構建函數(shù)模型,成功把握解題專題講座

1、構建函數(shù)模型，成功把握解題專題講座 / 11構建函數(shù)模型，成功把握解題專題講座、專題解讀數(shù)學建模就是把生活實際問題或以不同背景下描述的問題，通過數(shù)學語言翻譯后轉化成用數(shù)學符號，數(shù)學式子連接而成的方程，不等式、函數(shù)等不同數(shù)學專屬問題，通過觀察，分析，思考，選擇恰當?shù)臄?shù)學知識， 科學的解題方法，嚴謹?shù)耐评硭季S，解決問題的數(shù)學解題思想. 常見的建模思想有方程型建模和函數(shù)型建模兩種.近幾年考題中，函數(shù)型建模思想運用的較多些，建模的實質是把問題轉化成一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)問題問題去求解，建模時，準確判斷建模的類型，構建科學的模型并能熟練運用該模型的數(shù)學知識，基本數(shù)學方法，基本解題思路破解問題是解

2、題的關鍵 .二、典型例題1.構建一次函數(shù)型探求直線過定點問題例1如圖1,平面直角坐標系xoy中，點A的坐標為（9,6） , AB，y軸，垂足為B,點P 從原點O出發(fā)向x軸正方向運動，同時，點 Q從點A出發(fā)向點B運動，當點Q到達點B 時，點P、Q同時停止運動，若點 P與點Q的速度之比為1:2 ,則下列說法正確的是（）A.線段PQ始終經(jīng)過點（2,3）B. 線段PQ始終經(jīng)過點（3,2）C. 線段PQ始終經(jīng)過點（2,2）D.線段PQ不可能始終經(jīng)過某一定點%解析：設OP=t,則點P的坐標為（t, 0）,點Q的坐標為（9-2t , 6）設直線PQ的解析式為y=kx+b （kw0）,將P （t,0)、Q (

3、9 - 2t ,6)代入 y=kx+b ,231kt+ b = 0(9-2t)k+b = 6 刎/日,解得:,2t b =t 32 2t所以直線PQ的解析式為y= 3 - t x+ t- 3 .y- 2 = 0整理，得（y-2 ） t=3y-2x,因為關于t的方程有無數(shù)解，所以3 y- 2 x = 0 x = 3y = 2解得y ，所以線段PQ始終經(jīng)過點（3,2） 所以選B.點評：解答時，有三個環(huán)節(jié)非常重要：1 .理解“始終經(jīng)過”的意義是第一個重要條件；.利用方程組的思想，待定系數(shù)法確定直線的解析式是第二個重要條件；.把方程轉化為速度t的一元一次方程，把速度值的多樣性轉化為一元一次方程有無數(shù)解

4、的 模型求解是第三個重要條件.構建一次函數(shù)模型探求決策型問題例2某游泳館每年夏季推出兩種游泳付費方式.方式一：先購買會員證，每張會員證100元,只限本人當年使用，憑證游泳每次再付費5元；方式二：不購買會員證，每次游泳付費9元.設小明計劃今年夏季游泳次數(shù)為x (x為正整數(shù)).(1)根據(jù)題意，填寫下表:游泳次數(shù)101520X方式一的總費用(兀)150175，方式的總費用(兀)90135，(2)若小明計劃今年夏季游泳的總費用為270元，選擇哪種付費方式，他游泳的次數(shù)比較多？(3)當x 20時，小明選擇哪種付費方式更合算？并說明理由解析：(1)第一行：200, 5x+100;第二行：180; 9x.(

5、2)解：方式一：5x+100=270,解得 x=34.方式二：9x=270 ,解得 x=30. TOC o 1-5 h z 因為34 30,所以小明選擇方式一游泳次數(shù)比較多.(3)解：設方式一與方式二的總費用的差為y元.則y=(5x+100)-9x=-4x+100 ,當 y=0 時，即-4x+100=0 ,解得 x=25.所以當x=25時，小明任意選擇兩種方式中的一種都是一樣合算因為-4 0,根據(jù)一次函數(shù)的性質，得 y隨x的增大而減小，所以當x0,即5x+1009x,所以小明選擇方式二更合算，因為x 20,所以20vx25時，有y0,即5x+10025時，y=3x-45 ;B方式是一個分段函數(shù)

6、，根據(jù)題意可得當xW50時，y=50； x50時，y=3x-100 ;當xW25時，A方式支付30元，B方式支付50元，C方式支付120元，所以A選項是正確;160當y=60時，3x-45=60 ,解得x=35; 3x-100=60 ,解得x= 3 50,所以B選項是正確；當x=35時，A方式支付y=3x-45=60元，B方式支付y=3x-100=5元，C方式支付120元， 所以C選項是正確；220當 y=120 時，3x-45=120 ,解得 x=55; 3x-100=120 ,解得 x= 3 73,220220所以當70 x 3 時，選擇C方式最省錢，所以 D選項錯 誤，所以選D.點評：利

7、用數(shù)形結合思想，看懂圖像，讀懂圖像展示出來的解題信息，確定各種方式的表 達式是解題的關鍵，其次，要會比較，清楚需要的條件是比較時長，還是比較消費金額， 進而結合圖像作出正確的判斷.4.構建一次函數(shù)模型探求利潤最大值問題例4 “綠水青山就是金山銀山”，隨著生活水平的提高，人們對飲水品質的需求越來越高， 孝感市槐蔭公司根據(jù)市場需求代理A, B兩種型號的凈水器，每臺 A型凈水器比每臺 B型凈水器進價多200元，用5萬元購進A型凈水器與用4.5萬元購進B型凈水器的數(shù)量相等.(1)求每臺A型、B型凈水器的進價各是多少元？(2)槐蔭公司計劃購進 A, B兩種型號的凈水器共 50臺進行試銷，其中A型凈水器為

8、x臺， 購買資金不超過 9.8萬元.試銷時 A型凈水器每臺售價 2500元，B型凈水器每臺售價 2180 元，槐蔭公司決定從銷售 A型凈水器的利潤中按每臺捐獻a (70a80)元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金， 設槐蔭公司售完50臺凈水器并捐獻扶貧資金后獲得的利潤為W求W的最大值.解析：(1)設A型凈水器每臺的進價為 m元，則B型凈水器每臺的進價為(m- 200)元，5000045000(根據(jù)題意得： =,解得：m=2000,經(jīng)檢驗，m=2000是分式方程的解,mm- 200，m- 200=1800.答：A型凈水器每臺的進價為 2000元，B型凈水器每臺的進價為 1800元.(2)根據(jù)題意得：

9、2000X+180 (50 -x) & 98000,解得：x0,WB x 增大而增大，當 x=40 時，皿最大值，最大值為(120-a) X 40+19000=23800- 40a,W勺最大值是(23800 40a)元.點評：根據(jù)購買資金=人型凈水器的進價X購進數(shù)量 +B型凈水器的進價X購進數(shù)量結合購買 資金不超過9.8萬元，即可得出關于x的一元一次不等式， 解之即可得出x的取值范圍，由 總利潤=每臺A型凈水器的利潤X購進數(shù)量 +每臺B型凈水器的利潤X購進數(shù)量-ax購進A型凈水器的數(shù)量，即可得出 W關于x的函數(shù)關系式，從而完成一次函數(shù)模型的構建，再利用一次函數(shù)的性質即可解決最值問題.構建一次函

10、數(shù)模型探求利潤最大購買方案問題例5某商店銷售A型和B型兩種電腦，其中A型電腦每臺的利潤為 400元，B型電腦每臺的 利潤為500元.該商店計劃再一次性購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為 y元.(1)求y關于x的函數(shù)關系式；(2)該商店購進 A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？(3)實際進貨時，廠家對 A型電腦出廠價下調 a (0vav200)元，且限定商店最多購進 A 型電腦60臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據(jù)以上信息，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案.解析：

11、(1)根據(jù)題意，y=400 x+500 (100-x) =- 100 x+50000;(2)100-x 100- , . y= - 100 x+50000 中 k=-100V0,3，y隨x的增大而減小，: x為正數(shù)，x=34時，y取得最大值，最大值為46600,答：該商店購進A型34臺、B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是46600元；(3)據(jù)題意得，y= (400+a) x+500 (100-x),即 y= (a- 100) x+50000,331 x0, y隨x的增大而增大，當x=60時，y取得最大值.即商店購進 60臺A型電腦和40臺B型電腦的銷售利潤最大.點評：(1)根據(jù)“

12、總利潤=人型電腦每臺利潤x A電腦數(shù)量+B型電腦每臺利潤x B電腦數(shù) 量”可得函數(shù)解析式；(2)根據(jù)“B型電腦的進貨量不超過 A型電腦的2倍且電腦數(shù)量為整數(shù)”求得 x的范圍， 再結合(1)所求函數(shù)解析式及一次函數(shù)的性質求解可得；(3)構建起一次函數(shù)模型，后利用分類思想。分當0vav100時，y隨x的增大而減小，a=100時，y=50000,當100VmK200時，a- 1000, y隨x的增大而增大，三種情況 討論，分別進行求解，這是這道建?？碱}的精華所在.構建反比例函數(shù)模型探求傳染病預防消毒型問題例6 (2018年?聊城)春季是傳染病多發(fā)的季節(jié)，積極預防傳染病是學校高度重視的一項工作，為此，

13、某校對學生宿舍采取噴灑藥物進行消毒.在對某宿舍進行消毒的過程中，先經(jīng)過5min的集中藥物噴灑，再封閉宿舍10min,然后打開門窗進行通風，室內每立方米空氣中含藥量y (mg/m3)與藥物在空氣中的持續(xù)時間x (min)之間的函數(shù)關系，在打開門窗通風前分別滿足兩個一次函數(shù)，在通風后又成反比例，如圖所示.下面四個選項中錯誤的是( )A.經(jīng)過5min集中噴灑藥物，室內空氣中的含藥量最高達到10mg/m3B.室內空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達到了 11minC.當室內空氣中的含藥量不低于5mg/m3且持續(xù)時間不低于 35分鐘，才能有效殺滅某種傳染病毒.此次消毒完全有效D.當室內空氣中白含

14、藥量低于2mg/m3時，對人體才是安全的，所以從室內空氣中的含藥量達到2mg/m3開始，需經(jīng)過59min后，學生才能進入室內解析：仔細觀察圖像，OA段可構建正比例函數(shù)模型求解，即 y=2x,(0 x 15, xx當y=5時，x=24,所以持續(xù)的時間為：24-2.5=21.5 15, xx當y=2時，x=60,所以持續(xù)的時間為：60- 1=59,所以選項D正確；所以選 C.點評：看清各段函數(shù)的圖像，正確建立函數(shù)模型的對接，是解題的關鍵.AO段是正比例函數(shù)， AB段是一次函數(shù)，BC段是反比例函數(shù)，這是解題的第一步；正確選擇函數(shù)解析式，確定符 合題意的臨界時間值，是解題的根本，兩個臨界時間值的差就是

15、持續(xù)時間這一點對解題來說 也是很重要的.特別是反比例函數(shù)的性質對解題起到了重要作用.以銷售單價與數(shù)量形式呈現(xiàn)數(shù)量關系建立二次函數(shù)模型例7某景區(qū)商店銷售一種紀念品，每件的進貨價為40元.經(jīng)市場調研，當該紀念品每件的銷售價為50元時，每天可銷售 200件；當每件的銷售價每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10件.(1)當每件的銷售價為 52元時，該紀念品每天的銷售數(shù)量為 件；(2)當每件的銷售價x為多少時，銷售該紀念品每天獲得的利潤y最大？并求出最大利潤.解析：(1)由題意得：200- 10X ( 52-50) =200- 20=180 (件)；(2)由題意得：y= (x-40) 200 - 10 (

16、x- 50) = - 10 x2 +1100 x- 28000=-10(x 55)2+2250,，每件銷售價為55元時，獲得最大利潤；最大利潤為2250元.點評：(1)正確理解“當每件的銷售價每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少 10件”的意義是解題的關鍵；(2)根據(jù)等量關系“利潤 =(售價-進價)X銷量”列出函數(shù)關系式，構建二次函數(shù)模型， 借助二次函數(shù)的最值判斷加以解決.以函數(shù)圖像形式呈現(xiàn)數(shù)量關系建立二次函數(shù)模型例8某綠色生態(tài)農場生產(chǎn)并銷售某種有機產(chǎn)品，假設生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部售出.如圖4,線段EF、折線ABC防別表示該有機產(chǎn)品每千克的銷售價y1 (元)、生產(chǎn)成本y2 (元)與產(chǎn)量x (kg)之間

17、的函數(shù)關系.(1)求該產(chǎn)品銷售價 Yi (元)與產(chǎn)量x (kg)之間的函數(shù)關系式；(2)直接寫出生產(chǎn)成本 Y2 (元)與產(chǎn)量x (kg)之間的函數(shù)關系式；(3)當產(chǎn)量為多少時，這種產(chǎn)品獲得的利潤最大？最大利潤為多少？解析：（1）設y1與x之間的函數(shù)關系式為 y1=kx+b,b=168b = 168經(jīng)過點(0, 168)與(180, 60),所以，解得：180k+b=60,3k =53,、產(chǎn)品銷售價y1 （元）與產(chǎn)量x （kg）之間的函數(shù)關系式為y1 = - x+168 (0 x 180);（2）由題意，可得當 0WxW50時，丫2=70；當 130WxW 180 時，y2=54;當50vxv1

18、30時，設y2與x之間的函數(shù)關系式為 y2 =mx+n,.直線 y2=mx+n經(jīng)過點（ 50, 70）與（130, 54）,50m+ n = 70n = 801,解得：，.當 50 x4680 3400,所以當該產(chǎn)品產(chǎn)量為 110kg時，獲得的利潤最大， 最大值為4840 元.點評：(1)強化待定系數(shù)法的應用；(2)仔細觀察圖像，利用分類的思想求函數(shù)的解析式；(3)利用：總利潤=每千克利潤X產(chǎn)量， 構建起二次函數(shù)模型，判定自變量的端點值與對稱 軸的大小，從而確定界點值與拋物線的位置關系，利用二次函數(shù)的增減性分別確定不同條件下的最值，比較最值得大小確定最后的答案.這里靈活運用了分類思想，這是本題

19、的最大亮耳 八、.9.以實物拋物線形式呈現(xiàn)數(shù)量關系建立二次函數(shù)模型例9某游樂園有一個直徑為 16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱 為拋物線，在距水7中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池 中心的裝飾物處匯合.如圖5所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系.(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式；(2)王師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內？(3)經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提 下，把水池的直徑擴大到32米，各

20、方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度.解析：(1)設水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y=a(x 3)2+5 (aw。)，21將(8, 0)代入 y=a(x 3)2+5,得：25a+5=0,解得：a=-,51.水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y= - - (x 3)2+5 (0 x20,不合題意舍去;當 x=45 時，100-2x=10,答：AD的長為 10m；(2)設 AD=xm S=gx(100-x) = (x50)2+1250,當a50時，則x=50時,S的最大值為1250;. 1c當0vav50時，則當0vxwa時，S隨x的增大而增大，當x=a時，S的最大值為50a - - a2 ,21c綜上所述，當a50時，S的最大值為1250;當0V a50時，S的最大值為50a- - a2 .2點評：以矩形的面積為抓手構建二次函數(shù)模型，把圖形面積的最大值轉化為二次函數(shù)最大值問題加以解決，解答時，要注意對a進行分類求解，不能只是一味的利用模型求解而求解，確保解后的答案全面和準確 .以文字描述形式呈現(xiàn)數(shù)量關系建立二