新高考數(shù)學(xué)二輪專題《導(dǎo)數(shù)》第26講 含參多變量消元（解析版）

1、第26講 含參多變量消元一解答題（共10小題）1已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若，是的兩個(gè)零點(diǎn)證明：（）；（）【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，所以在上，單調(diào)遞增，在，上，單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減（2）證明：由（1）可知，要使由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，需，且，則，又，故，則，令，則，在上單減，又，又，即；要證，由（1）可知，只需證，即證，又，只需證，即證，令，則，所以上述不等式等價(jià)于，即，亦即，令，則，在上單調(diào)遞減，即（1），即得證2已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，為的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：【解答】解：（1）函數(shù)的定義

2、域?yàn)?，函?shù)，當(dāng)時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令得，令得，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減（2）由，為的兩個(gè)零點(diǎn)及（1）知，兩式相減得，即，要證，只需證，即證，即證，不妨設(shè)，令，只需證，設(shè)，則，設(shè)，則，在上單減，（1），在上單增，（1），即在時(shí)恒成立，原不等式得證3已知函數(shù)（）若在，上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值（）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）求證：【解答】解：由于在，上為單調(diào)遞增函數(shù)，則對任意的，恒成立，方法一：由于，因此，因此，下面證明可以取到，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，則令，解得因此在，上單調(diào)遞增，故，故在，上為單調(diào)遞增函數(shù)綜合上述，實(shí)數(shù)的最小值為方法二：顯然時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，則恒成立，令

3、，則，令，則，因此在，上單調(diào)遞增，從而，故，即在，上單調(diào)遞增；從而，從而，綜合上述，實(shí)數(shù)的最小值為；由于有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)實(shí)根，故，設(shè)，則；設(shè)，則（1），解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此（1），從而，即，綜合上述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；由于，故；從而，即，先證不等式右邊：由于；設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，從而，故成立，從而；再證不等式左邊：由于，從而，即，其中，由于，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，從而，故成立，從而，綜合上述，即4已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線交于、兩點(diǎn)，記、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，證明：

4、【解答】解：（1），時(shí)，在遞增，時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增；（2）由（1）可得，由與有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)與相切于，可得，解得，由題意可得，令，即在上遞增，則，即，即有，又，由（1）可得，則，而在遞減，可得，即5已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，與在定義域上的單調(diào)性相反，求的取值范圍；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：【解答】解（1），由題意可知，與的定義域均為，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，與在定義域上的單調(diào)性相反，在上單調(diào)遞增，對恒成立，即對恒成立，只需，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），的取值范圍；（2）已知可得，即，從而，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，（1），又，即即證6已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2

5、）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：【解答】解：（1），由，得，時(shí)，時(shí)，綜上，的增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）證明：由 （1）知，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，令，則，為方程的兩個(gè)根令，則，為的兩個(gè)零點(diǎn)，令，則在上單調(diào)遞增，（1），即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，7已知，（1）若，求的取值范圍；（2）若，且，證明：【解答】（1）解：，可知：時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，（a），化為：，解得的取值范圍是（2）證明：（）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，即，故（）由（），在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，不失一般性，設(shè)，因，則由（），得，又，即8已知函數(shù)，為常數(shù)）在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）求證：【解答】解：（）函數(shù)，為常數(shù)），設(shè)，由題意知在

6、上存在兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則在上遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意當(dāng)時(shí)，由，得若且（2），即時(shí)，在上遞減，在上遞增，則，且（2），在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，在上存在兩個(gè)零點(diǎn)若，即時(shí)，在上遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，舍去若，且（2），即時(shí)，此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)，而在上沒有零點(diǎn)，舍去綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍是證明：（）令，則，在上遞增，從而，且在遞增，9已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)，若在，上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，證明：【解答】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得函數(shù)在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，則切線的方程為，即為；（2），可得，若在，上單調(diào)遞增，則在，恒成立，即為在，恒成立，可設(shè)，由，即，也即，可得與在，只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，則在處取得極小值且為最小值；再由，可得在，的最大值為，則；（3）證明：由，可得，即為，可設(shè)，則，則；要證，即為，即證，即為，設(shè)，即證，設(shè)，可得，可得在遞增，即（1），即，則，綜上可得10已知函數(shù)，（）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明：【解答】解：，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則恒成立，即在上恒成立令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，