直線系的問題

1、直線系（1）平行直線系：與AxByC0平行的直線為：AxByC10(C1C)（2）垂直直線系：與AxByC0垂直的直線為：BxAyC10（3）定點直線系：若l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20相交，則過交點的直線為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，交點為方程組的解直線系問題一、過定點的直線系設(shè)定點P(x0,y0)1、用斜率k作參數(shù)的直線系方程y-y0=k(x-x0)(不包括無斜率的直線)2、用A、B作參數(shù)的直線系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A、B不全為0) 例：求經(jīng)過P(1,2)的直線L,使點A(3,3)和B(5,2)到它的距離相等.思路一:設(shè)斜率k,用點斜式

2、,再由點距公式列方程,求k出即可.思路二:分類討論設(shè)斜率k,用點斜式,當LAB時,由斜率相等可得k;當L過AB的中點時,把AB中點坐標代入L方程,可解得k.二、平行線系1、斜率是k的直線系方程y=kx+b (b為參數(shù))2、平行于Ax+By+C=0的直線系方程為Ax+By+=0 (為參數(shù))3、垂直于Ax+By+C=0的直線系方程為Bx-Ay+=0 (為參數(shù))三、過兩直線交點的直線系設(shè)L1: A1x+B1y+C1=0L2: A2x+B2y+C2=0m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m、n是參數(shù))A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(是參數(shù)但不包括L2)例：已

3、知3a+2b=1,求證：直線ax+by+2(x-y)-1=0過定點,并求該定點坐標.思路一：由3a+2b=1得:b= EQ f( 1 , 2 )(1-3a)代入直線系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x EQ f( 3 , 2 ) y-1)+a(x - EQ f( 3 , 2 ) y)=0由, 得交點(1, EQ F(2,3) )直線過定點(1, EQ F(2,3) ).思路二：賦值法令a=0得b= EQ F(1,2) 得L1: 2x - EQ f( 3 , 2 )y-1=0令b=0得a= EQ F(1,3) 得L2: x EQ f( 3 , 2 )y=0由, 得交點(1, EQ

4、F(2,3) )把交點坐標代入原直線方程左邊得:左邊= EQ f( 1 , 3 )(3a+2b-1)3a+2b-1=0左邊=0這說明只要3a+2b-1=0原直線過定點(1, EQ F(2,3) ).例:求證:無論為何值,直線(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0與點P(-2,2)的距離d都小于4 EQ r(,2) .證明：將直線方程按參數(shù)整理得(2x-y-6)+(x-y-4)=0故該直線系恒過二直線2x-y-6=0和x-y-4=0的交點M易解得M(2,-2)求得|PM|=4 EQ r(,2) 所以d4 EQ r(,2) 而過點M垂直PM的直線方程為x-y-4=0,又無論為何值,題設(shè)直線系方程

5、都不可能表示直線x-y-4=0d4 EQ r(,2) 【注】此題若按常規(guī)思路,運用點距公式求解,則運算量很大,難算結(jié)果,運用直線系過定點巧妙獲解.例題：例、 （1）證明直線l過定點； （2）若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S，求S的最小值，并求此時直線l的方程； （3）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍。 分析：（1）證直線系過定點，可用分離參數(shù)法。 （2）求AOB面積S的最小值，應(yīng)先求出目標函數(shù)Sf(k)，再根據(jù)目標函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征選擇最小值的求法。 （3）直線不經(jīng)過第四象限的充要條件是：直線在x軸上的截距小于或等于-2，在y軸上的截距大于或等于1。或由直線經(jīng)過定點

6、（-2，1）知斜率大于或等于零。 解：（1）直線l的方程是： 無論k取何值，直線總經(jīng)過定點（-2，1） （2）由l的方程，得： 解得：k0 解之得：k0 小結(jié)：本題證明直線系過定點問題所使用的“分離參數(shù)法”，也是證明曲線系過定點的一般方法。例、已知P（1，3），直線l：x4y10（1）求過P且平行于l的直線l1的方程；（2）求過P且垂直于l的直線l2的方程策略：由l1l的斜率關(guān)系可得，由l2l的斜率關(guān)系得4，再利用點斜式方程可求出直線l1，l2的方程由平行直線系與垂直直線系可以求出l1，l2的方程解法一：（1）直線l的斜率為且l1l，直線l1的斜率k1又l1過P（1，3），l1的方程為y3(x

7、1)，即x4y110(2)kl且l2l，直線l2的斜率為k24又l2過P(1，3)l2的方程為y34(x1)即4xy70解法二：（1）l1l且l方程為x4y10設(shè)l1的方程為x4yC0又P(1，3)在l1上143C0解得C11l1的方程為x4y110(2)l2l設(shè)l2的方程為4xyC0又l2過P（1，3）413C0解得C7l2的方程為4xy70評注：一般地，利用平行直線系和垂直直線系求直線方程會給計算帶來很大方便例、求證：不論m為何實數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點，并求出此定點坐標策略：對于這類題目，只要找出兩條相交的直線，然后解出交點坐標即可證法一：（特殊值法）當m1時，直

8、線l的方程為y4；當m時，直線l的方程為x9；兩直線的交點為（9，4），滿足直線l的方程(m1)x(2m1)ym5不論m為何實數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點（9，4）證法二：（直線系法）將方程(m1)x(2m1)ym5整理得m(x2y1)(xy5)0解方程組得不論m為何實數(shù)，定點(9，4)恒滿足方程(m1)x(2m1)ym5即不論m為何實數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點（9，4）評注：求某直線過定點的題目，常用的兩種方法特殊值法和直線系法例、求經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程策略：可以先解方程組求

9、出交點P，再利用ll3求出斜率，用點斜式求l方程；求出P點后，用垂直直線系求l方程；先由過l1，l2的交點的直線系設(shè)出l方程，然后由l3l求系數(shù)解法一：解方程組得交點P（0，2）k3kl由點斜式得l：y2x即4x3y60解法二：設(shè)所求直線l：4x3yC0由解法一知：P(0，2）代入方程，得C6l：4x3y60解法三：設(shè)所求直線l：(x2y4)(xy2)0整理得(1)x(2)y240ll33(1)4(2)011l的方程為：(x2y4)11(xy2)0即4x3y60評注：解法一是常規(guī)解法，解法二用待定系數(shù)法，解法三應(yīng)用了經(jīng)過兩直線交點的直線系方程，省去了求兩直線交點的解方程組的運算利用直線系解題一

10、、直線系的定義共點直線系方程經(jīng)過兩直線的交點的直線系方程為平行直線系方程與直線垂直直線系方程與直線二、利用直線系解題例題：(一)直接應(yīng)用求過點A(1，-4)且與直線平行直線方程。(課本第45頁例2) ()求過點A(2,1)，且與直線垂直的直線方程。(課本第46頁例4) ()求經(jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程。(課本第54頁第11題第1小題)( )經(jīng)過兩條直線和的交點，且平行于直線的直線方程。(課本第54頁第11題第2小題)( 經(jīng)過直線和的交點，且垂直于第一條直線的直線方程。(課本第54頁第11題第3小題)( )求平行于直線且與它的距離為的直線方程。(課本第87頁第13題) (或 )(二)間接應(yīng)用當a為任意實數(shù)時，直線恒過的定點為_。解：直線的方程可以化為，由直線系的定義我們知道：直線過的點是方程組 的解，這樣我們就可以知道直線過點(-2,3)。8、已知圓C：及直線證明：無論m為任何實數(shù)，直線恒與圓C相交。分析：判斷直線與圓的位置關(guān)系通常采用“法”，或“比 較d與r法“，特別是“法”運算量往往很大，當發(fā)現(xiàn)直線過定點，且此定點又在圓內(nèi)部時，妙解應(yīng)運而生。 證明：易證直線過定點M(3,2)，且4，即點M在圓C內(nèi)，點M又在直線上，故不論m為任何實數(shù)，直線與圓C相交。9、a、b滿足什么條件時，使得對于任意實數(shù)m,直線：