材料力學第五版 第七章 應力狀態(tài) 答案

1、第七章應力狀態(tài)與強度理論一、教學目標和教學內容1教學目標通過本章學習，掌握應力狀態(tài)的概念及其研究方法；會從具有受力桿件中截取單元體并標明單元體上的應力情況；會計算平面應力狀態(tài)下斜截面上的應力；掌握平面應力狀態(tài)和特殊空間應力狀態(tài)下的主應力、主方向的計算，并會排列主應力的順序；掌握廣義胡克定律；了解復雜應力狀態(tài)比能的概念；了解主應力跡線的概念。掌握強度理論的概念。了解材料的兩種破壞形式（按破壞現(xiàn)象區(qū)分）。了解常用的四個強度理論的觀點、破壞條件、強度條件。掌握常用的四個強度理論的相當應力。了解莫爾強度理論的基本觀點。會用強度理論對一些簡單的桿件結構進行強度計算。2教學內容應力狀態(tài)的概念；0平面應力狀

2、態(tài)分析;三向應力狀態(tài)下的最大應力;廣義胡克定律體應變；復雜應力狀態(tài)的比能；梁的主應力主應力跡線的概念。講解強度理論的概念及材料的兩種破壞形式。講解常用的四個強度理論的基本觀點，并推導其破壞條件從而建立強度計算方法。介紹幾種強度理論的應用范圍和各自的優(yōu)缺點。簡單介紹莫爾強度理論。二、重點難點重點：1、平面應力狀態(tài)下斜截面上的應力計算，主應力及主方向的計算，最大剪應力的計算。2、廣義胡克定律及其應用。難點：1、應力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中截面單元體并標明單元體上的應力情況。2、斜截面上的應力計算公式中關于正負符號的約定。3、應力主平面、主應力的概念，主應力的大小、方向的確定。4、廣義胡克定律及

3、其應用。強度理論的概念、常用的四個強度理論的觀點、強度條件及其強度計算。常用四個強度理論的理解。危險點的確定及其強度計算。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考讓學生回答問題。建議學時10學時五、講課提綱1、應力狀態(tài)的概念所謂“應力狀態(tài)”又稱為一點處的應力狀態(tài)(stateofstressesatagivenpoint),是指過一點不同方向面上應力的集合。應力狀態(tài)分析(AnalysisofStress-State)是用平衡的方法，分析過一點不同方向面上應力的相互關系，確定這些應力的極大值和極小值以及它們的作用面。一點處的應力狀態(tài)，可用同一點在三個相互垂直的截面上的應力來描述，通常是用

4、圍繞該點取出一個微小正六面體(簡稱單元體element)來表示。單元體的表面就是應力作用面。由于單元體微小，可以認為單元體各表面上的應力是均勻分布的，而且一對平行表面上的應力情況是相同的。例如，圖71截面mm上ad點的應力狀態(tài)表示方式，如圖（c）所示。(d)圖7.172節(jié)中的分析將表明，一點處不同方向面上的應力是不相同的。我們把在過一點的所有截面中，切應力為零的截面稱為應力主平面，簡稱為主平面（principalplane）。例如，圖（c）中a、d單元體的三對面及b、c單元體的前后一對表面均為主平面。由主平面構成的單元體稱為主單元體（principalelement），如圖（c）中的a、d單元

5、體。主平面的法向稱為應力主方向。簡稱主方向（principal(a)(b)(c)direction）。主平面上的正應力稱為主應力（principalstresss）,如圖（c）中a、d單元體上的及。用彈性力學方法可以證明，物體中任一點13總可找到三個相互垂直的主方向，因而每一點處都有三個相互垂直的主平面和三個主應力；但在三個主應力中有兩個或三個主應力相等的特殊情況下，主平面及主方向便會多于三個。一點處的三個主應力，通常按其代數(shù)值依次用兀來表示，如圖（c）中a、d單元體，雖然它們12“3都只有一個不為零且絕對值相等的主應力，但須分別用，表示。根據(jù)一點處存在幾個不為零的主應力，13可以將應力狀態(tài)分

6、為三類：1）單向（或簡單）應力狀態(tài)：三個主應力中只有一個主應力不為零，如圖7.2（a）所示。2）二向應力狀態(tài)：三個主應力中有兩個主應力不為零，如圖7.2（b）所示。3）三向（或空間）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零，如圖7.2（c）所示。圖7.2單向及二向應力狀態(tài)常稱為平面應力狀態(tài)(planestateofstresses)。二向及三向應力狀態(tài)又統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)。因為，一個單向應力狀態(tài)與另一個單向應力狀態(tài)疊加，可能是單向、二向或零應力狀態(tài)；一個單向應力狀態(tài)與一個二向應力狀態(tài)疊加，可能是單向、二向或三向應力狀態(tài)；。也就是說，一個應狀態(tài)與另一個應力狀態(tài)疊加，不一定屬于原有應力狀態(tài)。對于平面應力狀態(tài)，

7、由于必有一個主應力為零的主方向，可以用與該方向相垂直的平面單元來表示單元體，例如圖7.1(c)示各單元體，可以用圖7.1(d)示平面單元表示。這時，應將零主應力方向的單元體邊長理解為單位長度。在材料力學中所遇到的應力狀態(tài)，主要為平面應力狀態(tài)。本章重點討論平面應力狀態(tài)有關問題。2、平面應力狀態(tài)分析在本節(jié)中,將介紹在平面應力狀態(tài)下，如何根據(jù)單元體各面上的已知應力來確定任意斜截面上的應力。在以下討論中，取平面單元位于xy平面內，如圖7.3(a)所示。已知x面(法線平行x軸的面)上的應力o及，y面（法線平行于y軸的面）上有應力xxy及。根據(jù)切應力互等定理T工?，F(xiàn)在需要求與zyyxxyyx軸平行的任意斜

8、截面ab上的應力。設斜截面ab的外法線n與x軸成角，以后簡稱該斜截面為面，并用及分別表示面上的正應力及切應力。aa將應力、角正負號規(guī)定為：角：從X方向反時針轉至面外法線n的角為正值；反之為負值。角的取值區(qū)間為”或“/2冗/20,兀一冗/2,冗/2正應力：拉應力為正，壓應力為負。切應力：使微元體產(chǎn)生順時針方向轉動趨勢為正；反之為負。或者，截面外法線矢順時針向轉90后的方向為正；反之為負。求面上的應力、的方法，有解析法和圖解法OTaa兩種。分別介紹如下：2.1解析法利用截面法，沿截面ab將圖7.3（a）示單元切成兩部分，取其左邊部分為研究對象。設面的面積為弘，則x面、y面的面積分別為dacos及d

9、asm。于是,得研究對象的受力情況如圖（b）示。該部分沿面法向及切向的平衡方程分別為：11aaavx(a)mdASinaGydASinotTdAcosa6dAcosa圖7.3odA+(ocosex+tsinex)dAcosex+(oaxxyysina+tcosa)dAsina=0yxtdA+(osinatcosa)dAcosa+(ocosa+tsina)dAsina=0axxyyyx由此得o=ocos2a+osin2a(t+t)sinacosaaxyxyyxt=(oo)sinacosa+tcos2atsin2aaxyxyyx由，t=tcos2a=(1+cos2a)/2xyyx式(a)可改寫為：

10、sin2a=(1cos2a)/2ooycos2atxysin2aysin2a+txycos2aa）2sinacosa=sin2a7.1)這就是斜面上應力的計算公式。應用時一定要遵循應力及a角的符號規(guī)定。如果用a+9。替代式（91）第一式中的a，則:oa+90cos2a+tsin2axy從而有o+o=o+oaa+90 xy72)可見，在平面應力狀態(tài)下，一點處與z軸平行的兩相互垂直面上的正應力的代數(shù)和是一個不變量。由式（7.1）可知，斜截面上的應力亠均為角aOt的函數(shù)，即它們的大小和方向隨斜截面的方位而變化?，F(xiàn)在來求它們的極限及平面應力狀態(tài)的主應力。對于斜截面上的正應力o，設極值時的角為a，aaa

11、0由do/da=0得a=（g-o）sin2a一2tcos2a=2t=0 xy0 xy0ag可見，o取極值的截面上切應力為零，即o的極值便ooaa是單元體的主應力。這時的a可由上式求得為：0doada-2ttan2a=亠0o一oxy，它說7.3)式（73）的0在取值區(qū)間內有兩個根a及9。0a0a0土90明與o有關的兩個極值（主應力）的作用面（主平面）是相互垂直的。在按式（7.3）求a時，可以視0tan2a=(-2t)/(o-o)，并按(-2t)0 xyxyxyo-o、(-2t)/(o-o)的正負xyxyxy號來判定sin2a0cos2a0tan2a的正負符號，從而唯一地確定2a或a值。于是有00

12、sin2a0=-2txy(o-o)2+4t2xyxycos2a0=(o-o)2+4t2xyxysin2（a土90）=-sin2acos2（a土90）=-cos2將以上各式代入式（71）的第一式，得。的兩個a極值Q（對應a面）、max0maxQ+Q1Q4Jmax2min(對應Qa90。min0Qy丿(Q2+T2xy面）為：（7.4）可以證明，式（74）中T的指向，是介于僅由單元max體切應力T產(chǎn)生的主拉應力指向（與x軸夾角為45。xyyx或45）與單元體正應力、中代數(shù)值較大的一個正45xy應力指向之間。式（7.4）的、為平面應力狀態(tài)一點處三個QQmaxmin主應力中的兩個主應力，它的另一個主應力

13、為零。至于如何根據(jù)這三個主應力來排列Q、Q的次序，應6b一（5.視Q、Q的具體數(shù)值來決定。maxmin平面應力狀態(tài)下，切應力極值可按下述方法確定。設極值時的a角為e，由dT/心0得：0aQtan2e0=hxy（7.5）比較式（7.3）和式（7.5）,有*嚴20=i，可見e0“0+45，即斜截面上切應力的極值作用面與正應力的極值TOC o 1-5 h zTQaa作用面互成45。夾角。將由式（75）確定的代入式（71）的第二式，可以求得斜截面上切應力極值T（對應e）max0T（對應e+90。）為：min0 xx2xx2Tmaxmin=i-(O_O、2xy2+T2xyO-O+maxmin27.6)這

14、說明，斜截面上切應力極值的絕對值，等于該點處兩個正應力極值差的絕對值的一半。另外，由式（7.5）可得（Txo)cos202tv0 xysin200，代入式（7.1）第一式得：O00+907.7)可見在極值作用面上的正應力相等，且為、的平TOOaxy均值。圖解（莫爾圓）法平面應力狀態(tài)分析，也可采用圖解的方法。圖解法的優(yōu)點是簡明直觀，勿須記公式。當采用適當?shù)淖鲌D比例時，其精確度是能滿足工程設計要求的。這里只介紹圖解法中的莫爾圓法，它是1882年德國工程師莫爾（0i=jMohr）對1866年德國庫爾曼（KCulman)提出的應力圓作進一步研究，借助應力圓確定一點應力狀態(tài)的幾何方法。2.2.1應力圓方

15、程將式（9.1）改寫為(JO+O(Jycos2atxysin2a(Jysin2a+txycos2a22a）(IooJyH2丿、2+Txy丿于是，由上述二式得到一圓方程：（o+oTOC o 1-5 h zoya9V丿（b）據(jù)此，若已知、亠，則在以為橫坐標，為xyxy縱坐標軸的坐標系中，可以畫出一個圓，其圓心為，半徑為ooxy2丿2+T2xy。圓周上一點的坐標就代o+o（二y,0）2表單元體一個斜截面上的應力。因此，這個圓稱為應力圓或莫爾圓（Mohrcircleforstresses)。應力圓的畫法在已知、及（圖74（a），作相應應力圓時，先在。T坐標系y中，xy按選定的比例尺，以（）、（,）為坐

16、標確定x（對應x面）、y（對應y面）兩點，（在應力圓中，正應力以拉應力為正，切應力以與其作用面外法線順時鐘轉向90后的方向一致時為正）。然后直線連接x、y兩點交90軸于C點，并以C點圓心，以Cx或-為半徑畫圓，此圓就是應力圓，如圖74（b）。從圖中不難看出，應力圓的圓心及半徑，與式（b）完全相同。幾種對應關系應力圓上的點與平面應力狀態(tài)任意斜截面上的應力有如下對應關系：1）點面對應應力圓上某一點的坐標對應單元體某一方面上的a2）轉向對應應力圓半徑旋轉時，半徑端點的坐標隨之改變，對應地，斜截面外法線亦沿相同方向旋轉，才能保證某一方向面上的應力與應力圓上半徑端點的坐標相對應。正應力和切應力值。如圖（

17、94（a）上的n點的坐標即為斜截面面的正應力和切應力。3）二倍角對應應力圓上半徑轉過的角度，等于斜截面外法線旋轉角度的兩倍。因為，在單元體中，外法線與x軸間夾角相差唄的兩個面是同一截面，而應力圓中圓心角相差360。時才能為同一點。224應力圓的應用1）應用應力圓能確定任意斜截面上應力的大小和方向。如果欲求a面上的應力及，則可從與x面對aa應的X點開始沿應力圓圓周逆時針向轉2一圓心角至n點，這時n點的坐標便同外法線與x軸成角的a面上的應力對應。的方向按如下方法確定：過x點作軸a的平行線交應力圓于P點，以P為極點，連接P兩點，Pn則射線P便為n點對應截面的外法線方向，即為的q方PnQa位線。2）確

18、定主應力的大小和方位。應力圓與q軸的交點1及2點，其縱坐標（即切應力）為零，因此，對應的正應力便是平面應力狀態(tài)的兩個正應力極值，但是，在圖9.4示情況，因q“0，所以用單元體主maxmin應力qq表示，這時的q應為零。至于在別的情況時，123圖7.4（b）中的1、2點應取1、2、3中的哪兩個數(shù),按類似原則確定。主應力的方位按如下方法確定：從極點P至1點引射線P為。作用面外法方向，巨為主應力。作用面的外法線方向。從圖7.4（b）中不難看出,2主應力QQ的作用面（主平面）的外法線（主方向）12相互垂直。由圖7.4（b）不難看出，應力圓上的t、t兩點，t1t2是與切應力極值面（面和屮90。面）上的應

19、力對應的。不難證明：正應力極值面與切應力極值面互成俗的夾角。3、三向應力狀態(tài)的最大應力組成工程結構物的構件都是三維體，能按材料力學方法進行受力分析的，只是一般三維構件的特殊情況，但屬三維問題。既然這樣，在建立強度條件時，必須按三維考慮才符合實際。因此，在研究了三向應力狀態(tài)的一種特殊情況平面應力狀態(tài)后，還應將它們返回到三向應力狀態(tài)，作進一步的分析，才能符合工程實際。另外，在工程中還是存在不少三向應力狀態(tài)的問題。例如，在地層的一定深度處的單元體（圖9.5），在地應力作用下便是處于三向應力狀態(tài)；滾珠軸承中的滾珠與外環(huán)接觸處、火車輪與軌道接觸處，也是處于三向應力狀態(tài)的。圖9.5本節(jié)只討論三個主應力。均

20、已知的三向應力C123狀態(tài)，對于單元體各面上既有正應力，又有切應力的三向應力狀態(tài)，可以用彈性力學方法求得這三個主應力。對于材料力學中的問題，可以用9.2節(jié)的方法以求得三個主應力、及。1239-(b)圖7.6對于圖7.6(a)示已知三個主應力的主單體，可以將這種應力狀態(tài)分解為三種平面應力狀態(tài)，分析平行于三個主應力的三組特殊方向面上的應力。在平行于主應力。的方向面上，可視為只有c和作用的平面應TOC o 1-5 h z12&3力狀態(tài)；在平行于主應力的方向面上可視為只有21和作用的平面應力狀態(tài)；在平行于主應力的方向33面上，可視為只有和作用的平面應力狀態(tài)。并可12繪出圖(b)示三個應力圖，并稱為三向

21、應力狀態(tài)應stresscircleofthreedimensionalstressstate)。用彈性力學方法可以證明，主單元體中任意斜截面上的正應力及切應力，必位于以這三個應力圓為界的陰影區(qū)內。由三向應力圓可以看出，在三向應力狀態(tài)下，代數(shù)值最大和最小的正應力為：=min3=max17.8)而最大切應力為Tmax7.9)式(7.8)、(7.9)也適用于三向應力狀態(tài)的兩種特殊情況：二向應力狀態(tài)及單向應力狀態(tài)。4、廣義胡克定律體應變在后續(xù)課程中要考慮單元體的變形，本節(jié)將討論應力與應變間的關系。4.1廣義胡克定律在三向應力狀態(tài)下主單元體同時受到主應力Q、QQ1Q2及Q作用，如圖7.6(a)所示。這時

22、，我們把沿單元3體主應力方向的線應變稱為主應變(principalstrain),習慣上分別用、及來表示。對于連續(xù)123均質各向同性線彈性材料，可以將這種應力狀態(tài)，視為三個單向應力狀態(tài)疊加來求主應變。由工程力學I知，在Q單獨作用下，沿主應力、Q及Q方向的線應1Q1Q23變分別為：1尹二塵二竺2E3E式中E、為材料的彈性模量及泊松比(Poissonratio)。同理，在和單獨作用時，上述應變分別為：23V921E-V22E3E8=00V0將同方向的線應變疊加得三向應力狀態(tài)下主單元體的主應變?yōu)椋?|1-V(a2+a3=知2-V(a3+a1)=|3-V(a1+a2)7.10)式（9.10）中的、及均

23、以代數(shù)值代入，求出的主a1a2a3應變?yōu)檎当硎旧扉L，負值表示縮短。主應變的排列順序為8”，可見，主單元體中代數(shù)值最大的線應81_82一83變?yōu)椋?=8max17.9)如果不是主單元體，則單元體各面上將作用有正應力、和切應力、，如圖7.7面稱為正面，正面上的各應力分量便以指向坐標軸正方向為正，反之為負；如果某一面的外法線沿坐標軸的負方向，則稱該面為負面，負面上的各應力便以指向坐標軸的負方向為正，反之為負。須說明，這里的所示。圖中正應力的下標表示其作用面的外法線方向；切應力有兩個下標，前一個下標表示其作用面的外法線方向，后一個下標表示其作用方向沿著哪一個坐標軸。如果某一面的外法線沿坐標軸的正方向

24、，該約定與7.2節(jié)的約定是各自獨立的。對于圖7.7，單元體除了沿x、y及z方向產(chǎn)生線應變8、8及8外，還在三個坐標面xy、yz、zx內產(chǎn)生切應變8、8及。丫xy丫yz丫zx圖7.7由理論證明及實驗證實，對于連續(xù)均質各向同性線彈性材料，正應力不會引起切應變，切應力也不會引起線應變，而且切應力引起的切應變互不耦聯(lián)。于是線應變可以按推導式（7.10）的方法求得，而切應變T=yxyGT=yyzGY=zxzxG可以利用剪切胡克定律得到，最后有TOC o 1-5 h z8=GV(G+G,xExyz8=GV(G+G,yEyzx8=GV(G+G,zEzxy7.12)IID式中G為剪切彈性模量。E,v及G均為與

25、材料有關的彈性常數(shù)，但三者這中只有兩個是獨立的，可以證明這三個常數(shù)之間存在著如下關系：E2(1+v)式（7.10）或（7.12）稱為廣義胡克定律（generalizationHookelaw）.廣義胡克定律對于二向及單向應力狀態(tài)也適用。在二向主單元體中，有一個主應力為零，例如，嘆3=，則式（7.10）變?yōu)椋?=丄(O-VO)TOC o 1-5 h zE12丿1/、8=(OVO)E21V83=(0+0)E(12)7.14)圖7.8在一般平面應力狀態(tài)下，單元體必有一個主應力為零的主平面，設為z面，這時有，及0,zzxzy如圖（7.8）所示。于是，式（7.12）寫成：8=OVO)xExy8=(O-V

26、O)yEyxV8=(0+0)zExyTY=xyG7.15)yz=Yzy由式可以解得：1V2(8x+V8y),xy=Gyxy1V2(8y+V8x),1V(8x+8y)（7.16）4.2體應變體應變又稱體積應變（volumestrain）,是指在應力狀態(tài)下單元體單位體積的體積改變，設單元體各棱邊的變形前長度分別為dx、dy和dz,變形前的單元體體積便為V0=dxdydz在三向應力狀態(tài)下,主單元體變形后的各棱邊長度將分別為（1坷）dx、（匕）dy及（1f）dz，因此，變形后主單元體的體積為V=(1+i)dx-(1+2)dy-(1+3)dz因為八占及均微小，略去高階微量后123V=(1+O+O2+O3

27、)dxdydz=(1+o1+o?+3)V根據(jù)主單元體體應變的定義，有OV7.17)V0(1+01+O2+O3)V0-V0V0=O1+O2+O3將式（9.10）的三個主應變代入上式，化簡后得0V=云91+Q2+Q3）（7.18）上述表明，小變形時的連續(xù)均質各同性線彈性體，一點處的體應變與該點處的三個主應力的代數(shù)和成正V比。在純剪切平面應力狀態(tài)下，因由式(718)可得該應力狀態(tài)下單元體的體變占=0。因此，V在圖(713)示的一般形式的空間應力狀態(tài)下，切應力、及的存在均不會影響該點處的體應變,并xyyzzxV可仿照以上推導求得12vE(Q+Q+Q)xyz719)可見，小變形時連續(xù)均質各向同性線彈性體

28、內，一點處的體應變，只與過該點沿三個相互垂直的坐標軸方向正應力的代數(shù)和成正比，而與坐標方位和切應力無關。5、復雜應力狀態(tài)下的應變比能彈性體在外力作用下將產(chǎn)生變形，在變形過程中，外力便要通過外力作用方向的位移做功，并將它積蓄在彈性體內，通常稱積蓄在物體內的這種能量為應變能(strainenergy)，而把每單位體積內所積蓄的應變能稱為比能(strain.energydensity)。與應在單向應力狀態(tài)中，如果棱邊邊長分別為dx、dy、dz的單元體，作用于x面的應力為q。如圖7.9(a)1所示，作用在單元體上的外力為dd，沿外力方向的Q1dydz位移為ed，外力所做的功為1dx211根據(jù)能量守恒定

29、律，外力功全部積蓄到彈性體內，變成了彈性體的應變能。單元體的應變能U=dW=1b=傳edV2112Ed叫1=dW=丄*21dxdydz單元體的應變比能為應變比能為圖917(b)示陰影面積。在三向應力狀態(tài)下，如果已知、及三個主應b1b2b3力(圖1118a),各對力通過其對應位移所做的功的T33仃(a)(c)(b)總和，便為積蓄在物體內的應變能。因此dV=dW=c&dxdydz+8dxdydz+8dxdydzTOC o 1-5 h z211222233單元體的比能為dW111U=c+c+c8dV211222233式中的、分別表示沿c、c、方向的線應818283c1c2c3變，應按廣義胡克定律（式

30、7.10）計算，用三個主應力、c、c表示主應變8、8、8，化簡后有-C-C-818283U8=2ECI+C:+C3-2V（C1C2+C2C3+C3C1）（7.20）由于單元體的變形有體積改變和形狀改變，因此，可以將比能分為相應的兩部分。與體積改變對應的比能稱為體積改變比能(strain.energydensitycorrespondingtothechangeofvolume)，用表V示；與形狀改變對應的比能稱為形狀改變比能strain.energydensitycorrespondingtothedistortion)，用表示。即U8=UV+Ud(a)現(xiàn)在來推導體積改變比能和形狀改變比能的計

31、算公式。將圖11.18(a)示單元體表示為圖b、c兩部分疊加。圖9.18(b)中的三個主應力相等，其值為平均應力訂有二1（g+G+G）3123）由式（7.18）知，圖11.18（b）與圖11.18（a）的體應變是相等的，那么體積改變比能u也應相等。因V此圖11.18（b）的三個主應力相等，變形后的形狀與原來的形狀相似，只發(fā)生體積改變而無形狀改變，則全部比能應為體積改變化能。這樣，圖11.18（a）的體積改變比能為：V1222222G+G+G2(G+G+G)2E3(12v)212vG2=(G+G+G)22E6E123（7.21）將式（721）代入式（a）,并注意到式（7.20）,化簡后得單元體的形狀改變能為d1+vUd=UeUV二転（G1G2）2+（G2G）+（G3G1）2（7.22）讀者自己證明，式（7.22）即為圖c的比能。式（7.22）將在強度理論中得到應用。6、概述材料在單向應力狀態(tài)或純剪切應力狀態(tài)時的強度條件：軸向拉（壓）桿件的最大正應力發(fā)生在橫截面上各點處；而橫力彎曲梁的最大正應力發(fā)生在最大彎矩橫截面的上、下邊緣處，如圖7.1（a）、