨對稱結構承受正對稱荷載作用，可取圖