2022年新高考數(shù)學(xué)二輪提升數(shù)列專題第30講《證明數(shù)列不等式：數(shù)學(xué)歸納法》（原卷版）

1、第30講 證明數(shù)列不等式：數(shù)學(xué)歸納法 一、解答題1（2021全國(guó)全國(guó)高三專題練習(xí)（文）函數(shù)f（x）ln（x+1）（a1）（）討論f（x）的單調(diào)性；（）設(shè)a11，an+1ln（an+1），證明：（nN*）2（2021安徽三模（文）已知函數(shù)f（x）exex，g（x）ax（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中aR（1）試討論函數(shù)F（x）f（x）g（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a2時(shí)，記函數(shù)f（x），g（x）的圖象分別為曲線C1，C2在C2上取點(diǎn)Pn（xn，yn）作x軸的垂線交C1于Qn，再過(guò)點(diǎn)Qn作y軸的垂線交C2于Pn+1（xn+1，yn+1）（nN*），且x11用xn表示xn+1；設(shè)數(shù)列xn和lnxn的前n項(xiàng)和

2、分別為Sn，Tn，求證：SnTn+1nln23（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1a2，an(n2，nN*)(1)求證：對(duì)任意nN*，an2恒成立；(2)判斷數(shù)列an的單調(diào)性，并說(shuō)明你的理由；(3)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)a3時(shí)，Sn2n.4（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，其中為實(shí)數(shù).（1）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；（2）設(shè)，證明：對(duì)任意，；（3）設(shè)，證明：對(duì)任意，成立.5（2021全國(guó)高二單元測(cè)試）已知函數(shù)的最大值不大于，且當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）設(shè)，證明6（2021浙江高三學(xué)業(yè)考試）已知數(shù)列滿足：，證明：當(dāng)時(shí)，（1）；（2）；（3）.7（2021上

3、海閔行中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）定義在上的函數(shù)滿足：若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有，則稱為函數(shù)（1）判斷和是否為函數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是一條連續(xù)的曲線，值域?yàn)?，且，求證：關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；（3）設(shè)為函數(shù)，且，定義數(shù)列：，證明：對(duì)任意，有8（2021全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）已知遞增等差數(shù)列滿足，且，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，試猜想實(shí)數(shù)的最小值，并給予證明9（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：對(duì)任意的，不等式成立.10（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時(shí)，.（1）求a的值；（2）設(shè)，證明.11（2022全國(guó)高三

4、專題練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?，1，且滿足下列條件： 對(duì)于任意0，1，總有，且； 若則有（1）求f0的值；（2）求證：fx4；（3）當(dāng)時(shí)，試證明：.12（2021遼寧東北育才學(xué)校高二期末）設(shè)數(shù)列滿足，（1）計(jì)算，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）令，證明：13（2021山西渾源縣第七中學(xué)校高二月考）已知.（1）求 ， ， 的值.（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明 .14（2021貴州省甕安第二中學(xué)高二月考（理）已知數(shù)列滿足，（1）求，試猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：15（2021浙江杭州市富陽(yáng)區(qū)第二中學(xué)高二月考）已知數(shù)列 前n項(xiàng)和 滿足.（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（2）令 ，用數(shù)學(xué)歸納法證明：16（2021河南南陽(yáng)高二期中）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.17（2021浙江溫州高二期中）已知數(shù)列滿足：（1）求，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，且對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18（2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a11，an1an(4an)，nN*.證明anan12(nN*)19（2022浙江高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足：，其中（）證明